1	|선다형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-01] 집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 수 있다.

평가 기준

집합의 개념을 이해한다.

교과서 188쪽 중단원 학습 점검 01

교과서 대표 문항  |합답형|

하

집합 [eqn: A]가 [eqn: A=left{ x ``LEFT | ``x는```10```미만의 ```짝수 right}]일 때, 옳은 것만을 보기에서 모두 고르라.

보기

ㄱ. [eqn: 2∈A]	ㄴ. [eqn: 3∈A]

ㄷ. [eqn: 1∉A]	ㄹ. [eqn: 10∈A]

하

Ⅳ. 집합과 명제

다음 중 집합 [eqn: A=left{4x+5y vert x,~ y는~ 음이~ 아닌~ 정수 right}]의 원소가 아닌 것은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]

③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]

⑤ [eqn: 12]

2	|합답형|

중

방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -2x=0]의 해를 원소로 갖는 집합을 [eqn: A]라고 할 때, 다음 [보기] 중 옳은 것을 있는 대로 고른 것은?

보기

ㄱ. [eqn: 0 IN A]	ㄴ. [eqn: 1 IN A]

ㄷ. [eqn: 2 IN A]	ㄹ. [eqn: 3 IN A]

① ㄱ, ㄴ	② ㄷ, ㄹ

③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄹ

3	|합답형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-02] 두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.

평가 기준

주어진 조건에 따라 집합 사이의 포함 관계를 구할 수 있다.

교과서 189쪽 중단원 학습 점검 05

교과서 대표 문항  |단답형|

상

자연수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: A_k]를 [eqn: A_k =left{ x ``LEFT |``x는 ```k의```약수 right}]라고 할 때, 다음 물음에 답하라.

⑴ 다음 두 집합 사이의 포함 관계를 조사하라.

① [eqn: A_2]  [eqn: A_6]	② [eqn: A_3]  [eqn: A_6]

⑵ [eqn: A_k ⊂ A_l]일 때, 두 자연수 [eqn: k], [eqn: l]은 어떤 관계가 있는지 말하라.

중

다음 [보기] 중 [eqn: A SUBSET B]인 관계가 성립하는 것을 있는 대로 고르라.

보기

ㄱ. [eqn: A=][eqn: LEFT { x``|``x는``홀수 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,``3,``7,``9 RIGHT }]

ㄴ. [eqn: A=][eqn: LEFT { x``|``x는``8의``배수 RIGHT }], [eqn: B=][eqn: LEFT { x``|``x는``4의``배수 RIGHT }]

ㄷ. [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3,``4 RIGHT }], [eqn: B=][eqn: LEFT { x``|``x는``5``미만인``자연수 RIGHT }]

ㄹ. [eqn: A=][eqn: LEFT { x``|``x는``8의``약수 RIGHT }],[eqn: B=][eqn: LEFT { x``|``x는``12의``약수 RIGHT }]

성취 ․ 평가 기준별 문항 자료

4	|단답형|

중

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,``3,``5 RIGHT }] 에 대하여
[eqn: B SUBSET X SUBSET A]를 만족하는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하라.

5	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-02] 두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.

평가 기준

서로 같은 집합을 이해한다.

교과서 188쪽 중단원 학습 점검 04

교과서 대표 문항  |단답형|

중

두 집합 [eqn: A=left{1,```4,```a right}], [eqn: B=left{1,```a^2 ,```2a-2 right}]에 대하여 [eqn: A⊂B]이고 [eqn: B⊂A]가 성립할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하라.

중

두 집합 [eqn: A= LEFT { 3,~7,~a,~b RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,~ {a} over {2} ,~6,~2b-1 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A=B] 일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하라.

6	|단답형|

중

두 집합 [eqn: A = left{2,~ a- 1,~ a^2 right}], [eqn: B = left{2,~ 4,~ a^2 - 3 right}]에 대하여 [eqn: A SUBSET B이고```B SUBSET A]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하라.

7	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-02] 두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.

평가 기준

집합의 부분집합과 진부분집합을 구분할 수 있다.

교과서 178쪽 문제 3

교과서 대표 문항  |단답형|

하

집합 [eqn: A=left{a,```b,```c right}]의 부분집합과 진부분집합을 모두 구하라.

하

집합 [eqn: A=left { a,~b,~c,~d`` right}]의 부분집합 중 원소가 [eqn: 2]개인 것의 개수를 구하라.

8	|단답형|

중

집합 [eqn: A it = LEFT { x,~y,~z RIGHT }]에서 [eqn: B` SUBSET `A]이고 [eqn: B != A]인 집합 [eqn: B]의 개수를 구하라.

9	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-03] 집합의 연산을 할 수 있다.

평가 기준

집합의 원소의 개수를 구할 수 있다.

교과서 212쪽 대단원 학습 점검 01

교과서 대표 문항  |선다형|

하

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`` LEFT | ``x는```15```이하의```홀수 RIGHT } RIGHT .]의 부분집합 [eqn: A=left{x ``LEFT |``x는```소수 right}]에 대하여 [eqn: n(A)-n(A^C` )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

하

세 집합

[eqn: A= rm][eqn: left{0, ```1 right}],
[eqn: B= rm `][eqn: LEFT { x vert x는``10보다``작은``홀수 RIGHT }],
[eqn: C= LEFT { x vert x는```2``이상``5``이하의``자연수 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: n`(A`)+n`(B`)+n`(C`)]의 값을 구하라.

10	|단답형|

중

두 집합

[eqn: A= LEFT { x``|``x는``20보다``작은``3의``배수 RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { x``|``x는``n``이하의``짝수 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: n(A)+n(B)=11]일 때, [eqn: n]의 값을 모두 구하라.

11	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-03] 집합의 연산을 할 수 있다.

평가 기준

실생활에서 합집합과 교집합의 원소의 개수를 구하는 것을 활용할 수 있다.

교과서 181쪽 문제 4

교과서 대표 문항  |단답형|

중

[eqn: 100]명의 청중이 두 가수의 노래를 듣고 감동하면 노래가 끝날 때마다 투표하는 프로그램이 있다. 가수 [eqn: rmA]와 [eqn: rm B]의 노래가 끝난 후 가수 [eqn: rmA]에게 투표한 청중이 [eqn: 86]명, 가수 [eqn: rm B]에게 투표한 청중이 [eqn: 74]명, 두 가수 [eqn: rmA], [eqn: rm B] 모두에게 투표한 청중이 [eqn: 67]명일 때, 가수 [eqn: rm A] 또는 가수 [eqn: rm B]에게 투표한 청중은 몇 명인지 구하라.

중

[eqn: 40]명의 학생 중에서 축구공을 갖고 있는 학생은 [eqn: 10]명, 농구공을 갖고 있는 학생은 [eqn: 8]명, 둘 다 갖고 있는 학생은 [eqn: 3]명이라고 한다. 이때 축구공과 농구공 둘 다 갖고 있지 않은 학생 수를 구하라.

12	|단답형|

상

[eqn: 100]명의 학생 중 방과 후 수업 [eqn: rm A]를 신청한 학생이 [eqn: 47]명, 방과 후 수업 [eqn: rm B]를 신청한 학생이 [eqn: 65]명이다. 방과 후 수업 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]를 모두 신청한 학생 수의 최댓값을 [eqn: a], 최솟값을 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a-b]의 값을 구하라.

13	|선다형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-03] 집합의 연산을 할 수 있다.

평가 기준

집합의 연산을 벤다이어그램을 이용하여 나타낼 수 있다.

교과서 212쪽 대단원 학습 점검 03

교과서 대표 문항  |선다형|

하

오른쪽 벤다이어그램의 색칠한 부분을 나타낸 것은?

① [eqn: A-(B`∩C)]	② [eqn: A∪(B-C)]	③ [eqn: A^C -(B`∩C)]

④ [eqn: A^C -(B`∩C)^C]	⑤ [eqn: A^C ∪(B∩C)]

하

집합 [eqn: A cup B^C]으로 알맞은 것은?

① [eqn: LEFT {2,~4,~8 RIGHT }]	② [eqn: LEFT {2,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }]

③ [eqn: LEFT {5,~6,~7 RIGHT }]	④ [eqn: LEFT {1,~2,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }]

⑤ [eqn: LEFT {3,~5,~6,~7,~9 RIGHT }]

14	|서술형|

중

두 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]가 모두 공집합이 아닐 때, 집합 [eqn: A]와 집합 [eqn: B-A]가 항상 서로소임을 벤다이어그램을 통해 보이라.

15	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

01

집 합

성취 기준    [10수학 03-03] 집합의 연산을 할 수 있다.

평가 기준

드모르간의 법칙을 이용하여 집합의 연산을 할 수 있다.

교과서 187쪽 문제 13

교과서 대표 문항  |단답형|

중

전체집합 [eqn: U= LEFT { x vert x는``12``이하의``자연수 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { x vert x는``12의``약수 RIGHT }], [eqn: B=left{1,``2,``4,``8 right}]에 대하여 [eqn: n(A^C ∪B^C` )]을 구하라.

중

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가 서로소이고, [eqn: n(U)=60], [eqn: n(A)=30&], [eqn: n(B)=25]일 때, [eqn: n(A ^C} SMALLINTER {B ^C} `)]의 값을 구하라.

16	|단답형|

상

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A ,```B]에 대하여 [eqn: n(U)= 20], [eqn: n(B) = 4], [eqn: n(A^C ∪B^C` ) =8]일 때, [eqn: n(A- B)]의 값을 구하라.

17	|서술형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-04] 명제와 조건의 뜻을 알고, ʻ모든ʼ, ʻ어떤ʼ을 포함한 명제를 이해한다.

평가 기준

명제의 참, 거짓을 진리집합을 이용하여 판별할 수 있다.

교과서 196쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |서술형|

하

다음 명제의 참, 거짓을 진리집합을 이용하여 판별하라.

⑴ [eqn: x-2=0]이면 [eqn: x^2 -2x=0]이다.	⑵ [eqn: x+3>2]이면 [eqn: x>2]이다.

하

다음 명제의 참, 거짓을 진리집합을 이용하여 판별하라.

⑴ [eqn: x ^2}` >`0]이면 [eqn: x`>`0]이다.

⑵ [eqn: x=`-1]이면 [eqn: x ^2} +x=0]이다.

18	|선다형|

중

두 조건 [eqn: p,~q]를 만족시키는 집합을 각각 [eqn: P,~Q]라고 하자. 명제 [eqn: p~->~q]가 참일 때, 다음 중 항상 옳은 것은? (단, [eqn: U]는 전체집합이다.)

① [eqn: P cap Q = phi]	② [eqn: P cap Q = P]

③ [eqn: P cup Q = P]	④ [eqn: P =Q]

⑤ [eqn: P cup Q = U]

19	|서술형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-04] 명제와 조건의 뜻을 알고, ʻ모든ʼ, ʻ어떤ʼ을 포함한 명제를 이해한다.

평가 기준

ʻ모든ʼ과 ʻ어떤ʼ을 포함한 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

교과서 197쪽 문제 5

교과서 대표 문항  |서술형|

중

다음 명제의 참, 거짓을 판별하라.

⑴ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^3 >0]이다.	⑵ 어떤 자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 -x≤0]이다.

중

다음 명제의 참, 거짓을 말하라.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} `leq0]이다.

20	|선다형|

중

다음 명제 중 참인 것을 모두 고르면?

① 모든 정수는 양수이다.

② 모든 홀수는 소수이다.

③ 어떤 [eqn: 3]의 배수는 [eqn: 6]의 배수이다.

④ 어떤 자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} =x]이다.

⑤ [eqn: x<1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} <1]이다.

21	|합답형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-05] 명제의 역과 대우를 이해한다.

평가 기준

명제의 역과 대우를 이해하고, 역과 대우의 참, 거짓을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

교과서 209쪽 중단원 학습 점검 05

교과서 대표 문항  |합답형|

중

두 명제 [eqn: p`` rarrow `` SIM r], [eqn: sim p ``rarrow ``sim q]가 모두 참일 때, 참인 명제만을 보기에서 모두 고르라.

보기

ㄱ. [eqn: p ``→``q]	ㄴ. [eqn: q ``→``p]

ㄷ. [eqn: q ``→``sim r]	ㄹ. [eqn: sim r``→``p]

중

명제 [eqn: p` -> `q]가 참일 때, 다음 [보기] 중 참인 명제를 모두 고르라.

보기

ㄱ. [eqn: q`` rarrow``p]	ㄴ. [eqn: simp `` rarrow simq]	ㄷ. [eqn: sim q ``rarrow ``sim p]

22	|선다형|

중

명제 [eqn: p` → ` ～q]의 역이 참일 때, 다음 중 반드시 참인 명제는?

① [eqn: p` `→ `` q]	② [eqn: p`` → `` ～q]

③ [eqn: ～p`` ->` `q]	④ [eqn: q ` `→ `` ～ p]

⑤[eqn: ～q`` →` `～ p]

23	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-05] 명제의 역과 대우를 이해한다.

평가 기준

명제의 역과 대우의 참, 거짓을 이해하고 활용할 수 있다.

교과서 213쪽 대단원 학습 점검 06

교과서 대표 문항  |선다형|

중

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가

[eqn: p:```-3<x<5], [eqn: q:```LEFT |`x-a `RIGHT |<6]

이고 명제 [eqn: p``→``q]의 대우가 참일 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

중

두 조건 [eqn: p`,``q``]의 진리집합이 각각

[eqn: P= LEFT { x``□``a<x le 7 RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { x``□``-2 le x le -2a+1 RIGHT }]

일 때, 명제 [eqn: q`` ->``p]의 대우가 참이 되게 하는 정수 [eqn: a]의 값을 구하라.

24	|단답형|

중

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 각각 다음과 같을 때, 명제 [eqn: p````-> ````q]의 역이 참이 되게 하는 정수 [eqn: n]의 개수를 구하라.

[eqn: p`:``-1 leq x < 5], [eqn: q`:``|`x-n`|`leq `1]

25	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-06] 충분조건과 필요조건을 이해하고 구별할 수 있다.

평가 기준

충분조건과 필요조건을 구별할 수 있다.

교과서 202쪽 예제 2

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인지 말하라.

⑴ [eqn: p``:``x]는 [eqn: 4]의 약수이다.	[eqn: q``:``x]는 [eqn: 12]의 약수이다.

⑵ [eqn: p``:``2x-3<1]	[eqn: q``:``x^2 +x<0]

하

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 다음과 같을 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인지 말하라. (단, [eqn: x], [eqn: y]는 실수이다.)

⑴ [eqn: p``:``x=0,```y=0], [eqn: q``{:``x ^2} +y ^2} =0]

⑵ [eqn: p``:``rm△ABC]는 직각삼각형, [eqn: q``:`` ∠ rm A =90 DEG]

26	|합답형|

중

[eqn: x,```y]가 실수일 때, 다음 [보기] 중 조건 [eqn: p]가 조건 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것을 고르라.

보기

ㄱ. [eqn: p``:`` x^{2}= xy]	[eqn: q``: ``x=y]

ㄴ. [eqn: p``:`` x, ```y는 ``` 유리수]	[eqn: q``: ``xy는 ``` 유리수]

ㄷ. [eqn: p``: ``x^{2} + y^{2} =0]	[eqn: q``:`` x=0이고 ``` y=0]

27	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-06] 충분조건과 필요조건을 이해하고 구별할 수 있다.

평가 기준

충분조건 또는 필요조건이 되도록 하는 미지수의 값을 구할 수 있다.

교과서 209쪽 중단원 학습 점검 08

교과서 대표 문항  |단답형|

상

두 조건 [eqn: p:```LEFT | `x` RIGHT |≤k], [eqn: q:```-4≤x<5]에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 구하라.

상

두 조건 ʻ[eqn: p`:````2x-3` LEQ `1]ʼ, ʻ[eqn: q`:````x`<`a]ʼ에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건일 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하라.

28	|단답형|

상

실수 [eqn: x]에 대하여 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라고 하면

[eqn: P`=`LEFT{x``|``x=1 right}],
[eqn: Q`=` LEFT { x``|``x^2 -ax+2=0 right}],
[eqn: R`=`LEFT{x``|``x^2 +3x+b=0 right}]

이다. [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이고, [eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하라.

29 |단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-06] 충분조건과 필요조건을 이해하고 구별할 수 있다.

평가 기준

조건의 진리집합을 이용하여 충분조건과 필요조건을 말할 수 있다.

교과서 213쪽 대단원 학습 점검 09

교과서 대표 문항  |단답형|

중

전체집합 [eqn: U]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자.

[eqn: P`∪Q^C =U], [eqn: P≠Q]

일 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인지 말하라. (단, [eqn: Q≠∅])

중

전체집합 [eqn: U``]에서 두 조건 [eqn: p,```q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,```Q``]라고 할 때, 집합 [eqn: U], [eqn: P], [eqn: Q]를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다. 이때 [eqn: p]는 [eqn: SIM q]이기 위한 어떤 조건인지 구하라.

30	|단답형|

상

중

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P,] [eqn: Q], [eqn: R]라고 할 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건, [eqn: ～q]는 [eqn: ～r]이기 위한 충분조건이다. 이때 세 집합 [eqn: P,] [eqn: Q], [eqn: R]의 포함 관계를 말하라.
(단, [eqn: P`` !=` Q], [eqn: Q`` != `R])

31	|서술형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-07] 대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이해한다.

평가 기준

대우를 이용하여 명제를 증명할 수 있다.

교과서 204쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |서술형|

중

다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하라.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^2]이 짝수이면 [eqn: n]도 짝수이다.

중

다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하라.

[eqn: x + y]가 홀수이면 [eqn: x] 또는 [eqn: y]가 홀수이다.

32	|서술형|

중

다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하라.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^2]이 [eqn: 3]의 배수이면 [eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수이다.

33	|단답형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-07] 대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이해한다.

평가 기준

귀류법을 이용하여 명제를 증명할 수 있다.

교과서 205쪽 예제 2

교과서 대표 문항  |서술형|

중

[eqn: sqrt{2}]가 무리수임을 귀류법으로 증명하라.

중

다음은 명제 ʻ[eqn: sqrt {5}]는 무리수이다.ʼ가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써넣으라.

[eqn: sqrt {5}]가 [eqn: {box~~~~~~}``]라고 가정하면

[eqn: sqrt {5} = {n} over {m}]([eqn: m!=0]이고 [eqn: m,```n]은 서로소인 정수)

인 [eqn: m,```n]이 존재한다.

[eqn: sqrt {5} = {n} over {m}]의 양변을 제곱하면 [eqn: 5= box{~~~}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n ^{2} =5m ^{2}]	…… ㉠

따라서 [eqn: n ^{2}]이 [eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: n]도 [eqn: box{~~~~~~~}]이다.

(∵ [eqn: n]은 정수)

[eqn: n=5k] ([eqn: k]는 정수)로 놓고 ㉠에 대입하면

[eqn: LEFT ( 5k RIGHT ) ^{2} =5m ^{2}]  [eqn: THEREFORE] [eqn: m ^{2} `=5k ^{2}]

[eqn: m ^{2}]이 [eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: m]도 [eqn: 5]의 배수이다. (∵ [eqn: m]은 정수)

따라서 [eqn: m,```n]이 [eqn: box{~~~~~~~~}``]라는 가정에 모순이므로 [eqn: sqrt {5}]는 유리수가 아니다.

34	|서술형|

중

두 자연수 [eqn: a,```b]에 대하여 명제 ʻ[eqn: a,```b]가 서로소라도 [eqn: a,```b]가 모두 짝수인 것은 아니다.ʼ를 귀류법으로 증명하라.

35	|서술형|

Ⅳ. 집합과 명제

02

명 제

성취 기준    [10수학 03-08] 절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.

평가 기준

절대부등식을 증명할 수 있다.

교과서 207쪽 예제 4

교과서 대표 문항  |서술형|

중

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 부등식 [eqn: {a+b}over{2}≥sqrt{ab}]를 증명하라.

중

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 부등식 [eqn: sqrt { ab } GEQ { 2ab } over { a+b }]를 증명하라.

36	|서술형|

상

실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 부등식 [eqn: (a ^{2} +c ^{2} )(b ^{2} +d ^{2} )GEQ(ab+cd) ^{2}]을 증명하라.

정답 및 풀이

Ⅳ. 집합과 명제

집합

01

1

평가 목표	집합의 개념을 이해한다.

풀이	① [eqn: x=2], [eqn: y=0]일 때, [eqn: 4x+5y = 8]이므로 [eqn: 8 in A]

② [eqn: x=1], [eqn: y=1]일 때, [eqn: 4x+5y= 9]이므로 [eqn: 9 in A]

③ [eqn: x=0], [eqn: y=2]일 때, [eqn: 4x+5y=10]이므로 [eqn: 10 in A]

④ [eqn: x], [eqn: y]가 둘 다 음이 아닌 정수로는 [eqn: 11]을 만들 수 없다. 따라서 [eqn: 11 notin A]이다.

⑤ [eqn: x=3], [eqn: y=0]일 때, [eqn: 4x+5y =12]이므로 [eqn: 12 in A]

정답	④

채점 기준표	배점 비율
[eqn: x], [eqn: y]에 정수의 값을 대입하여 집합 [eqn: A]의 원소가 아닌 값을 찾는다.	100%

2

평가 목표	집합의 개념을 이해한다.

풀이	방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -2x=0]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: x ^{3} +x ^{2} -2x = x(x^2 + x -2) = x(x-1)(x+2)]

따라서 주어진 방정식의 해는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=`-2]이다.

즉, 집합 [eqn: A]의 원소는 [eqn: -2,~0,~1]이므로 [보기] 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

정답	①

채점 기준표	배점 비율
주어진 방정식의 좌변을 인수분해하여 해를 구한다.	40%
집합 [eqn: A]의 원소를 구분하여 옳은 답을 구한다.	60%

3

평가 목표	주어진 조건의 집합을 구하고, 집합 사이의 포함 관계를 구할 수 있다.

풀이	ㄱ. [eqn: A=][eqn: left{1, ```3, ```5, ```7, ```9,` cdots right}],
[eqn: B=][eqn: left{1,```3, ```7, ```9 right}]에서 [eqn: B SUBSET A]이고 [eqn: A not SUBSET B]

ㄴ. [eqn: A=][eqn: left{8, ```16, ```24,` cdots right}],
[eqn: B=][eqn: left{4, ```8, ```12, ```16,` cdots right }]에서 [eqn: A SUBSET B]

ㄷ. [eqn: A=][eqn: left{1,``` 2,``` 3,``` 4right}],
[eqn: B=][eqn: left{1, ```2, ```3, ```4 right}]에서 [eqn: A=B]이므로 [eqn: A SUBSET B]

ㄹ. [eqn: A=][eqn: left{1,``` 2,``` 4,``` 8right}],
[eqn: B=][eqn: left{1, ```2, ```3, ```4, ```6, ```12 right}]에서 [eqn: A not SUBSET B]

정답	ㄴ, ㄷ

채점 기준표	배점 비율
집합 [eqn: A], [eqn: B]의 원소를 나열하여 각각 구한다.	40%
집합 [eqn: A], [eqn: B]의 포함 관계를 각각 나타낸다.	60%

4

평가 목표	집합 사이의 포함 관계를 이해한다.

풀이	집합 [eqn: X]는 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서 [eqn: 1, ```3, ```5]를 모두 원소로 갖는 집합이므로
[eqn: LEFT { 1,```3,```5 RIGHT } ,]

[eqn: LEFT { 1,```2,```3,```5 RIGHT } , LEFT { 1,```3,```4,```5 RIGHT } , LEFT { 1,```3,```5,```6 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 1,```2,```3, ```4,```5 RIGHT } , LEFT { 1,```2,```3,```5,```6 RIGHT } , LEFT { 1,```3,```4,```5,```6 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT }]

의 [eqn: 8]개이다.

정답	[eqn: 8]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: B SUBSET X SUBSET A]를 만족하는 집합 [eqn: X]의 조건을 찾는다.	50%
집합 [eqn: X]를 찾는다.	50%

5

평가 목표	서로 같은 집합을 이해한다.

풀이	[eqn: A=B]이므로 두 집합의 원소는 서로 같다.
따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=6]인 경우와 [eqn: a=6], [eqn: b=4]인 경우로 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: a=4], [eqn: b=6]인 경우
[eqn: {a} over {2} =2], [eqn: 2b-1=11]이므로 [eqn: A != B]이다.

(ⅱ) [eqn: a=6], [eqn: b=4]인 경우
[eqn: {a} over {2} =3], [eqn: 2b-1=7]이므로 [eqn: A=B]이다.

따라서 [eqn: A=B]일 때 [eqn: a=6], [eqn: b=4]이다.

정답	[eqn: a=6], [eqn: b=4]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: A=B]를 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 찾는다.	100%

6

평가 목표	서로 같은 집합을 이해한다.

풀이	[eqn: A⊂B]이고 [eqn: B⊂A]이면 [eqn: A = B]이므로 두 집합의 원소는 서로 같다.

이때 [eqn: a^2 ≠ a^2 - 3]이므로

[eqn: a - 1 = a^2 - 3], [eqn: a^2 - a - 2 = 0]

[eqn: (a + 1)(a - 2) = 0]

즉, [eqn: a = `-1] 또는 [eqn: a = 2]이다.

(ⅰ) [eqn: a = 2]일 때
[eqn: A = left{1,~ 2,~ 4 right}], [eqn: B = left{1,~ 2,~ 4 right}]이므로
[eqn: A = B]

(ⅱ) [eqn: a = `-1]일 때
[eqn: A = left{-2,~ 1,~ 2 right}], [eqn: B = left{-2,~ 2,~ 4 right]이므로
[eqn: A ≠ B]

따라서 [eqn: A=B]일 때 상수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 2]이다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: A=B]를 만족시키는 [eqn: a]의 값을 찾는다.	100%

7

평가 목표	집합의 부분집합을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: left { a,``b right}], [eqn: left{ a,``c right}], [eqn: left{ a,``d right}],

[eqn: left{ b,``c right}], [eqn: left{ b,``d right}],

[eqn: left{ c,``d right}]
의 [eqn: 6]개다.

정답	[eqn: 6]

채점 기준표	배점 비율
원소가 [eqn: 2]개인 부분집합을 모두 구한다.	100%

8

평가 목표	진부분집합을 이해한다.

풀이	[eqn: B SUBSET A]이고 [eqn: B != A]이면 [eqn: B]는 [eqn: A]의 진부분집합이다.

∅, {[eqn: x]}, {[eqn: y]}, {[eqn: z]}, {[eqn: x,~y]}, {[eqn: y,~z]}, {[eqn: x,~z]}이므로 모두 [eqn: 7]개이다.

정답	[eqn: 7]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: B` SUBSET `A]이고 [eqn: B != A]인 집합을 이해한다.	40%
집합 [eqn: B]를 모두 구한다.	60%

9

평가 목표	집합의 원소의 개수를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: A= left{0,~1 right}], [eqn: B= left{1,~3,~5,~7,~9 right}],

[eqn: C= left{2,~3,~4,~5 right}]이므로

[eqn: n(A)=2], [eqn: n(B)=5], [eqn: n(C)=4]

따라서 [eqn: n`(A`)+n`(B`)+n`(C`)= 2+5+4=11]이다.

정답	[eqn: 11]

채점 기준표	배점 비율
집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 원소를 나타내고 집합의 원소의 개수를 구한다.	70%
[eqn: n`(A`)+n`(B`)+n`(C`)]의 값을 구한다.	30%

10

평가 목표	집합의 원소의 개수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: A= LEFT { 3,~6,~9,~12,~15,~18 RIGHT }]이므로 [eqn: n(A)=6]이다.

따라서 [eqn: n(A)+n(B)=11], [eqn: 6+n(B)=11]에서

[eqn: n(B)=5]이다.

[eqn: n(B)=5]를 만족시키는 집합 [eqn: B]는

[eqn: B= left{2, ~4,~6,~8,~10 right}]이므로 [eqn: n]의 값은 [eqn: 10,~11]이다.

정답	[eqn: 10,~11]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: n(A)=6]을 이용하여 [eqn: n(B)]의 값을 구한다.	50%
[eqn: n(B)]의 값을 이용하여 [eqn: n]의 값을 구한다.	50%

11

평가 목표	실생활 문제에서 합집합과 교집합의 원소의 개수를 구할 수 있다.

풀이	전체 학생의 집합을 [eqn: U], 축구공을 갖고 있는 학생의 집합을 [eqn: A], 농구공을 갖고 있는 학생의 집합을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: n(U)-n(A smallunion B)][eqn: = 40 - left{ (n(A)+n(B)-n(A smallinter B) right}]
[eqn: =40-(10+8-3)]
[eqn: =25]

따라서 [eqn: 25]명이다.

정답	[eqn: 25]

채점 기준표	배점 비율
주어진 조건을 집합 기호를 이용하여 나타낸다.	40%
집합 기호를 이용하여 축구공과 농구공 둘 다 갖고 있지 않은 학생 수를 구한다.	60%

12

평가 목표	실생활 문제에서 합집합과 교집합의 원소의 개수를 구할 수 있다.

풀이	전체 학생의 집합을 [eqn: U], 방과 후 수업 [eqn: rm A]를 신청한 학생의 집합을 [eqn: A], 방과 후 수업 [eqn: rm B]를 신청한 학생의 집합을 [eqn: B]라고 하면 방과 후 수업 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]를 모두 신청한 학생의 집합은 [eqn: A smallinter B]이다.

[eqn: n(A SMALLINTER B)]의 최솟값은

[eqn: n(A)+n(B)-n(A cap B) ≤ n(U``)], [eqn: 47+65-n(A∩B)≤100]

이므로 [eqn: n(A cap B) ≥ 12]

따라서 [eqn: b=12]이다.

[eqn: n(A cap B)]의 최댓값은 [eqn: n(A)=47]과 같다.

즉, [eqn: n(A cap B) ≤ 47]이므로 [eqn: a=47]이다.

따라서 [eqn: a-b=47-12=35]이다.

정답	[eqn: 35]

채점 기준표	배점 비율
주어진 조건을 집합 기호를 이용하여 나타낸다.	20%
[eqn: n(A SMALLINTER B)]의 최솟값을 구한다.	40%
[eqn: n(A SMALLINTER B)]의 최댓값을 구한다.	40%

13

평가 목표	벤다이어그램을 이해할 수 있다.

풀이	[eqn: A= LEFT { 1,~2,~4,~8 RIGHT }], [eqn: B ^C = LEFT { 2,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }]이므로

[eqn: A CUP B ^{C} = LEFT { 1,~2,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }]

정답	④

채점 기준표	배점 비율
벤다이어그램을 통해 [eqn: A]와 [eqn: B ^{C}]의 원소를 구한다.	60%
[eqn: A CUP B ^{C}]의 원소를 구한다.	40%

14

평가 목표	벤다이어그램을 통해 집합의 연산을 표현할 수 있다.

풀이

[eqn: A smallinter(B-A) = emptyset]이므로

두 집합 [eqn: A], [eqn: B-A]는 서로소이다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
집합 [eqn: A]와 집합 [eqn: B-A]를 벤다이어그램으로 나타낸다.	50%
집합 [eqn: A]와 집합 [eqn: B-A]의 교집합이 공집합임을 벤다이어그램을 통해 나타낸다.	50%

15

평가 목표	드모르간의 법칙을 이용하여 집합의 연산을 할 수 있다.

풀이	[eqn: A^{ C } cap B^{ C } =(A cup B)^{ C } ~]이고 [eqn: A cap B= ∅]이므로

[eqn: n(A cup B)][eqn: =n(A)+n(B)-n(A cap B)]
[eqn: =30+25-0=55]

[eqn: THEREFORE ```n(A^C `cap B^C``)][eqn: =n((A cup B)^ C``)]
[eqn: =n(U)-n(A cup B)]
[eqn: =60-55=5]

정답	[eqn: 5]

채점 기준표	배점 비율
드모르간의 법칙을 이용하여 집합의 연산을 바르게 한다.	100%

16

평가 목표	드모르간의 법칙을 이용하여 집합의 연산을 할 수 있다.

풀이	[eqn: {n left( A^C cap B^C `` right) = n left( left( A cup B) ^C`` right) = n(U) - n(A cup B)}]에서

[eqn: {8= 20- n(A cup B) }]

이므로 [eqn: { n(A cup B) = 12}]

따라서 [eqn: { n(A-B) = n(A cup B) - n(B) = 12- 4 =8}]이다.

정답	[eqn: 8]

채점 기준표	배점 비율
드모르간의 법칙을 이용하여 [eqn: n(A CUP B)]의 값을 구한다.	50%
[eqn: n(A-B)]의 값을 구한다.	50%

명 제

02

17

평가 목표	명제의 참, 거짓을 진리집합을 이용하여 판별할 수 있다.

풀이	주어진 명제의 가정을 [eqn: p], 결론을 [eqn: q]라 하고 각각의 진리집합을 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자.

⑴ ʻ[eqn: p: ~x^2 >0]ʼ, ʻ[eqn: q:~x>0]ʼ이므로
[eqn: P= left{x`|`x>0] 또는 [eqn: x<0][eqn: `right}],
[eqn: Q= left{ x`|`x>0 right}]

따라서 [eqn: Q SUBSET P]이므로 주어진 명제는 거짓이다.

⑵ ʻ[eqn: p:~x=-1]ʼ, ʻ[eqn: q:~x^2 +x=0]ʼ이므로
[eqn: P= left{-1 right}], [eqn: Q= left{-1,~0 right}]

따라서 [eqn: P subset Q]이므로 주어진 명제는 참이다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
가정과 조건의 진리집합을 구한다.	50%
진리집합의 포함 관계를 이용하여 참, 거짓을 판별한다.	50%

18

평가 목표	명제의 참, 거짓에 따른 진리집합의 포함 관계를 이해한다.

풀이	명제 [eqn: p~->~q]가 참이므로 [eqn: P subset Q]이다.

따라서 보기 중 항상 옳은 것은 [eqn: P cap Q = P]이다.

정답	②

채점 기준표	배점 비율
명제의 참, 거짓에 따른 진리집합의 포함 관계를 구한다.	50%
보기 중 항상 옳은 것을 찾는다.	50%

19

평가 목표	ʻ모든ʼ 을 포함한 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

풀이	조건 ʻ[eqn: p:~x^2 leq 0]ʼ의 진리집합을 [eqn: P]라고 하면 [eqn: P= left { 0 right}]이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 만족하지 않으므로 주어진 명제는 거짓이다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
명제의 진리집합을 이용하여 참, 거짓을 판별한다.	100%

20

평가 목표	ʻ모든 ʼ, ʻ어떤 ʼ 을 포함한 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

풀이	① 정수 [eqn: -1], [eqn: -2,```cdots]는 음수이므로 거짓이다.
② [eqn: {9}]는 홀수이지만 소수가 아니므로 거짓이다.
③ [eqn: {6}]은 [eqn: {3}]의 배수인 동시에 [eqn: {6}]의 배수이므로 참이다.
④ [eqn: {x=1}]이면 [eqn: {x ^{2} =x=1}]이므로 참이다.
⑤ [eqn: {x=-2}]이면 [eqn: {x<1}]이지만 [eqn: {x ^{2} >1}]이므로 거짓이다.

정답	③, ④

채점 기준표	배점 비율
ʻ모든ʼ과 ʻ어떤ʼ을 포함한 명제의 참, 거짓을 판별한다.	100%

21

평가 목표	명제의 역과 대우를 이해하고, 역과 대우의 참, 거짓을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

풀이	명제 [eqn: p`` -> ``q]가 참이므로 조건 [eqn: p]의 진리집합을 [eqn: P], 조건 [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: Q]라고 하면 [eqn: P subset Q]이다.

ㄱ. 명제 [eqn: q```` rarrow````p]가 참이면 [eqn: Q subset P]이다. 이는 반드시 성립하는 것은 아니므로 명제 [eqn: q```` rarrow````p]는 반드시 참인 것은 아니다.

ㄴ. 명제 [eqn: simp ```` rarrow simq]가 참이면 [eqn: P^C subset Q^C]이다. 이는 [eqn: Q subset P]와 같으므로 명제 [eqn: simp ```` rarrow simq]는 반드시 참인 것은 아니다.

ㄷ. 명제 [eqn: sim q ````rarrow ````sim p]가 참이면 [eqn: Q^ C subset P^C]이다. 이는 [eqn: P subset Q]와 같으므로 명제 [eqn: sim q ````rarrow ````sim p]는 참이다.

정답	ㄷ

채점 기준표	배점 비율
진리집합을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별한다.	100%

22

평가 목표	명제의 역과 대우의 참, 거짓을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

풀이	[eqn: p`` -> ``～q]의 역은 [eqn: ～q`` -> ``p]이다. 이 명제가 참이므로 [eqn: ～q`` -> ``p]의 대우인 [eqn: ～p` -> `q]는 반드시 참이다.

정답	③

채점 기준표	배점 비율
명제의 대우의 참, 거짓을 이용하여 참인 명제를 찾는다.	100%

23

평가 목표	명제의 역과 대우의 참, 거짓을 이용하여 미지수를 구할 수 있다.

풀이	명제 [eqn: q`` -> ``p]의 대우 [eqn: ～ p ``->`～ q]가 참이 되려면 [eqn: P^C subset Q^C], 즉 [eqn: {Q SUBSET P}]이어야 한다.

[eqn: {Q SUBSET P}]이면 [eqn: LEFT { x``□``-2 le x le -2a+1 RIGHT }][eqn: subset LEFT { x``□``a<x le 7 RIGHT }]이므로 [eqn: {a<`-2`,```-2a+1 le 7}]이어야 한다.
따라서 [eqn: {-3 leq a<`-2}]이므로 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: {-3}]이다.

정답	[eqn: -3]

채점 기준표	배점 비율
명제의 대우가 참이 되도록 하는 진리집합의 포함 관계를 찾는다.	60%
주어진 조건에 맞는 정수 [eqn: a]를 찾는다.	40%

24

평가 목표	명제의 역과 대우의 참, 거짓을 이용하여 미지수를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: |`x-n`|`≤`1,`` -1`≤`x-n`≤`1]이므로 [eqn: n-1`≤`x`≤`n+1]

명제 [eqn: p~→``q]의 역 [eqn: q``->`p]가 참이 되려면

[eqn: left{`x`|`-1`≤`x`<`5` right}`⊃` left{`x`|`n-1`≤`x`≤`n+1` right}]이어야 한다.

즉, [eqn: n-1`≥`-1]이고 [eqn: n+1`<`5]이어야 하므로 [eqn: 0`≤`n`<`4]

따라서 주어진 조건을 만족하는 정수 [eqn: n]은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 4]개이다.

정답	[eqn: 4]

채점 기준표	배점 비율
명제의 역이 참이 되도록 하는 진리집합의 포함 관계를 찾는다.	60%
주어진 조건에 맞는 정수 [eqn: n]을 찾는다.	40%

25

평가 목표	충분조건과 필요조건을 구별할 수 있다.

풀이	두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자.

⑴ [eqn: P=Q]이므로 필요충분조건이다.

⑵ [eqn: Q subset P]이므로 필요조건이다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
진리집합의 포함 관계를 이용하여 충분조건과 필요조건을 구별한다.	100%

26

평가 목표	충분조건과 필요조건을 구별할 수 있다.

풀이	ㄱ. [eqn: x=0,```y=1]이면 [eqn: x^{2} = xy = 0]이지만 [eqn: x!= y]이다.
따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

ㄴ. [eqn: x= sqrt{2},```y= `- sqrt{2}]이면 [eqn: xy=`-2]로 유리수이지만 [eqn: x,` `y]는 무리수이다.
따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다.

ㄷ. [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건이다.

정답	ㄱ

채점 기준표	배점 비율
충분조건과 필요조건을 구별한다.	100%

27

평가 목표	충분조건이 되도록 하는 미지수의 범위를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: p]: [eqn: 2x-3 LEQ 1]에서 [eqn: 2x LEQ 4]이므로 [eqn: x leq2]

두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라고 할 때 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이면 [eqn: P`⊂`Q]이므로 그림과 같아야 한다.

따라서 [eqn: a>2]이다.

정답	[eqn: a>2]

채점 기준표	배점 비율
조건을 만족하는 진리집합의 포함 관계를 구한다.	60%
진리집합의 포함 관계를 이용하여 [eqn: a]의 값의 범위를 구한다.	40%

28

평가 목표	조건이 충분조건 또는 필요조건이 되도록 하는 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로
[eqn: P`⊂`Q]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건이므로
[eqn: P`⊂`R]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

즉, 방정식 [eqn: x^2 -ax+2=0], [eqn: x^2 +3x+b=0]은 [eqn: x=1]을 근으로 갖는다.

㉠으로부터 [eqn: 1-a+2=0],
㉡으로부터 [eqn: 1+3+b=0]이므로
[eqn: a=3], [eqn: b=`-4]이다.

정답	[eqn: a=3], [eqn: b=`-4]

채점 기준표	배점 비율
조건을 만족하는 진리집합의 포함 관계를 구한다.	30%
진리집합의 포함 관계를 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구한다.	70%

29

평가 목표	진리집합을 이용하여 충분조건과 필요조건을 구별할 수 있다.

풀이	주어진 그림에서 [eqn: P subset Q^C]이므로 [eqn: p]는 [eqn: sim q]이기 위한 충분조건이다.

정답	충분조건

채점 기준표	배점 비율
주어진 그림에서 진리집합의 포함 관계를 구한다.	60%
진리집합의 포함 관계를 통해 충분조건과 필요조건을 구별한다.	40%

30

평가 목표	충분조건과 필요조건에서 진리집합의 포함 관계를 알 수 있다.

풀이	[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이므로
[eqn: P`⊃`Q]

[eqn: ～q]는 [eqn: ～r]이기 위한 충분조건이므로
[eqn: Q^C`⊂` R^C]

따라서 [eqn: Q`⊂`P,~R`⊂`Q]이므로 [eqn: R⊂Q⊂P]이다.

정답	[eqn: R⊂Q⊂P]

채점 기준표	배점 비율
충분조건과 필요조건을 통해 진리집합의 포함 관계를 구한다.	70%
세 집합의 포함 관계를 구한다.	30%

31

평가 목표	대우를 이용하여 명제를 증명할 수 있다.

풀이	주어진 명제의 대우는 ʻ[eqn: x]와 [eqn: y]가 모두 짝수이면 [eqn: x+y]가 짝수이다.ʼ이다.

[eqn: x=2m], [eqn: y= 2n] ([eqn: m], [eqn: n]은 자연수)으로 놓으면

[eqn: x+y=2m+2n=2(m+n)]

즉, [eqn: x+y]는 짝수이다.

따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
주어진 명제의 대우를 구한 후 증명한다.	100%

32

평가 목표	대우를 이용하여 명제를 증명할 수 있다.

풀이	[eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수가 아니라고 가정하면 [eqn: n]은 [eqn: 3k + 1] 또는 [eqn: 3k + 2][eqn: (k=0,~1,~2,~ CDOTS )]중의 하나이다.

(ⅰ) [eqn: n = 3k + 1]일 때, [eqn: n^2 = (3k + 1)^2 = 3(3k^2 + 2k) +1]

(ⅱ) [eqn: n = 3k + 2]일 때,
[eqn: n^2 = (3k + 2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) +1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수가 아니면 [eqn: n^2]은 [eqn: 3]의 배수가 아니다.

따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
주어진 명제의 대우를 구한 후 증명한다.	100%

33

평가 목표	귀류법을 이용하여 명제를 증명할 수 있다.

풀이	[eqn: sqrt {5}]가  라고 가정하면

유리수

[eqn: sqrt {5} = {n} over {m}] ([eqn: m!=0]이고 [eqn: m,```n]은 서로소인 정수)인 [eqn: m,```n]이 존재한다.

[eqn: sqrt {5} = {n} over {m}]의 양변을 제곱하면 [eqn: 5= box{```n^2 over m^2 ```}]

[eqn: THEREFORE ```n ^{2} =5m ^{2}]	…… ㉠

따라서 [eqn: n ^{2}]이 [eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: n]도  이다.
(∵ [eqn: n]은 정수)

[eqn: 5]의 배수

[eqn: n=5k] ([eqn: k]는 정수)로 놓고 ㉠에 대입하면

[eqn: LEFT ( 5k RIGHT ) ^{2} =5m ^{2}]  [eqn: THEREFORE ```m ^{2} `=5k ^{2}]

[eqn: m ^{2}]이 [eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: m]도 [eqn: 5]의 배수이다. (∵ [eqn: m]은 정수)

따라서 [eqn: m,```n]이  라는 가정에 모순이므로 [eqn: sqrt {5}]는 유리수가 아니다.

서로소

정답	유리수, [eqn: n^2 over m^2], [eqn: 5]의 배수, 서로소

채점 기준표	배점 비율
귀류법을 이용하여 명제를 증명한다.	100%

34

평가 목표	귀류법을 이용하여 명제를 증명할 수 있다.

풀이	[eqn: a]와 [eqn: b]가 모두 짝수라고 가정하면

[eqn: a=2k,``b=2l``]([eqn: k,```l]은 자연수)

로 나타낼 수 있다. 그러면 [eqn: 2]는 [eqn: a]와 [eqn: b]의 공약수이다.

따라서 [eqn: a]와 [eqn: b]가 서로소라는 가정에 모순이므로 [eqn: a], [eqn: b]가 서로소라도 [eqn: a], [eqn: b]가 모두 짝수인 것은 아니다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
귀류법을 이용하여 명제를 증명한다.	100%

35

평가 목표	절대부등식을 증명할 수 있다.

풀이	[eqn: sqrt {ab} - {2ab} over {a+b}][eqn: = {sqrt {ab} (a+b)-2ab} over {a+b}]
[eqn: = {sqrt {ab} (a+b)-2( sqrt {ab} ) ^{2}} over {a+b}]
[eqn: = {sqrt {ab} (a-2 sqrt {ab} +b)} over {a+b}]
[eqn: = {sqrt {ab} ( sqrt {a} - sqrt {b} ) ^{2}} over {a+b} GEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sqrt {ab} GEQ {2ab} over {a+b}]

이때 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
절대부등식을 증명한다.	100%

36

평가 목표	절대부등식을 증명할 수 있다.

풀이	[eqn: (a ^{2} +c ^{2} )(b ^{2} +d ^{2} )]
[eqn: =a ^{2} b ^{2} +a ^{2} d ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} d ^{2}]
[eqn: =a^2 b^2 +2abcd + c^2 d^2 +a^2 d^2 -2abcd +b^2 c^2]
[eqn: =( ab+cd)^2 +(ad-bc)^2]	…… ㉠

[eqn: a,`b,`c,`d]는 실수이므로

[eqn: (ad-bc) ^{2} GEQ0]

따라서 ㉠에서

[eqn: (a ^{2} +c ^{2} )(b ^{2} +d ^{2} )][eqn: =(ab+cd) ^{2} +(ad-bc) ^{2}]

[eqn: & GEQ(ab+cd) ^{2}]

[eqn: THEREFORE ```(a ^{2} +c ^{2} )(b ^{2} +d ^{2} )GEQ(ab+cd) ^{2}]

이때 등호는 [eqn: ad-bc=0], 즉 [eqn: ad=bc]일 때 성립한다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
절대부등식을 증명한다.	100%