1	|단답형|

01

평면좌표

성취 기준    [10수학 02-01] 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

교과서 113쪽 문제 2

교과서 대표 문항  |단답형|

하

좌표평면 위의 다음 두 점 사이의 거리를 구하라.

⑴ [eqn: rm A(2,```1)], [eqn: rm B(4,```4)]	⑵ [eqn: rm A(-1,```2)], [eqn: rm B(3,```5)]

⑶ [eqn: rm A(-5,```4)], [eqn: rm B(7,```-1)]	⑷ [eqn: rm O(0,```0)], [eqn: rm A(-2,```4)]

하

Ⅲ. 도형의 방정식

성취 ․ 평가 기준별 문항 자료

좌표평면 위의 다음 두 점 사이의 거리를 구하라.

⑴ [eqn: rmA(1,~-3),```B(6,~9)]

⑵ [eqn: rmC(ita,~b),~rmD(itb,~a)]

2	|단답형|

하

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(3,~3)], [eqn: {rm B(}a,~1)] 사이의 거리가 [eqn: 2]일 때, [eqn: a]의 값을 구하라.

3	|단답형|

01

평면좌표

성취 기준    [10수학 02-01] 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구할 수 있다.

교과서 123쪽 중단원 학습 점검 06

교과서 대표 문항  |단답형|

중

두 점 [eqn: rm A(-1```,```-1)], [eqn: rm B(1,```3)]에서 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점의 좌표를 구하라.

중

두 점 [eqn: rm A(-3,~2),````B(4,~5)]로부터 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하라.

4	|단답형|

중

좌표평면 위의 한 점 [eqn: (1,~2)]에서 [eqn: 2root2]만큼 떨어진 [eqn: x]축 위의 두 점을 [eqn: rm P,~Q]라고 할 때, 선분 [eqn: rm PQ]의 길이를 구하라.

01

평면좌표

성취 기준    [10수학 02-01] 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

평가 기준

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 도형이나 실생활 문제를 해결할 수 있다.

교과서 113쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

중

세 점 [eqn: rm A(0,```-3)], [eqn: rm B(5,```2)], [eqn: rm C(-2, ```1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]는 어떤 삼각형인지 말하라.

5	|단답형|

중

세 점 [eqn: rmA(2,~6),~B(4,~3),~C(7,~5)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인지 말하라.

6	단답형

Ⅲ. 도형의 방정식

상

중

서로 수직으로 만나는 두 직선 도로에서 자동차 [eqn: rmA]는 [eqn: rmP] 지점을 출발하여 초속 [eqn: 20`rmm]로 서쪽으로 달리고 이와 동시에 자동차 [eqn: rmB]는 [eqn: rmQ] 지점을 출발하여 초속 [eqn: rm10``rmm]로 남쪽으로 달린다. 이때 두 자동차 [eqn: rmA]와 [eqn: rm][eqn: rmB] 사이의 직선거리가 최소로 되는 것은 두 자동차가 출발한 지 몇 초 후인지 구하라.

7	|단답형|

01

평면좌표

성취 기준    [10수학 02-02] 선분의 내분과 외분을 이해하고, 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

좌표평면 위의 내분점과 외분점의 좌표를 구하고 문제를 해결할 수 있다.

교과서 122쪽 중단원 학습 점검 05

교과서 대표 문항  |단답형|

하

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(-1,```4)], [eqn: rm B(2,```1)]을 이은 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2```:`1]로 내분하는 점 [eqn: rm P]와 [eqn: 2```:`3]으로 외분하는 점 [eqn: rm Q]에 대하여 선분 [eqn: rm PQ]의 길이를 구하라.

하

두 점 [eqn: rmA(-1,~3),```B(4,~-2)]를 이은 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점과 외분하는 점을 각각 [eqn: rm P,~Q]라고 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 중점 [eqn: rmM`]의 좌표를 구하라.

8	|단답형|

중

두 점 [eqn: rmA(-2,``0),~B(0,~8)]을 이은 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:k]로 내분하는 점이 직선 [eqn: y=`-x+3] 위에 있을 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하라.

9	|단답형|

01

평면좌표

성취 기준    [10수학 02-02] 선분의 내분과 외분을 이해하고, 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

좌표평면 위의 삼각형의 무게중심의 좌표를 구할 수 있다.

교과서 121쪽 문제 6

교과서 대표 문항  |단답형|

하

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A(4,```1)], [eqn: rm B it(a,```b)], [eqn: rm C(2, ```-1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심이 [eqn: rm G(1,```2)]이다. 선분 [eqn: rm BG]의 길이를 구하라.

하

세 점 [eqn: rmA(1,~2),~B(-2,~5),````C(5,~-3)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 구하라.

10	|단답형|

중

세 점 [eqn: {\A} left ( -4,~3 right ) ,~{\B} left ( a,`-a right ) ,~{\C} left ( 3,~4 right )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: {rmG} LEFT ( b,~c RIGHT )]가 [eqn: y]축 위에 있을 때,

[eqn: a+b+c]의 값을 구하라.

11	|선다형|

02

직선의 방정식

성취 기준    [10수학 02-03] 직선의 방정식을 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

한 점을 지나고 기울기가 주어진 직선의 방정식 또는 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

교과서 136쪽 중단원 학습 점검 04

교과서 대표 문항  |단답형|

중

두 점 [eqn: rm A(3,```0)], [eqn: rm B(1,```-2)]를 지나는 직선 위의 점 [eqn: (a,```-a+1)]이 존재할 때, [eqn: a]의 값을 구하라.

하

점 [eqn: (3,~-1)]을 지나고, [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]인 직선이 점 [eqn: (a,~ sqrt { 3 }-1)]을 지날 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

12	|단답형|

하

두 직선 [eqn: 2x-y-1=0,```x-2y+4=0]의 교점과 원점을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

13	|선다형|

02

직선의 방정식

성취 기준    [10수학 02-03] 직선의 방정식을 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

직선의 방정식을 이용하여 도형의 넓이에 대한 문제를 해결할 수 있다.

교과서 137쪽 중단원 학습 점검 08

교과서 대표 문항  |단답형|

상

다음 그림과 같이 합동인 두 직사각형의 한 꼭짓점이 [eqn: rm A(3,```1)]일 때, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]를 지나는 직선의 방정식을 구하라.

상

오른쪽 그림과 같은 두 직사각형의 넓이를 각각 이등분하는 직선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 3 over 5]

③ 1	④ [eqn: - 1over5]

⑤ [eqn: - 3over 5]

14	|단답형|

상

직선 [eqn: x overa + y overb =1]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축과의 교점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이는 [eqn: 2]이다. 이때 [eqn: rm {bar{OP}} times {bar{OQ}}]의 값을 구하라. (단, [eqn: rmO]는 원점, [eqn: a,~b]는 양수이다.)

15	|단답형|

02

직선의 방정식

성취 기준    [10수학 02-04] 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

두 직선이 평행, 수직인 조건을 만족하는 미지수의 값을 구할 수 있다.

교과서 137쪽 중단원 학습 점검 06

교과서 대표 문항  |단답형|

중

두 직선

[eqn: kx+(k-1)y-2=0], [eqn: (k-1)x+(k+2)y-3=0]

이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 모두 구하라.

하

다음 두 직선이 서로 평행하도록 상수 [eqn: k`]의 값을 정하라.

[eqn: y=kx+2,~y=(4-k)x+2k]

16	|단답형|

중

두 직선 [eqn: kx-y+3=0,~(k-2)x+3y-1=0]의 위치 관계가 다음과 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하라.

⑴ 평행하다.	⑵ 수직이다.

17	|선다형|

02

직선의 방정식

성취 기준    [10수학 02-04] 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

주어진 상황에 맞게 직선의 평행 조건이나 수직 조건을 이용한다.

교과서 167쪽 대단원 학습 점검 09

교과서 대표 문항  |단답형|

상

세 직선 [eqn: x+3y=0], [eqn: -x+my=1], [eqn: mx+2y=`-1]이 삼각형을 이루지 않도록 하는 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합을 구하라.

상

중

두 직선 [eqn: ax+(1-a)y+2=0], [eqn: 3x +(a-5)y-6=0]의 교점이 없을 때 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]

③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]

⑤ [eqn: 5]

18	|단답형|

상

세 직선 [eqn: x+2y=6], [eqn: 4x-3y=12], [eqn: ax+y=1]의 교점을 이은 삼각형이 직각삼각형이 될 때, 상수 [eqn: a]의 값을 모두 구하라.

19	|단답형|

02

직선의 방정식

성취 기준    [10수학 02-05] 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

교과서 166쪽 대단원 학습 점검 03

교과서 대표 문항  |선다형|

하

점 [eqn: rm A it(-a,```a)]와 직선 [eqn: 4x+3y-4=0] 사이의 거리가 [eqn: 1]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

하

점 [eqn: (5,~4)]에서 직선 [eqn: 3x+4y-12=0]까지의 거리를 구하라.

20	|단답형|

중

점 [eqn: (4,```-2)]로부터 거리가 [eqn: 1]이고, 직선 [eqn: 3x+4y-1=0]과 평행한 직선의 방정식을 모두 구하라.

21	|단답형|

02

직선의 방정식

성취 기준    [10수학 02-05] 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

점과 직선 사이의 거리를 이용하여 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

교과서 137쪽 중단원 학습 점검 07

교과서 대표 문항  |단답형|

중

서로 평행한 두 직선 [eqn: 3x+4y-6=0], [eqn: 3x+4y+4=0] 사이의 거리를 구하라.

중

평행한 두 직선 [eqn: x+y-3=0,~x+y+5=0] 사이의 거리를 구하라.

22	|단답형|

중

평행한 두 직선 [eqn: x-y+1=0`,`] [eqn: -x+y-a=0`] 사이의 거리가 [eqn: 2 sqrt2]가 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하라.

23	|단답형|

02

직선의 방정식

성취 기준    [10수학 02-05] 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

주어진 조건을 이해하고 점과 직선 사이의 거리를 이용할 수 있다.

교과서 137쪽 중단원 학습 점검 09

교과서 대표 문항  |단답형|

상

직선 [eqn: (2k-1)x+(k-1)y+(2k-1)=0]은 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 일정한 점 [eqn: rm A it(a,```b)]를 지난다고 할 때, 점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: x+sqrt{3}y-1=0] 사이의 거리를 구하라.

상

직선 [eqn: (k +2) x -(k+3)y -k=0]은 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 점 [eqn: rmP]를 지난다고 할 때, 점 [eqn: rm P]와 직선 [eqn: 3x-4y+1=0] 사이의 거리를 구하라.

24	|서술형|

상

원점에서 직선 [eqn: x-y-3+k(x+2y)=0]까지의 거리를 [eqn: f(k)]라고 하자. [eqn: f(k)]의 값이 최대가 되도록 [eqn: k]의 값을 정하고, 그때의 최댓값을 구하라.

25	|단답형|

03

원의 방정식

성취 기준    [10수학 02-06] 원의 방정식을 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

원의 방정식을 이해한다.

교과서 142쪽 문제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 원의 방정식을 구하라.

⑴ 중심이 점 [eqn: (2,```1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원

⑵ 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원

하

다음 원의 방정식을 구하라.

(1) 원점이 중심이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원

(2) 점 [eqn: (2,~-1)]이 중심이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원

26	|단답형|

중

하

중심이 직선 [eqn: y=x+1] 위에 있고 두 점 [eqn: rmA(1,~6),~B(-3,~2)]를 지나는 원의 방정식을 구하라.

27	|선다형|

03

원의 방정식

성취 기준    [10수학 02-06] 원의 방정식을 구할 수 있다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

이차방정식이 원으로 나타나는 것을 이해하고, 문제를 해결할 수 있다.

교과서 143쪽 문제 5

교과서 대표 문항  |단답형|

중

이차방정식 [eqn: x^2 +y^2 -2x+y+k=0]이 나타내는 도형이 원이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하라.

중

실수 [eqn: x,~y]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +y^2 +6x -10y +k =0]이 원을 나타내도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위는?

① [eqn: k<34]	② [eqn: k>34]

③ [eqn: k<24]	④ [eqn: k>24]

⑤ [eqn: k<14]

28	|단답형|

중

두 원 [eqn: x^2 + y ^2 -2y=0,] [eqn: x^2 + y ^2 -8x -10y+ 37=0]의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 구하라.

29	|단답형|

03

원의 방정식

성취 기준    [10수학 02-07] 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

원과 직선의 위치 관계를 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

교과서 145쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

중

원 [eqn: x^2 +y^2 =4]와 직선 [eqn: y=x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하라.

중

원 [eqn: x^2 + y ^2 = 4]와 직선 [eqn: x+ y +k=0]이 접할 때, [eqn: k]의 값을 구하라.

30	|단답형|

중

원 [eqn: x^2 + y ^2 - 6x -8y +21=0] 위의 점에서 직선 [eqn: x+y+1=0]에 이르는 거리의 최댓값과 최솟값의 합을 구하라.

31	|단답형|

03

원의 방정식

성취 기준    [10수학 02-07] 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

주어진 조건을 이용하여 원의 접선의 방정식을 구할 수 있다.

교과서 148쪽 문제 5

교과서 대표 문항  |단답형|

중

원 [eqn: x^2 +y^2 =5] 밖의 한 점 [eqn: (-3,```1)]에서 이 원에 그은 두 접선과 원의 교점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라고 하자. 이때 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 지나는 직선의 방정식을 구하라.

중

원 [eqn: x^2 + y^2 =1] 밖의 한 점 [eqn: rm P(2,~1)]에서 이 원에 그은 두 접선과의 접점을 각각 [eqn: rmA,~B]라고 하자. 이때 직선 [eqn: rmAB]의 방정식을 구하라.

32	|단답형|

상

중

점 [eqn: rmA(0,~ita)]에서 원 [eqn: x^2 +( y-2) ^2 =9]에 그은 두 접선이 수직이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하라.

33	|단답형|

03

원의 방정식

성취 기준    [10수학 02-07] 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

원의 접선의 방정식을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있다.

교과서 151쪽 중단원 학습 점검 09

교과서 대표 문항  |단답형|

상

다음 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(2,```-1)], [eqn: rm B(3,```1)]과 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: rm P it(x,```y)]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이가 최댓값을 가질 때, 점 [eqn: rm P]의 좌표를 구하라.

상

오른쪽 그림과 같이
원 [eqn: (x+1) ^2 + (y-1) ^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP]와 두 점 [eqn: rm {A(0,~-2)}], [eqn: rm B(4,~0)]으로 이루어지는 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이의 최솟값을 구하라.

34	|선다형|

상

좌표평면에서 원 [eqn: x^2 + y ^2 =1] 위의 임의의 점 [eqn: (a,~b)]에 대하여 직선 [eqn: ax+by=1]이 지나지 않는 부분의 넓이는?

① [eqn: pi over 4]	② [eqn: pi over 2]

③ [eqn: pi]	④ [eqn: 2 pi]

⑤ [eqn: 4 pi]

35	|단답형|

04

도형의 이동

성취 기준    [10수학 02-08] 평행이동의 의미를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

점의 평행이동의 의미를 이해한다.

교과서 162쪽 중단원 학습 점검 02

교과서 대표 문항  |단답형|

하

점 [eqn: (2,```-4)]를 점 [eqn: (-1,```2)]로 옮기는 평행이동에 의하여 점 [eqn: (-3,```3)]이 옮겨지는 점의 좌표를 구하라.

하

점 [eqn: (-2,~1)]을 점 [eqn: (-4,~0)]으로 옮기는 평행이동에 의하여 점 [eqn: (3,~2)]가 옮겨지는 점의 좌표를 구하라.

36	|단답형|

하

점 [eqn: (-1,~4)]가 점 [eqn: (2,~2)]로 옮겨질 때, 이 평행이동에 의하여 원점으로 옮겨지는 점의 좌표를 구하라.

37	|단답형|

04

도형의 이동

성취 기준    [10수학 02-08] 평행이동의 의미를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

도형의 평행이동의 의미를 이해한다.

교과서 162쪽 중단원 학습 점검 05

교과서 대표 문항  |단답형|

중

직선 [eqn: y=2x+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동했더니 원 [eqn: x^2 +y^2 =5]에 접했다. 이때 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하라.

중

하

직선 [eqn: y=ax+b]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하여 직선 [eqn: y= 3x-9]와 겹쳐졌을 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하라.

38	|단답형|

중

이차함수 [eqn: y= x^2 +4x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하면 직선 [eqn: y=2x]와 서로 다른 두 점 [eqn: rmP,~Q]에서 만난다. 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 원점에 대하여 대칭이었다고 할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하라.

39	|단답형|

04

도형의 이동

성취 기준    [10수학 02-09] 원점, [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=x]에 대한 대칭이동의 의미를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

점의 대칭이동의 의미를 이해한다.

교과서 166쪽 대단원 학습 점검 05

교과서 대표 문항  |선다형|

중

점 [eqn: rm P(3,```1)]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm Q]라고 하자. 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]에서 직선 [eqn: 2x-y-2=0]까지의 거리를 [eqn: p], [eqn: q]라고 할 때, [eqn: {q}over{p}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

중

하

점 [eqn: rm A LEFT ( 5,~2 RIGHT )]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm P], 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm Q]라고 할 때, 직선 [eqn: rm PQ]의 방정식을 구하라.

40	|선다형|

중

하

점 [eqn: (2,~3)]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 점의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]

③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]

⑤ [eqn: 2]

41	|단답형|

04

도형의 이동

성취 기준    [10수학 02-09] 원점, [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=x]에 대한 대칭이동의 의미를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

좌표평면 위의 길이의 합의 최솟값을 점의 대칭이동을 이용하여 구할 수 있다.

교과서 167쪽 대단원 학습 점검 06

교과서 대표 문항  |선다형|

중

좌표평면 위에 [eqn: x]축 위의 한 점 [eqn: rm P]가 있다. 점 [eqn: rm P]에서 점 [eqn: rm A(2,```1)]과 점 [eqn: rm B(5,```3)]에 이르는 거리의 합 [eqn: bar{rm AP}+ bar{rm BP}]의 값이 최소일 때, 삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이는?

① [eqn: {3}over{2}]	② [eqn: {7}over{4}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {9}over{4}]	⑤ [eqn: {5}over{2}]

중

두 점 [eqn: rmA(-3,```1),~B(2,```5)]와 직선 [eqn: y=x] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{BP}]의 최솟값을 구하라.

42	|단답형|

상

[eqn: x]축, [eqn: y]축 위의 두 점 [eqn: rm A( it a,~0),~ rm B(0,~itb)]와 점 [eqn: rmC(3,~4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이의 최솟값을 구하라.

43	|단답형|

04

도형의 이동

성취 기준    [10수학 02-09] 원점, [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=x]에 대한 대칭이동의 의미를 이해한다.

Ⅲ. 도형의 방정식

평가 기준

도형의 대칭이동의 의미를 이해한다.

교과서 163쪽 중단원 학습 점검 07

교과서 대표 문항  |단답형|

중

직선 [eqn: y=3x-1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 후, 원점에 대하여 대칭이동한 직선이 점 [eqn: (-1,```3)]을 지난다. 이때 상수 [eqn: k]의 값을 구하라.

중

직선 [eqn: 2x+ 3y =4]를 원점에 대하여 대칭이동하고, 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식이 [eqn: ax+by=4]일 때, [eqn: a-b]의 값을 구하라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

44	|단답형|

중

원 [eqn: (x-2) ^2 + ( y+1) ^2 =9]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원의 중심이 직선 [eqn: y=2x+k] 위에 있을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하라.

정답 및 풀이

Ⅲ. 도형의 방정식

평면좌표

01

1

평가 목표	좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

풀이	⑴ [eqn: rm {bar{AB}} it = sqrt {(6-1) ^{2} + LEFT { 9-(-3) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = sqrt {25+144} =13]

⑵ [eqn: {rm bar CD} = sqrt{(b-a)^2 + (a-b)^2 } = sqrt{2(a-b)^2}]

[eqn: = sqrt2` |``a-b``|]

정답	⑴ [eqn: 13]  ⑵ [eqn: sqrt2 `|`a-b`|]

채점 기준표	배점 비율
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구한다.	100%

2

평가 목표	좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: {rm bar AB}][eqn: = sqrt {(a-3)^2 + (1-3)^2 }]
[eqn: =sqrt {(a-3)^2 + 4} = sqrt {a^2 -6a+13}=2]

이므로 [eqn: ` sqrt {a ^{2} -6a+13} `=2]의 양변을 제곱하여 계산하면

[eqn: a ^{2} -6a+13=4]

[eqn: a ^{2} -6a+9=0]

[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} =0]

따라서 [eqn: a=3]이다.

정답	[eqn: 3]

채점 기준표	배점 비율
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 식을 구한다.	50%
식을 계산하여 [eqn: a]의 값을 구한다.	50%

3

평가 목표	좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 구하는 점의 좌표를 구할 수 있다.

풀이	점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~0)]으로 놓으면

[eqn: rm bar AP = bar BP]에서

[eqn: sqrt { (x+3)^2 +(-2)^2}= sqrt { (x-4)^2 +(-5)^2 }]

양변을 제곱하여 계산하면

[eqn: x^2 + 6x+13 = x^2 -8x+41], [eqn: 14x=28]

따라서 [eqn: x=2]이므로 구하는 점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: (2,~0)]이다.

정답	[eqn: (2,~0)]

채점 기준표	배점 비율
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 식을 구한다.	60%
식을 계산하여 점 [eqn: rm P]의 좌표를 구한다.	40%

4

평가 목표	좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 어떤 점까지의 거리가 같은 두 점을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: x]축 위의 한 점의 좌표를 [eqn: (a,```0)]이라고 하면 이 점에서 [eqn: (1,~2)]까지의 거리가 [eqn: 2 sqrt {2}]이므로

[eqn: sqrt {(a-1) ^{2} +(0-2) ^{2}} =2 sqrt {2}]

양변을 제곱하면

[eqn: (a-1) ^{2} +(-2) ^{2} =8]

[eqn: a^2 - 2a -3=0], [eqn: (a-3)(a+1) =0]

따라서 [eqn: a= 3] 또는 [eqn: a=`-1]이므로 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 좌표는 [eqn: rm P(3,~0)], [eqn: rm Q(-1,~0)] 또는 [eqn: rm P(-1,~0)], [eqn: rm Q(3,~0)]

즉, [eqn: rm bar PQ = 4]이다.

정답	[eqn: 4]

채점 기준표	배점 비율
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 식을 구한다.	60%
식을 계산하여 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 좌표를 구하고 두 점 사이의 거리를 구한다.	40%

5

평가 목표	좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: rm bar AB = sqrt { (4-2)^2 +(3-6) ^2 }= sqrt { 13}]

[eqn: rm barBC = sqrt { (7-4)^2 + ( 5-3)^2}= sqrt { 13}]

[eqn: rm barAC = sqrt { (7-2)^2 +(5-6)^2 }= sqrt { 26}]

이므로 [eqn: rm{barAB }^2 + {barBC}^2 = {barAC }^2]

또 [eqn: rm bar AB = bar BC]이므로 삼각형 [eqn: rm ABC]는 [eqn: rm angleB =90 DEG]인 직각이등변삼각형이다.

정답	[eqn: rm angleB =90 DEG]인 직각이등변삼각형

채점 기준표	배점 비율
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 삼각형의 각 변의 길이를 구한다.	40%
각 변의 길이를 이용하여 삼각형 [eqn: rm ABC]가 어떤 삼각형인지 구한다.	60%

6

평가 목표	좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: rm O] 지점을 원점으로 하고 [eqn: rmP(600,~0),~Q(0,~400)]으로 놓는다. 출발한 지 [eqn: t]초 후의 두 자동차 [eqn: rmA,~B]의 위치는 각각

[eqn: rmA(600-20it t,~0),~rmB(0,~400-10it t)]

이고, [eqn: rm {barAB}^2]이 최소일 때 [eqn: rm barAB]도 최소이므로

[eqn: rm {barAB } ^2 &=(600-20it t) ^2 + (400-10t)^2]
[eqn: =100(60-2t)^2 + 100(40-t)^2]
[eqn: =100( 5t^2 -320t +5200)]
[eqn: =500(t^2 -64t +1040)]
[eqn: = 500 left{ (t-32) ^2 +16 right}]

따라서 두 자동차 사이의 거리는 자동차가 출발한 지 [eqn: 32]초 후 최소가 된다.

정답	[eqn: 32]초

채점 기준표	배점 비율
자동차 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B] 사이의 거리를 시간에 대한 식으로 나타낸다.	70%
[eqn: {rm barAB} ^2]이 최솟값을 갖는 시간을 구한다.	30%

7

평가 목표	좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점, 중점의 좌표를 구할 수 있다.

풀이	두 점 [eqn: rm A(-1,```3)], [eqn: rm B(4,```-2)]에 대하여 [eqn: rm bar AB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는

[eqn: rmP left( {2 times 4 + 3 times (-1)} over 2+3 ,~{2 times (-2) + 3 times 3 } over 2+3 right)]

즉, [eqn: rmP(1,~1)]

[eqn: rmbar AB]를 [eqn: 2:3]으로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표는

[eqn: rm Q left( { 2 times 4 - 3 times (-1) } over 2-3 ,~ { 2 times (-2)-3 times 3 } over 2-3 right)]

즉, [eqn: rm Q(-11,~13)]

따라서 [eqn: rm bar PQ]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는

[eqn: rm M left( { 1+(-11) } over 2 ,~ {1+13 } over 2 right)]

즉, [eqn: rm M(-5,~7)]

이다.

정답	[eqn: rm M(-5,~7)]

채점 기준표	배점 비율
점 [eqn: rm P]의 좌표를 구한다.	30%
점 [eqn: rm Q]의 좌표를 구한다.	30%
선분 [eqn: rm PQ]의 중점의 좌표를 구한다.	40%

8

평가 목표	좌표평면 위의 선분의 내분점이 주어진 직선 위의 점임을 이용하여 미지수를 구할 수 있다.

풀이	두 점 [eqn: rmA(-2,``0),~B(0,~8)]을 이은 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:k]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2 times 0+k times (-2)} over {2+k} ,~ {2 times 8+k times 0} over {2+k} RIGHT )]
즉, [eqn: LEFT ( {-2k} over {2+k} ,~ {16} over {2+k} RIGHT )]

이 점이 직선 [eqn: y= `-x+3] 위에 있으므로

[eqn: {16} over {2+k} =`- {-2k} over {2+k} +3], [eqn: -2k+16=3k+6]

따라서 [eqn: k=2]이다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
선분 [eqn: rm AB]를 내분하는 점의 좌표를 [eqn: k]에 대한 식으로 나타낸다.	40%
내분점이 주어진 직선 위의 점임을 이용하여 방정식에 대입하여 [eqn: k]의 값을 구한다.	60%

9

평가 목표	좌표평면 위의 삼각형의 무게중심의 좌표를 구할 수 있다.

풀이	삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심 [eqn: rm G]는

[eqn: rm G it LEFT ( {1+(-2)+5} over {3} ,~ {2+5+(-3)} over {3} RIGHT )=0]
즉, [eqn: rmG`` LEFT ( {4} over {3} ,~ {4} over {3} RIGHT )]

정답	[eqn: LEFT ( 4over3 ,~ {4} over {3} RIGHT )]

채점 기준표	배점 비율
좌표평면 위의 삼각형의 무게중심의 좌표를 구한다.	100%

10

평가 목표	좌표평면 위의 삼각형의 무게중심의 좌표를 구할 수 있다.

풀이	세 점 [eqn: {\A} left ( -4,~3 right ) ,~{\B} left ( a,`-a right ) ,~{\C} left ( 3,~4 right )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표 [eqn: {rmG} LEFT ( b,~c RIGHT )]를 구하면

[eqn: b= {-4+a+3} over {3} = {a-1} over {3}],
[eqn: c= {3-a+4} over {3} = {-a+7} over {3}]

이때 점 [eqn: {rmG} LEFT ( b,~c RIGHT )]는 [eqn: y]축 위의 점이므로 [eqn: b=0]

따라서 [eqn: {a-1} over {3} =0]에서 [eqn: a=1]이다.

[eqn: a=1]일 때 [eqn: c= {-1+7} over {3} =2]

[eqn: a=1], [eqn: b=0], [eqn: c=2]이므로

[eqn: a+b+c=3]이다.

정답	[eqn: 3]

채점 기준표	배점 비율
무게중심의 좌표를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타낸다.	40%
무게중심이 [eqn: y]축 위의 점임을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구한다.	60%

직선의 방정식

02

11

평가 목표	한 점을 지나고 기울기가 주어진 직선의 방정식이 지나는 다른 점을 찾을 수 있다.

풀이	직선의 기울기는 [eqn: rm tan``60 DEG = sqrt { 3}]이고, 점 [eqn: (3,```-1)]을 지나므로 구하는 직선의 방정식은
[eqn: y-(-1) = sqrt { 3}(x-3)]

∴ [eqn: y= sqrt { 3}x - 3 sqrt { 3}-1]

이 직선이 점 [eqn: (a,~ sqrt { 3}-1)]을 지나므로

[eqn: sqrt { 3}-1 = sqrt { 3}a -3 sqrt { 3}-1][eqn: sqrt { 3}a = 4 sqrt { 3}]

따라서 [eqn: a=4]이다.

정답	④

채점 기준표	배점 비율
직선이 지나는 한 점과 기울기를 이용하여 직선의 방정식을 구한다.	50%
직선이 지나는 점을 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.	50%

12

평가 목표	일차방정식이 나타내는 직선을 이해하고, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

풀이	두 일차방정식 [eqn: 2x-y-1=0], [eqn: x-2y+4=0]을 연립하여 풀면 [eqn: x=2], [eqn: y=3]이므로 두 직선

[eqn: 2x-y-1=0], [eqn: x-2y+4=0]의 교점은 [eqn: (2,~3)]이다.

원점과 점 [eqn: (2,~3)]을 지나는 직선의 방정식을 구하면

[eqn: y= 3over 2 x]이다.

정답	[eqn: y= 3over 2 x]

채점 기준표	배점 비율
두 일차방정식을 연립하여 두 직선의 교점을 구한다.	50%
두 직선의 교점과 원점을 지나는 직선의 방정식을 구한다.	50%

13

평가 목표	직선이 지나는 두 점을 찾고, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

풀이	직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 직사각형의 두 대각선의 교점을 지나는 직선이다. 따라서 구하는 직선은 두 직사각형 각각의 두 대각선의 교점을 지나는 직선이다.

두 직사각형의 대각선의 교점의 좌표를 구하면

[eqn: LEFT ( {-2+0} over {2} ,``` {-2+0} over {2} RIGHT )], [eqn: left({2+6}over{2},```{1+3}over{2} right)]

즉, [eqn: (-1,```-1)], [eqn: (4,```2)]

따라서 구하는 방정식은

[eqn: y-(-1)= 2-(-1) over 4-(-1) times left{x-(-1) right}], [eqn: y= 3over5 x - 2over 5]

이다.

따라서 [eqn: a= 3over 5], [eqn: b= - 2over 5]이므로

[eqn: a-b = 3over5 - left ( - 2over 5 right) = 1]이다.

정답	③

채점 기준표	배점 비율
직사각형의 두 대각선의 교점을 지날 때 넓이가 이등분됨을 알고 교점을 구한다.	40%
두 직사각형의 대각선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하고 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구한다.	60%

14

평가 목표	직선의 방정식을 이용하여 도형의 넓이에 대한 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: a,```b]가 양수이고 직선
[eqn: x over a + y over b =1]의 [eqn: x]절편은 [eqn: a], [eqn: y]절편은 [eqn: b]이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이를 [eqn: S]라고 하면

[eqn: S= 1 over 2 ab =2]

[eqn: THEREFORE`` ab= 4]

이때 [eqn: {rm bar OP}=a], [eqn: {rm bar OQ} =b]이므로 [eqn: rm {bar{OP}}times {bar{OQ}} =4]이다.

정답	[eqn: 4]

채점 기준표	배점 비율
주어진 직선의 [eqn: x]절편이 [eqn: a], [eqn: y]절편이 [eqn: b]임을 구한다.	40%
주어진 삼각형의 넓이를 이용하여 [eqn: rmbarOP times barOQ]의 값을 구한다.	60%

15

평가 목표	두 직선이 평행하도록 하는 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	두 직선이 서로 평행하려면 두 직선의 기울기가 서로 같아야 한다.

따라서 [eqn: k=4-k]이므로

[eqn: 2k=4]
∴ [eqn: k=2]

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
두 직선이 서로 평행한 조건을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.	100%

16

평가 목표	두 직선이 평행, 수직하도록 하는 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: y=kx+3], [eqn: y= `- {k-2}over 3 x + 1over3]으로 정리한다.

⑴ 두 직선이 서로 평행하면 기울기가 같으므로
[eqn: k= `- {k-2} over 3], 즉 [eqn: k= 1over 2]이다.

⑵ 두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱이 [eqn: –1]이므로
[eqn: - {k(k-2)}over 3 = `-1], [eqn: k ^{2} -2k-3=0]
즉, [eqn: k=`-1] 또는 [eqn: k= 3]이다.

정답	⑴ [eqn: 1over2]  ⑵ [eqn: -1], [eqn: 3]

채점 기준표	배점 비율
두 직선이 서로 평행하는 조건을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.	50%
두 직선이 서로 수직인 조건을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.	50%

17

평가 목표	주어진 상황에 맞게 직선의 평행 조건을 이용한다.

풀이	두 직선은 교점이 없으므로 두 직선은 서로 평행하다.
[eqn: ax+(1-a)y+2=0], [eqn: 3x+(a-5)y-6=0]에서

[eqn: y={a}over{a-1}x+{2}over{a-1}], [eqn: y={-3}over{a-5}x+{6}over{a-5}]
두 직선의 기울기는 각각 [eqn: a over a-1], [eqn: -3 over a-5]이므로

[eqn: a over a-1 = -3 over a-5]에서
[eqn: a^2 -2a -3=0], [eqn: (a+1)(a-3)=0]

따라서 [eqn: a=`-1] 또는 [eqn: a=3]이다.

(ⅰ) [eqn: a=`-1]일 때 두 직선은 일치하므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a=3]일 때 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a=3]이다.

정답	④

채점 기준표	배점 비율
교점이 없는 경우의 직선의 위치 관계를 찾아 이를 만족하는 [eqn: a]의 값을 구한다.	60%
두 직선이 일치하는 경우를 제외하고 주어진 조건을 만족하는 [eqn: a]의 값을 구한다.	40%

18

평가 목표	주어진 상황에 맞게 직선의 수직 조건을 이용한다.

풀이	세 직선은 [eqn: y={1}over{2}x+3], [eqn: y={4}over{3}x-4], [eqn: y=-ax+1]이고 세 직선의 기울기는 각각 [eqn: { - 1 over 2}], [eqn: {4 over 3}] , [eqn: {-a}]이므로 두 가지 경우로 나누어 생각한다.

(ⅰ) 직선 [eqn: x+2y=6]과 [eqn: ax+y=1]이 서로 수직인 경우
[eqn: LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) times (-a)=`-1]이므로 [eqn: a=`-2]이다.

(ⅱ) 직선 [eqn: 4x-3y=12]와 [eqn: ax+y=1]이 서로 수직인 경우
[eqn: {4 over 3 times(-a)=`-1}]이므로 [eqn: a = 3 over 4]이다.

따라서 [eqn: a]의 값은 [eqn: -2], [eqn: 3 over 4]이다.

정답	[eqn: -2], [eqn: 3 over 4]

채점 기준표	배점 비율
세 직선의 기울기를 구하고 서로 수직인 경우를 나눈다.	60%
서로 수직인 경우의 [eqn: a]의 값을 구한다.	40%

19

평가 목표	점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

풀이	점 [eqn: (5,~4)]에서 직선 [eqn: 3x+4y-12=0]까지의 거리는

[eqn: {|``3 times 5 + 4 times 4 -12``|} over sqrt{3^2 +4^2} = 19 over 5]

이다.

정답	[eqn: 19 over 5]

채점 기준표	배점 비율
점과 직선 사이의 거리를 구한다.	100%

20

평가 목표	점과 직선 사이의 거리를 이용하여 조건을 만족하는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: y= `- 3 over 4 x + 1 over 4]이므로 구하는 직선의 기울기는 [eqn: - 3 over 4]이다.

구하는 직선의 방정식을
[eqn: y= `- 3 over 4 x +b], 즉 [eqn: 3x+4y-4b=0]으로 놓으면 직선에서 점 [eqn: (4,```-2)]에서 직선까지의 거리가 [eqn: 1]이므로

[eqn: {|``3times4 +4 times(-2)-4b``|} over root{3^2 +4^2} =1]

[eqn: |``-4b+4``|=5,````-4b+4= +-5]이므로

[eqn: -4b=`-9] 또는 [eqn: -4b=1]이다.

[eqn: b={9}over{4}] 또는 [eqn: b={1}over{4}]을 [eqn: 3x+4y-4b=0]에 대입하여 구하면 [eqn: 3x+4y-9=0] 또는 [eqn: 3x+4y+1=0]이다.

정답	[eqn: 3x+4y-9=0], [eqn: 3x+4y+1=0]

채점 기준표	배점 비율
구하는 직선의 기울기를 구하고 이를 이용하여 미지수를 포함한 식을 세운다.	50%
미지수를 포함한 직선의 방정식과 주어진 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 방정식을 구한다.	50%

21

평가 목표	점과 직선 사이의 거리를 이용하여 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

풀이	직선 [eqn: x+y-3=0] 위의 임의의 점을 잡아 직선

[eqn: x+y+5=0]까지의 거리를 구한다.

직선 [eqn: x+y-3=0] 위의 점 [eqn: (1,~2)]에서
직선 [eqn: x+y+5=0]까지의 거리를 구하면

[eqn: {|``1+2+5``|} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {8} over {sqrt {2}} =4 sqrt {2}]

이다.

정답	[eqn: 4 sqrt2]

채점 기준표	배점 비율
한 직선 위의 임의의 점을 잡는다.	30%
임의의 점과 다른 직선 사이의 거리를 구한다.	70%

22

평가 목표	두 직선 사이의 거리를 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	직선 [eqn: {-x+y-a=0`}] 위의 임의의 점 [eqn: (0,~a)]와 직선 [eqn: {x-y+1=0`}] 사이의 거리는

[eqn: {{|``-a+1``|}over{sqrt{1^2 +(-1)^2}} =2sqrt2`}]
[eqn: |`-a+1`|=4]
[eqn: -a+1 = +-4]

따라서 [eqn: a=5] 또는 [eqn: a=`-3]이므로 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 2]이다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
두 직선 사이의 거리를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타낸다.	70%
[eqn: a]의 값을 구하고 합을 구한다.	30%

23

평가 목표	주어진 조건을 이해하고 점과 직선 사이의 거리를 이용할 수 있다.

풀이	주어진 직선의 식을 [eqn: k]에 대하여 정리하면

[eqn: (2x -3y) +k(x-y-1)=0]

[eqn: 2x-3y=0,~x-y-1=0]을 연립하여 풀면
[eqn: x=3,~y=2]

따라서 점 [eqn: rm P(3,~2)]와 직선 [eqn: 3x-4y+1=0] 사이의 거리는

[eqn: {|``3times3 - 4 times2 +1``| } over {sqrt{3^2 + 4^2}} = 2 over 5]

이다.

정답	[eqn: 2 over 5]

채점 기준표	배점 비율
점 [eqn: rm P]의 좌표를 구한다.	50%
점 [eqn: rm P]와 주어진 직선 사이의 거리를 구한다.	50%

24

평가 목표	주어진 조건을 이해하고 점과 직선 사이의 거리를 이용할 수 있다.

풀이	직선 [eqn: x-y-3+k(x+2y) =0]을 정리하면

[eqn: (1+k) x+(2k-1)y-3=0]

원점에서 이 직선까지의 거리가 [eqn: f(k)]이므로

[eqn: f(k) = {|`-3` `| } over sqrt { (1+k)^2 +(2k-1)^2 } = 3 over sqrt { 5k^2 -2k+2}]

이때
[eqn: 5k^2 -2k+2=5 left( k- 1 over 5 right) ^2 + 9 over 5 ge 9 over 5]
이므로 [eqn: f(k)]의 값은

[eqn: f(k) le 3 over sqrt { 9over5} = sqrt { 5}]

따라서 [eqn: k= 1 over 5]일 때 [eqn: f(k)]의 최댓값은 [eqn: sqrt {5}]이다.

정답	[eqn: k][eqn: = 1 over 5], 최댓값: [eqn: sqrt {5}]

채점 기준표	배점 비율
원점과 직선 사이의 거리를 [eqn: k]에 대한 식으로 나타낸다.	50%
[eqn: f(k)]의 최댓값을 구한다.	50%

25

평가 목표	원의 방정식을 이해한다.

풀이	⑴ 원점이 중심이고 반지름의 길이가 1인 원의 방정식은 [eqn: x^2 + y^2 = 1]이다.

⑵ 점 [eqn: (2,~-1)]이 중심이고 반지름의 길이가 3인 원의 방정식은 [eqn: (x-2)^2 + (y+1)^2 =9]이다.

정답	⑴ [eqn: x^2 + y^2 = 1]  ⑵ [eqn: (x-2)^2 + (y+1)^2 =9]

채점 기준표	배점 비율
중심과 반지름을 이용하여 원의 방정식을 구한다.	100%

26

평가 목표	조건을 만족하는 원의 방정식을 구할 수 있다.

풀이	원의 중심이 직선 [eqn: y=x+1] 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a,~a+1)]로 놓고 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 하면 원의 방정식은

[eqn: (x-a) ^2 +(y-a-1) ^2 = r^2]	…… ㉠

㉠은 두 점 [eqn: rm(1,~6),~(-3,~2)]를 지나므로 각각 ㉠에 대입하면

[eqn: (1-a) ^2 +(6-a-1) ^2 = r^2]

[eqn: (-3-a) ^2 +(2-a-1) ^2 = r^2]

간단히 정리하면

[eqn: 2a^2 -12 a + 26= r^2]
[eqn: 2a^2 + 4a +10 = r^2]

두 식을 연립하여 풀면
[eqn: a=1,~r=4]

[eqn: a=1,~r=4]를 ㉠에 대입하면

[eqn: (x-1) ^2 + (y-2) ^2 =16]

정답	[eqn: (x-1) ^2 + (y-2) ^2 =16]

채점 기준표	배점 비율
주어진 조건을 이용하여 미지수를 포함한 원의 방정식을 세운다.	40%
원이 지나는 점을 이용하여 원의 방정식을 구한다.	60%

27

평가 목표	이차방정식이 나타내는 원을 이해하고, 주어진 조건을 만족하는 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: x^2 + y^ 2 + 6x -10 y +k =0]을 정리하면

[eqn: (x+3) ^2 +(y-5)^2 = 34 -k]

위의 방정식이 원을 나타내어야 하므로

(반지름의 길이)[eqn: >0]

[eqn: r^2 = 34 - k]이고 [eqn: r>0]이므로
[eqn: r = sqrt { 34-k}]

따라서 [eqn: 34 -k >0], 즉 [eqn: k< 34]이다.

정답	①

채점 기준표	배점 비율
주어진 이차방정식을 원의 방정식의 표준형으로 변형한다.	50%
반지름의 조건을 이용하여 [eqn: k]의 값의 범위를 구한다.	50%

28

평가 목표	이차방정식이 나타내는 원을 이해하고, 주어진 조건을 만족하는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

풀이	원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지난다.
이때 두 원의 방정식을 정리하면

[eqn: x^2 + (y-1)^2 = 1], [eqn: (x-4)^2 + (y-5)^2 =4]

이므로 두 원의 중심은 각각 [eqn: (0,~1),~( 4,~5)]이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은

[eqn: y-1= 5-1 over 4-0 (x-0)]

이므로 [eqn: y=x+1]이다.

정답	[eqn: y=x+1]

채점 기준표	배점 비율
주어진 이차방정식을 원의 방정식의 표준형으로 변형한다.	30%
두 원의 중심을 지나는 직선의 방정식을 구한다.	70%

29

평가 목표	원과 접하는 직선의 성질을 알고, 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	직선이 원에 접하려면 원의 중심 [eqn: (0,~0)]에서 직선 [eqn: x+y+k=0]까지의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야 하므로

[eqn: {|``0+0+k`` |} over sqrt { 1^2 + 1^2 } =2`]

이어야 한다. 이를 정리하면 [eqn: |``k`` |=2 sqrt { 2}]이므로

[eqn: k= +- 2 sqrt { 2}]

이다.

정답	[eqn: k= +- 2 sqrt { 2}]

채점 기준표	배점 비율
직선이 원에 접하는 조건을 찾는다.	40%
직선과 원의 중심과의 거리를 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.	60%

30

평가 목표	원과 직선의 위치 관계에 따른 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	주어진 원의 방정식을 정리하면

[eqn: (x-3) ^2 +(y-4) ^2 = 4]

오른쪽 그림에서 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 [eqn: rmbarBH], 최솟값은 [eqn: rmBARAH]이다.

[eqn: rm barAH + barBH]

[eqn: rm = ( barCH - barCA ) + ( barCH +barBC )]

[eqn: rm= (barCH - barCA )+(barCH + barCA )]

[eqn: = 2rm bar CH]

따라서 원의 중심 [eqn: (3,```4)]와 직선 [eqn: x+y+1=0] 사이의 거리의 [eqn: 2]배와 같으므로

[eqn: 2 times { |``3+4+1`` |} over sqrt { 1^2 + 1^2} = 8 sqrt { 2}]

이다.

정답	[eqn: 8 sqrt2]

채점 기준표	배점 비율
원 위의 점에서 직선까지의 거리가 최댓값과 최솟값을 가지는 경우를 찾는다.	40%
원의 중심과 직선 사이의 거리를 구하고, 구하고자 하는 값을 구한다.	60%

31

평가 목표	원 밖의 점에서 그은 접선의 방정식에 관한 문제를 해결할 수 있다.

풀이	접점의 좌표를 [eqn: (a,```b)]라고 하면 접선의 방정식은
[eqn: ax+by=1]

이때 접선의 방정식이 점 [eqn: rmP(2,~1)]을 지나므로

[eqn: 2a+b=1]	…… ㉠

또 점 [eqn: (a,```b)]는 원 위의 점이므로

[eqn: a^2 +b^2 =1]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 두 접점의 좌표는

[eqn: {rm A}(0, ~1)], [eqn: {rm B} left( 4 over 5 ,~ - 3over5 right)] 또는 [eqn: {rm A} left( 4 over 5 ,~ - 3over5 right)], [eqn: {rm B}(0, ~1)]
이므로 두 점 [eqn: rmA,~B]를 지나는 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y =`-2x+1]이다.

정답	[eqn: y =`-2x+1]

채점 기준표	배점 비율
두 접점의 좌표를 잡고 접선의 방정식을 세운다.	20%
두 접선의 방정식이 지나는 점을 이용하여 두 접점의 좌표를 구한다.	50%
두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구한다.	30%

32

평가 목표	원 밖의 점에서 그은 접선의 방정식에 관한 문제를 해결할 수 있다.

풀이	접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+a]이다. 원의 중심 [eqn: (0,~2)]에서 직선 [eqn: mx-y+a=0]에 이르는 거리가 원 [eqn: x^2 +(y-2)^2 =9]의 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: {|``-2+a` `|} over sqrt { m^2 +1 } =3,~9m^2 -(a^2 -4a-5) =0]

이 방정식의 두 근을 [eqn: m_1 ,~m_2]라고 하면 두 접선이 서로 수직이어야 하므로 [eqn: m_1 m_2 =` - 1 over 9 ( a^2 - 4a -5) =`-1]

`	[eqn: a^2 - 4a -14 =0]

`따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 4]이다.

정답	[eqn: 4]

채점 기준표	배점 비율
점과 직선 사이의 거리를 이용하여 접선의 기울기 [eqn: m]에 대한 식을 구한다.	50%
방정식을 풀어 두 접선이 서로 수직이 되도록 하는 [eqn: a]의 값의 합을 구한다.	50%

33

평가 목표	원의 접선의 방정식을 이용하여 삼각형의 넓이 문제를 해결할 수 있다.

풀이	두 점 [eqn: rm A(0,```-2)], [eqn: rm B(-4,```0)]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y+2= {0-(-2)} over {4-0} times x], 즉 [eqn: x-2y-4=0]이다.
이때 선분 [eqn: rmAB]를 밑변으로 하는 삼각형의 넓이가 최소가 되려면 삼각형의 높이, 즉 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmAB]까지의 거리가 최소이어야 한다.

원의 중심 [eqn: (-1,~1)]과 직선 [eqn: x-2y -4=0] 사이의 거리는 [eqn: {|``-1-2-4`` |} over sqrt { 1^2 + (-2) ^2 } = 7 over sqrt { 5}]
이므로 넓이가 최소일 때의 삼각형의 높이는 [eqn: 7 over sqrt { 5} -1]이고 삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times sqrt { 2^2 + 4^2 } times left( 7 over sqrt { 5} -1 right) =7- sqrt { 5}]

정답	[eqn: 7- sqrt5]

채점 기준표	배점 비율
두 점 [eqn: rmA,~B]를 지나는 직선의 방정식을 구한다.	40%
점과 직선 사이의 거리를 이용하여 삼각형의 넓이의 최솟값을 구한다.	60%

34

평가 목표	원의 접선의 방정식을 구하고, 주어진 조건을 만족하는 상황을 찾을 수 있다.

풀이	원 [eqn: x^2 + y ^2 =1] 위의 점 [eqn: (a,~b)]에서의 접선의 방정식이

[eqn: ax+by=1]이다.

따라서 원 위의 어떤 점에서의 접선이 지나지 않는 부분은 원의 내부뿐이다. 즉, 구하는 부분의 넓이는
원 [eqn: x^2 + y ^2 =1]의 넓이인 [eqn: pi]이다.

정답	③

채점 기준표	배점 비율
원의 접선의 방정식 [eqn: ax+by=1]이 의미하는 바를 알고, 직선이 지나지 않는 영역을 찾는다.	70%
직선이 지나지 않는 영역인 원의 넓이를 구한다.	30%

35

평가 목표	점의 평행이동의 의미를 이해한다.

풀이	점 [eqn: (-2,~1)]을 점 [eqn: (-4,~0)]으로 옮기는 평행이동은 [eqn: x]축으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축으로 [eqn: -1]만큼 옮기는 평행이동이다.

따라서 점 [eqn: (3,` ``2)]는 점 [eqn: (1,~1)]로 옮겨진다.

정답	[eqn: (1,~1)]

채점 기준표	배점 비율
점이 어떻게 평행이동 되었는지 찾고, 올바르게 평행이동한다.	100%

36

평가 목표	점의 평행이동의 의미를 이해한다.

풀이	점 [eqn: (-1,~4)]를 점 [eqn: (2,~2)]로 옮기는 평행이동은 [eqn: x]축으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축으로 [eqn: -2]만큼 옮기는 평행이동이다.

이 평행이동에 의하여 원점 [eqn: (0,~0)]으로 옮겨지는 점을 [eqn: (a,~b)]라고 하면 [eqn: a+3=0], [eqn: b-2=0]이다.

따라서 [eqn: a=`-3], [eqn: b=2]이므로 점의 좌표는 [eqn: (-3,~2)]이다.

정답	[eqn: (-3,~2)]

채점 기준표	배점 비율
점이 어떻게 평행이동 되었는지 찾고, 올바르게 평행이동한다.	100%

37

평가 목표	도형의 평행이동의 의미를 이해한다.

풀이	직선 [eqn: y=ax+b]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면
[eqn: y-2=a(x-3)+b]

∴ [eqn: y=ax-3a+b+2]

이 직선이 [eqn: y= 3x-9]와 일치하므로

[eqn: a=3]

[eqn: -3a+b+2=`-9], [eqn: b=`-2]

이다.

정답	[eqn: a=3], [eqn: b=`-2]

채점 기준표	배점 비율
문제에서 주어진 만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구한다.	40%
일치하는 직선을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구한다.	60%

38

평가 목표	도형의 평행이동의 의미를 이해한다.

풀이	이차함수 [eqn: y= x^2 +4x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하면
[eqn: y=(x-a) ^2 + 4(x-a)]

이 이차함수와 직선 [eqn: y=2x]가 서로 두 점에서 만나므로 두 식을 연립하면

[eqn: (x-a) ^2 + 4(x-a)=2x]

[eqn: x^2 -(2a-2) x+a^2 -4a =0]

이때 두 점 [eqn: rmP,~Q]는 원점에 대하여 대칭이므로 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표의 값의 합은 [eqn: 0]이다.

따라서 [eqn: 2a-2=0]에서 [eqn: a=1]이다.

정답	[eqn: 1]

채점 기준표	배점 비율
평행이동한 이차함수의 방정식을 구하고 직선 [eqn: y=2x]와 만날 때의 식을 구한다.	50%
구한 이차방정식의 두 근이 두 점 [eqn: rm P,~Q]의 [eqn: x]좌표인 것을 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.	50%

39

평가 목표	점의 대칭이동의 의미를 이해한다.

풀이	점 A[eqn: LEFT ( 5,~2 RIGHT )]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌표는 P[eqn: LEFT ( 2,~5 RIGHT )]

점 A[eqn: LEFT ( 5,~2 RIGHT )]를 원점에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌표는 Q[eqn: LEFT ( -5,~-2 RIGHT )]

따라서 두 점 P[eqn: LEFT ( 2,~5 RIGHT )], Q[eqn: LEFT ( -5,~-2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-5= {-2-5} over {-5-2} LEFT ( x-2 RIGHT )]

즉, [eqn: y=x+3]이다.

정답	[eqn: y=x+3]

채점 기준표	배점 비율
점 [eqn: rm P]와 점 [eqn: rm Q]의 좌표를 구한다.	50%
직선 [eqn: rm PQ]의 방정식을 구한다.	50%

40

평가 목표	점의 대칭이동의 의미를 이해한다.

풀이	점 [eqn: {(2,~3)}]을 [eqn: {x}]축에 대하여 대칭이동하면 [eqn: {(2,~-3)}]이고 이 점을 [eqn: {x}]축의 방향으로 [eqn: {3}]만큼, [eqn: {y}]축의 방향으로 [eqn: {-2}]만큼 평행이동하면 [eqn: {(2+3,~-3-2)}]이므로 [eqn: {(5,~-5)}]

따라서 [eqn: a=5], [eqn: b=`-5]이므로 [eqn: a+b=0]이다.

정답	③

채점 기준표	배점 비율
주어진 점을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 구한다.	40%
주어진 점을 평행이동한 점을 구한다.	40%
[eqn: a+b]의 값을 구한다.	20%

41

평가 목표	점의 대칭이동을 이용하여 선분의 길이의 최솟값을 구할 수 있다.

풀이	점 [eqn: rmB(2,~5)]의 직선 [eqn: y=x]에 대한 대칭점을 [eqn: rm B']이라고 하면

[eqn: rm B prime (5,~2)]이다.

이때 [eqn: rmbar{PB} `= bar{PB'}]이므로

[eqn: rm bar{AP} `+ bar{BP``} = bar{AP} `+ bar{PB prime } `]

[eqn: rmgeq bar{AB prime }]

[eqn: rm A(-3,```1)], [eqn: rm B prime (5,```2)]이므로 [eqn: rm bar{AP} + bar{BP}]의 최솟값은

[eqn: rm bar{AB prime } = sqrt {(5+3) ^{2} +(2-1) ^{2}} = sqrt {65}]

정답	[eqn: sqrt 65]

채점 기준표	배점 비율
점 [eqn: rm B]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구한다.	40%
구하고자 하는 길이의 합을 점 [eqn: rm B]를 대칭이동한 점을 이용한 식으로 나타내어 계산한다.	60%

42

평가 목표	점의 대칭이동을 이용하여 도형의 길이의 최솟값을 구할 수 있다.

풀이	점 [eqn: rmC(3,~4)]를 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rm C prime (3,~-4),]

[eqn: rmC prime prime (-3,~4)]라고 하면

[eqn: rmbarAC =bar{AC prime} ,~barBC = bar{BC primeprime}]

이므로

[eqn: rmbarAB +barAC +barBC =barAB +bar{AC prime }+ bar{BC primeprime } ge bar{C prime C prime prime }]

[eqn: rm C′(3,```-4)], [eqn: rm C″(-3,```4)]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이의 최솟값은
[eqn: rm bar{ C prime C primeprime} = sqrt { (3+3)^2 +(-4-4) ^2 }=10]

정답	[eqn: 10]

채점 기준표	배점 비율
점 [eqn: rmC(3,~4)]를 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구한다.	30%
삼각형의 둘레의 길이를 점 [eqn: rm C]를 대칭이동한 점을 이용한 식으로 나타낸다.	50%
삼각형의 둘레의 길이의 최솟값을 구한다.	20%

43

평가 목표	도형의 대칭이동의 의미를 이해한다.

풀이	직선 [eqn: 2x+ 3y =4]를 원점에 대하여 대칭이동하면

[eqn: -2x -3y =4]

직선 [eqn: -2x-3y =4]를 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면 [eqn: -3x-2y=4]

따라서 [eqn: a=`-3], [eqn: b=`-2]이므로 [eqn: a-b=`-1]이다.

정답	[eqn: -1]

채점 기준표	배점 비율
주어진 직선을 원점에 대하여 대칭이동한다.	40%
직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한다.	40%
[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하고 [eqn: a-b]의 값을 구한다.	20%

44

평가 목표	도형의 대칭이동의 의미를 이해한다.

풀이	원 [eqn: (x-2) ^2 + ( y+1) ^2 =9]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면 [eqn: (y-2) ^2 + (x+1) ^ 2 = 9]

따라서 대칭이동한 원의 방정식은

[eqn: (x+1) ^2 + ( y -2) ^ 2 =9]

이 원의 중심은 [eqn: (-1,~2)]이고, 이 점이 직선 [eqn: y=2x+k] 위에 있으므로 [eqn: 2=`-2+k]

즉, [eqn: k=4]이다.

정답	[eqn: 4]

채점 기준표	배점 비율
주어진 원을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한다.	50%
원의 중심이 직선 [eqn: y=2x+k] 위에 있는 조건을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.	50%