1	|단답형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-05] 복소수의 뜻과 성질을 이해하고 사칙연산을 할 수 있다.

평가 기준

복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 미지수를 구할 수 있다.

교과서 51쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

등식 [eqn: (2x+1)+4i=5+(x+2y)i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하라.

하

Ⅱ. 방정식과 부등식

성취 ․ 평가 기준별 문항 자료

등식 [eqn: x LEFT ( 1+2i RIGHT ) +y LEFT ( i-1 RIGHT ) =3]을 만족시키는 두 실수 [eqn: x,~y]의 값을 각각 구하라.

2	|단답형|

Ⅱ. 방정식과 부등식

중

하

등식 [eqn: bar{ (3+2i)x+ (5-i) y } = 5- 12 i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x,~y]의 값을 각각 구하라.

3	|선다형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-05] 복소수의 뜻과 성질을 이해하고 사칙연산을 할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

복소수의 사칙연산을 할 수 있다.

교과서 64쪽 중단원 학습 점검 02

교과서 대표 문항  |단답형|

중

등식 [eqn: {a}over{1+i}-{b}over{1-i}=2-i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하라.

중

등식 [eqn: {a} over {2+i} + {b} over {2-i} =6-2i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+3b]의 값은? (단, [eqn: i=root-1])

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]

③ [eqn: 25]	④ [eqn: 30]

⑤ [eqn: 35]

4	|단답형|

중

등식 [eqn: -4+3i overa+bi = 2+i `]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a, ``b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하라.

5	|선다형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-05] 복소수의 뜻과 성질을 이해하고 사칙연산을 할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

복소수의 거듭제곱을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

교과서 65쪽 중단원 학습 점검 06

교과서 대표 문항  |단답형|

중

복소수 [eqn: z={1-i}over{1+i}]에 대하여 [eqn: z^30 +{1}over{z^30}]의 값을 구하라.

중

[eqn: f(x)=x ^{50} + {1} over {x ^{50}}]일 때, [eqn: f left( 1+i over 1-i right)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -i]

③ [eqn: -1]	④ [eqn: i]

⑤ [eqn: 2i]

6	|서술형|

상

중

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: left( 1+i over root{2} right)^4n + left( 1-i over root{2} right)^4n]의 값을 구하라.

(단, [eqn: i = root{-1}])

7	|단답형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-05] 복소수의 뜻과 성질을 이해하고 사칙연산을 할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

음수의 제곱근을 이해한다.

교과서 55쪽 문제 12

교과서 대표 문항  |단답형|

상

중

다음은 [eqn: sqrt{-2}×sqrt{-8}]의 값을 계산한 것이다. 물음에 답하라.

[eqn: sqrt{-2}×sqrt{-8}=sqrt{(-2)×(-8)}=sqrt{16}=4]

⑴ 위의 계산 과정 중에서 잘못된 부분을 찾고, 그 이유를 설명하라.

⑵ [eqn: sqrt{-2}×sqrt{-8}]의 값을 바르게 계산하라.

상

중

다음을 계산하라.

[eqn: sqrt {-2} times sqrt {-3}]

8	|선다형|

상

중

[eqn: a,~b]가 실수이고, [eqn: sqrt{a} sqrt{b} = `- sqrt{ab}]일 때, [eqn: sqrt {(a+b) ^{2}} - LEFT | ``b`` RIGHT |]를 간단히 하면?

① [eqn: -a]	② [eqn: -b]

③ [eqn: a]	④ [eqn: b]

⑤ [eqn: 2a]

9	|단답형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-06] 이차방정식의 실근과 허근의 뜻을 안다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차방정식의 실근과 허근의 뜻을 안다.

교과서 57쪽 문제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 이차방정식의 근을 구하고, 그 근이 실근인지 허근인지 말하라.

⑴ [eqn: x^2 -5x+6=0]	⑵ [eqn: x^2 -2x+1=0]

⑶ [eqn: x^2 -4x+1=0]	⑷ [eqn: x^2 -3x+3=0]

하

이차방정식 [eqn: 3x^2 +4x+2=0]의 근을 구하고, 그 근이 실근인지 허근인지 말하라.

10	|단답형|

하

이차방정식 [eqn: 4x ^{2} +kx+25=0]이 중근을 갖기 위한 양수 [eqn: k]의 값을 구하라.

11	|단답형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-07] 이차방정식에서 판별식의 의미를 이해하고 이를 설명할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

판별식을 이용하여 이차방정식이 실근, 허근을 가질 조건을 구할 수 있다.

교과서 59쪽 문제 5

교과서 대표 문항  |단답형|

중

이차방정식 [eqn: x^2 +5x+(k-2)=0]이 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k]의 값을 모두 구하라.

중

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +`2(k-1)x``+`k ^{2`} -`10=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 [eqn: k]의 값을 정할 때, 자연수 [eqn: k]의 최댓값을 구하라.

12	|서술형|

상

중

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(k-m)x+(k ^{2} -2n+6)=0]이 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 중근을 가질 때, 실수 [eqn: m,```n]의 합 [eqn: m+n]의 값을 구하라.

13	|단답형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-08] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구할 수 있다.

교과서 61쪽 문제 2

교과서 대표 문항  |단답형|

중

하

이차방정식 [eqn: 2x^2 -3x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하라.

⑴ [eqn: (alpha-1)(beta-1)]	⑵ [eqn: {beta}over{alpha}+{alpha}over{beta}]

중

하

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha,```beta]라고 할 때, [eqn: beta^2 over alpha + alpha^2 over beta]의 값을 구하라.

14	|선다형|

중

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(m+1)x-8=0]의 두 근의 절댓값의 비가 [eqn: 1~:~2]일 때, 모든 상수 [eqn: m]의 값의 합은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -4]

③ [eqn: -6]	④ [eqn: -8]

⑤ [eqn: -10]

15	|단답형|

01

복소수와 이차방정식

성취 기준    [10수학 01-08] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식을 만들고 문제를 해결할 수 있다.

교과서 62쪽 문제 3

교과서 대표 문항  |단답형|

중

하

다음 두 수를 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하라.

⑴ [eqn: 1-sqrt{2}], [eqn: 1+sqrt{2}]	⑵ [eqn: 2-i], [eqn: 2+i]

중

하

두 수 [eqn: 3+2i], [eqn: 3-2i]를 근으로 하고, [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하라.

16	|단답형|

중

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha , ```beta]라고 할 때, [eqn: alpha +1,``` beta +1]을 두 근으로 하고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하라.

17	|단답형|

02

이차방정식과 이차함수

성취 기준    [10수학 01-09] 이차방정식과 이차함수의 관계를 이해한다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표를 구할 수 있다.

교과서 68쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

이차함수 [eqn: y=x^2 -2x-8]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수를 구하라.

하

이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +2x+3]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수를 구하라.

18	|단답형|

중

하

다음 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하라.

[eqn: y=`x ^{2} -4kx+4k ^{2} -3k+6]

19	|단답형|

02

이차방정식과 이차함수

성취 기준    [10수학 01-10] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해한다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해한다.

교과서 71쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

중

이차함수 [eqn: y=x^2 +x+1]의 그래프와 직선 [eqn: y=3x+2]의 위치 관계를 말하라.

중

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2x+1]의 그래프와 직선 [eqn: y=`-x-1]의 위치 관계를 말하라.

20	|선다형|

중

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -x+1]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx]가 오직 한 점에서 만나도록 하는 양수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]

③ [eqn: 4over 3]	④ [eqn: {5} over {3}]

⑤ [eqn: 2]

21	|단답형|

02

이차방정식과 이차함수

성취 기준    [10수학 01-10] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해한다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

판별식을 이용하여 이차함수와 직선의 교점의 개수를 구할 수 있다.

교과서 76쪽 중단원 학습 점검 02

교과서 대표 문항  |단답형|

중

이차함수 [eqn: y=x^2 +2x-2]의 그래프와 직선 [eqn: y=3x+1]의 교점의 개수를 구하라.

중

이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} +4x+2]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`-x+1]의 교점의 개수를 구하라.

22	|서술형|

중

[eqn: x]에 대한 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2kx+k ^{2} +6k]의 그래프가 [eqn: k]의 값에 관계없이 직선 [eqn: y=2ax - a^2]과 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하라.

23	|단답형|

02

이차방정식과 이차함수

성취 기준    [10수학 01-11] 이차함수의 최대, 최소를 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

교과서 74쪽 문제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

중

다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하라.

⑴ [eqn: y=x^2 +6x+5]	⑵ [eqn: y=`-2x^2 +8x-3]

중

이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +6x-5]의 최댓값과 최솟값을 구하라.

24	|선다형|

중

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]가 다음 세 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a,```b,```c]는 상수이다.)

㈎ 축의 방정식은 [eqn: x=`-1]이다.

㈏ [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

㈐ 점 [eqn: (2,~-5)]를 지난다.

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]

③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]

⑤ [eqn: 4]

25	|단답형|

02

이차방정식과 이차함수

성취 기준    [10수학 01-11] 이차함수의 최대, 최소를 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

[eqn: x]의 값의 범위가 주어진 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

교과서 75쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

중

[eqn: -2≤x≤1]일 때, 이차함수 [eqn: y=x^2 +2x-1]의 최댓값과 최솟값을 구하라.

중

[eqn: -1 LEQ `x` LEQ `3]일 때, 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+3]의 최댓값과 최솟값을 구하라.

26	|단답형|

중

[eqn: 0` LEQ `x` LEQ 3]에서 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+k]의 최솟값이 [eqn: -8]일 때, 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 구하라.

27	|선다형|

02

이차방정식과 이차함수

성취 기준    [10수학 01-11] 이차함수의 최대, 최소를 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차함수의 최댓값, 최솟값을 이해하고 응용할 수 있다.

교과서 77쪽 중단원 학습 점검 7

교과서 대표 문항  |단답형|

상

중

이차함수 [eqn: y=x^2 -2ax+2a+3]의 최솟값을 [eqn: f(a)]라고 하자. [eqn: 0≤a≤3]에서 함수 [eqn: f(a)]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하라.

상

중

이차함수 [eqn: f(x) =` -x^2 - 2ax+ a-1]의 최댓값을 [eqn: rm g it (a)]라고 할 때, [eqn: rm g it (a)]의 최솟값은?

① [eqn: - {3} over {4}]	② [eqn: - {5} over {4}]

③ [eqn: - {7} over {4}]	④ [eqn: - {9} over {4}]

⑤ [eqn: - {11} over {4}]

28	|단답형|

상

중

[eqn: x]에 대한 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +4ax+2a ^{2} +8a+3]의 최솟값을 [eqn: rm g it (a)]라고 할 때, [eqn: rm g it (a)]의 최댓값을 구하라.

29	|서술형|

02

이차방정식과 이차함수

성취 기준    [10수학 01-11] 이차함수의 최대, 최소를 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차함수의 최댓값, 최솟값을 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

교과서 75쪽 예제 2

교과서 대표 문항  |단답형|

상

중

어떤 물체를 지면에서 초속 [eqn: 30``rm m]로 똑바로 위로 쏘아 올렸을 때, [eqn: x]초 후 지면으로부터 이 물체까지의 높이를 [eqn: y``rm m]라고 하면 [eqn: x]와 [eqn: y] 사이에는

[eqn: y=`-5x^2 +30x]

인 관계식이 성립한다고 한다. 이 물체를 쏘아 올린 후 [eqn: 6]초 동안 물체의 높이를 측정할 때, 이 물체가 도달하는 최고 높이를 구하라. (단, 물체의 크기는 생각하지 않는다.)

상

중

어떤 공을 지면에서 똑바로 위로 쏘아 올렸을 때 [eqn: x]초 후 지면으로부터 이 공까지의 높이를 [eqn: y`` rmm]라고 하면 [eqn: x]와 [eqn: y] 사이에는

[eqn: y=`-3x ^{2} +24x]

인 관계식이 성립한다고 한다. 이 공을 쏘아 올린 후 최고 높이에 도달할 때까지 걸리는 시간을 구하라. (단, 공의 크기는 생각하지 않는다.)

30	|서술형|

상

그림과 같이 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +3] 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이의 최댓값을 구하라.

31	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-12] 간단한 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

인수분해를 이용하여 삼차방정식과 사차방정식의 해를 구할 수 있다.

교과서 82쪽 예제 2

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 방정식을 풀라.

⑴ [eqn: x^3 -4x=0]	⑵ [eqn: x^4 -81=0]

하

다음 방정식을 풀라.

⑴ [eqn: x ^{3} -8=0`]	⑵ [eqn: x ^{4} -8x=0]

32	|서술형|

중

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: (x-2)(x ^{2} -6x+a)=0]이 중근을 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하라.

33	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-12] 간단한 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

인수정리를 이용하여 삼차방정식의 해를 구할 수 있다.

교과서 83쪽 예제 3

교과서 대표 문항  |단답형|

하

삼차방정식 [eqn: x^3 -2x^2 -5x +6=0]을 풀라.

하

다음 삼차방정식을 풀라.

⑴ [eqn: x ^{3} -2x ^{2} -x+2=0]	⑵ [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +6x-4=0]

34	|서술형|

중

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -14x+k=0]의 세 근이 [eqn: 2,``a,``b]일 때, [eqn: a+b+k]의 값을 구하라.

35	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-12] 간단한 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

삼차방정식의 근의 조건을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

교과서 105쪽 대단원 학습 점검 08

교과서 대표 문항  |선다형|

중

삼차방정식 [eqn: x^3 -4x^2 +(4-k)x+2k=0]의 근이 모두 실수가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

중

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: 3x^3 + 3x^2 + kx+k =0]이 한 개의 실근과 두 개의 허근을 가질 때, 정수 [eqn: k]의 최솟값을 구하라.

36	|단답형|

상

중

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 +5x^2 +(a+4)x+a=0]이 서로 다른 세 실근을 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하라.

37	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-12] 간단한 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

삼차방정식의 한 허근을 이용하여 식의 값을 구할 수 있다.

교과서 101쪽 중단원 학습 점검 05

교과서 대표 문항  |단답형|

상

중

삼차방정식 [eqn: x^3 -1=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, [eqn: omega+omega^5 +{1}over{omega}+{1}over{omega^5}]의 값을 구하라.

중

삼차방정식 [eqn: x ^{3} -1=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때,
[eqn: 1+ omega + omega ^{2} + CDOTS + omega ^{9}]의 값을 구하라.

38	|서술형|

상

중

삼차방정식 [eqn: x ^{3} -1=0`]의 한 허근을 [eqn: omega`]라고 할 때,
[eqn: 1+ {1} over {omega } + {1} over {omega ^{2}} + {1} over {omega ^{3}} +`` CDOTS ``+ {1} over {omega ^{9}}]의 값을 구하라.

39	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-13] 미지수가 [eqn: 2]개인 연립이차방정식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

미지수가 [eqn: 2]개인 연립이차방정식을 풀 수 있다.

교과서 85쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

중

하

다음 연립이차방정식을 풀라.

[eqn: {cases{x-y=2~~~~~~~`` CDOTS CDOTS ㉠##x ^{2} -2y ^{2} =7~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡}}]

중

하

다음 연립이차방정식을 풀라.

[eqn: {cases{x+y=2~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠##x ^{2} +y ^{2} =34~````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

40	|서술형|

중

연립이차방정식 [eqn: LEFT { {matrix{x ^{2} -xy-2y ^{2} =0##x ^{2} -xy+2y ^{2} =4}} RIGHT .] 의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라고 할 때, [eqn: alpha-beta]의 최댓값을 구하라.

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-14] 미지수가 [eqn: 1]개인 연립일차부등식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

미지수가 [eqn: 1]개인 연립일차부등식을 풀 수 있다.

교과서 88쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 연립일차부등식을 풀라.

⑴ [eqn: {cases{3x-2<1~~~~~~~~` CDOTS CDOTS ㉠##4x+5>x-1~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡}}]	⑵ [eqn: {cases{x-2<3x~~~~~~~~`` CDOTS CDOTS ㉠##2x+3 GEQ x+5~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡}}]

41	|단답형|

하

다음 연립일차부등식을 풀라.

[eqn: {cases{4x` LEQ `5x-1~~~ ````` CDOTS CDOTS ㉠##2x+6>5x-3``````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

42	|서술형|

중

연립일차부등식 [eqn: x+1leq`2x-3`leq`x+2]의 해는 [eqn: a`leq`x`leq`b]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하라.

43	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취기준    [10수학01-15] 절댓값을 포함한 일차부등식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

절댓값 기호가 [eqn: 1]개인 일차부등식을 풀 수 있다.

교과서 92쪽 예제 4

교과서 대표 문항  |단답형|

중

다음 부등식을 풀라.

⑴ [eqn: LEFT |`x-2 `RIGHT |`` ≤3]	⑵ [eqn: LEFT |`2x-3 `RIGHT | ``>5]

중

다음 부등식을 풀라.

[eqn: LEFT |`` 2x-1 ``RIGHT | `>3```]

44	|단답형|

중

부등식 [eqn: |``2x-2``|`<6]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수를 구하라.

45  단답형

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-15] 절댓값을 포함한 일차부등식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

절댓값 기호가 [eqn: 2]개인 일차부등식을 풀 수 있다.

교과서 93쪽 예제 6

교과서 대표 문항  |단답형|

상

중

부등식 [eqn: LEFT |` x+1 `RIGHT |+LEFT |` x-2 `RIGHT |``≤5]를 풀라.

상

중

부등식 [eqn: |``x+2``|+|``x-3``|<9``]를 풀라.

46  단답형

상

중

부등식 [eqn: 2`` |`` x-1``| +`3`` |`` x+1 ``| < 9]의 해가 [eqn: a<x<b]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하라.

47	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-16] 이차부등식과 이차함수의 관계를 이해하고, 이차부등식과 연립이차부등식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구할 수 있다.

교과서 95쪽 예제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

이차부등식 [eqn: x^2 -x-6≤0]을 풀라.

하

이차부등식 [eqn: -x ^{2} -2x+3GEQ 0]을 풀라.

48	|서술형|

중

이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b<0]의 해와 부등식 [eqn: LEFT | ``x-2`` RIGHT | <4]의 해가 서로 같을 때, 두 상수 [eqn: a,``b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하라.

49	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-16] 이차부등식과 이차함수의 관계를 이해하고, 이차부등식과 연립이차부등식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

이차함수의 그래프를 이용하여 특수한 해를 가지는 이차부등식을 풀 수 있다.

교과서 96쪽 예제 2

교과서 대표 문항  |단답형|

하

이차부등식 [eqn: x^2 -6x+9≤0]을 풀라.

하

이차부등식 [eqn: 4x ^{2} +4x+1`geq`0]을 풀라.

50	|단답형|

중

이차부등식 [eqn: x ^{2} -2ax+a+6 LEQ 0]의 해가 존재하지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하라.

51	|서술형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-16] 이차부등식과 이차함수의 관계를 이해하고, 이차부등식과 연립이차부등식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

연립이차부등식의 해의 조건을 이용하여 미지수의 값 또는 범위를 구할 수 있다.

교과서 101쪽 중단원 학습 점검 08

교과서 대표 문항  |단답형|

상

[eqn: x]에 대한 이차부등식 [eqn: x^2 -2ax-a^2 +a+3<0]의 해가 존재하지 않도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하라.

상

중

모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 이차부등식 [eqn: x ^{2} +a`geq`2ax]가 성립하기 위한 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구하라.

52	|서술형|

상

이차부등식 [eqn: x ^{2} -8x+a LEQ 0]의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하라.

53	|단답형|

03

여러 가지 방정식과 부등식

성취 기준    [10수학 01-16] 이차부등식과 이차함수의 관계를 이해하고, 이차부등식과 연립이차부등식을 풀 수 있다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

평가 기준

연립이차부등식의 해를 구할 수 있다.

교과서 98쪽 예제 4

교과서 대표 문항  |단답형|

중

하

다음 연립이차부등식을 풀라.

[eqn: cases{2x+5≥1~~~~~~~`` cdots cdots①## x^2 +x-6<0~~~~~ cdots cdots ②}]

중

하

다음 연립이차부등식을 풀라.

[eqn: {cases{2x ^{2} -5x+2<0## -x ^{2} -x+2>0}}]

54	|서술형|

중

연립이차부등식 [eqn: 2x ^{2} -1`<`x` LEQ `-x+a`]의 해가 [eqn: - {1} over {2} <x<1]이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 구하라.

정답 및 풀이

Ⅱ. 방정식과 부등식

복소수와 이차방정식

01

1

평가 목표	복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 미지수를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: x LEFT ( 1+2i RIGHT ) +y LEFT ( i-1 RIGHT ) = LEFT ( x-y RIGHT ) + LEFT ( 2x+y RIGHT ) i=3]

[eqn: x], [eqn: y]가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: x-y=3,```2x+y=0]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: x=1,```y=`-2]

정답	[eqn: x=1,```y=`-2]

채점 기준표	배점 비율
복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 미지수를 구한다.	100%

2

평가 목표	켤레복소수를 이해하고 복소수가 서로 같은 조건을 이용할 수 있다.

풀이	[eqn: (3+2i) x+ (5-i)y = (3x+5y ) + (2x-y) i]

이므로 [eqn: bar{( 3+2i) x + ( 5-i)y } = 5- 12i]에서
[eqn: 3x+5y - (2x-y) i = 5- 12i]
[eqn: therefore``` 3x+5y = 5], [eqn: 2x-y = 12]
두 식을 연립하여 풀면
[eqn: x=5,~y = `-2]

정답	[eqn: x=5,~y = `-2]

채점 기준표	배점 비율
켤레복소수를 이해하고 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 미지수를 구한다.	100%

3

평가 목표	켤레복소수를 이용하여 복소수의 사칙연산을 할 수 있다.

풀이	[eqn: a over{2+i} + b over {2-i}][eqn: = matrix { a(2-i) over{(2+i)(2-i)}+ b(2+i) over{(2-i)(2+i)}]
[eqn: ={2a-ai+2b+bi}over5]
[eqn: = {2a+2b}over5 + {-a+b}over5 i]

즉, [eqn: {2a+2b} over {5} =6], [eqn: {-a+b}over5 =`-2]이므로

[eqn: a+b=15,~a-b=10]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a= 25 over 2 ,~b= 5 over 2]

∴ [eqn: a+3b= 25 over 2 + 15 over2 =20]

정답	②

채점 기준표	배점 비율
켤레복소수를 이용하여 주어진 식을 간단히 하고 [eqn: a+3b]의 값을 구한다.	100%

4

평가 목표	복소수의 사칙연산을 통하여 미지수를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: -4+3i over a+bi = 2+i `]에서

[eqn: a+bi][eqn: = -4+3i over 2+i = {( -4 + 3i )( 2-i )} over {( 2+i)( 2-i)} `]
[eqn: = -5+10i over5 = `-1 + 2i `]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a=`-1 , ```b=2 `]

∴ [eqn: a+b=1]

정답	[eqn: 1]

채점 기준표	배점 비율
분수를 변형하고 켤레복소수를 이용하여 [eqn: a+b]의 값을 구한다.	100%

5

평가 목표	복소수의 거듭제곱을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: 1+i over 1-i = (1+i)^2 over {(1-i )(1+i )}= 2i over 2 =i]

[eqn: THEREFORE``` f LEFT ( {1+i} over {1-i} RIGHT )][eqn: =f(i)=i ^{50} + {1} over {i ^{50}}]
[eqn: =(i ^{4} ) ^{12} TIMES i ^{2} + {1} over {(i ^{4} ) ^{12} times i ^{2}}]
[eqn: =i^2 + 1 over i^2 =`-2]

정답	①

채점 기준표	배점 비율
복소수의 거듭제곱을 이용하여 함숫값을 구한다.	100%

6

평가 목표	복소수의 거듭제곱의 규칙성을 이해하고 이를 활용하여 식의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: left( 1+i over root{2} right) ^2 = 2i over 2 =i], [eqn: left( 1-i over root{2 } right)^2 = -2i over 2 = `-i]
이를 주어진 식에 대입하면

[eqn: left (1+i over root{2 } right)^4n + left( 1-i over root{2 } right)^4n][eqn: = left{ left( 1+i over root{2 } right)^2 right}^2n + left{ left( 1-i over root{2 } right)^2 right}^2n]
[eqn: =(i)^2n + (-i ) ^2n]
[eqn: =(i^2 )^n + left{ (-i )^2 right}^n]
[eqn: =(-1) ^n +(-1 )^n]
[eqn: =(-1) +(-1)] ([eqn: BECAUSE```n]은 홀수)
[eqn: = `{-2}]

정답	[eqn: -2]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}], [eqn: LEFT ( {1-i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구한다.	50%
복소수의 거듭제곱의 규칙성을 이용하여 식의 값을 구한다.	50%

7

평가 목표	음수의 제곱근을 이해하고 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: sqrt {-2} times sqrt {-3} `=` sqrt {2} i times sqrt {3} i= sqrt {6} i ^{2} `=`- sqrt {6}]

정답	[eqn: - sqrt {6}]

채점 기준표	배점 비율
음수의 제곱근을 이해하여 값을 바르게 구한다.	100%

8

평가 목표	음수의 제곱근을 이해하여 두 실수의 부호를 찾고 주어진 식을 간단히 할 수 있다.

풀이	[eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}]이므로 [eqn: a], [eqn: b]의 부호는 [eqn: a`leq0], [eqn: b`leq0]

따라서 [eqn: a+b`leq0], [eqn: b`leq0]이므로

[eqn: sqrt {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}} `-|``b``|][eqn: =|``a+b``|-|``b``|]
[eqn: =`- LEFT ( a+b RIGHT ) - LEFT ( -b RIGHT )]
[eqn: =`-a-b+b=`-a]

정답	①

채점 기준표	배점 비율
[eqn: sqrt {a} sqrt {b} =`- sqrt {ab}]에서 [eqn: a≤0], [eqn: b≤0]인 것을 찾고 주어진 식을 간단히 나타낸다.	100%

9

평가 목표	이차방정식의 근을 구하고, 그 근을 판별할 수 있다.

풀이	[eqn: x][eqn: ={-2+- root{2^2 - 3 ×2}} over 3 = {-2+-root-2 } over 3]
[eqn: ={ -2+- root2 i } over 3]

따라서 이차방정식 [eqn: 3x^2 +4x+2=0]의 근은 허근이다.

정답	[eqn: x= {-2± sqrt {2} i} over {3}], 허근

채점 기준표	배점 비율
이차방정식의 근을 구하고, 그 근을 판별할 수 있다.	100%

10

평가 목표	판별식을 이용하여 이차방정식이 중근을 갖는 조건을 이용할 수 있다.

풀이	이차방정식 [eqn: 4x ^{2} +kx+25=0]이 중근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D``]라고 할 때 [eqn: D``=0]이어야 한다.

[eqn: D`=k ^{2} -4 ×4 ×25=0]

[eqn: k ^{2} -400=0]

[eqn: k ^{2} =400], [eqn: k=±20]

이때 [eqn: k]는 양수이므로 [eqn: k=20]이다.

정답	[eqn: 20]

채점 기준표	배점 비율
판별식을 이용하여 이차방정식이 중근을 갖는 [eqn: k]의 값을 구한다.	100%

11

평가 목표	이차방정식의 판별식을 이용하여 서로 다른 두 실근을 갖는 조건을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x ^{2} +2(k-1)x+k ^{2} -10`=`0`]

이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는

(판별식) [eqn: >0]이어야 하므로

[eqn: (k-1) ^{2} -(k` ^{2} -10)``>``0]
[eqn: -2k+11>0]

이 부등식을 정리하면
[eqn: 2k``<``11]

따라서 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: k``<`` {11} over {2}]이므로 자연수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

정답	[eqn: 5]

채점 기준표	배점 비율
이차방정식의 판별식을 이용하여 [eqn: k]의 최댓값을 구한다.	100%

12

평가 목표	판별식을 이용하고 항등식을 활용할 수 있다.

풀이	이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(k-m)x+(k ^{2} -2n+6)=0``]이 중근을 가질 조건은 [eqn: D=0``]이므로

[eqn: {D} over {4} =(k-m) ^{2} -(k ^{2} -2n+6)=0]
∴ [eqn: -2mk+m ^{2} +2n-6=0]

이 식이 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 성립해야 하므로 [eqn: k`]에 대한 항등식이다. 즉,

[eqn: -2m=0`,```m ^{2} +2n-6=0]

따라서 [eqn: m=0`,```n=3]이므로

[eqn: m+n=3]

정답	[eqn: 3]

채점 기준표	배점 비율
판별식을 이용하여 이차방정식이 중근을 가질 조건을 구한다.	50%
[eqn: k]에 대한 항등식임을 알고 [eqn: m], [eqn: n]의 값을 구한다.	40%
[eqn: m+n]의 값을 구한다.	10%

13

평가 목표	이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구할 수 있다.

풀이	근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =2], [eqn: alpha beta =4]

[eqn: THEREFORE``` beta^2 over alpha + alpha^2 over beta][eqn: = {alpha^3 + beta ^3 } over {alpha beta }]

[eqn: = { (alpha+beta )^3 - 3 alpha beta (alpha +beta )} over {alpha beta }]
[eqn: = {2 ^{3} -3 × 4 × 2} over {4} =`-4]

정답	[eqn: -4]

채점 기준표	배점 비율
이차방정식의 근과 계수의 관계와 곱셈 공식을 이용하여 식의 값을 구한다.	100%

14

평가 목표	이차방정식의 두 근의 특징을 이용하여 근과 계수의 관계를 표현하고 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 [eqn: -8]이므로 두 근은 서로 다른 부호이다.
따라서 두 근을 [eqn: - alpha ,~2 alpha]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: - alpha +2 alpha =`-2(m+1)]	[eqn: cdots cdots ㉠]
[eqn: (- alpha ) times 2 alpha =`-8]	[eqn: cdots cdots ㉡]
㉡에서 [eqn: alpha ^{2} =4]

[eqn: THEREFORE ``` alpha =`-2] 또는 [eqn: alpha =2]	[eqn: cdots cdots ㉢]

㉢을 ㉠에 대입하면
[eqn: alpha =`-2]일 때 [eqn: m=0],
[eqn: alpha =2]일 때 [eqn: m=`-2]
이므로 모든 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: -2]이다.

정답	①

채점 기준표	배점 비율
근과 계수의 관계를 이용하여 두 근을 구한다.	50%
모든 [eqn: m]의 값의 합을 구한다.	50%

15

평가 목표	근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식을 만들 수 있다.

풀이	두 근의 합은

[eqn: 3+2i+3-2i=6]

두 근의 곱은

[eqn: LEFT ( 3+2i RIGHT ) LEFT ( 3-2i RIGHT ) =9-4i ^{2} =13]

따라서 구하는 이차방정식은

[eqn: x ^{2} -6x+13=0]

정답	[eqn: x ^{2} -6x+13=0]

채점 기준표	배점 비율
근과 계수의 관계를 이용하여 두 수 [eqn: 3+2i], [eqn: 3-2i]를 근으로 하는 이차방정식을 구한다.	100%

16

평가 목표	근과 계수의 관계를 이용하여 새로운 이차방정식을 만들 수 있다.

풀이	근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta=2], [eqn: alphabeta=3]

이때

[eqn: LEFT ( alpha+1 RIGHT ) + LEFT ( beta+1 RIGHT ) =alpha+beta+2=4]

[eqn: LEFT ( alpha+1 RIGHT ) LEFT ( beta+1 RIGHT )][eqn: =alphabeta+ LEFT ( alpha+beta RIGHT ) +1]
[eqn: =`3+2+1=6]

이므로 [eqn: alpha +1,` beta +1`]을 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x^2 - 4x +6=0]

정답	[eqn: x^2 - 4x +6=0]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: alpha], [eqn: beta]의 관계를 이용하여 [eqn: alpha +1], [eqn: beta +1]을 두 근으로 하는 이차방정식을 구한다.	100%

이차방정식과 이차함수

02

17

평가 목표	이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 개수를 구할 수 있다.

풀이	이차방정식 [eqn: -x ^{2} +2x+3=0]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: {D} over {4} `=1 ^{2} -(-1)× 3=4`>0`]

[eqn: D>0]이므로 이차함수 [eqn: y=`-x^2 +2x+3]의 그래프와 [eqn: x]축은 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} +2x+3]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 개수를 구한다.	100%

18

평가 목표	이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 개수를 이용하여 미지수의 값의 범위를 구할 수 있다.

풀이	이차방정식 [eqn: `x ^{2} -4kx+4k ^{2} -3k+6=0]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않으므로

[eqn: {D} over {4} `=` LEFT ( -2k RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 4k ^{2} -3k+6 RIGHT ) =3k-6<0]

[eqn: THEREFORE ```k<2]

정답	[eqn: k<2]

채점 기준표	배점 비율
판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축이 만나지 않도록 하는 [eqn: k]의 값의 범위를 구한다.	100%

19

평가 목표	판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 알 수 있다.

풀이	[eqn: y=-x-1`]을 [eqn: y=x ^{2} +2x+1]에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{2} +2x+1=`-x-1]

[eqn: x ^{2} +3x+2=0]

이 이차방정식 [eqn: x ^{2} +3x+2=0]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: D=3 ^{2} -4times1 times 2=1>0]

따라서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2x+1]의 그래프와 직선

[eqn: y=`-x-1`]은 서로 다른 두 점에서 만난다.

정답	서로 다른 두 점에서 만난다.

채점 기준표	배점 비율
판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 파악한다.	100%

20

평가 목표	이차함수의 그래프와 한 점에서 만나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

풀이	직선 [eqn: y=kx]가 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -x+1]의 그래프와 한 점에서 만나므로

[eqn: x ^{2} -x+1=kx], 즉 [eqn: x ^{2} - LEFT ( 1+k RIGHT ) x+1=0]에서

[eqn: D={- LEFT ( 1+k RIGHT ) } ^{2} -4=0]
[eqn: k ^{2} +2k-3=0]

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ````k=1~ LEFT ( BECAUSE ````k>0 RIGHT )]

정답	②

채점 기준표	배점 비율
판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 한 점에서 만나는 직선의 방정식을 구한다.	100%

21

평가 목표	판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: y`=`-x+1]을 [eqn: y=`-x ^{2} +4x+2]에 대입하여 정리하면

[eqn: -x ^{2} +4x+2=`-x+1]

[eqn: x ^{2} -5x-1=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D``]라고 하면

[eqn: D`= LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2} -4times1times LEFT ( -1 RIGHT ) =29>0]

따라서 이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} +4x+2]의 그래프와 직선

[eqn: y`=`-x+1]의 교점의 개수는 [eqn: 2]이다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
이차함수와 직선을 연립한 이차방정식의 판별식을 이용하여 교점의 개수를 구한다.	100%

22

평가 목표	이차함수의 그래프와 직선이 접할 때의 판별식의 의미를 이해하고 항등식의 성질을 이용할 수 있다.

풀이	이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2kx+k ^{2} +6k]의 그래프와
직선 [eqn: y=2ax-a^2]이 접하므로

[eqn: x ^{2} -2kx+k ^{2} +6k=2ax-a ^{2}], 즉

[eqn: x ^{2} -2(k+a)x+k ^{2} +a ^{2} +6k=0]에서

[eqn: {D} over {4} = LEFT { -(k+a) RIGHT } ^{2} -(k ^{2} +a ^{2} +6k)=0]

[eqn: 2ak-6k=0], [eqn: (2a-6)k=0]
이 식이 [eqn: k]의 값에 관계없이 성립하므로
[eqn: 2a-6=0]

[eqn: THEREFORE ```a=3]

정답	[eqn: 3]

채점 기준표	배점 비율
이차함수와 직선을 연립한 이차방정식의 판별식을 이용하여 [eqn: a]와 [eqn: k]에 대한 식을 세운다.	60%
항등식의 의미를 이해하고 [eqn: a]의 값을 구한다.	40%

23

평가 목표	이차함수의 그래프를 이용하여 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: y=`-x ^{2} +6x-5]에서

[eqn: y=`- LEFT ( x ^{2} -6x RIGHT ) -5=`- LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +4]

이므로 그래프는 그림과 같다.

따라서 최댓값은 [eqn: 4]이고 최솟값은 없다.

정답	최댓값: [eqn: 4], 최솟값: 없다.

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 그래프를 이용하여 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.	100%

24

평가 목표	이차함수의 성질과 최댓값을 이용하여 이차함수의 식을 완성할 수 있다.

풀이	이차함수 [eqn: y=ax^2 + bx+c]가 [eqn: x=-1]일 때 최댓값 4를 가지므로 [eqn: y=a(x+1)^2 +4]
이때 점 [eqn: (2,~-5)]를 지나므로

[eqn: -5=9a+4]  [eqn: therefore a```=`-1]

[eqn: a=`-1]을 [eqn: y=a(x+1)^2 +4]에 대입하면
[eqn: y=`-(x+1) ^{2} +4=`-x ^{2} -2x+3]

∴ [eqn: a+b+c=`-1-2+3=0]

정답	③

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 성질과 최댓값을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 찾는다.	70%
[eqn: a+b+c]의 값을 구한다.	30%

25

평가 목표	[eqn: x]의 값의 범위가 주어졌을 때 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: y=x ^{2} -4x+3]에서

[eqn: y= LEFT ( x ^{2} -4x RIGHT ) +3= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} -1]

이므로 그래프는 그림과 같다.

[eqn: -1 LEQ `x` LEQ `3]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+3]의 최댓값은 [eqn: x=`-1]일 때 [eqn: 8], 최솟값은 [eqn: x=2]일 때 [eqn: -1]이다.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =8], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =`-1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =0]

정답	최댓값: [eqn: 8], 최솟값: [eqn: -1]

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 그래프를 이용하여 주어진 [eqn: x]의 값의 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.	100%

26

평가 목표	[eqn: x]의 값의 범위와 이차함수의 최솟값이 주어졌을 때 이차함수의 최댓값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+k][eqn: =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -3+k]

[eqn: 0leq`x`leq3]에서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

이차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: -8]을 가지므로
[eqn: -3+k=`-8]

∴ [eqn: k=`-5]

[eqn: f(x)=3x^2 -6x-5]이므로 [eqn: 0≤x≤3]에서 최댓값은 [eqn: x=3]일 때 [eqn: 4]이다.

정답	[eqn: 4]

채점 기준표	배점 비율
제한된 범위에서 이차함수의 최솟값을 이용하여 상수 [eqn: k]의 값과 최댓값을 구한다.	100%

27

평가 목표	이차함수의 최댓값과 최솟값을 응용하여 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: f(x)][eqn: =`-x^2 - 2ax + a -1]
[eqn: =` - (x+a)^2 +a^2 + a-1]

이므로 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=`-a]일 때 최댓값 [eqn: a^2 +a -1]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE``` rm g it (a)=a ^{2} +a-1]

이때

[eqn: THEREFORE``` rm g it (a)= LEFT ( a ^{2} +a RIGHT ) -1= LEFT ( a+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - {5} over {4}]

이므로 [eqn: rm g it (a)]는 [eqn: a=`- 1over2]일 때 최솟값 [eqn: - 5over 4]를 갖는다.

정답	②

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 최대, 최소를 이해하고 식으로 표현된 이차함수의 최댓값의 최솟값을 구한다.	100%

28

평가 목표	이차함수의 최댓값과 최솟값을 응용하여 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +4ax+2a ^{2} +8a+3][eqn: = LEFT ( x+2a RIGHT ) ^{2} -2a ^{2} +8a+3]

이므로 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=`-2a]일 때 최솟값
[eqn: -2a ^{2} +8a+3]을 갖는다.

[eqn: therefore ```` rm g it LEFT ( a RIGHT ) =`-2a ^{2} +8a+3]

이때

[eqn: rm g it LEFT ( a RIGHT ) =`-2 LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2} +8+3][eqn: `=-2 LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2} +11]

이므로 [eqn: rm g it LEFT ( a RIGHT )]는 [eqn: a=2]일 때 최댓값 [eqn: 11]을 갖는다.

정답	[eqn: 11]

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 최대, 최소를 이해하고 식으로 표현된 이차함수의 최솟값의 최댓값을 구한다.	100%

29

평가 목표	이차함수의 최댓값을 활용할 수 있다.

풀이	[eqn: y=`-3x ^{2} +24x=`-3 LEFT ( x ^{2} -8x RIGHT )][eqn: =`-3 LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +48]

따라서 [eqn: x=4]일 때 최댓값 [eqn: 48]을 가지므로

[eqn: 4]초일 때 최고 높이 [eqn: 48``rmm]에 도달한다.

정답	[eqn: 4]초

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 최댓값을 활용하여 공이 최대 높이에 도달하는 데 걸리는 시간을 구한다.	100%

30

평가 목표	이차함수의 그래프와 최대, 최소를 활용할 수 있다.

풀이	점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: {rmB} LEFT ( a,~0 RIGHT )] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]이라고 하면
[eqn: {rmC}` LEFT ( a,~-a ^{2} +3 RIGHT )] [eqn: (0<a< sqrt {3})]
∴ [eqn: bar{rmAB}=2a], [eqn: bar{rmBC}=`-a ^{2} +3]
따라서 사각형 [eqn: rm ABCD]의 둘레의 길이는
[eqn: 2 LEFT ( -a ^{2} +2a+3 RIGHT ) `=`-2a ^{2} +4a+6][eqn: =`-2 LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +8]

이때 [eqn: 0<a< sqrt {3}]이므로 [eqn: a=1]일 때, 최댓값은 [eqn: 8]이다.

따라서 사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: 8]이다.

정답	[eqn: 8]

채점 기준표	배점 비율
두 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC]의 길이를 [eqn: a]를 이용해서 나타낸다.	60%
사각형 [eqn: rm ABCD]의 둘레의 최댓값을 구한다.	40%

여러 가지 방정식과 부등식

03

31

평가 목표	인수분해를 이용하여 삼차방정식과 사차방정식의 해를 구할 수 있다.

풀이	⑴ [eqn: x ^{3} -8=0`]의 좌변을 인수분해하면
[eqn: x ^{3} -2 ^{3} =(x-2)(x ^{2} +2x+4)=0`]
[eqn: `x-2=0] 또는 [eqn: x ^{2} +2x+4=0`]
∴ [eqn: x=2`] 또는 [eqn: x=`-1+- sqrt3 `i```]

⑵ [eqn: x ^{4} -8x=0]의 좌변을 인수분해하면
[eqn: x LEFT ( x ^{3} -8 RIGHT ) =][eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+4 RIGHT ) =0]
[eqn: x=0] 또는 [eqn: x-2=0] 또는 [eqn: x ^{2} +2x+4=0]
∴ [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=`-1+- sqrt {3} i]

정답	⑴ [eqn: x=2`] 또는 [eqn: x=-1+- sqrt3 `i```]
⑵ [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-1+- sqrt {3} i]

채점 기준표	배점 비율
방정식의 좌변을 인수분해하여 해를 구한다.	100%

32

평가 목표	인수분해된 삼차방정식의 근을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	주어진 삼차방정식이 중근을 갖는 경우는 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: x ^{2} -6x+a=0]이 중근을 갖는 경우
[eqn: {D} over {4} =9-a=0]
∴ [eqn: a=9]

(ⅱ) [eqn: x ^{2} -6x+a=0]의 한 근이 [eqn: 2]인 경우
[eqn: 4-12+a=0]
∴ [eqn: a=8]

따라서 실수 [eqn: a]의 값의 합은
[eqn: 9+8=17]

정답	[eqn: 17]

채점 기준표	배점 비율
이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+a=0]이 중근을 갖는 경우 [eqn: a]의 값을 구한다.	40%
이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+a=0]의 한 근이 [eqn: 2]인 경우 [eqn: a]의 값을 구한다.	40%
실수 [eqn: a]의 값의 합을 구한다.	20%

33

평가 목표	인수정리를 이용하여 삼차방정식의 해를 구할 수 있다.

풀이	⑴ [eqn: f`(x)=x ^{3} -2x ^{2} -x+2]라고 하면 [eqn: f`(1)=0`]이므로
[eqn: x-1`]은 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 인수이다.
조립제법에 의하여

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: -1]	[eqn: 2]
		[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -2]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -2]	[eqn: 0]

[eqn: (x-1)(x ^{2} -x-2)=0`]에서
[eqn: (x-1)(x-2)(x+1)=0]
∴ [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

⑵ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -4x ^{2} +6x-4]라고 하면 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로
[eqn: x-2]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 인수이다.
조립제법에 의하여

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 6]	[eqn: -4]
		[eqn: 2]	[eqn: -4]	[eqn: 4]
	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 2]	[eqn: 0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) =0]
∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=1+-i]

정답	⑴ [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]
⑵ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=1+-i]

채점 기준표	배점 비율
인수정리를 이용하여 방정식의 해를 구한다.	100%

34

평가 목표	주어진 한 근과 인수정리를 이용하여 삼차방정식의 해를 구할 수 있다.

풀이	한 근이 [eqn: 2]이므로 주어진 방정식에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 2 ^{3} -2 ^{2} + LEFT ( -14 RIGHT ) times ``2+k=0]   [eqn: THEREFORE ```k=24]

[eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -14x+24]로 놓으면 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: x-3]을 인수로 갖는다.
조립제법에 의하여

[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -14]	[eqn: 24]
		[eqn: 3]	[eqn: 6]	[eqn: -24]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -8]	[eqn: 0]

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-8 RIGHT ) =0]에서

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+4 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ```x=3] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=`-4]

따라서 [eqn: 2] 이외의 다른 두 근은 [eqn: 3,``-4]이므로

[eqn: a+b+k=3+ LEFT ( -4 RIGHT ) +24=23]

정답	[eqn: 23]

채점 기준표	배점 비율
주어진 한 근을 이용하여 [eqn: k]의 값을 구한다.	40%
인수정리를 이용하여 삼차방정식의 나머지 두 근 [eqn: a], [eqn: b]를 구한다.	40%
[eqn: a+b+k]의 값을 구한다.	20%

35

평가 목표	삼차방정식의 근의 조건을 이용하여 미지수의 최솟값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: f(x)= 3x^3 + 3x^2 + kx+ k]라고 하면 [eqn: f(-1) =0]이므로

[eqn: x+1]은 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 인수이다. 조립제법에 의하여

[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: k]	[eqn: k]
		[eqn: -3]	[eqn: 0]	[eqn: -k]
	[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: k]	[eqn: 0]

∴ [eqn: (x+1)(3x ^{2} +k)=0]

한 개의 실근과 두 개의 허근을 가지려면 방정식

[eqn: 3x^2 +k=0]이 허근을 가져야 한다.

[eqn: D=` LEFT ( -4 RIGHT ) times3k<0]    [eqn: therefore ```k>0]

따라서 정수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 1]이다.

정답	[eqn: 1]

채점 기준표	배점 비율
인수정리와 삼차방정식의 근의 조건을 이용하여 정수 [eqn: k]의 최솟값을 구한다.	100%

36

평가 목표	삼차방정식의 근의 조건을 이용하여 미지수의 값의 범위를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +5x ^{2} +(a+4)x+a]라고 하면 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: x+1]은 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 인수이다. 조립제법에 의하여

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: a+4]	[eqn: a]
		[eqn: -1]	[eqn: -4]	[eqn: -a]
	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: a]	[eqn: 0]

[eqn: therefore```(x+1)(x^2 +4x+a)=0]

서로 다른 세 실근을 가지려면 [eqn: x^2 +4x+a=0]이 [eqn: -1]이 아닌 서로 다른 두 실근을 가지면 된다.

[eqn: (-1) ^{2} +4 TIMES (-1)+a != 0`,``` {D} over {4} =4-a>0]

∴ [eqn: `a != 3`,```a<4]
[eqn: therefore`` `a<3] 또는 [eqn: 3<a<4]

정답	[eqn: a<3] 또는 [eqn: 3<a<4]

채점 기준표	배점 비율
삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가지는 조건을 이용하여 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구한다.	100%

37

평가 목표	삼차방정식 [eqn: x ^{3} -1=0]의 허근의 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있다.

풀이	삼차방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근이 [eqn: omega]이므로 [eqn: omega^3 =1]

또, [eqn: omega^3 =1]에서 [eqn: (omega-1)(omega^2 +omega+1)=0]이므로

[eqn: omega ^{2} + omega +1=0``( BECAUSE ~ omega != 1)]

[eqn: ∴] [eqn: 1+omega+omega^2 +`cdots`+omega^9]
[eqn: =(1+omega+omega^2 )+omega^3 (1+omega +omega^2 )][eqn: + omega ^{6} (1+ omega + omega ^{2} )+ omega ^{9}]
[eqn: = omega ^{9} =( omega ^{3} ) ^{3} =1]

정답	[eqn: 1]

채점 기준표	배점 비율
삼차방정식 [eqn: x ^{3} -1=0]의 허근의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.	100%

38

평가 목표	삼차방정식 [eqn: x ^{3} -1=0]의 허근의 성질을 이용하여 식을 변형하고 그 식의 값을 구할 수 있다.

풀이	삼차방정식 [eqn: x^3 =1`]의 한 허근을 [eqn: omega`]이므로

[eqn: omega^3 =1,~ omega^2 + omega +1=0`]

[eqn: 1 + 1 over omega + 1 over omega^2 +`` cdots ``+ 1 over omega^9]

[eqn: = {1} over {omega ^{9}} ( omega ^{9} + omega ^{8} + omega ^{7} +`` CDOTS ``+ omega ^{2} + omega +1)`]

[eqn: = {1} over {omega ^{9}} LEFT { LEFT ( omega ^{3} RIGHT ) ^{3} + omega ^{6} ( omega ^{2} + omega +1)+ omega ^{3} ( omega ^{2} + omega +1)]

[eqn: + omega ^{2} + omega +1 RIGHT } `]

[eqn: = {1} over {LEFT ( omega ^{3} RIGHT ) ^{3}} times 1=1`]

[eqn: THEREFORE ```1+ {1} over {omega } + {1} over {omega ^{2}} +`` CDOTS ``+ {1} over {omega ^{9}} =1`]

정답	[eqn: 1]

채점 기준표	배점 비율
삼차방정식 [eqn: x ^{3} -1=0]의 한 허근이 [eqn: omega]일 때 [eqn: omega ^{2} + omega +1][eqn: =0], [eqn: omega ^{3} =1]임을 이해한다.	60%
주어진 식을 변형하여 식의 값을 구한다.	40%

39

평가 목표	미지수가 [eqn: 2]개인 연립이차방정식을 풀 수 있다.

풀이	㉠에서 [eqn: y=2-x]	…… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: x ^{2} + LEFT ( 2-x RIGHT ) ^{2} =34]

[eqn: x ^{2} +4-4x+x ^{2} =34]

[eqn: 2x ^{2} -4x-30=0]

[eqn: x ^{2} -2x-15=0]

[eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) =0]

∴ [eqn: x=`-3] 또는 [eqn: x=5]

이것을 ㉢에 대입하면

[eqn: x=`-3]일 때 [eqn: y=5], [eqn: x=5]일 때 [eqn: y=`-3]

따라서 구하는 해는

[eqn: {cases{x=`-3#y=5^`^`^`^`}}] 또는 [eqn: {cases{x=5#y=`-3^`^`^`^`}}]

정답	[eqn: {cases{x=`-3#y=5^`^`^`^`}}] 또는 [eqn: {cases{x=5#y=`-3^`^`^`^`}}]

채점 기준표	배점 비율
변형한 일차식을 이차식에 대입하여 연립이차방정식의 해를 구한다.	100%

40

평가 목표	인수분해를 이용하여 연립이차방정식의 해를 구하고 그 해를 활용할 수 있다.

풀이	[eqn: LEFT { {matrix{x ^{2} -xy-2y ^{2} =0````` CDOTS CDOTS ㉠##x ^{2} -xy+2y ^{2} =4````` CDOTS CDOTS ㉡}} RIGHT .]

㉠의 좌변을 인수분해하면

[eqn: LEFT ( x+y RIGHT ) LEFT ( x-2y RIGHT ) =0]

∴ [eqn: x=`-y] 또는 [eqn: x=2y]

(ⅰ) [eqn: x=`-y]를 ㉡에 대입하면
[eqn: y ^{2} +y ^{2} +2y ^{2} =4]
[eqn: y ^{2} =1], [eqn: y=+-1]
따라서 [eqn: x=`-1]일 때 [eqn: y=1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: y=`-1]이다.

(ⅱ) [eqn: x=2y]를 ㉡에 대입하면
[eqn: 4y ^{2} -2y ^{2} +2y ^{2} =4]
[eqn: y ^{2} =1], [eqn: y=`+-1]
따라서 [eqn: x=2]일 때 [eqn: y=1], [eqn: x=`-2]일 때 [eqn: y=`-1]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 해는

[eqn: {cases{x=`-1#y=1^`^`^`^`}}] 또는 [eqn: {cases{x=1#y=`-1^`^`^`^`}}] 또는 [eqn: {cases{x=2#y=1^`^`^`^`}}] 또는 [eqn: {cases{x=`-2#y=`-1^`^`^`^`}}]

따라서 [eqn: alpha-beta]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
인수분해를 이용하여 연립이차방정식의 해를 구한다.	60%
[eqn: alpha-beta]의 최댓값을 구한다.	40%

41

평가 목표	미지수가 [eqn: 1]개인 연립일차부등식을 풀 수 있다.

풀이	[eqn: 4x-5x` LEQ `-1]에서 [eqn: -x` LEQ `-1]

[eqn: THEREFORE ```x` GEQ `1]

[eqn: 2x-5x>-3-6]에서 [eqn: -3x>-9]

[eqn: THEREFORE``` x<3]

㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: 1` LEQ `x`<3]

정답	[eqn: 1` LEQ `x`<3]

채점 기준표	배점 비율
두 일차부등식의 해를 구하여 공통부분을 찾아 연립일차부등식의 해를 구한다.	100%

42

평가 목표	미지수가 [eqn: 1]개인 연립일차부등식으로 식을 변형한 후 해를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: x+1leq`2x-3`leq`x+2]에서

[eqn: {cases{x+1 LEQ `2x-3````` CDOTS CDOTS ㉠##2x-3 LEQ `x+2````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

[eqn: x+1leq2x-3]에서 [eqn: x-2x`leq`-3-1]

[eqn: -x`leq`-4]

[eqn: THEREFORE ```x`geq4]

[eqn: 2x-3leq`x+2]에서 [eqn: 2x-x LEQ 2+3]

∴ [eqn: x`leq`5]

㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: 4 LEQ `x`leq5]

이므로 [eqn: a+b=4+5=9]

정답	[eqn: 9]

채점 기준표	배점 비율
주어진 부등식을 변형하여 미지수가 [eqn: 1]개인 연립일차부등식의 해를 구한다.	70%
[eqn: a+b]의 값을 구한다.	30%

43

평가 목표	절댓값 기호가 [eqn: 1]개인 일차부등식을 풀 수 있다.

풀이	[eqn: LEFT |`` 2x-1`` RIGHT | `>3`]이면

[eqn: 2x-1< -3] 또는 [eqn: 2x-1>3]

[eqn: 2x-1< -3]에서 [eqn: 2x< -2], [eqn: x< -1]

[eqn: 2x-1>3]에서 [eqn: 2x>4], [eqn: x>2]

[eqn: ` THEREFORE ```x< -1`] 또는 [eqn: x>2]

정답	[eqn: x< -1`] 또는 [eqn: x>2]

채점 기준표	배점 비율
절댓값 기호가 [eqn: 1]개인 일차부등식의 해를 구한다.	100%

44

평가 목표	절댓값 기호가 [eqn: 1]개인 일차부등식을 만족시키는 정수의 개수를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: |``2x-2``|<6]이면

[eqn: -6<2x-2<6]

각 변에 [eqn: 2]를 더하면

[eqn: -4<2x<8]

∴ [eqn: -2<x<4]

따라서 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는

[eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 5]이다.

정답	[eqn: 5]

채점 기준표	배점 비율
절댓값 기호가 [eqn: 1]개인 일차부등식의 해를 구하고 부등식을 만족시키는 정수의 개수를 구한다.	100%

45

평가 목표	절댓값 기호가 [eqn: 2]개인 일차부등식을 풀 수 있다.

풀이	[eqn: |`x+2`|]와 [eqn: |`x-3`|]은 각각 [eqn: x=`-2], [eqn: x=3]을 경계로 절댓값 안의 식의 부호가 변하므로 다음의 세 경우로 나누어 푼다.

(ⅰ) [eqn: x< -2`]일 때, [eqn: {-(x+2)-(x-3)<9}]이므로
[eqn: {-x-2-x+3<9}]에서 [eqn: x>-4]
∴ [eqn: { -4<x< -2}]

(ⅱ) [eqn: {-2 le x <3`}]일 때, [eqn: {(x+2)-(x-3)<9}]에서
[eqn: 5<9]이므로 항상 성립한다.
∴ [eqn: {-2le x <3}]

(ⅲ) [eqn: {x ge3`}]일 때, [eqn: {(x+2)+(x-3)<9}]이므로
[eqn: 2x-1<9]에서 [eqn: x<5]
∴ [eqn: {3le x <5}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 부등식의 해는
[eqn: {-4<x<5}]

정답	[eqn: {-4<x<5}]

채점 기준표	배점 비율
절댓값 기호 안을 [eqn: 0]으로 만드는 [eqn: x]의 값을 기준으로 [eqn: x]의 값의 범위를 나누어 부등식의 해를 구한다.	100%

46

평가 목표	절댓값 기호가 [eqn: 2]개인 일차부등식의 해를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: |`x-1``|]과 [eqn: |``x+1``|]은 각각 [eqn: x=1], [eqn: x=`-1]을 경계로 절댓값 안의 식의 부호가 변하므로 다음의 세 경우로 나누어 푼다.

부등식 [eqn: {2`` LEFT | ``x-1`` RIGHT | `+3`` LEFT | ``x+1` `RIGHT | `<`9}]에서

(ⅰ) [eqn: {x< -1}]일 때, [eqn: {-2(x-1)-3(x+1)`<`9}]이므로
[eqn: {-2x+2-3x-3`<`9}]에서 [eqn: `x>-2]
∴ [eqn: {-2<x< -1}]

(ⅱ) [eqn: {-1 le x<1}]일 때, [eqn: {-2(x-1)+3(x+1)`<`9}]이므로
[eqn: {-2x+2+`3x+3`<`9}]에서 [eqn: x<`4]
∴ [eqn: {-1 le x<`1}]

(ⅲ) [eqn: {x ge 1}]일 때 [eqn: {2(x-1)+3(x+1)`<`9}]이므로
[eqn: 2x-2+3x+3`<`9]에서 [eqn: ``x<` {8} over {5} `]
∴ [eqn: {1` LEQ `x`<` {8} over {5}}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 부등식의 해는
[eqn: {-2<x<` {8} over {5}}]

∴ [eqn: a+b=`-2+ {8} over {5} =`- {2} over {5}]

정답	[eqn: - {2} over {5}]

채점 기준표	배점 비율
절댓값 기호 안을 [eqn: 0]으로 만드는 [eqn: x]의 값을 기준으로 [eqn: x]의 값의 범위를 나누어 부등식의 해를 구한다.	70%
[eqn: a+b]의 값을 구한다.	30%

47

평가 목표	이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구할 수 있다.

풀이	이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} -2x+3=`- LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]의 그래프는 그림과 같이 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: LEFT ( -3,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 만난다.

따라서 이 그래프에서 [eqn: y`geq0]인 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: -3leq`x`leq`1]

정답	[eqn: -3leq`x`leq`1]

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 그래프를 그리고 부등식을 만족시키는 [eqn: x]의 범위를 구한다.	100%

48

평가 목표	절댓값 기호가 [eqn: 1]개인 일차방정식을 응용하여 이차부등식을 완성할 수 있다.

풀이	[eqn: LEFT |` `x-2`` RIGHT | <4]에서 [eqn: -4<x-2<4]
각 변에 [eqn: 2]를 더하면 [eqn: -2<x<6]
이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b<0]의 해가 [eqn: -2<x<6]이므로
[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) <0]
[eqn: x ^{2} -4x-12<0]
따라서 [eqn: a=`-4], [eqn: b=`-12]이므로 [eqn: ab=48]

정답	[eqn: 48]

채점 기준표	배점 비율
절댓값 기호가 [eqn: 1]개인 일차부등식의 해를 구한다.	40%
이차부등식을 완성한다.	40%
[eqn: ab]의 값을 구한다.	20%

49

평가 목표	이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구할 수 있다.

풀이	이차함수 [eqn: y=4x ^{2} +4x+1= LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{2}]의 그래프는 그림과 같고 [eqn: x]축과 점 [eqn: LEFT ( - {1} over {2} ,~0 RIGHT )]에서 만난다.

따라서 이 그래프에서 [eqn: y`geq0]인 [eqn: x]의 값의 범위는 모든 실수이므로 구하는 이차부등식의 해는 모든 실수이다.

정답	모든 실수

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구한다.	100%

50

평가 목표	이차부등식의 해의 조건을 만족시키는 정수의 개수를 구할 수 있다.

풀이	이차방정식 [eqn: {x ^{2} -2ax+a+6=0}]의 판별식을 [eqn: {D}]라고 하면

[eqn: {{D} over {4} =a ^{2} - LEFT ( a+6 RIGHT ) < 0}], [eqn: {a ^{2} -a-6 < 0}]

[eqn: {LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) < 0}]
[eqn: {THEREFORE ```-2 < a < 3}]

따라서 이차부등식이 해를 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]의 [eqn: 4]이다.

정답	[eqn: 4]

채점 기준표	배점 비율
이차부등식이 해를 갖지 않도록 하는 정수의 개수를 구한다.	100%

51

평가 목표	판별식과 이차함수의 그래프를 이용하여 조건을 만족하는 정수 [eqn: a]의 값의 범위를 구할 수 있다.

풀이	이차부등식 [eqn: x ^{2} +a`geq`2ax]가 항상 성립하려면 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a]의 그래프의 개형은 그림과 같아야 한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2ax+a=0]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -1 times a`leq0]

[eqn: a ^{2} -a`leq0], [eqn: a LEFT ( a-1 RIGHT ) leq0]

∴ [eqn: 0leq`a`leq1]

따라서 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 1]이다.

정답	[eqn: 1]

채점 기준표	배점 비율
이차부등식이 항상 성립하는 정수 [eqn: a]의 범위를 구한다.	70%
모든 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구한다.	30%

52

평가 목표	판별식과 이차함수의 그래프를 이용하여 해가 존재하지 않는 [eqn: x]의 값의 범위를 구할 수 있다.

풀이	이차부등식 [eqn: x ^{2} -8x+a leq0]의 해가 존재하지 않으려면 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -8x+a]의 그래프의 개형은 그림과 같아야 한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -8x+a=0]의 판별식을 [eqn: D``]라고 하면

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} -1 times a<0]

∴ [eqn: a>16]

정답	[eqn: a>16]

채점 기준표	배점 비율
이차부등식의 해가 존재하지 않도록 하는 이차함수의 그래프의 개형을 찾는다.	60%
[eqn: a]의 값의 범위를 구한다.	40%

53

평가 목표	연립이차부등식의 해를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: 2x^2 -5x+2<0]에서 [eqn: (2x-1)(x-2)<0]

[eqn: ∴ ```1 over 2 <x<2]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: -x ^{2} -x+2`>`0]에서 [eqn: x ^{2} +x-2<0]

[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) <0], [eqn: -2<x<1]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉠, ㉡을 수직선에 나타내면 다음과 같다.

따라서 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

[eqn: {1} over {2} <`x<1]

정답	[eqn: {1} over {2} <`x<1]

채점 기준표	배점 비율
각 이차부등식의 해를 구한 후 공통부분을 찾아 연립이차부등식의 해를 구한다.	100%

54

평가 목표	연립이차방정식의 해를 이용하여 미지수의 값의 범위를 구할 수 있다.

풀이	[eqn: 2x ^{2} -1`<`x` LEQ `-x+a`]에서

[eqn: {cases{2x ^{2} -1<x``````````` CDOTS CDOTS ㉠##x` LEQ `-x+a````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

[eqn: 2x ^{2} -1<x]에서 [eqn: 2x ^{2} -x-1<0`]

[eqn: (x-1)(2x+1)<0``]
[eqn: THEREFORE ```- {1} over {2} <`x`<`1`]

[eqn: x LEQ `-x+a에서``````x` LEQ ` {a} over {2} `]

㉠, ㉡의 공통 범위가 [eqn: - {1} over {2} <x<1]이므로

[eqn: {{a} over {2} ` GEQ `1``````````````````````` THEREFORE ```a` GEQ `2}]

따라서 실수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
연립이차부등식의 해를 가지기 위한 조건을 찾는다.	60%
[eqn: a]의 최솟값을 구한다.	40%