	5지선다형

고 3	수학 영역 (가형)

	수학 영역 (가형)	고 3

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2018학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (가형)

제 2 교시

1. 두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( `4`,~5` RIGHT )], [eqn: {vec{b}} = LEFT ( `-3`,~2` RIGHT )]에 대하여 벡터 [eqn: 2 {vec{a}} - {vec{b}} `]의 모든 성분의 합은? [2점]

	①	[eqn: 11]	②	[eqn: 13]	③	[eqn: 15]	④	[eqn: 17]	⑤	[eqn: 19]

2. [eqn: lim _{x` ->` `0`} {{e ^{3x} -1} over {2x}} `]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: { 3} over {2 }]	③	[eqn: 2]	④	[eqn: { 5} over {2 }]	⑤	[eqn: 3]

3. 좌표공간의 두 점 [eqn: rm O LEFT ( ` it 0`,~0`,~0` RIGHT )], [eqn: rm A LEFT ( `6`,~3`,~9` RIGHT )]에 대하여
선분 [eqn: rm OA`]를 [eqn: 1:`2`]로 내분하는 점 [eqn: rm P`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( ` it a`,~b`,~c` RIGHT )]이다. [eqn: a+b+c`]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 3]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 5]	④	[eqn: 6]	⑤	[eqn: 7]

4. 두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B``]는 서로 독립이고

[eqn: rm P left( it A ^{C} ``right)= {2} over {3}], [eqn: rm P( it A SMALLINTER B`)= {1} over {12}]

일 때, [eqn: rm P( it B` it )]의 값은? (단, [eqn: A ^{C} `]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

	①	[eqn: { 1} over { 8}]	②	[eqn: {1} over {4}]	③	[eqn: { 3} over { 8}]	④	[eqn: { 1} over {2 }]	⑤	[eqn: { 5} over { 8}]

5. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`lnx`]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> ``0`} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}} `]의 값은?                                                          [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

6. [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]를 포함한 [eqn: 6`]명이 원형의 탁자에 일정한 간격을 두고 앉을 때, [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 이웃하여 앉을 확률은? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

	①	[eqn: {1} over {5}]	②	[eqn: {3} over {10}]	③	[eqn: {2} over {5}]	④	[eqn: {1} over {2}]	⑤	[eqn: {3} over {5}]

7. 매개변수 [eqn: t`]로 나타내어진 곡선

[eqn: x=e^2t-6`], [eqn: y=t ^{2} -t+5]

에서 [eqn: t=3`]일 때, [eqn: {dy} over {dx} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: {1} over {2}]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: {3} over {2}]	④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: {5} over {2}]

8. [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: sin2x= {1} over {3} `]의 모든 해의 합은?

[3점]

	①	[eqn: { 3} over {2 }pi]	②	[eqn: 2pi]	③	[eqn: { 5} over {2 }pi]	④	[eqn: 3pi]	⑤	[eqn: { 7} over {2 }pi]

9. [eqn: int _{3} ^{6} {{2} over {x ^{2} -2x} dx} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: ln 2]	②	[eqn: ln 3]	③	[eqn: ln 4]	④	[eqn: ln 5]	⑤	[eqn: ln 6]

10. 어느 역사 동아리 [eqn: 1`], [eqn: 2`]학년 학생 [eqn: 32`]명을 대상으로
박물관 [eqn: rmA`]와 박물관 [eqn: rmB`]에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에
참여한 학생은 박물관 [eqn: rmA`]와 박물관 [eqn: rm B``]중 하나를 선택하였고,
각 학생이 선택한 박물관별 인원수는 다음과 같다.

(단위: 명)
구분	[eqn: 1`]학년	[eqn: 2`]학년	합계
박물관 [eqn: rmA`]	[eqn: 9]	[eqn: 15]	[eqn: 24]
박물관 [eqn: rmB`]	[eqn: 6]	[eqn: 2]	[eqn: 8]
합계	[eqn: 15]	[eqn: 17]	[eqn: 32]

이 조사에 참여한 역사 동아리 학생 중에서 임의로 선택한 [eqn: 1`]명이
박물관 [eqn: rmA`]를 선택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 1`]학년 학생일 확률은?

[3점]

	①	[eqn: {3} over {8} `]	②	[eqn: {5} over {12} `]	③	[eqn: {11} over {24} `]	④	[eqn: {1} over {2} `]	⑤	[eqn: {13} over {24} `]

11. 남학생 [eqn: 4`]명과 여학생 [eqn: 3`]명을 세 개의 모둠으로 나누려 할 때, 모든 모둠에 남학생과 여학생이 각각 [eqn: 1`]명 이상 포함되도록 하는 경우의 수는? [3점]

	①	[eqn: 30]	②	[eqn: 32]	③	[eqn: 34]	④	[eqn: 36]	⑤	[eqn: 38]

12. 포물선 [eqn: y ^{2} =4 LEFT ( x-1 RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm P`]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이고 초점 [eqn: rm F`]에 대하여 [eqn: {bar{rm PF it}} =3`]이다. 포물선 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선의 기울기는? [3점]

	①	[eqn: {sqrt {2}} over {4}]	②	[eqn: {3 sqrt {2}} over {8}]	③	[eqn: {sqrt {2}} over {2}]
	④	[eqn: {5 sqrt {2}} over {8}]	⑤	[eqn: {3 sqrt {2}} over {4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm F]

[eqn: rm P]

[eqn: y ^{2}=4left(x-1right)]

13. 점 [eqn: LEFT ( `1`,~0` RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=e ^{x} `]에 그은 접선을 [eqn: l`]이라 하자.
곡선 [eqn: y=e ^{x} `]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: l`]으로 둘러싸인 부분의 넓이는?                                                        [3점]

	①	[eqn: {1} over {2} e ^{2} -2]	②	[eqn: {1} over {2} e ^{2} -1]	③	[eqn: e ^{2}-3]
	④	[eqn: e ^{2} -2]	⑤	[eqn: e ^{2} -1]

14. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2} -1} over {x} `` LEFT ( x>0 RIGHT ) `]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: g prime LEFT ( 0 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

	①	[eqn: {1} over {4}]	②	[eqn: {1} over {2}]	③	[eqn: {3} over {4}]	④	[eqn: 1]	⑤	[eqn: {5} over {4}]

15. 점 [eqn: rm A LEFT ( `4`,~0` RIGHT )]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이
곡선 [eqn: y=log _{`2`} x`]와 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm B`]를 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x+1} +1`]과 만나는
점을 [eqn: rm C`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는? [4점]

	①	[eqn: 3]	②	[eqn: {7} over {2}]	③	[eqn: 4]	④	[eqn: {9} over {2}]	⑤	[eqn: 5]

16. 확률변수 [eqn: X`]는 평균이 [eqn: m`], 표준편차가 [eqn: 8`]인 정규분포를
따르고, 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: {rmP}(X le k)+{rmP}(X le 100+k)=1`] (나) [eqn: rm P it (X GEQ 2k)=0.0668]

[eqn: m`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0leq Z leq z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

이용하여 구한 것은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

	①	[eqn: 96]	②	[eqn: 100]	③	[eqn: 104]
	④	[eqn: 108]	⑤	[eqn: 112]

17. 사면체 [eqn: rm OABC`]에서 [eqn: {bar{rm OC it}} =3`]이고 삼각형 [eqn: rm ABC`]는 한 변의 길이가 [eqn: 6`]인 정삼각형이다. 직선 [eqn: rm OC`]와 평면 [eqn: rm OAB`]가 수직일 때, 삼각형 [eqn: rm OBC`]의 평면 [eqn: rm ABC] 위로의 정사영의 넓이는?                                                           [4점]

	①	[eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	②	[eqn: sqrt {3}]	③	[eqn: {5 sqrt {3}} over {4}]
	④	[eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]	⑤	[eqn: {7 sqrt {3}} over {4}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O]

18. 서로 같은 흰 공 [eqn: 4`]개와 서로 같은 검은 공 [eqn: 3`]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, 꺼낸 순서대로
[eqn: 1`]부터 [eqn: 7`]까지의 번호를 부여한다. [eqn: 4`]개의 흰 공에 부여된 번호
중 두 번째로 작은 번호를 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, 다음은 [eqn: rm E it (X`)`]를 구하는 과정이다.

	공에 번호를 부여하는 모든 경우의 수를 [eqn: N`]이라 하면 [eqn: N`]은 서로 같은 흰 공 [eqn: 4`]개와 서로 같은 검은 공 [eqn: 3`]개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: N= {BOX{~(가) ~}} `]이고, 확률변수 [eqn: X`]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]이다. (ⅰ) [eqn: X=2`]일 때, 번호 [eqn: 2`]가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개, 번호 [eqn: 2`]가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 3`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 1 times { 5!} over { 2!times3!}`]이므로 [eqn: rm P it (X=2)= {10} over {N`}] (ⅱ) [eqn: X=3`]일 때, 번호 [eqn: 3`]이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개와 검은 공 [eqn: 1`]개, 번호 [eqn: 3`]이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 2`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2!times {4!} over {2!times2!} `]이므로 [eqn: rm P it (X=3)= {12} over {N`} `] (ⅲ) [eqn: X=4`]일 때, 번호 [eqn: 4`]가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개와 검은 공 [eqn: 2`]개, 번호 [eqn: 4`]가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 1`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(나)~}} `]이므로 [eqn: rm P it (X=4)= {{BOX{~(나)~}}} over {N`} `] (ⅳ) [eqn: X=5`]일 때, 확률질량함수의 성질에 의하여 [eqn: rm P it (X=5)=1- left{rm P it (X=2)+ rm P it (X=3) +rm P it (X=4) right}] 따라서 [eqn: rm E it (X`)= sum _{k=2} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT } = {BOX{~(다)~}}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때,
[eqn: a+b+5c`]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 56]	②	[eqn: 58]	③	[eqn: 60]	④	[eqn: 62]	⑤	[eqn: 64]

19. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f left(x right)`]와 [eqn: g left(x right)`]는 [eqn: f left(x right)=x ^{n} -1`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log _{3} LEFT ( x ^{4} +2n RIGHT )`]이다.
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: h prime left(1 right)=0] ㄴ. 열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,~1` RIGHT )`]에서 함수 [eqn: h left(x right)`]는 증가한다. ㄷ. [eqn: x>0`]일 때, 방정식 [eqn: h left(x right)=n`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄴ	③	ㄱ, ㄷ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f left(x right)`]와 [eqn: g left(x right)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g left( x right)= int _{1} ^{x} {{f left(t ^{2} +1 right)} over {t} `dt}] (나) [eqn: int _{2} ^{5} {f left(x right)dx} =16]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3`]일 때, [eqn: int _{1} ^{2} {xg LEFT ( x RIGHT ) dx} `]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 10]

21. 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 [eqn: rm O LEFT ( ` it 0`,~0` RIGHT )]이고
점 [eqn: rm A LEFT ( it `1,`~0` RIGHT )]을 지나는 원 [eqn: C_{`1}] 위의 제[eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 점 [eqn: rm P`]를 원점에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rm Q`], [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rm R`]라 하자. 선분 [eqn: rm QR`]를 지름으로 하는 원 [eqn: C _{`2}]와 두 선분 [eqn: rmPQ`], [eqn: rmAQ`]와의 교점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. [eqn: ANGLE rm POA it = theta `]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rmMQN`], [eqn: rm PNR`]의 넓이를 각각 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `], [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES S` LEFT ( theta RIGHT )} over {T` LEFT ( theta RIGHT )} `}`]의 값은? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmR]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmM]

[eqn: rmN]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: theta]

[eqn: C_{`1}]

[eqn: C_{`2}]

[eqn: S` left(theta right)]

[eqn: T` left(theta right)]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

	단답형

22. 자연수 [eqn: 7`]을 [eqn: 3`]개의 자연수로 분할하는 경우의 수를 구하시오.                                                       [3점]

23. 부등식 [eqn: 4 ^{x} -10times2 ^{x} +16 LEQ 0`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

24. 두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( `4t-2`,~-1` RIGHT )`], [eqn: {vec{b}} = LEFT ( `2`,~1+ {3} over {t} ` RIGHT )`]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2}`]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: t>0]) [3점]

25. [eqn: tan LEFT ( alpha - beta RIGHT ) = {7} over {8}`], [eqn: tan` beta =1`]일 때, [eqn: tan` alpha `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< alpha < {pi } over {2}`], [eqn: 0< beta < {pi } over {2}`]) [3점]

26. [eqn: 3000`]보다 작은 네 자리 자연수 중 각 자리의 수의 합이 [eqn: 10`]이 되는 모든 자연수의 개수를 구하시오. [4점]

27. 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 임의의 점 [eqn: rmP`]와 곡선 [eqn: y= sqrt { x}-3] 위의 임의의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 [eqn: bar{rmPQ}`]의 최솟값은 [eqn: sqrt {a} -b`]이다.
자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b^2`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1``][eqn: LEFT ( a>b>0 RIGHT ) `]의 두 초점 [eqn: rm F` LEFT ( `itc`,```0` RIGHT )`], [eqn: rm F prime LEFT ( `it-c`,```0` RIGHT )``][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )`]이라 하고 점 [eqn: rmF prime`]을 지나는 직선이 타원과 만나는 두 점을 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]라 하자. [eqn: {bar{rm PQ it}} =6`]이고 선분 [eqn: rmFQ`]의 중점 [eqn: rmM`]에 대하여 [eqn: bar{rmFM}=bar{rmPM}=5`]일 때,
이 타원의 단축의 길이를 구하시오. [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm F]

[eqn: rm F prime]

[eqn: rm O]

[eqn: rm M]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

29. 그림과 같이 평면 위에 [eqn: {bar{rm OA it}} =2 sqrt {11}`]을 만족하는
두 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmA`]와 점 [eqn: rmO`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: sqrt {5}`], [eqn: sqrt {14}`]인 두 원 [eqn: C_{`1}`], [eqn: C_{`2}`]가 있다. 원 [eqn: C_{`1}] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]와 원 [eqn: C_{`2}] 위의 점 [eqn: rmR`]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 양수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: {vec{rmPQ}} = it k` {vec{rm QR it}}] (나) [eqn: {vec{rm PQ it}} BULLET{vec{rm AR it}} =0`]이고 [eqn: rm {bar{rm PQ}} : {bar{rm AR}} =2: sqrt {6}]

원 [eqn: C_{`1}] 위의 점 [eqn: rmS`]에 대하여 [eqn: vec{rmAR}bulletvec{rmAS}`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: {M`m}`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: pi over 2 < anglerm ORA < pi `]) [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rmR]

[eqn: rmA]

[eqn: rmP]

[eqn: C_{`2}]

[eqn: C _{`1}]

[eqn: rmQ]

30. [eqn: ab<0`]인 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 함수 [eqn: f left(x right)`]는
[eqn: f left(x right)=left(ax+b right)e^{- { x} over {2 }}`]이고 함수 [eqn: g left(x right)`]는 [eqn: g left(x right)=int_{0}^{x}{f left(t right)dt}`]이다. 실수 [eqn: k``(k>0)`]에 대하여 부등식

[eqn: g left(x right)-k geqxf left( x right)]

를 만족시키는 양의 실수 [eqn: x`]가 존재할 때, 이 [eqn: x`]의 값 중 최솟값을 [eqn: h(k)`]라 하자.
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]는 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 극댓값 [eqn: alpha `]를 갖고 [eqn: h LEFT ( alpha RIGHT ) =2`]이다. (나) [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]의 값이 존재하는 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 8e ^{-2} `]이다.

[eqn: 100` LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x` -> ` INF } {f LEFT ( x RIGHT )} =0`]) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.