수학 영역 (나형)

고 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수학 영역 (나형)

고 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12

2018학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수학 영역 (나형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: 6 TIMES 2 ^{`-1}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,`3,`4 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

3. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{2} =2], [eqn: a _{3} =5`]일 때, [eqn: a _{4} `]의 값은?	[2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

4. [eqn: lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )} over {x-1}}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: 6n-1<a _{n} <6n+1]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{a _{n}} over {n}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

6. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x-1`]에 대하여 [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

7. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `+ lim _{x` -> `0-} {f LEFT ( x RIGHT )} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

8. 그림과 같이 직선 [eqn: x= {5} over {2} `]와 곡선 [eqn: y= sqrt {2x+4} `]가 만나는 점을 [eqn: rm A], 직선 [eqn: x= {5} over {2} `]와 [eqn: x`]축이 만나는 점을 [eqn: rmB]라 할 때,
삼각형 [eqn: rm AOB]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

[eqn: rmO`]

[eqn: -2]

[eqn: x= {5} over {2}]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm A`]

[eqn: y= sqrt {2x+4}]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 3]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

9. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} `=2 ^{n+1} -2`]일 때, [eqn: a _{5} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

10. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p] : [eqn: x ^{2} -7x+10<0`],

[eqn: q] : [eqn: x>a`]

에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는
자연수 [eqn: a`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> `1} {} {sqrt {x+a} -2} over {x-1} =b`]

일 때, [eqn: a+4b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

12. 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` LEFT ( x-1 RIGHT ) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}^{2}&```` LEFT ( x != 1 RIGHT ) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}#``1&```` LEFT ( x=1 RIGHT )}} `],    [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x+k]

에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

13. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 이차방정식

[eqn: x ^{2} `-2nx+n ^{2} -1=0]

의 두 근의 곱을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{INF } ` {2} over {a _{n}}`]의 값은? [3점]

① [eqn: { 1} over { 2} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: { 3} over { 2} `]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: { 5} over { 2} `]

14. 두 정수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= {cases{``a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} `+b _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}&```` LEFT ( x<2 RIGHT ) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}#``-2x+10&```` LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )}}]

는 실수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 갖는다. [eqn: a+b`]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

15. 그림은 두 함수 [eqn: f`:`X`` -> `X`], [eqn: g`:`X`` -> `X``]를 나타낸 것이다.

[eqn: X]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: f]

[eqn: g]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: X]

[eqn: X]

[eqn: X]

함수 [eqn: h`:`X` -> ``X``]가 [eqn: f` CIRC h=g`]를 만족시킬 때, [eqn: LEFT ( h` CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT )`]의 값은?                                                         [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

16. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= {4} over {x}] 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,``4 RIGHT )], [eqn: rm B` it LEFT ( t,` {4} over {t} RIGHT )] [eqn: LEFT ( t>1 RIGHT ) `]
를 지나는 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm P]라 하자.
삼각형 [eqn: rm OPB]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{t` -> ` INF } {S` LEFT ( t RIGHT )} `]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: y= {4} over {x}]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

17. 양수 [eqn: m`]에 대하여 직선 [eqn: y=mx+2m+3`]이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이의 최솟값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12`]

18. [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =`-1], [eqn: a _{3} =4`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: n LEFT ( n-2 RIGHT ) a _{n+1} = sum _{i=1} ^{n} a _{i}]

를 만족시킨다. 다음은

[eqn: a _{n} = {8} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )}] [eqn: LEFT ( n GEQ 3 RIGHT )]

임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(ⅰ) [eqn: n=3`]일 때, [eqn: a _{3} =4= {8} over {LEFT ( 3-1 RIGHT ) LEFT ( 3-2 RIGHT )}]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] [eqn: LEFT ( k GEQ 3 RIGHT ) `]일 때, 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} = {8} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )}]

이다.

[eqn: k LEFT ( k-2 RIGHT ) a _{k+1} = sum _{i=1} ^{k} a _{i} =a _{k} + sum _{i=1} ^{k-1} a _{i}]

[eqn: =a _{k} + LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT ) a _{k}]

[eqn: =a _{k} TIMES {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} LEFT ( 가 RIGHT ) ~~~ _{{}_{}}}}]

[eqn: = {8} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )} TIMES {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} LEFT ( 가 RIGHT ) ~~~ _{{}_{}}}}]

[eqn: = {{BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} LEFT ( 나 RIGHT ) ~~~ _{{}_{}}}}} over {k-1}]

이다. 그러므로

[eqn: a _{k+1} = {1} over {k` LEFT ( k-2 RIGHT )} ` TIMES ` {{BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} LEFT ( 나 RIGHT ) ~~~ _{{}_{}}}}} over {k-1} = {8} over {{BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} LEFT ( 다 RIGHT ) ~~~ _{{}_{}}}} ^{{}^{} ^{}} ^{}}]

이다. 따라서 [eqn: n=k+1`]일 때 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n GEQ 3`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} = {8} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} `]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: {f LEFT ( 13 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 14 RIGHT )} over {h LEFT ( 12 RIGHT )} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 88]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 104]	④ [eqn: 112]	⑤ [eqn: 120]

19. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 실수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]가

[eqn: 2 ^{a} =5 ^{b} =10 ^{n}]
을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?                                                         [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: n=1`]이면 [eqn: a-1=log _{2} 5`]이다. ㄴ. [eqn: n=2`]이면 [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT ) =4`]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{20} {LEFT ( a-n` RIGHT ) LEFT ( b-n` RIGHT )} over {n} =210`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 첫째항이 [eqn: -36]이고 공차가 [eqn: d`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: d`]의 값의 합은? [4점]

(가) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} != 0`]이다.

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =0`]인 [eqn: m`]이 존재한다.

① [eqn: 100]	② [eqn: 104]	③ [eqn: 108]	④ [eqn: 112]	⑤ [eqn: 116]

21. 구간 [eqn: LEFT ( 0,`` INF RIGHT ) `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT ( k+1 RIGHT ) x+3k+6} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}]

이라 할 때, 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합을 [eqn: a _{n} `]이라 하자.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는 [eqn: 4n`]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 600]	② [eqn: 610]	③ [eqn: 620]	④ [eqn: 630]	⑤ [eqn: 640]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{7n+1} over {n}} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: log _{2} 3+log _{2} {4} over {3} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3 ^{n+2} -2 ^{n+1}} over {3 ^{n} +2 ^{n}}}`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 수열 [eqn: left {a_n right }`]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -5 RIGHT ) `]가 수렴할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 3a _{n} +1 RIGHT )} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 함수

[eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} +ax-10} over {x-2 _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}} `````&LEFT ( x != 2 RIGHT ) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}#``b~&LEFT ( x=2 RIGHT )}}]
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 어느 학급 전체 학생 [eqn: 30]명 중 지역 [eqn: rm A]를 방문한 학생이 [eqn: 17]명, 지역 [eqn: rm B]를 방문한 학생이 [eqn: 15]명이라 하자. 이 학급 학생 중에서 지역 [eqn: rm A]와 지역 [eqn: rm B] 중 어느 한 지역만 방문한 학생의 수의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M`m`]의 값을 구하시오.                                                          [4점]

28. [eqn: 100]이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log _{2} {n} over {6} `]이 자연수가 되는 모든 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정육각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1} `]이 있다. 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1} `]과 선분 [eqn: rmB _{1} F _{1} `]의 교점을 [eqn: rmG _{1} `], 선분 [eqn: rm C _{1} E _{1} `]과  선분 [eqn: rm D _{1} F _{1} `]의 교점을 [eqn: rm H _{1} `]이라 하고, 선분 [eqn: rmB _{1} F _{1} `]과 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1} `]의 중점을 각각 [eqn: rmA _{2} `], [eqn: rmB _{2} `]라 하자. 사각형 [eqn: rm F _{1} G _{1} C _{1} H _{1} `]의 내부에   선분 [eqn: rmA _{2} B _{2} `]를 한 변으로 하는 정육각형을 그리고, 이 정육각형의 나머지 네 꼭짓점을 [eqn: rmC _{2} `], [eqn: rm D _{2} `], [eqn: rm E _{2} `], [eqn: rm F _{2} `]라 하자.            사각형 [eqn: rm F _{1} G _{1} C _{1} H _{1} `]의 내부와 정육각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2} `]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.            그림 [eqn: R _{`1} `]에서 선분 [eqn: rm A _{2} C _{2} `]와 선분 [eqn: rm B _{2} F _{2} `]의 교점을 [eqn: rm G _{2} `],       선분 [eqn: rm C _{2} E _{2} `]와 선분 [eqn: rm D _{2} F _{2} `]의 교점을 [eqn: rm H _{2} `]라 하고, 선분 [eqn: rm B _{2} F _{2} `]와 선분 [eqn: rm A _{2} C _{2} `]의 중점을 각각 [eqn: rm A _{3} `], [eqn: rm B _{3} `]이라 하자.             사각형 [eqn: rm F _{2} G _{2} C _{2} H _{2} `]의 내부에 선분 [eqn: rm A _{3} B _{3} `]을 한 변으로 하는 정육각형을 그리고, 이 정육각형의 나머지 네 꼭짓점을      [eqn: rm C _{3} `], [eqn: rm D _{3} `], [eqn: rm E _{3} `], [eqn: rm F _{3} `]이라 하자. 사각형 [eqn: rm F _{2} G _{2} C _{2} H _{2} `]의 내부와 정육각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} E _{3} F _{3} `]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.                                       이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{`n} `} = {q} over {p} sqrt {3}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm E _{1}]

[eqn: R _{`1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm E _{2}]

[eqn: rm F _{2}]

[eqn: rm G _{1}]

[eqn: rm H _{1}]

[eqn: rm F _{1}]

[eqn: R _{`2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm F _{3}]

[eqn: rm D _{3}]

[eqn: rm E _{3}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm C _{3}]

[eqn: rm G _{2}]

[eqn: rm H _{2}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm E _{2}]

[eqn: rm F _{2}]

30. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + {1} over {2} x`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0 LEQ x< {1} over {2}`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: n- {1} over {2} LEQ x<n+ {1} over {2} `]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-n RIGHT ) + {n} over {2}`]이다. (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

(다) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )`]이다.

실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속인 [eqn: alpha `]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha _{1} `], [eqn: alpha _{2} `], [eqn: alpha _{3} `], [eqn: CDOTS `]라 할 때, [eqn: 16 alpha _{20} `]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.