수학 영역

고 1

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2018학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시              수학 영역

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: LEFT ( 3+i RIGHT ) -2i`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [2점]

① [eqn: 1-i]	② [eqn: 2-i]	③ [eqn: 3-i]	④ [eqn: 4-i]	⑤ [eqn: 5-i]

2. [eqn: LEFT ( 2x+3y RIGHT ) LEFT ( 4x-y RIGHT ) `]의 전개식에서 [eqn: xy`]의 계수는? [2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

3. 이차부등식 [eqn: x ^{2} -6x+5 LEQ 0`]의 해가 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta `]일 때, [eqn: beta - alpha `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 등식 [eqn: x ^{3} -x ^{2} +x+3= LEFT ( x ^{`} -1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) +a`]가 [eqn: x`]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

5. 다음은 조립제법을 이용하여 다항식 [eqn: 2x ^{3} +3x+4`]를 일차식 [eqn: x-a`]로 나누었을 때, 나머지를 구하는 과정을 나타낸 것이다.

[eqn: a]	[eqn: 2]	[eqn: 0]			[eqn: 3]			[eqn: 4]
		[eqn: 2]
	[eqn: 2]								[eqn: b]

위 과정에 들어갈 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a + b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

6. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x LEFT(x+2 RIGHT ) +a`]가 이차식 [eqn: LEFT ( x+b RIGHT ) ^{2} `]으로 인수분해될 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

7. [eqn: x`]에 대한 부등식

[eqn: LEFT | x-a RIGHT | <2]

를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합이 [eqn: 33]일 때, 자연수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

8. [eqn: x`]에 대한 삼차방정식

[eqn: ax ^{3} +x ^{2} +x-3=0]

의 한 근이 [eqn: 1]일 때, 나머지 두 근의 곱은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -5x+k`]의 그래프와 [eqn: x`]축이 서로 다른 두 점 에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

10. 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: r], 높이가 [eqn: h`]인 원기둥 모양의 용기에 대하여

[eqn: r+2h=8], [eqn: r ^{2} -2h ^{2} =8]

일 때, 이 용기의 부피는? (단, 용기의 두께는 무시한다.) [3점]

① [eqn: 16pi]	② [eqn: 20pi]	③ [eqn: 24pi]	④ [eqn: 28pi]	⑤ [eqn: 32pi]

[eqn: r]

[eqn: h]

11. [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 두 연립방정식

[eqn: {cases{`3x+y=a _{{}_{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}}&#`2x+2y=1&}}],  [eqn: {cases{`x ^{2} -y ^{2} =`-1 _{{}_{{}_{}}}&#`x-y=b&}}]

의 해가 일치할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. 다항식 [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +x-1`]을 일차식 [eqn: x-a`]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )], 나머지는 [eqn: 3]이다. [eqn: Q` LEFT ( a RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)                                                           [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

13. [eqn: 5] 이하의 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 복소수 [eqn: z`]를 [eqn: z=a+bi`]라
할 때, [eqn: {z} over {{bar{z}}} `]의 실수부분이 [eqn: 0]이 되게 하는 모든 복소수 [eqn: z`]의 개수는? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: {bar{z}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

14. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -3x+4=0`]의 세 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma `]라
할 때, [eqn: LEFT ( 3+alpha RIGHT ) LEFT ( 3+beta RIGHT ) LEFT ( 3+gamma RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

15. [eqn: 2018 ^{3} -27`]을 [eqn: 2018 TIMES 2021+9`]로 나눈 몫은? [4점]

① [eqn: 2015]	② [eqn: 2025]	③ [eqn: 2035]	④ [eqn: 2045]	⑤ [eqn: 2055]

16. 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 복소수 [eqn: z=a+2bi`]가 [eqn: z ^{2} + LEFT ( ` {bar{z}} ` RIGHT ) ^{2} =0`]을 만족시킬 때, [eqn: 6a+12b ^{2} +11`]의 최솟값은?
(단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: {bar{z}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

17. 실린더에 담긴 액체의 높이를 [eqn: h LEFT ( rm m RIGHT )], 액체의 밀도를 [eqn: rho LEFT ( rm kg/m ^{3} RIGHT )], 액체의 무게에 의한 밑면에서의 압력을 [eqn: P` LEFT ( rm N/m ^{2} RIGHT ) `]라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[eqn: P= rho gh`](단, [eqn: g`]는 중력가속도이다.)

실린더 [eqn: A`]에 담긴 액체의 높이는 실린더 [eqn: B``]에 담긴 액체의 높이의 [eqn: 15]배이고, 실린더 [eqn: A`]에 담긴 액체의 밀도는 실린더 [eqn: B``]에 담긴 액체의 밀도의 [eqn: {3} over {5}]배이다. 실린더 [eqn: A`]에 담긴 액체의 무게에 의한 밑면에서의 압력과 실린더 [eqn: B``]에 담긴 액체의 무게에 의한 밑면에서의 압력을 각각 [eqn: P _{A}], [eqn: P _{B} `]라 할 때, [eqn: {P _{A}} over {P _{B}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 3``]	② [eqn: 5``]	③ [eqn: 7``]	④ [eqn: 9``]	⑤ [eqn: 11``]

18. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=x ^{2}]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

		<보 기>
	ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: 3]이다. ㄴ. [eqn: n=3`]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =10`]의 서로 다른 두 실근의 합은 [eqn: 6]이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: y=x- {3n-4} over {2} `]와 만나지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 그림과 같이 직선 위에 [eqn: {bar{rm AB it}} =6`]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B]가 있다. 선분 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm C]에 대하여 선분 [eqn: rm AC]의 중점을 [eqn: rm P _{1}], 선분 [eqn: rm CB]의 중점을 [eqn: rm P _{2}]라 하고 [eqn: {bar{rm P _{1} C it}} =a], [eqn: {bar{rm CP _{2} it}} =b`]라 하자. 점 [eqn: rmP _{1}]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: a+ {1} over {2} `]인 반원 [eqn: O _{1} `], 점 [eqn: rmP _{2}]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: b+ {1} over {2} `]인 반원 [eqn: O _{2} `]를 각각 그린 후, 선분 [eqn: rm P _{1} P _{2}]를 지름으로 하는 반원을 그린다. 두 반원 [eqn: O _{1} `]과 [eqn: O _{2} `]의 교점이 호 [eqn: rm `P _{1} P _{2}] 위에 있을 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`<`b`]) [4점]

[eqn: rm rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm C]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: {9} over {4}]	④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: {13} over {4}]

20. 다음은 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식

[eqn: 2x ^{3} -5x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x-k=0`]

의 서로 다른 세 실근이 직각삼각형의 세 변의 길이일 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} -5x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x-k=0`]에서

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( ` {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (가) _{{}_{}} ~~~}} `+k RIGHT ) =0]

이므로 삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} -5x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x-k=0`]의 서로 다른 세 실근은 [eqn: 1]과 이차방정식 [eqn: {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (가) _{{}_{}} ~~~}} `+k=0`]의 두 근이다. 이차방정식 [eqn: {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (가) _{{}_{}} ~~~}} `+k=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `] [eqn: LEFT ( alpha > beta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta `]가 직각삼각형의 세 변의 길이가 되는 경우는 다음과 같이 [eqn: 2]가지로 나눌 수 있다.

(i) 빗변의 길이가 [eqn: 1]인 경우

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =1`]이므로 [eqn: LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =1`]이다.

그러므로 [eqn: k={BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (나) _{{}_{}} ~~~}} `]이다.

그런데 [eqn: {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (가) _{{}_{}} ~~~}} `+k=0`]에서 판별식 [eqn: D<0`]이므로
[eqn: alpha `], [eqn: beta `]는 실수가 아니다. 따라서 [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta `]는     직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다.

(ii) 빗변의 길이가 [eqn: alpha `]인 경우

[eqn: 1+ beta ^{2} = alpha ^{2} `]이므로 [eqn: LEFT ( alpha + beta RIGHT ) LEFT ( alpha - beta RIGHT ) =1`]이다.

그러므로 [eqn: k= {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (다) _{{}_{}} ~~~}} `]이다. 이때 [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있다.

따라서 (i)과 (ii)에 의하여 [eqn: k= {BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (다) _{{}_{}} ~~~}} `]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES {q} over {p} `]의 값은? [4점]

① [eqn: { 13} over { 2} ``]	② [eqn: { 15} over { 2} ``]	③ [eqn: { 17} over { 2} ``]	④ [eqn: {19} over {2} ``]	⑤ [eqn: {21} over {2} ``]

21. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 이차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) =4]

(나) [eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} + LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} =12x ^{4} +24x ^{3} +12x ^{2} +16]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항의 계수가 음수일 때, [eqn: P` LEFT ( 2 RIGHT ) +Q` LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은?

[4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: x+y=6], [eqn: xy=2`]일 때, [eqn: x ^{2} y+xy ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 두 근이 [eqn: 3], [eqn: 4]일 때,
두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 연립부등식

[eqn: {cases{`x-1 GEQ 2 _{{}_{{}_{}}}&#`x ^{2} -6x LEQ -8&}} `]

의 해가 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta `]이다. [eqn: alpha + beta `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +6x-9=0`]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: 2 LEFT ( 2 alpha ^{2} + beta ^{2} RIGHT ) +6 LEFT ( 2 alpha + beta RIGHT  )`]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{4} +ax+b`]가 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} `]으로 나누어떨어질 때, 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b+Q` LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax- LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x=`-1`]에서 최솟값을 가진다.

(나) 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=cx`]가

한 점에서만 만난다.

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: a+b+c`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 한 모서리의 길이가 [eqn: a`]인 정육면체 모양의 입체도형이 있다.  이 입체도형에서 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: b`]이고 높이가 [eqn: a`]인 원기둥 모양의 구멍을 뚫었다. 남아 있는 입체도형의 겉넓이가 [eqn: 216+16 pi `]일 때, 두 유리수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 15 LEFT ( a-b{right)` RIGHT .]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>2b`]) [4점]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

29. 최고차항의 계수가 음수인 이차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) +x RIGHT } ^{2} = LEFT ( x ^{`} -a RIGHT ) LEFT ( x ^{`} +a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +5 RIGHT ) +9`]

를 만족시킨다. [eqn: LEFT { P` LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0]) [4점]

30. 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 일차식 [eqn: x-a`]를 인수로 가지는 다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -290x ^{2} +b`]가 다음 조건을 만족시킨다.

계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 세 개의 다항식의

곱으로 인수분해된다.

모든 다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )`]의 개수를 [eqn: p`]라 하고, [eqn: b`]의 최댓값을 [eqn: q`]라 할 때, [eqn: {q} over {LEFT ( `p-1 RIGHT ) ^{2}} `]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.