수학 영역(나형)

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수학 영역(나형)

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2018학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

12

1. 집합 [eqn: A= LEFT { -1,```0,```1,```2 RIGHT } `]에 대하여 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. [eqn: sqrt {4} TIMES root {3} of {8}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

3. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( {2} over {n} + {1} over {2} RIGHT )`]의 값은? [2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

4. 세 수 [eqn: 3], [eqn: -6], [eqn: a`]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

5. 두 함수 [eqn: f(x)= sqrt {x+1} -3], [eqn: g(x)= it x+1``]에 대하여 [eqn: LEFT ( `g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

6. 전체집합 [eqn: U`= LEFT { x` LEFT | `x`]는 [eqn: 6] 이하의 자연수[eqn: it RIGHT }`]의 두 부분집합
[eqn: A], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: A= LEFT { x` LEFT | `x` RIGHT . RIGHT .]는 [eqn: 5] 이하의 자연수[eqn: it RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { x` LEFT | `x`]는 홀수[eqn: it RIGHT }]

일 때, 집합 [eqn: A{cap}B` ^{C} `]의 모든 원소의 합은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

7. 함수 [eqn: y= {1} over {x+3} +8`]의 그래프의 점근선은 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=b`]이다. [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

8. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_{`n} right } `]에 대하여 [eqn: lim_{n -> inf} 1 over a_{`n} =0 `]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {-2a _{`n} +1} over {a _{`n} +3} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

9. 등식 [eqn: sum _{k=1} ^{5} {1} over {k} =a+ sum _{k=1} ^{5} {1} over {k+1} `]을 만족시키는 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

10. 다음은 상용로그표의 일부이다.

수	…	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]
…	…	…	…	…
[eqn: 4.0]	…	[eqn: 0.6096]	[eqn: 0.6107]	[eqn: 0.6117]
[eqn: 4.1]	…	[eqn: 0.6201]	[eqn: 0.6212]	[eqn: 0.6222]
[eqn: 4.2]	…	[eqn: 0.6304]	[eqn: 0.6314]	[eqn: 0.6325]
…	…	…	…	…

위의 표를 이용하여 구한 [eqn: log root 419`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1.3106]	② [eqn: 1.3111]	③ [eqn: 2.3106]

④ [eqn: 2.3111]	⑤ [eqn: 3.3111]

11. 등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2x-3} over {7} RIGHT ) ^{`n} `]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

[3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

12. [eqn: {1} over {log _{`4} `18} + {2} over {log` _{9} `18} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

13. 두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]의 진리집합이 각각

[eqn: P`= LEFT { 2,```3,```a ^{2} RIGHT }], [eqn: Q`= LEFT { 4,```a+1 RIGHT }]

이다. 명제 [eqn: p`` -> ``q`]의 역이 참일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

14. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - root3 of 81 x + a=0`]의 두 근이 [eqn: root3 of 3 `]과 [eqn: b`]일 때, [eqn: a b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 3 root {3} of {9}]	③ [eqn: 6 root {3} of {3}]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 6 root {3} of {9}]

15. [eqn: a`]가 자연수일 때, 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p`:` LEFT | x RIGHT | {ge}a],

[eqn: q`:`x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEQ 0]

이 있다. [eqn: p]가 [eqn: SIM q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 [eqn: a`]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

16. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,```4 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 3,```3 RIGHT ) `]을 이은 선분 [eqn: rmAB]와 함수 [eqn: y=a sqrt {x} +b`]의 그래프가 만나도록 하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]의 개수는? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

17. 무리함수 [eqn: f(x)= sqrt {ax+b} +1`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 곡선 [eqn: y=g(x)`]가 점 [eqn: LEFT ( 1,```3 RIGHT ) `]에서 만날 때, [eqn: g(5)`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

18. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-2n RIGHT ) ^{2} `]이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rmP}_n`], [eqn: rm Q it _{n}]이라 하자.

두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rm Q _{it n rm}]을 지나는 직선과 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-2n RIGHT ) ^{2} `]으로 둘러싸인 영역(경계선 포함)에 속하고 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. 다음은 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{`n}} over {n ^{3}} `]의 값을 구하는 과정이다.

두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rm Q _{it n rm}]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y= {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} `{times}x+4n ^{2}]

이다.

주어진 영역에 속하는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: k`]([eqn: k`]는 [eqn: 2n-1] 이하의 자연수)이고 [eqn: y`]좌표가 자연수인 점의 개수는 [eqn: {BOX{~~`` ^{`} (나) ^{`} ~~}} `+2nk`]이므로

[eqn: a _{`n}][eqn: = sum _{k=1} ^{2n-1} LEFT ( ` {BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} `+2nk RIGHT )]

이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{`n}} over {n ^{3}} =` {BOX{~~ ^{`} (다) ^{`} ~~}} `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: p TIMES f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 100]	② [eqn: 105]	③ [eqn: 110]	④ [eqn: 115]	⑤ [eqn: 120]

19. 그림과 같이 [eqn: {bar{rm A_1 B_1 } =2`], [eqn: {bar{rm B_1 C_1 } =3`]인 직사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]이 있다. 선분 [eqn: rmA_1 D_1]을 삼등분하는 점 중에서 [eqn: rmA_1]에 가까운 점부터 차례대로 [eqn: rmE _{1}], [eqn: rmF _{1}]이라 하고, 선분 [eqn: rm B _{1} F _{1}]과 선분 [eqn: rm C _{1} E _{1}]의 교점을 [eqn: rm G _{1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmB _{1} G _{1} E _{1}]과 삼각형 [eqn: rmC _{1} F _{1} G _{1}]의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{`1}]에서 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}] 위에 두 꼭짓점 [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2]가 있고, 선분 [eqn: rm B _{1} G _{1}] 위에 꼭짓점 [eqn: rmA_2], 선분 [eqn: rm C _{1} G _{1}] 위에 꼭짓점 [eqn: rmD_2]가 있으며 [eqn: {bar{rm A _{2} B _{2} it}} `:` {bar{rm B _{2} C _{2} it}} =2`:`3`]인 직사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]를 그린다. 선분 [eqn: rmA_2 D_2]를 삼등분하는 점 중에서 [eqn: rmA_2]에 가까운 점부터 차례대로 [eqn: rm E _{2}], [eqn: rm F _{2}]라 하고, 선분 [eqn: rm B _{2} F _{2}]와 선분 [eqn: rm C _{2} E _{2}]의 교점을 [eqn: rm G _{2}]라 하자. 삼각형 [eqn: rm B _{2} G _{2} E _{2}]와 삼각형 [eqn: rm C _{2} F _{2} G _{2}]의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{``n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{`n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{`n}]의 값은? [4점]

[eqn: R _{`1}]	[eqn: R _{`2}]
	…
[eqn: R _{`3}]	…

① [eqn: {141} over {80}]	② [eqn: {143} over {80}]	③ [eqn: {29} over {16}]	④ [eqn: {147} over {80}]	⑤ [eqn: {149} over {80}]

20. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT } `]의 일반항이

[eqn: a _{`n} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} +3} over {2}], [eqn: b _{`n} =p TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} +q`]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 실수이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]은 발산한다. ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT } `]이 수렴하도록 하는 실수 [eqn: p`]가 존재한다. ㄷ. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} +b _{`n} RIGHT }], [eqn: LEFT { a _{`n} b _{`n} RIGHT } `]이 모두 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { LEFT ( a _{`n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b _{`n} RIGHT ) ` ^{2} RIGHT } =6`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7,```8,```9 RIGHT }]에 대하여 두 함수 [eqn: f`:`X``` -> ``X``], [eqn: g`:`X``` -> ``X``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)=8], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) !=6]

(나) 함수 [eqn: LEFT ( `g CIRC f` RIGHT ) ` LEFT ( x RIGHT ) `]는 항등함수이다.

(다) 집합 [eqn: `X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)+g(x)`]의 값은 일정하다.

[eqn: (`f CIRC f CIRC f)(7)]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

단답형

22. 첫째항이 [eqn: 10`]이고 공차가 [eqn: 5`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{`3} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: log` _{2} ` LEFT ( 2 ^{`2} TIMES 2 ^{`3} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{`n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{`n} =7`]일 때, [eqn: ` lim _{n -> INF } {} LEFT ( 2a _{`n} +3S _{`n} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: 2 ^{`a} +2 ^{`b} =2], [eqn: 2^-a + 2^-b `= 9 over 4]

일 때, [eqn: 2 ^{`a+b}`]의 값은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

26. 첫째항이 [eqn: 6`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{`n+1} = {cases{``2-a _{`n _{`}} ~~&LEFT ( a _{`n} GEQ 0 RIGHT ) _{`}#``a _{`n} +p ^{`}&LEFT ( a _{`n} <0 RIGHT ) ^{`}}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{`4} =0`]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

27. 어느 학급에서 진로 체험 활동으로 직업 체험과 대학 탐방을 실시하기로 하였다. 이 학급 학생 [eqn: 31]명을 대상으로 신청을 받은 결과 직업 체험과 대학 탐방을 모두 신청한 학생은 [eqn: 5]명, 직업 체험과 대학 탐방 중 어느 것도 신청하지 않은 학생은 [eqn: 3]명이다. 또, 직업 체험을 신청한 학생 수는 대학 탐방을 신청한 학생 수의 [eqn: 2]배이다. 직업 체험을 신청한 학생 수를 구하시오. [4점]

28. 좌표평면에 그림과 같이 직선 [eqn: l`]이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( n,```0 RIGHT ) `]을 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: l`]과 만나는 점의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. [eqn: a _{`4} = {7} over {2}], [eqn: a _{`7} =5`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{25} a _{`k} `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 전체집합 [eqn: U`= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT } `]의 공집합이 아닌 두 부분집합
[eqn: A], [eqn: B``]에 대하여 두 명제

‘집합 [eqn: A`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x ^{2} -3x<0`]이다.’,

‘집합 [eqn: B``]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x{in}A`]이다.’

가 있다. 두 명제가 모두 참이 되도록 하는 두 집합 [eqn: A], [eqn: B``]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,```B`` RIGHT ) `]의 개수를 구하시오. [4점]

30. [eqn: n`]이 자연수일 때, 함수 [eqn: f(x)= {x+2n} over {2x-p}]이

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 5 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT )]

을 만족시키도록 하는 자연수 [eqn: p`]의 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: p=m`]일 때의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 함수 [eqn: g(x)= {2x+n} over {x+q} `]이

[eqn: g(`f(5))<g(`f(3))<g(`f(1))]

을 만족시키도록 하는 자연수 [eqn: q`]의 개수를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자.
[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{`k} `]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.