수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2018학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: {}_{7} rm C _{2} `]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

2. 함수 [eqn: f(x)=x+2`sin`x`]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {3} RIGHT ) `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

3. [eqn: lim _{x` -> `0} {} LEFT ( 1+2x RIGHT ) ^{{1} over {x}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {2e}]	③ [eqn: {1} over {e}]	④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

4. [eqn: tan` theta =it-3`]일 때, [eqn: sec ^{2} `theta`]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

5. 함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -e ^{-x} `]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `0} {} {f(x)} over {x} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 세 개를 선택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는? [3점]

① [eqn: 90]	② [eqn: 95]	③ [eqn: 100]	④ [eqn: 105]	⑤ [eqn: 110]

7. [eqn: int _{1} ^{2} {} x sqrt {x ^{2} -1} `dx`]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {5}]	④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: sqrt {7}]

8. 최대 충전 용량이 [eqn: Q _{0} `][eqn: left(Q _{0} >0right)`]인 어떤 배터리를 완전히 방전시킨 후 [eqn: t`]시간 동안 충전한 배터리의 충전 용량을 [eqn: Q`(t)`]라 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: Q`(t)=Q _{0} LEFT ( 1-2 ^{- {t} over {a}} RIGHT ) `] (단, [eqn: a`]는 양의 상수이다.)

[eqn: {Q`(4)} over {Q`(2)} = {3} over {2} `]일 때, [eqn: a`]의 값은? (단, 배터리의 충전 용량의 단위는 [eqn: rmmAh`]이다.) [3점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

9. 그림과 같이 두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x} +1], [eqn: g(x)= it -2 ^{x-1} +7`]의 그래프가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 하고, 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 곡선 [eqn: y=g(x)`]가 만나는 점을 [eqn: rmC`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는? [3점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

10. 함수 [eqn: f(x)= {x-1} over {x ^{2} -x+1} `]의 극댓값과 극솟값의 합은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {5} over {6}]	③ [eqn: - {2} over {3}]	④ [eqn: - {1} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {3}]

11. 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -1,```2 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {3} over {a} RIGHT ) ^{x} `]의 최댓값이 [eqn: 4`]가 되도록 하는 모든 양수 [eqn: a`]의 값의 곱은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

12. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=xe ^{x}] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```e RIGHT ) `]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 곡선 [eqn: y=xe ^{x} `]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: l`]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3점]

① [eqn: 2e-3]	② [eqn: 2e- {5} over {2}]	③ [eqn: e-2]

④ [eqn: e- {3} over {2}]	⑤ [eqn: e-1]

13. [eqn: 0<x< {pi} over {2} `]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln` LEFT ( tan`x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축이 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 [eqn: y`]절편은? [3점]

① [eqn: -pi]	② [eqn: - {5} over {6} pi]	③ [eqn: - {2} over {3} pi]	④ [eqn: - {pi } over {2}]	⑤ [eqn: - {pi} over {3}]

14. 뉴턴의 냉각법칙에 따르면 온도가 [eqn: 20`]으로 일정한 실내에 있는 어떤 물질의 시각 [eqn: t`](분)에서의 온도를 [eqn: T``(t)`]라 할 때, 함수 [eqn: T``(t)`]의 도함수 [eqn: T`` prime (t)`]에 대하여 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: int _{} ^{} {} {T`` prime (t)} over {T``(t)-20} dt=kt+C] (단, [eqn: k], [eqn: C``]는 상수이다.)

[eqn: T``(0)=100], [eqn: T``(3)=60`]일 때, [eqn: k`]의 값은? (단, 온도의 단위는 [eqn: °rmC`]이다.) [4점]

① [eqn: it - {ln`2} over {3}]	② [eqn: it - {2`ln`2} over {3}]	③ [eqn: it -ln`2]

④ [eqn: it - it {4`ln`2} over {3}]	⑤ [eqn: it - {5`ln`2} over {3}]

15. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,```f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선 [eqn: l`]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 [eqn: l`]은 제[eqn: `2`]사분면을 지나지 않는다.

(나) 직선 [eqn: l`]과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 도형은 넓이가 [eqn: 2`]인 직각이등변삼각형이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =xf LEFT ( 2x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: g prime LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

16. 그림과 같이 제[eqn: `1`]사분면에 있는 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` LEFT ( x+1 RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP`]를 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 하자. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: bar{rmPQ}= sqrt {2} n`]이 되도록 하는 점 [eqn: rmQ`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: x _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 72]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 120]

17. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g ( x ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(0)=1]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)`g prime (`f(x))= {1} over {x ^{2} +1} `]이다.

[eqn: f(3)`]의 값은? [4점]

① [eqn: e ^{3}]	② [eqn: e ^{6}]	③ [eqn: e ^{9}]	④ [eqn: e ^{12}]	⑤ [eqn: e ^{15}]

18. 다음은 부등식

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } GEQ 10 TIMES _{2n} rm C it rm _{n+1}]

을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하는 과정이다.

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} `]이다.

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는

[eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} TIMES ` _{n} rm C it rm _{n-k} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2}]

이다. 그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } + sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n-k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: + LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n-1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n-2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{0} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } ~]

[eqn: = {BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} ` TIMES LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( ` _{n} rm C _{1} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+ LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = {BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} ` TIMES ` {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}}]

이다.

따라서 부등식 [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } GEQ 10 TIMES _{2n} rm C it rm _{n+1}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (다) ^{`} ~~}} `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g ( n ) `]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: f(3)+g(3)+p`]의 값은? [4점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

19. 그림과 같이 길이가 [eqn: 1`]인 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE rm ABP`]를 삼등분하는 두 직선이 선분 [eqn: rmAP`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR`]라 하자. [eqn: rmanglePAB=theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rm BRQ`]의 넓이를 [eqn: S`( theta )`]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {S`( theta )} over {theta ^{2}} `]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]) [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: 3]

20. 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {} sin` LEFT ( pi `cos`t RIGHT ) `dt`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f` prime (0)=0] ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. ㄷ. [eqn: f( pi )=0]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) e ^{x} `]과 함수 [eqn: g ( x ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f ( 1 ) =e], [eqn: f` prime ( 1 ) =e]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(`f(x))=f` prime (x)`]이다.

함수 [eqn: h(x)=f` ^{-1} (x)`g(x)`]에 대하여 [eqn: h prime (e)`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

단답형

22. 부등식 [eqn: log` _{2} `left(x-2right)<2`]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

23. [eqn: tan` alpha =4], [eqn: tan` beta = it -2`]일 때, [eqn: tan`( alpha + beta )= {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

24. [eqn: P`(5,```3)+S`(5,```3)`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 함수 [eqn: f(x)=sin ^{2} `x+sin` LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) pile{`#`} +1`]의 최댓값을 [eqn: M`]이라 할 때, [eqn: 4M`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 세 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rm C`]에서 중복을 허락하여 각각 홀수 개씩 모두 [eqn: 7`]개를 선택하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 모든 문자는 한 개 이상씩 선택한다.) [4점]

27. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f ( x ) `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x int _{0} ^{x} {} f(t)`dt- int _{0} ^{x} {} tf(t)`dt=ae ^{2x} -4x+b]

를 만족시킬 때, [eqn: f(a)`f(b)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

28. 함수 [eqn: f(x)=ln`x`]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2}} `f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) pile{`#`} = {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점]

29. 사과, 배, 귤 세 종류의 과일이 각각 [eqn: 2`]개씩 있다. 이 [eqn: 6`]개의 과일 중 [eqn: 4`]개를 선택하여 [eqn: 2`]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않고, 과일을 한 개도 받지 못하는 학생은 없다.) [4점]

30. 함수

[eqn: f(x)= {cases{`e _{{}_{`}}^{x ^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 0 LEQ x<`1 RIGHT )#`e _{{}_{`}}^{2-x ^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}}]

에 대하여 열린 구간 [eqn: left(0,```2right)`]에서 정의된 함수

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt]

의 극댓값과 극솟값의 차는 [eqn: ae+b root {3} of {e ^{2}}]이다. [eqn: LEFT ( ab RIGHT ) ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.