수학 영역(나형)

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수학 영역(나형)

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2018학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: 3^ {5over2} times3^{- 1over2 }`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1 over9]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

2. 두 다항식
[eqn: A=2x ^{2} -y`], [eqn: B=it-x ^{2} +y`]

에 대하여 [eqn: A-B``]를 간단히 나타낸 것은? [2점]

① [eqn: x^2 -2y]	② [eqn: x^2 +y]	③ [eqn: 3x^2 -y]

④ [eqn: 3x^2 +y]	⑤ [eqn: 3x ^{2} -2y]

3. [eqn: LEFT ( 2+i RIGHT ) ^{2} `]의 값은? (단, [eqn: i=root-1`]) [2점]

12

① [eqn: 2+2i]	② [eqn: 2+3i]	③ [eqn: 3+3i]	④ [eqn: 3+4i]	⑤ [eqn: 3+5i]

4. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmO(0`,``0)`], [eqn: rm A(6`,``6)`]에 대하여 선분 [eqn: rm OA`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점의 [eqn: x`]좌표는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 두 함수 [eqn: f(x) = 2x+3`]과 [eqn: g(x) = x-2`]에 대하여 [eqn: (`g circ f ) (3)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

6. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식
[eqn: x^3 -2x^2 -x+14=(x+a)(x^2 +bx+7)`]

이 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

7. 다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x ^{2} -1`]로 나눈 몫은 [eqn: 2x+1`]이고 나머지가 [eqn: 5`]일 때, 다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

8. 함수 [eqn: y= sqrt{2x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: (9`,``a)`]를 지날 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

9. [eqn: 0 LEQ x LEQ4`]에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -6x +k`]의 최댓값이 [eqn: 17`]일 때, 이차함수 [eqn: f(x)`]의 최솟값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

[3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

10. 연립방정식
[eqn: cases{` 3x-y=0 #` &``x^2 +y^2 =90}`]
의 해를 [eqn: x=a`], [eqn: y=b`]라 할 때, 두 수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

11. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p`]: [eqn: LEFT|x-a RIGHT | LEQ1`],

[eqn: q`]: [eqn: x^2 -2x-8>0]

에 대하여 [eqn: p`` ->` SIM q`]가 참이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최댓값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. 그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4y+k=0`]과 직선 [eqn: 2x -y+5=0`]이 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]에서 만난다. [eqn: bar{ rmAB}` =4`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

13. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { 0,``2,``4,``6,``8 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f`]를
[eqn: f(x)=]([eqn: 2x^2 `]의 일의 자리의 숫자)

로 정의하자. [eqn: f(a)=2`], [eqn: f(b)=8`]을 만족시키는 [eqn: X`]의 원소 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

14. 2018 평창 동계 올림픽 대회 및 동계 패럴림픽 대회 자원봉사 포털 사이트에 접속한 사람 중에서 [eqn: 100`]명을 대상으로 자원봉사 활동 신청 여부를 조사하였다. 그 결과 동계 올림픽 대회의 자원봉사 활동을 신청한 사람이 [eqn: 51`]명, 동계 패럴림픽 대회의 자원봉사 활동을 신청한 사람이 [eqn: 42`]명, 두 대회의 자원봉사 활동 중 어느 것도 신청하지 않은 사람이 [eqn: 25`]명이다. 두 대회의 자원봉사 활동 중에서 하나만 신청한 사람의 수는?

[4점]

① [eqn: 55]	② [eqn: 57]	③ [eqn: 59]	④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 63]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =1`]이고,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {a _{k}} - {1} over {a _{k+1}} RIGHT )` = {2n} over {2n+1}] ([eqn: n=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: cdots`])

을 만족시킨다. [eqn: a_10 `]의 값은? [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 22]

16. 좌표평면에서 함수 [eqn: y = 1 overx`]의 그래프가 점 [eqn: (root 3 ofa `, ``root b `)`]를 지날 때, [eqn: log`_a `b + log`_b `a`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 [eqn: 1`]이 아닌 양수이다.)

[4점]

① [eqn: - 17 over6]	② [eqn: - 8 over3]	③ [eqn: - 5 over2]	④ [eqn: - 7 over3]	⑤ [eqn: - 13 over6]

17. 함수 [eqn: y= 2sqrt {x}`]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 각각 평행한 직선이 함수 [eqn: y= sqrt {x}`]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ACB`]가 직각이등변삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rmA`]는 제[eqn: 1`]사분면에 있다.) [4점]

① [eqn: 1 over18]	② [eqn: 1over15]	③ [eqn: 1over12]	④ [eqn: 1 over9]	⑤ [eqn: 1 over6]

18. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+n RIGHT }]

[eqn: = {n(n+1)(n+2)(3n+1)} over {24} ``] [eqn: cdotscdots~](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,
[eqn: (좌변)=1`], [eqn: (우변)=1`]이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+m RIGHT }]

[eqn: = {m(m+1)(m+2)(3m+1)} over {24} ``]

이다.
[eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+m+(m+1) RIGHT }`]
[eqn: = sum_k=1^m k LEFT{k+(k+1)+(k+2)+`cdots`+m+(m+1) RIGHT } `+`{BOX{~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~}}]
[eqn: =sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+m RIGHT } `+`{BOX{~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~}}` +`{BOX{~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~}}`]

[eqn: ={(m+1)(m+2)(m+3)(3m+4)} over {24}]
따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(4)+g(2)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 34]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 38]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 42]

19. 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합이 각각

[eqn: P`= LEFT { (x`,``y) ``|`` LEFT|x RIGHT |-1 LEQy LEQ 1` RIGHT }],

[eqn: Q`= LEFT { (x`,``y) ``|`` x ^{2`} +(`y-a) ^{2} LEQ b^2 ` RIGHT }]

이다. [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 양수 [eqn: b`]의 최댓값은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.) [4점]

① [eqn: root2 -1]	② [eqn: 2- root2]	③ [eqn: 2root2 -2]

④ [eqn: 4-2root2]	⑤ [eqn: 2root2 -1]

20. 실수 [eqn: x`]에 대한 부등식
[eqn: x ^{2} -9 LEQ 2k(x-a)`]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`], [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a=3`]일 때, 부등식의 해는 [eqn: x LEQ 2k-3`]이다. ㄴ. [eqn: a=5`]일 때, 부등식의 해가 존재하지 않도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 7`]이다. ㄷ. [eqn: -3 LEQ a LEQ 3`]일 때, 모든 실수 [eqn: k`]에 대하여 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 값은 항상 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 전체집합 [eqn: U= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6,``7,``8 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n LEFT ( A SMALLUNION B ` RIGHT ) =5`]

(나) [eqn: n LEFT(A-B` RIGHT)=2]

(다) [eqn: a IN A`]이면 [eqn: {a+1} over {2} IN B`] 또는 [eqn: {a+8} over {2} IN B`]이다.

집합 [eqn: B`-A`]에 속하는 모든 원소의 합의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M`+m`]의 값은? [4점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

단답형

22. [eqn: log _{`2} `8`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 이차방정식 [eqn: x^2 -7x+10=0`]의 두 근의 합을 구하시오. [3점]

24. 좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +10x-12y+45=0`]을 원점에 대하여 대칭이동한 원을 [eqn: C` _{1} `]이라 하고, 원 [eqn: C `_{1} `]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 원을 [eqn: C `_{2} `]라 하자. 원 [eqn: C `_{2} `]의 중심의 좌표를 [eqn: (a`,``b)`]라 할 때, [eqn: 10a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 함수 [eqn: f(x)= {4x+9} over {x-1} `]의 그래프의 점근선이 두 직선 [eqn: x=a`], [eqn: y=b`]일 때, [eqn: f`^-1 (a+b)`]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: a _{3} =3`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{{a _{n} +3} over {2}&``(a _{n} 이~홀수인````경우)#``````` {a _{n}} over {2}&``(a _{n} 이~짝수인````경우)}}]
이다. [eqn: a_1 ge10`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. [그림 [eqn: 1]]과 같이 [eqn: bar{rmAD}=8`], [eqn: bar{rmBC}=4`]이고 높이가 [eqn: 2`]인 등변사다리꼴 모양의 종이를 접어  모양을 만들려고 한다. 선분 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하고, 선분 [eqn: rmAD`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP`], 선분 [eqn: rmAD`]를 [eqn: 3:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ`]라 하자. 선분 [eqn: rmPM`]과 선분 [eqn: rmQM`]을 접는 선으로 하여 두 점 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]가 선분 [eqn: rmAD`]의 중점에 오도록 종이를 접으면 [그림 [eqn: 2]]와 같이 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmD`]는 각각 점 [eqn: rmA'`], [eqn: rmD'`]으로 옮겨진다. 점 [eqn: rmD'`]과 직선 [eqn: rmA'M`] 사이의 거리를 [eqn: d`]라 할 때, [eqn: 50`d`^2`]의 값을 구하시오. (단, 모든 점은 같은 평면 위에 있고, 종이의 두께는 무시한다.)

[4점]

[그림 [eqn: 1]]

[그림 [eqn: 2]]

28. 등식
[eqn: 64 ^{{1} over {m}} =k`times`81 ^{{1} over {n}} `]

을 만족시키는 자연수 [eqn: k`]가 존재하도록 하는 두 정수 [eqn: m`], [eqn: n`]의 모든 순서쌍 [eqn: (m`,``n)`]의 개수를 구하시오. [4점]

29. 어느 상점에서 두 원료 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ]를 혼합하여 두 향수 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 생산, 판매한다. 두 향수 [eqn: rmA`], [eqn: rm B`]를 각각 [eqn: 1`]병씩 만드는 데 사용되는 두 원료 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]의 양은 다음 표와 같다.

향수	원료 [eqn: rmP]	원료 [eqn: rmQ]
[eqn: rmA]	[eqn: 50`㎖]	[eqn: 100`㎖]
[eqn: rmB]	[eqn: 100`㎖]	[eqn: 50`㎖]

원료 [eqn: rmP`]의 구입 비용은 [eqn: 100`㎖`]당 [eqn: 1`]만 원이고 원료 [eqn: rmQ`]의 구입 비용은 [eqn: 100`㎖`]당 [eqn: 2`]만 원이다. 한 달에 생산할 수 있는 두 향수 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 병의 개수의 합이 최대 [eqn: 50`]이고, 한 달에 사용할 수 있는 두 원료 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 총 구입 비용은 최대 [eqn: 110`]만 원이다. 향수 [eqn: rmA`]의 판매 가격은 [eqn: 1`]병당 [eqn: a`]만 원이고, 향수 [eqn: rmB`]의 판매 가격은 [eqn: 1`]병당 [eqn: 9 over10 a`]만 원이다. 이 상점에서 두 향수 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 한 달 동안 판매한 금액의 합의 최댓값이 [eqn: 376`]만 원이 되기 위한 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 모든 항이 [eqn: 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: "{"a_n "}"`]과 [eqn: 1`]보다 큰 자연수 [eqn: m`]에 대하여 다항식

[eqn: P`(x)=a_m+1 x^m +a_m x^m-1 +a_m-1 x^m-2 +`cdots`+a_2 x +a_1 `]

이 있다.

[eqn: P`(1)=5P`(-1)`]

을 만족시키는 다항식 [eqn: P`(x)`]에서 자연수 [eqn: m`]의 값을 [eqn: k`]라 하자.

다항식 [eqn: a_k+1 x^k +a_k x^k-1 +`cdots`+a_2 x +a_1 `]이 [eqn: x+2`]로 나누어떨어질 때, [eqn: a_1 over{a_k+1}`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.