수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2018학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -1], [eqn: B=x ^{2} +2x+7`]에 대하여 [eqn: 2A+B`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: 2x ^{2`} -2x+5]	② [eqn: 2x ^{2`} +2x+5]	③ [eqn: 3x ^{2`} -2x+5]

④ [eqn: 3x ^{2`} +2x+5]	⑤ [eqn: 3x ^{2`} +4x+5]

2. 두 집합

[eqn: A= LEFT { 1`,``2`,``4`,``6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2`,``4`,``5 RIGHT } `]

에 대하여 집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

3. [eqn: log _{2`} 8+log _{2} {1} over {2} `]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

4. [eqn: (1+2i)(1-2i)`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5`]	④ [eqn: 2+2i]	⑤ [eqn: 3+4i]

5. 다항식 [eqn: 2x ^{3} -3x+4`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

6. 두 직선 [eqn: x+y+2=0], [eqn: (a+2)x-3y+1=0`]이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 3over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

7. 연립부등식

[eqn: {cases{`2x-7 GEQ 0 _{{}_{}}^{{}^{}}#`x ^{2} -5x-14<0 ^{{}^{{}^{}}} ` _{{}_{}}}}]

을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15`]

8. [eqn: x`]에 대한 이차방정식

[eqn: (a ^{2} -9)x ^{2} =a+3`]

이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 [eqn: 10`]보다 작은 자연수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7]

9. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여
[eqn: a+b=2], [eqn: 2 ^{{a} over {2}} -2 ^{{b} over {2}} =3`]

일 때, [eqn: 2 ^{a} +2 ^{b} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13`]

10. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p:(x-1)(x-1-a) LEQ 0],

[eqn: q:`-3 <x LEQ 7`]

에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7]

11. 부등식 [eqn: LEFT | 3x-2 RIGHT | LEQ `x+6`]의 해가 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta `]일 때, [eqn: alpha + beta `]의 값은? [3점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

12. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 곡선 [eqn: y=it- {2} over {x} `]를 평행이동한 것이고 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다. 함수 [eqn: f(x)`]의 정의역이 [eqn: "{"x`|`x != -2` RIGHT .]인 모든 실수[eqn: "}"]일 때, [eqn: f(4)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -3]	② [eqn: - {7} over {3} `]	③ [eqn: - 5over3]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 1over3]

13. 첫째항이 [eqn: 20`]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_n right}]에 대하여 수열 [eqn: left{ b_n right}`]을

[eqn: b _{n} =a _{n} +a _{n+1} `] ([eqn: n=1,``2`,``3`,` CDOTS `])

이라 하자. [eqn: a _{10} =b _{10} `]일 때, [eqn: b _{8} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

14. [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: (1+x)(1+x ^{2} )(1+x ^{4} )=x ^{7} +x ^{6} +x ^{5} +x ^{4} `]

의 세 근을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma`]라 할 때, [eqn: alpha ^{4} + beta ^{`4} + gamma ^{4} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 11`]	④ [eqn: 15`]	⑤ [eqn: 19`]

15. [eqn: root {5} of {8} `]이 어떤 자연수 [eqn: N`]의 [eqn: n`]제곱근이 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: n`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18`]

16. 두 메뉴 [eqn: rm A], [eqn: rmB`]를 판매하는 어느 식당이 있다. 다음은 두 메뉴 [eqn: 1`]인분을 각각 만드는 데 사용되는 두 재료 [eqn: rmS`], [eqn: rmT`]의 양과 두 메뉴 [eqn: 1`]인분의 판매 가격을 표로 나타낸 것이다.

메뉴	재료 [eqn: rm S]	재료 [eqn: rm T]	판매 가격
[eqn: rm A]	[eqn: 100 rm `g]	[eqn: rm 50`g]	[eqn: 2`]만 원
[eqn: rmB]	[eqn: rm 50`g]	[eqn: rm 150`g]	[eqn: 2`]만 [eqn: 2`]천 원

재료 [eqn: rmS`], 재료 [eqn: rmT`]의 가격은 [eqn: 10`rmg`]당 각각 [eqn: 600`]원, [eqn: 400`]원이고 이 식당에서 하루에 사용할 수 있는 재료 [eqn: rm S]와 재료 [eqn: rmT`]의 구입 비용의 합은 최대 [eqn: 30`]만 원이다. 이 식당에서 두 메뉴 [eqn: rm A], [eqn: rmB`]를 합하여 하루 최대 [eqn: 35`]인분을 만들 수 있을 때, 하루 동안 두 메뉴 [eqn: rm A], [eqn: rmB`]를 판매하여 얻을 수 있는 판매 금액의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 72`]만 원	② [eqn: 73`]만 원	③ [eqn: 74`]만 원

④ [eqn: 75`]만 원	⑤ [eqn: 76`]만 원

17. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+n _{`}^{`} RIGHT }]
[eqn: = {n(n+1)(n+2)(3n+1)} over {24}] …… (*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: (좌변)=(우변)=box{~~(가)~~}``]이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+m _{`}^{`} RIGHT }]	[eqn: = {m(m+1)(m+2)(3m+1)} over {24} `]
이다. [eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+(m+1) _{`}^{`} RIGHT } `]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+(m+1) _{`}^{`} RIGHT } `+` {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}} `]
[eqn: = {BOX{~~(다)~~}} `+ {m(m+1) ^{2}} over {2} + {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}} `]
[eqn: = {(m+1)(m+2)(m+3)(3m+4)} over {24} `]
따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a`], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: a+f(2)+g(3)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 35`]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]	④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

18. 다항식 [eqn: f(x)=(x ^{2} -7x+11)(x ^{2} +3x+3)`]에 대하여 두 집합 [eqn: A], [eqn: B`]를

[eqn: A="{"f(n)`|``n`]은 [eqn: 20] 이하의 자연수[eqn: "}"],

[eqn: B="{"m`|`m`]은 [eqn: 100] 이하의 소수[eqn: "}"`]

라 할 때, [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

19. 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A(3`,``0)`], [eqn: rm B(6`,``0)`], [eqn: rm C(3`,``6)`], [eqn: rm D(1`,``4)`]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD`]에서 선분 [eqn: rmAD`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 지나는 직선 [eqn: l`]이 사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이를 이등분한다. 직선 [eqn: l`]이 선분 [eqn: rmBC`]와 만나는 점의 좌표가 [eqn: (a`,``b)`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: 13over2]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 15over2]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 17over2]

20. 좌표평면 위의 두 곡선

[eqn: y= it - sqrt {kx+2k} +4], [eqn: y= sqrt {-kx+2k} -4`]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: k`]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 두 곡선은 서로 원점에 대하여 대칭이다. ㄴ. [eqn: k<0`]이면 두 곡선은 한 점에서 만난다. ㄷ. 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 16`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 다음 조건을 만족시키는 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(3)`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M-m`]의 값은? [4점]

(가) 부등식 [eqn: f LEFT ( {1-x} over {4} RIGHT ) le0`]의 해가 [eqn: -7 LEQ x LEQ 9`]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) GEQ 2x- {13} over {3} `]이 성립한다.

① [eqn: 7over4]	② [eqn: 11over6]	③ [eqn: {23} over {12}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {25} over {12} `]

단답형

22. 첫째항이 [eqn: {1} over {2} `]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}``]에 대하여 [eqn: a _{6} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +8x-2=0`]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: {alpha+beta} over {alpha`beta} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 두 함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} x], [eqn: g(x)=2x+5`]에 대하여 [eqn: LEFT ( `g CIRC f ^{`-1} RIGHT ) (2)`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 점 [eqn: (0`,``3)`]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]에 그은 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: 16k ^{`2} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 어느 인기 그룹의 공연을 준비하고 있는 기획사는 다음과 같은 조건으로 총 [eqn: 1500`]장의 티켓을 판매하려고 한다.

(가) 티켓의 종류는 [eqn: rmR`]석, [eqn: rmS`]석, [eqn: rmA`]석 세 가지이다.

(나) [eqn: rmR`]석, [eqn: rmS`]석, [eqn: rmA`]석 티켓의 가격은 각각 [eqn: 10`]만 원, [eqn: 5`]만 원, [eqn: 2`]만 원이고, [eqn: rmA`]석 티켓의 수는 [eqn: rmR`]석과 [eqn: rmS`]석 티켓의 수의 합과 같다.

티켓 [eqn: 1500`]장을 모두 판매한 금액이 [eqn: 6000`]만 원이 되도록 하기 위해 판매해야 할 [eqn: rmS`]석 티켓의 수를 구하시오. [4점]

27. 집합 [eqn: X= LEFT { 3`,``4`,``5`,``6`,``7 RIGHT } `]에 대하여 함수 [eqn: f`:`X``` -> ``X`]는 일대일 대응이다. [eqn: 3 LEQ n LEQ 5`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(n)f(n+2)`]의 값이 짝수일 때, [eqn: f(3)+f(7)`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 좌표평면 위에 제[eqn: 1`]사분면의 점 [eqn: rmA`]와 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rmB`]에 대하여 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AO it}} =2 sqrt {5} `]인 이등변삼각형 [eqn: rmOAB`]가 있다. 점 [eqn: rmA`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC`]라 하면 점 [eqn: rmC`]는 직선 [eqn: y=2x] 위의 점이다. 선분 [eqn: rmAB`]가 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=2x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rmE`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmODE`]의 외접원의 둘레의 길이를 [eqn: k` pi `]라 하자. [eqn: 9k ^{`2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

29. 함수 [eqn: f(x)=x^2 +2x-8`]에 대하여 부등식

[eqn: {|`f(x)`|} over {3} -f(x) GEQ m(x-2)`]

를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 10`]이 되도록 하는 양수 [eqn: m`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

30. 공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 모든 항은 정수이다.

(나) [eqn: a _{7} `], [eqn: a _{8} `], [eqn: a _{k} `]가 이 순서대로 등비수열을 이루도록 하는 [eqn: 8`]보다 큰 자연수 [eqn: k`]가 존재한다.

[eqn: a _{k} =144`]가 되도록 하는 모든 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.