-1 경우의 수

Ⅵ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

두 주사위 [eqn: rm A,~B]를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 차가 [eqn: 3] 또는 [eqn: 4]인 경우의 수는?

01

▸3점

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

부등식 [eqn: x+y≤5]를 만족시키는 음이  아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]의 개수는?

02

▸4점

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

서로 다른 모자 [eqn: 3]개와 목도리 [eqn: 4]개를 가지고 눈사람을 꾸미려고 한다. 모자와 목도리를 각각 한 개씩 선택하여 눈사람을 꾸미는 경우의 수를 구하여라. ▸3점

03

자연수 [eqn: 360]의 양의 약수의 개수를 [eqn: a], 양의 약수의 총합을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

04

▸4점

① [eqn: 1176]	② [eqn: 1179]	③ [eqn: 1182]

④ [eqn: 1194]	⑤ [eqn: 1200]

[eqn: 10]원짜리 동전이 [eqn: 5]개, [eqn: 100]원짜리 동전이 [eqn: 4]개, [eqn: 1000]원짜리 지폐가 1장 있을 때, 이들 전부 또는 일부를 사용하여 지불할 수 있는 금액의 가지 수는?

05

(단, [eqn: 0]원을 지불하는 경우는 제외한다.)

▸4점

① [eqn: 11]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 59]	⑤ [eqn: 63]

서

술

형

'[eqn: 3⋅6⋅9] 게임'은 참가자들이 돌아가며 자연수를 [eqn: 1]부터 차례로 말하되 [eqn: 3,~6,~9]가 들어가 있는 수는 말하지 않는 게임이다. 예를 들면, [eqn: 3], [eqn: 13], [eqn: 60], [eqn: 396], [eqn: 462], [eqn: 900] 등은 말하지 않아야 한다. '[eqn: 3⋅6⋅9] 게임'을 할 때, [eqn: 1]부터 [eqn: 999]까지의 자연수 중 말하지 않아야 하는 수의 개수를 구하여라.

06

▸7점

[eqn: 4]명 각자의 이름이 적힌 모자 [eqn: 4]개가 가지런히 걸려 있다. 걸어놓은 모자를 무심코 하나씩 쓰고 나가는데 [eqn: 4]명 모두 자기 모자가 아닌 것을 쓰게 되는 경우의 수는? 07 ▸4점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 21] 두 집합 08 [eqn: A=][eqn: left{`x`|`-1 LEQ x LEQ 3]인 정수[eqn: "}"], [eqn: B=][eqn: left{`y``|``0 LEQ y LEQ 5]인 정수[eqn: "}"] 일 때, 집합 [eqn: C= LEFT { (x,~y)``|``x IN A,~y IN B RIGHT }] 의 원소의 개수는? ▸4점 ① [eqn: 11] ② [eqn: 15] ③ [eqn: 17] ④ [eqn: 25] ⑤ [eqn: 30] 등식 [eqn: rm_n rmP_4][eqn: =][eqn: 6rm_ n][eqn: RMP_2]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm_n rmP][eqn: rm_n-3]의 값은? 09 ▸4점 ① [eqn: 10] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 30] ⑤ [eqn: 60]	[eqn: 7]명의 학생이 있을 때, [eqn: 7]명 중 [eqn: 3]명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수는? 10 ▸3점 ① [eqn: 280] ② [eqn: 210] ③ [eqn: 140] ④ [eqn: 70] ⑤ [eqn: 35] [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 다섯 개의 문자를 일렬로 나열할 때, [eqn: a,~e]가 이웃하는 경우의 수는? 11 ▸3점 ① [eqn: 36] ② [eqn: 48] ③ [eqn: 72] ④ [eqn: 100] ⑤ [eqn: 120] 남자 [eqn: 2]명과 여자 [eqn: 3]명이 한 줄로 서서 버스를 기다릴 때, 맨 앞과 맨 뒤에 남자가 서는 경우의 수는? 12 ▸4점 ① [eqn: 12] ② [eqn: 24] ③ [eqn: 36] ④ [eqn: 48] ⑤ [eqn: 56]

Ⅵ. 경우의 수

중단원 평가
남학생 [eqn: 2]명과 여학생 [eqn: 2]명을 일렬로 세울 때, 적어도 한 쪽 끝이 여학생인 경우의 수는? 13 ▸4점 ① [eqn: 16] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 22] ⑤ [eqn: 24] [eqn: rm A, rm ~B, rm ~C,~ rm D, rm ~E]의 [eqn: 5]개의 문자를 배열하여 만들어지는 [eqn: 120]개의 단어를 알파벳 순에 의한 사전식 배열을 하였을 때, [eqn: 89]번째 단어의 마지막 문자는? 14 ▸4점 ① [eqn: rmA] ② [eqn: rmB] ③ [eqn: rmC] ④ [eqn: rmD] ⑤ [eqn: rmE] [eqn: travel]의 모든 문자를 일렬로 나열할 때, [eqn: t]와 [eqn: l] 사이에는 [eqn: 2]개의 문자가 있고, [eqn: r]와 [eqn: v] 사이에는 [eqn: 3]개의 문자가 들어 있는 경우의 수는? 15 ▸4점 ① [eqn: 8] ② [eqn: 16] ③ [eqn: 24] ④ [eqn: 32] ⑤ [eqn: 40]	어느 동물원에서 오른쪽 그림과 같이 번호가 적혀 있는 [eqn: 6]칸의 동물우리에 호랑이, 사자, 늑대, 여우, 원숭이, 곰을 각각 한 마리씩 넣을 때, 호랑이와 사자는 이웃하지 않게 넣으려고 한다. 예를 들어, [eqn: <1>]의 경우에는 [eqn: <2>]와 [eqn: <4>]가 이웃하는 우리이고, [eqn: <3>,<5>,<6>]은 이웃하지 않는 우리이다. 이때, [eqn: 6]마리의 동물들을 서로 다른 우리에 각각 넣는 방법의 수는? 16 ▸5점 ① [eqn: 112] ② [eqn: 120] ③ [eqn: 184] ④ [eqn: 216] ⑤ [eqn: 432] 서 술 형 [eqn: {} _{12} rm C it rm _{r+2} = rm _{12} rm C it rm _{2r-2}]를 만족시키는 자연수 [eqn: r]의 값을 구하여라. 17 ▸6점 남자 [eqn: 6]명과 여자 [eqn: 4]명 중에서 남자 [eqn: 3]명과 여자 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수는? 18 ▸3점 ① [eqn: 100] ② [eqn: 110] ③ [eqn: 120] ④ [eqn: 130] ⑤ [eqn: 140]

Ⅵ. 경우의 수
어느 스키장에서 개장을 앞두고 안전관리요원 모집 공고를 했더니 남자 [eqn: 5]명, 여자 [eqn: 5]명이 지원하였다. 이들 지원자 중에서 [eqn: 4]명을 선발하려고 한다. 남자 [eqn: 2]명, 여자 [eqn: 2]명을 선발하는 경우의 수를 [eqn: a], 적어도 여자 [eqn: 1]명을 선발하는 경우의 수를 [eqn: b], 특정한 [eqn: 2]명을 반드시 선발하는 경우의 수를 [eqn: c]라 할 때, [eqn: a,~b,~c]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? 19 ▸4점 ① [eqn: a<b<c] ② [eqn: a<c<b] ③ [eqn: b<a<c] ④ [eqn: b<c<a] ⑤ [eqn: c<a<b] 서 술 형 [eqn: 10] 미만의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 뽑아 이들을 더할 때, 합이 홀수가 되는 경우의 수를 구하여라. 20 ▸8점 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }],[eqn: B= LEFT { 5,~6,~7,~8 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로 대응하는 함수 중에서 [eqn: i], [eqn: j∈A,~i<j]이면 [eqn: f(i)<f(j)]로 대응하는 함수의 개수는? 21 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]	오른쪽 그림과 같이 원 위에 모두 [eqn: 8]개의 점이 있다. 이들 가운데 [eqn: 3]개의 점을 택하여 만들 수 있는 삼각형의 개수를 구하시오. 22 ▸3점 오른쪽 그림과 같이 세로로 [eqn: 6]개의 평행선과 가로로 [eqn: 4]개의 평행선이 서로 만나고 있다. 이들 평행선으로 만들 수 있는 평행사변형의 개수는? 23 ▸4점 ① [eqn: 70] ② [eqn: 80] ③ [eqn: 90] ④ [eqn: 100] ⑤ [eqn: 120] 오른쪽 그림과 같은 원판이 있다. [eqn: 8]개 부분에 서로 다른 [eqn: 8]가지 색을 나누어 칠하여 구별하는 방법의 수는? 24 ▸4점 ① [eqn: 120] ② [eqn: 250] ③ [eqn: 1057] ④ [eqn: 10080] ⑤ [eqn: 260640]

-1. 경우의 수

Ⅵ

01 ③	02 ③	03 [eqn: 12]	04 ④	05 ④

06 [eqn: 657]	07 ③	08 ⑤	09 ③	10 ②

11 ②	12 ①	13 ③	14 ②	15 ②

16 ⑤	17 [eqn: 4]	18 ③	19 ⑤	20 [eqn: 40]

21 ④	22 [eqn: 56]	23 ③	24 ④

(ⅰ) 차가 [eqn: 3]인 경우: [eqn: (1,~ 4)], [eqn: (2, ~5)], [eqn: (3, ~6)],
[eqn: (4, ~1)], [eqn: (5, ~2)], [eqn: (6, ~3)]의 [eqn: 6]가지

01

(ⅱ) 차가 [eqn: 4]인 경우 : [eqn: (1, ~5)], [eqn: (2, ~6)], [eqn: (5, ~1)],
[eqn: (6, ~2)]의 [eqn: 4]가지

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6+4=10]

(ⅰ) [eqn: x+y=0]인 경우 : [eqn: (0, ~0)]의 [eqn: 1]개

02

(ⅱ) [eqn: x+y=1]인 경우 : [eqn: (0,~1)], [eqn: (1,~0)]의 [eqn: 2]개

(ⅲ) [eqn: x+y=2]인 경우 : [eqn: (0,~2)], [eqn: (1,~1)],
[eqn: (2,~0)]의 [eqn: 3]개

(ⅳ) [eqn: x+y=3]인 경우 : [eqn: (0,~3)], [eqn: (1,~2)],
[eqn: (2,~1)], [eqn: (3,~0)]의 [eqn: 4]개

(ⅴ) [eqn: x+y=4]인 경우 : [eqn: (0,~4)], [eqn: (1,~3)],
[eqn: (2,~2)], [eqn: (3,~1)], [eqn: (4,~0)]의 [eqn: 5]개

(ⅵ) [eqn: x+y=5]인 경우 : [eqn: (0,~5)], [eqn: (1,~4)],
[eqn: (2,~3)], [eqn: (3,~2)], [eqn: (4,~1)], [eqn: (5,~0)]의 [eqn: 6]개

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 1+2+3+4+5+6=21]

[eqn: 360=2^3 TIMES3^2 TIMES5]이므로

04

(ⅰ) [eqn: 360]의 양의 약수의 개수

[eqn: (3+1)(2+1)(1+1)=4 TIMES 3 TIMES 2=24]

(ⅱ) [eqn: 360]의 양의 약수의 총합

[eqn: (2 ^{0} +2 ^{1} +2 ^{2} +2 ^{3} )(3 ^{0} +3 ^{1} +3 ^{2} )(5 ^{0} +5 ^{1} )]

[eqn: 15TIMES13TIMES6=1170]

따라서 [eqn: a=24], [eqn: b=1170]이므로

[eqn: a+b=1194]

[eqn: 10]원짜리 동전이 [eqn: 5]개이므로 [eqn: 0], …, [eqn: 5]로 지불할 수 있는 방법은 [eqn: 6]가지, [eqn: 100]원짜리 동전이 [eqn: 4]개이므로 [eqn: 0], …, [eqn: 4]로 지불할 수 있는 방법은 [eqn: 5]가지,  [eqn: 1000]원짜리 지폐가 [eqn: 1]장이므로 지불할 수 있는

05

방법은 [eqn: 2]가지이다. 이때

[eqn: 0]원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 6TIMES5TIMES2-1=59]

말해야 하는 자연수는 각 자리가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 8]만으로 이루어진다. [eqn: 1]을 [eqn: 001], [eqn: 10]을 [eqn: 010]과 같이 생각하면 말해야 하는 자연수의 개수는

06

해결 과정

[eqn: 7 TIMES 7 TIMES 7-1]

▸4점

따라서 말하지 않아야 하는 수의 개수는    [eqn: 999-(7TIMES7TIMES7-1)=657]

답 구하기

▸3점

[eqn: 4]명을 각각 [eqn: rm A,~B,~C,~D]라 하고 각각의 모자 를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면, 4명 모두 자기 모자가   아닌 것을 쓰게 되는 경우를 수형도로 나타내면 다음과 같다.

07

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 9]이다.

집합 [eqn: C]의 원소의 개수는

08

[eqn: n(A) TIMES n(B)=5TIMES6=30]

[eqn: `_n RMP_4][eqn: =][eqn: n(n-1)(n-2)(n-3)], [eqn: ` _{n} rm P _{2}][eqn: =][eqn: n(n-1)]

09

이므로    [eqn: n(n-1)(n-2)(n-3)][eqn: =6n(n-1)]

[eqn: n ^{2} -5n+6=6], [eqn: n=5]

따라서    [eqn: ` _{5} rm P _{2}][eqn: =5TIMES4=20]

맨 앞과 맨 뒤에 남자 [eqn: 2]명을 고정시키고 여학    생 3명을 일렬로 세운다. 이때 남자 [eqn: 2]명은 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 경우의 수는

12

[eqn: 2 TIMES 3! it =12]

남학생 [eqn: 2]명과 여학생 [eqn: 2]명을 일렬로 세우는 경우의 수에서 양쪽 끝이 모두 남자인 경우의 수를

13

정답 및 해설

중단원 평가

빼면 된다.

따라서    [eqn: 4!-2!TIMES2=20]

[eqn: rmA]□□□□ : [eqn: 4!it=24]

14

[eqn: rmB]□□□□ : [eqn: 4!it=24]

[eqn: rmC]□□□□ : [eqn: 4!it=24]

[eqn: 24+24+24=72]이므로 [eqn: 89]번째 단어의 첫 번째 문자는 [eqn: rmD]이다.

[eqn: rmDA]□□□ : [eqn: 3! it =6]

[eqn: rmDB]□□□ : [eqn: 3! it =6]

[eqn: 72+6+6=84]이므로 [eqn: 89]번째 단어의 앞의 두 문자는 [eqn: rmDC]이다.

앞의 두 문자가 [eqn: rmDC]인 단어를 사전식으로 나열하면 [eqn: rm DCABE], [eqn: rmDCAEB], [eqn: rm DCBAE],

[eqn: rm DCBEA], [eqn: rm DCEAB], [eqn: rmDCEBA]이므로 [eqn: 89]번째 단어는 [eqn: rmDCEAB]이다.

따라서 [eqn: 89]번째 단어의 마지막 문자는 [eqn: rmB]이다.

(ⅰ) 의 순서로 배열된 경우

15

나머지 두 문자를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 2!]이고, [eqn: r]와 [eqn: v], [eqn: t]와 [eqn: l]이 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! TIMES 2 TIMES 2=8]

( ii ) 의 순서로 배열된 경우

(ⅰ)에서의 경우의 수와 같으므로

[eqn: 2! TIMES 2 TIMES 2=8]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 8+8=16]

호랑이를 [eqn: 1]번 우리에 넣는 경우, 사자는 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6]번 우리에 넣을 수 있고, 사자를 넣고 남은 [eqn: 4]개의 우리에 늑대, 여우, 원숭이, 곰을 넣으면 되므로 경우의 수는    [eqn: 3 TIMES 4!]

16

마찬가지로 호랑이를 [eqn: 2]~[eqn: 6]번 우리에 넣는 경우의 수를 구하면 각각 [eqn: 2TIMES4!], [eqn: 4 TIMES 4!], [eqn: 2TIMES4!], [eqn: 3 TIMES 4!], [eqn: 4 TIMES 4!]이므로 구하는 방법의 수는

[eqn: 3 TIMES 4!][eqn: +][eqn: 2TIMES4!][eqn: +][eqn: 4 TIMES 4!][eqn: +][eqn: 2TIMES4!][eqn: +][eqn: 3 TIMES 4!][eqn: +][eqn: 4 TIMES 4!]

[eqn: 4!TIMES(3+2+4+2+3+4)][eqn: =24 TIMES 18=432]

[eqn: {} _{12} rm C it rm _{r+2} = rm _{12} rm C it rm _{2r-2}]에서

17

해결 과정

(ⅰ) [eqn: r+2=2r-2]이면    [eqn: r=4]

(ⅱ) [eqn: 12-(r+2)=2r-2]이면    [eqn: r=4]

▸4점

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여    [eqn: r=4]

답 구하기

▸2점

[eqn: a= _{5} rm C it rm _{2} TIMES rm _{5} rm C it rm _{2}][eqn: =10 TIMES 10=100]

19

[eqn: b= _{10} rm C it rm _{4} - rm _{5} rm C it rm _{4}][eqn: =210-5=205]

[eqn: c= _{8} rm C it rm _{2} =28]

따라서    [eqn: c<a<b]

세 수의 합이 홀수가 되려면 세 수가 모두 홀수이거나 두 수는 짝수, 나머지 한 수는 홀수이어야 한다.

20

문제 이해

▸2점

(ⅰ) 세 수가 모두 홀수인 경우

해결 과정

다섯 개의 홀수 1, 3, 5, 7, 9에서 세 수를
뽑는 경우이므로    [eqn: {} _{5} rm C it rm _{3} =10]

(ⅱ) 두 수는 짝수, 나머지 한 수는 홀수인 경우

네 개의  짝수 2, 4, 6, 8에서 두 수를 뽑고,
다섯 개의 홀수 1, 3, 5, 7, 9에서 한 수를
뽑는 경우이므로    [eqn: {} _{4} rm C it rm _{2} TIMES rm _{5} rm C it rm _{1} =30]

▸5점

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는

답 구하기

[eqn: 10+30=40]

▸1점

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)]이 모두 다르므로 [eqn: B]에서 세 개의 원소를 뽑아 가장 큰 수는 [eqn: 3]에, 두 번째로 큰 수는 [eqn: 2]에, 가장 작은 수는 [eqn: 1]에 대응시키면 된다.

21

따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 네 개에서 세 개를 뽑는 조합의 수이므로    [eqn: {} _{4} rm C it rm _{3} =4]

[eqn: 6]개의 평행선에서 서로 다른 [eqn: 2]개의 평행선을 뽑고, [eqn: 4]개의 평행선에서 서로 다른 [eqn: 2]개의 평행선을 뽑는 경우의 수이므로

23

[eqn: {} _{6} rm C it rm _{2} TIMES rm _{4} rm C it rm _{2} =90]

먼저 [eqn: 8]가지의 색에서 [eqn: 4]가지의 색을 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{8} rm C it rm _{4}]가지이고 뽑은 [eqn: 4]가지의 색을 안쪽 원의 내부를 색칠하는 경우의 수는    [eqn: {4!} over {4} =3!]

24

내부를 색칠하게 되면 위치가 고정되므로 나머지 [eqn: 4]가지의 색으로 바깥쪽 [eqn: 4]개의 영역을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 4!]이다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: {} _{8} rm C it rm _{4} TIMES 3! TIMES 4 !it= 10080]