-2 유리함수와
무리함수

Ⅴ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 식을 간단히 하면?

01

▸2점

[eqn: {x ^{2} -4} over {x ^{2} +2x+1} ÷ {x ^{2} -x-6} over {x ^{2} -2x-3}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {x-2} over {x+1 }]	③ [eqn: {x+2} over {x-3 }]

④ [eqn: {x-3} over {x+1 }]	⑤ [eqn: {x-2} over {x-3 }]

[eqn: x=5]일 때, [eqn: {x ^{3} +1} over {x ^{2} -3x} TIMES {x ^{2} +2x} over {x ^{2} -x+1}]의 값은?

02

▸3점

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수)

03

▸4점

[eqn: { 2x^2 -3x+1} over {(x^2 -1)(x+2) }= ax+b over{x^2 -1}+ c over x+2]

① [eqn: 5]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -3]

함수 [eqn: y = 1 over {2x-1 }+1]의 그래프의 점근선의 방정식은?

04

▸3점

① [eqn: x=it- {1} over {2}], [eqn: y=it-1]	② [eqn: x=it- {1} over {2}], [eqn: y=1]

③ [eqn: x= 1 over 2], [eqn: y=1]	④ [eqn: x=1], [eqn: y= 1 over 2]

⑤ [eqn: x=2], [eqn: y=it-1]

서

술

형

함수 [eqn: y= k over x] [eqn: LEFT ( k!=0 RIGHT )]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: (3,~ 4)]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

05

▸7점

보기의 함수 중에서 평행이동하여 함수 [eqn: y = 1 over x]의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것만을 있는 대로 고른 것은?

06

▸3점

ㄱ. [eqn: y= x over x+1]	ㄴ. [eqn: y = x over x-1]

ㄷ. [eqn: y = 2x+5 over x+2]

보기

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y = x+1 over x-1]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동하면 [eqn: y= 7x+9 over x+1]의 그래프와 일치한다. 이때 [eqn: p+q]의 값을 구하여라. 07 ▸3점 함수 [eqn: y = －x+4 over x－3]의 정의역이 [eqn: left{x`|`－1`≤`x`≤`2 right}]일 때, 이 함수의 치역은? 08 ▸4점 ① [eqn: left{ y` left |`y`≤`－ 5 over 4 right}] ② [eqn: left{ y` left |`－2`≤`y`≤`－ 5 over 4 right}] ③ [eqn: left {y` left |`－2`≤`y`≤` 5 over 4 right}] ④ [eqn: left{ y` left |` 5 over 4 `≤`y`≤`2 right}] ⑤ [eqn: left{ y` left |`y`≥` 5 over 4 right}] 함수 [eqn: y = 2x+3 over x+4]의 그래프는 점 [eqn: (p,~q)]에 대하여 대칭이고, 동시에 직선 [eqn: y=x+r`]에 대하여 대칭이다. 이때, [eqn: p+q+r`]의 값은? (단, [eqn: r]는 상수이다.) 09 ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]	서 술 형 함수 [eqn: f(x)= 2x+1 over x-2]에 대하여 10 [eqn: f`^ 1 =f] , [eqn: f`^n+1 =f circ f`^n] [eqn: (n=1,~ 2,~ 3,~ cdots )] 일 때, [eqn: f(3)+f`^99 (1)]의 값을 구하여라. ▸8점 두 함수 [eqn: f(x)= 2x-1 over x+3], [eqn: g(x)= ax+b over cx+d] [eqn: (ad-bc!=0,~ c!=0)]일 때, [eqn: x!=2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ( f circ g)(x)=x]가 되도록 하는 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 점근선의 방정식은? 11 ▸4점 ① [eqn: x=it-2], [eqn: y=it-7] ② [eqn: x=it-2], [eqn: y=it-3] ③ [eqn: x=2], [eqn: y=it-3] ④ [eqn: x=2], [eqn: y=3] ⑤ [eqn: x=2], [eqn: y=7] 매년 장마철만 되면 하천은 쓰레기로 몸살을 앓는다. 어떤 하천에서 쓰레기를 [eqn: x] % 치우는 데 드는 비용을 [eqn: y]만 원이라고 하면 12 [eqn: y= ax over 100-x] [eqn: (0 le x＜100)] 가 성립한다고 한다. 이 하천에 버려진 쓰레기를 [eqn: 10] % 치우는 데 드는 비용이 [eqn: 800]만 원이라고 할 때, [eqn: 90] %를 치우는 데 드는 비용은 얼마인가? ▸4점 ① [eqn: 7200]만 원 ② [eqn: 21600]만 원 ③ [eqn: 36000]만 원 ④ [eqn: 50400]만 원 ⑤ [eqn: 64800]만 원

Ⅴ. 함수

중단원 평가
오른쪽 그림은 함수 [eqn: y= 2 over x-2 +4]의 그래프를 나타낸 것이다. 이 곡선 위의 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]를 각각 한 꼭짓점으로 하고, 이 점과 이웃하지 않는 두 변이 점근선과 평행하거나 점근선 위에 있는 세 직사각형 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 넓이를 각각 [eqn: S_{rm A}], [eqn: S`_{rm B}], [eqn: S`_{rm C}]라 할 때, 다음 중 옳은 것은? 13 ▸4점 ① [eqn: S_{rm A} = S`_{rm B} = S`_{rm C}] ② [eqn: S_{rm A} = S`_{rm B} ＜ S`_{rm C}] ③ [eqn: S_{rm C} ＜ S`_{rm A} = S`_{rm B}] ④ [eqn: S_{rm B} ＜ S`_{rm A} ＜ S`_{rm C}] ⑤ [eqn: S_{rm A} ＜S`_{rm B}＜ S`_{rm C}] 무리식 [eqn: {sqrt {x+1}} over {sqrt {2-x }}]이 실수의 값을 갖도록 하는 [eqn: x]의 값의 범위를 구하여라. 14 ▸3점 무리식 [eqn: { SQRT { x+5}-SQRT { x-5}} over {SQRT { x+5}+SQRT { x-5} }^`]의 분모를 유리화하면? (단, [eqn: x>5]) 15 ▸3점 ① [eqn: {x+ SQRT { x^2 -25}} over 5] ② [eqn: {x- SQRT { x^2 -25}} over 5] ③ [eqn: {x- SQRT { x^2 +25}} over 5] ④ [eqn: {x- SQRT { x^2 +5}} over 5] ⑤ [eqn: {x+ SQRT { x^2 +5}} over 5]	다음 중 함수 [eqn: y= sqrt {x-1}+2]의 정의역과 치역을 차례로 나열한 것은? 16 ▸3점 ① [eqn: left {x vert x ge -1 right }], [eqn: left { y vert y ge -2right }] ② [eqn: left {x vert x ge 1 right }], [eqn: left{ y vert y ge -2 right }] ③ [eqn: left {x vert x le 1right }], [eqn: left { y vert y le 2 right }] ④ [eqn: left {x vert x le 1 right }], [eqn: left { y vert y ge 2 right }] ⑤ [eqn: left {x vert x ge 1 right }], [eqn: left { y vert y ge 2 right }] 함수 [eqn: y=it- sqrt {2x-4} -1]의 그래프는 함수 [eqn: y=it- sqrt {2x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 것이다. 이때 [eqn: a-b]의 값을 구하여라. 17 ▸3점 함수 [eqn: y= sqrt ax+b_` +c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, [eqn: a+b+c]의 값은? 18 (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수) ▸4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: -2] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: -6] ⑤ [eqn: 0]

Ⅴ. 함수
서 술 형 함수 [eqn: y= sqrt x+n -1]의 그래프가 두 점 [eqn: rm O(0,~ 0)], [eqn: rm A(0,~ 2)]를 잇는 선분 [eqn: rm OA]와 만날 때, 정수 [eqn: n]의 개수를 구하여라. 19 ▸8점 두 함수 [eqn: y= sqrt x+a +b], [eqn: y=x^2 -4x+1] [eqn: (x ge 2)]의 그래프가 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭일 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) 20 ▸4점 두 함수 [eqn: f(x)= x+3 over x+1], [eqn: g(x)= sqrt 2x-3]에 대하여 [eqn: ( f circ (g circ f )`^-1 circ f )(1)]의 값은? 21 ▸3점 ① [eqn: 1 over 2] ② [eqn: 3 over 2] ③ [eqn: 5 over 2] ④ [eqn: 7 over 2] ⑤ [eqn: 9 over 2]	서 술 형 무리함수 [eqn: y=2 sqrt x]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm P(it a,~ b)], [eqn: rm Q(it c,~ d)]에 대하여 [eqn: b+d over 2 =1]일 때, 직선 [eqn: rm PQ]의 기울기를 구하여라. (단, [eqn: 0＜a＜c]) 22 ▸9점 오른쪽 그림에서 세 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)], [eqn: y=h(x)]는 [eqn: y= sqrt kx] 꼴의 함수이다. 이때 [eqn: f(g(h(1)))]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.) 23 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: sqrt 2] ③ [eqn: sqrt 3] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4] 두 집합 24 [eqn: A= LEFT { (x,~y)``|``y= sqrt {x+1} RIGHT }], [eqn: B= LEFT { (x,~y)``|``y=x+k RIGHT }] 에 대하여 [eqn: n(A SMALLINTER B)=2]일 때, [eqn: k`]의 값의 범위는? ▸4점 ① [eqn: k`＜`1] ② [eqn: k`<` {5} over {4}] ③ [eqn: k> {5} over {4}] ④ [eqn: 1 LEQ k< {5} over {4}] ⑤ [eqn: 1 LEQ k LEQ {5} over {4}]

-2. 유리함수와 무리함수

Ⅴ

01 ②	02 ③	03 ①	04 ③	05 [eqn: 3]

06 ④	07 [eqn: 4]	08 ②	09 ③	10 [eqn: 4]

11 ③	12 ⑤	13 ②	14 [eqn: -1≤x<2]

15 ②	16 ⑤	17 [eqn: 3]	18 ④	19 [eqn: 9]

20 [eqn: 6]	21 ④	22 [eqn: 2]	23 ②	24 ④

(우변)[eqn: ={(a+c)x^2 +(2a+b)x+2b-c}over{(x^2 -1)(x+2)}]

03

[eqn: a+c=2,~2a+b=it-3,~2b-c=1]이므로

[eqn: a=it-3,~b=3,~c=5]

따라서    [eqn: a+b+c=5]

함수 [eqn: y= k over x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하면

05

해결 과정

[eqn: y = k over x-2 +1]

▸4점

그래프가 점 [eqn: (3, ~4)]를 지나므로

답 구하기

[eqn: 4= k over 3-2 +1], [eqn: k=3]

▸3점

[eqn: y= {-x+4} over {x-3} = {-(x-3)+1} over {x-3} = {1} over {x-3} -1]

08

[eqn: -1 `≤` x `≤`2] ⇔ [eqn: -4 `≤` x-3 `≤-1]

⇔ [eqn: -2 `≤` 1 over x-3 -1 `≤` - 5 over 4]

따라서 치역은    [eqn: left{ y left| -2 `≤` y `≤` - 5 over 4 right}]

[eqn: f ^{1} (1)=f(1)=it-3]

10

해결 과정

[eqn: f ^2 (1)=f( f(1))=f(-3)=1]

[eqn: f` ^{3} (1)=f(f` ^{2} (1))=f(1)=it-3]

[eqn: f` ^{4} (1)=f(f` ^{3} (1))=f(-3)=1]

[eqn: vdots]

즉, [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: f` ^{n} (1)=it-3]

[eqn: n]이 짝수이면 [eqn: f`^n LEFT ( 1 RIGHT )=1]

이므로    [eqn: f` ^{99} LEFT ( 1 RIGHT ) =it-3]

▸4점

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = 2x+1 over x-2]에서 [eqn: f(3)=7]이므로

▸2점

[eqn: f(3)+f`^99 (1)=7-3=4]

답 구하기

▸2점

[eqn: ( f circ g )(x)=x]이므로 함수 [eqn: g (x)={ax + b} over {cx+d}]는 함수 [eqn: f(x)= 2x-1 over x+3]의 역함수이다.

11

함수 [eqn: y= 2x-1 over x+3]의 역함수는 [eqn: y = -3x-1 over x-2]

이므로 [eqn: g (x)= -3x-1 over x-2]이다.

이때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {-3x-1} over {x-2} =it- {7} over {x-2} -3]이므로
[eqn: y=g (x)]의 그래프의 점근선의 방정식은

[eqn: x=2], [eqn: y=it-3]

하천에 버려진 쓰레기를 [eqn: 10``%] 치우는 데 드는 비용이 [eqn: 800]만 원이므로

12

[eqn: 800= 10a over 100-10], [eqn: 800= a over 9]

[eqn: a=7200]

따라서 [eqn: y= 7200x over 100-x]이므로 쓰레기를 [eqn: 90``%]를 치우는 데 드는 비용은

[eqn: 7200×90 over 100-90 =64800](만 원)

[eqn: y = 2 over x-2 + 4]에서    [eqn: y-4 = 2 over x-2]

13

[eqn: (x-2)(y-4)=2]

점 [eqn: rm R]의 좌표를 [eqn: (x,~ y)]라 하면 점 [eqn: rm R]를 꼭짓점으로 하고 이 점과 이웃하지 않는 두 변이 점근선과 겹치는 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 [eqn: vert x-2 vert], [eqn: vert y-4 vert]이다.

이 직사각형의 넓이는 [eqn: |```(x-2)(y-4) ```| =2]로 점의 위치에 관계없이 일정함을 알 수 있다.

위의 그림에서 빗금친 부분의 직사각형을 [eqn: rm D]라 하면   [eqn: S_{rm C} = S_{rm A }+ S_{rm D} = S_{rm B} +S_{rmD}]

따라서	[eqn: S_{rm A} = S_{rm B} ＜ S_{rm C}]

주어진 무리함수의 그래프는 정의역이
[eqn: LEFT { x vert x GEQ 3 RIGHT }]이고 치역이 [eqn: LEFT { y vert y GEQ -2 RIGHT }]이므로

18

[eqn: y = sqrt a(x-3) -2] ([eqn: a>0])

정답 및 해설

중단원 평가

로 놓으면 점 [eqn: (5,~0)]을 지나므로

[eqn: 0 = sqrt a(5-3) -2], [eqn: sqrt2a =2], [eqn: a=2]

따라서 무리함수의 식은

[eqn: y =sqrt 2(x-3) -2 = sqrt 2x-6 -2]

이므로    [eqn: a=2,~b=it-6,~c=it-2]

[eqn: a+b+c=it-6]

함수
[eqn: y= sqrt x+n -1]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -n]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것으로 오른쪽 그림과 같다.

19

문제 이해

▸2점

(ⅰ) 함수 [eqn: y= sqrt x+n -1]의 그래프가
원점을 지날 때,
[eqn: sqrt 0+n -1=0]이므로     [eqn: sqrt n = 1]
따라서    [eqn: n=1]	…… ㉯

해결 과정

(ⅱ) 함수 [eqn: y= sqrt x+n -1]의 그래프가 점
[eqn: rm A(0,~ 2)]를 지날 때,
[eqn: sqrt 0+n -1=2]이므로    [eqn: sqrt n =3]
따라서   [eqn: n=9]

▸4점

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: y= sqrt x+n -1]의 그래프가 선분 [eqn: rm OA]와 만나기 위해서는
[eqn: 1 le n le 9]이어야 하므로 이를 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 9]이다.

답 구하기

▸2점

20

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 그 역함수
[eqn: y=f `^-1 (x)]의 그래프는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이므로 함수 [eqn: y=x^2 -4x+1] [eqn: (x ge 2)]의 역함수는 [eqn: y= sqrt x+a +b]이다.

[eqn: y=x^2 -4x+1] [eqn: (x ge 2)]을 [eqn: x]에 대하여 풀면
[eqn: x= sqrt y+3 +2]

[eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면

[eqn: y= sqrt x+3 +2]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=2]이므로    [eqn: ab=6]

두 점 [eqn: rm P(it a,~ b)], [eqn: rm Q(it c,~ d)]가 함수
[eqn: y=2 sqrt x]의 그래프 위에 있으므로

22

문제 이해

[eqn: b=2 sqrt a], [eqn: d=2 sqrt c]

▸3점

이때 [eqn: b+d over 2 =1]이므로

해결 과정

[eqn: {2 sqrt a + 2 sqrt c} over 2 =1], [eqn: sqrt a + sqrt c =1]

▸3점

따라서 직선 [eqn: rm PQ]의 기울기는

답 구하기

[eqn: d-b over c-a = { 2 sqrt c - 2 sqrta} over c-a]

[eqn: = { 2 LEFT ( sqrt c - sqrt a RIGHT )} over { LEFT ( sqrt c + sqrt a RIGHT ) LEFT ( sqrt c - sqrt a RIGHT )]

[eqn: = 2 over { sqrt c + sqrt a}=2]

▸3점

[eqn: f(x)= sqrt ax], [eqn: g (x)= sqrt bx], [eqn: h(x)= sqrt cx]로
놓으면 [eqn: f(x)= sqrt ax]의 그래프가 점 [eqn: (1,~ 1)]을
지나므로    [eqn: sqrt a =1], [eqn: a=1]

23

[eqn: g (x)= sqrt bx]의 그래프가 점 [eqn: (2,~ 2)]를 지나므로

[eqn: sqrt 2b =2], [eqn: 2b=4], [eqn: b=2]

[eqn: h(x)= sqrt cx]의 그래프가 점 [eqn: (4,~ 4)]를 지나므로

[eqn: sqrt 4c =4], [eqn: 4c=16], [eqn: c=4]

즉, [eqn: f(x)= sqrt x], [eqn: g (x)= sqrt 2x], [eqn: h(x)= sqrt 4x]이므로

[eqn: f(g (h(1)))=f(g (2))=f(2)= sqrt 2]

[eqn: n(A`∩`B)=2]이므로 함수 [eqn: y =sqrt x+1]의 그래프와 함수 [eqn: y =x+k`]의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다.

24

(ⅰ) 두 그래프가 접할 때

[eqn: sqrt x+1 = x+k`]에서

[eqn: x+1 = x^2 +2kx + k^2 `] ([eqn: x GEQ -1])

[eqn: x^2 + (2k-1)x + k^2 -1 =0]0( [eqn: x GEQ -1])

이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D = (2k-1)^2 -4(k^2 -1) =0]

[eqn: -4k +5 = 0], [eqn: k = 5 over 4]

(ⅱ) 직선 [eqn: y=x+k`]가 점 [eqn: (-1,~0)]을 지날 때

[eqn: 0=it-1+k`], [eqn: k=1]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여    [eqn: 1 LEQ k< {5} over {4}]