-1 함수

Ⅴ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

두 집합 [eqn: X= left {0,~ 1,~ 2 right }], [eqn: Y= left {0,~ 1,~ 2,~ 3,~ 4 right }]에 대하여 함수 [eqn: f : X ```rarrow`` Y]를 [eqn: f(x)=x+2]로 정의할 때, [eqn: f]의 치역은?

01

▸3점

① [eqn: left {0,~ 1,~ 2 right }]	② [eqn: left {1,~ 2,~ 3 right }]

③ [eqn: left {2,~ 3,~ 4 right }]	④ [eqn: left {1,~ 2,~ 3,~ 4 right }]

⑤ [eqn: LEFT {0,~ 1,~ 2,~ 3,~ 4 RIGHT }]

집합 [eqn: X= left {-1,~ 0,~ 1 right }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수가 되는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

02

▸4점

ㄱ. [eqn: f(x)=it-x]

ㄴ. [eqn: g(x)=x+1]

ㄷ. [eqn: h(x)=x^2]

보기

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: X= left {-1,~ 0,~ 1 right }]에서 실수 전체 집합으로의 두 함수 [eqn: f`(x)=x^3 +a], [eqn: g(x)=ax+b]에 대하여 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]가 서로 같도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a+b]의 값은?

03

▸4점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f]가 다음을 모두 만족시킬 때, [eqn: f(100)]의 값을 구하여라.

04

▸4점

㈎ [eqn: p]가 소수이면 [eqn: f(p)=p]이다.

㈏ [eqn: 2] 이상의 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여
[eqn: f(mn)=f(m)+f(n)]이다.

다음 중 함수의 그래프인 것은?

05

▸3점

①		②
③		④
⑤

다음 보기의 함수 중 일대일대응인 것은 모두 몇 개인가?

06

▸4점

ㄱ. [eqn: y=－0.5]	ㄴ. [eqn: y=x]

ㄷ. [eqn: y= 1 over 2 x^2]	ㄹ. [eqn: y=－2x+1]

ㅁ. [eqn: y=x^2 －3x+1]	ㅂ. [eqn: y=5－x]

보기

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서 술 형 함수 [eqn: f`(x) = cases { x^2 －4x+5 ~(x`≥`a) # mx－m－1 ~(x`≤`a) }]가 일대일대응이다. 상수 [eqn: a]의 최솟값과 그때의 [eqn: m]의 값의 곱을 구하여라. 07 ▸8점 함수 [eqn: f(x)=x^2 +x]에 대하여 [eqn: ( f circ f )(1)]의 값을 구하여라. 08 ▸2점 세 함수 09 [eqn: f`(x)=－2x], [eqn: g(x)=x^2 －5], [eqn: h(x)=3x－2] 에 대하여 [eqn: ( f CIRC g CIRC h)(1)]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 8] ② [eqn: －8] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: －6] ⑤ [eqn: 4]	두 함수 [eqn: f`(x)=3x－1], [eqn: g(x)=x^2 +1]일 때, [eqn: ( f CIRC g)(x)]는? 10 ▸3점 ① [eqn: 3x^2 +2] ② [eqn: 3x^2 －2] ③ [eqn: 9x^2 －6x] ④ [eqn: 9x^2 +6x] ⑤ [eqn: 9x^2 +1] 두 함수 [eqn: f`(x)=3x+2], [eqn: g(x)=2x+a]일 때, [eqn: (g CIRC f`)(x)=( f CIRC g)(x)]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은? 11 ▸3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 함수 [eqn: f`(x)=x^2 +1]에 대하여 [eqn: ( f CIRC f CIRC f` )(x)]를 [eqn: x－1]로 나눈 나머지는? 12 ▸4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 25] ④ [eqn: 26] ⑤ [eqn: 35]

Ⅴ. 함수

중단원 평가

세 함수 [eqn: f], [eqn: g], [eqn: h]에 대하여

13

[eqn: f`(x)=x+1], [eqn: g(x)=2x+3],

[eqn: (g CIRC h)(x)=f`(x)]
일 때, [eqn: h(x)]를 바르게 구한 것은?

▸3점

① [eqn: h(x)=x+1]	② [eqn: h(x)=x+2]

③ [eqn: h(x)=x－1]	④ [eqn: h(x)= 1 over 2 x－1]

⑤ [eqn: h(x)= 1 over 2 x+1]

서

술

형

집합 [eqn: X= left {1,~ 2,~ 3 right }]에 대하여 함수 [eqn: f : X ```rarrow`` X]는 일대일대응이다. 함수 [eqn: f]가 [eqn: (f circ f )(1)=3]을 만족시킬 때, [eqn: 2 f(1)+3 f(2)]의 값을 구하여라.

14

▸8점

[eqn: 0 le x le 1]에서 정의된 함수

15

[eqn: f(x)= left { rpile {{2x~~ LEFT ( 0 le x le 1 over 2 RIGHT )} #{-2x+ 2 ~ LEFT (` 1 over 2 ＜ x le 1` RIGHT ) }}]
에 대하여  [eqn: f`^1 = f], [eqn: f `^n+1 = f circ f`^n]이라 할 때,
[eqn: f` ^100 LEFT ( 1 over 7 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: n=1,~2,~3,~ CDOTS])

▸4점

① [eqn: 2 over 7]	② [eqn: 3 over 7]	③ [eqn: 4 over 7]

④ [eqn: 5 over 7]	⑤ [eqn: 6 over 7]

함수 [eqn: f`(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같고, 함수 [eqn: g(x)]가
[eqn: g(x)=x+1]일 때, 다음 중 함수 [eqn: y=(f CIRC g)(x)]의 그래프는?

16

▸4점

①		②
③		④
⑤

함수 [eqn: y= 2 over 3 x－1]의 역함수가 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a－b]의 값은?

17

▸3점

① [eqn: －2]	② [eqn: －1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=x+2]에 대하여 [eqn: f(0)+f`^-1 (1)]의 값을 구하여라.

18

▸3점

Ⅴ. 함수
두 함수 [eqn: f`(x)=x+2], [eqn: g(x)=2x－1]에 대하여 [eqn: ( f CIRC (g CIRC f` )^-1 )(2)]의 값은? 19 ▸3점 ① [eqn: 1 over 2] ② [eqn: 3 over 2] ③ [eqn: 5 over 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 7 over 2] 20 서 술 형 두 함수 [eqn: f(x)=2x-3], [eqn: g(x)=-3x+1]에 대하여 [eqn: (g CIRC f` ^{-1} )(a)=it-8]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라. ▸7점 오른쪽 그림은 역함수를 갖는 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프이다. [eqn: a=(f CIRC f `)(2)]라 할 때, [eqn: f`^-1 (a)]의 값은? 21 ▸4점 ① [eqn: -1] ② [eqn: 0] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 3]	함수 [eqn: f(x)]의 역함수는 [eqn: f`^-1 (x)=3x-3]이고, 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=f(2x-1)]로 정의할 때, [eqn: g(2)]의 값을 구하여라. 22 ▸4점 함수 [eqn: y=ax+b]의 그래프와 그 역함수의 그래프가 모두 점 [eqn: (1,~ 3)]을 지날 때, [eqn: b-a]의 값은? 23 (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ▸4점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7] 서 술 형 함수 [eqn: f(x)=x+1- left vert 1 over 2 x-1 right vert]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. 24 ▸8점

-1. 함수 Ⅴ 01 ③ 02 ③ 03 ③ 04 [eqn: 14] 05 ⑤ 06 ③ 07 [eqn: 4] 08 [eqn: 6] 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ④ 13 ④ 14 [eqn: 13] 15 ① 16 ⑤ 17 ③ 18 [eqn: 1] 19 ② 20 [eqn: 3] 21 ③ 22 [eqn: 2] 23 ③ 24 [eqn: 4] ㄱ. [eqn: f(x)=it-x]에 대하여 02 [eqn: f(-1)=1 in X], [eqn: f(0)=0 in X], [eqn: f(1)=-1 in X] 이므로 함수이다. ㄴ. [eqn: g(x)=x+1]에 대하여 [eqn: g(1)=2 notin X]이므 로 [eqn: g(1)]이 정의되지 않는다. 따라서 함수가 아니다. ㄷ. [eqn: h(x)=x^2]에 대하여 [eqn: h(-1)=1 in X], [eqn: h(0)=0in X], [eqn: h(1)=1 in X] 이므로 함수이다. 이상에서 함수가 되는 것은 ㄱ, ㄷ이다. [eqn: f(-1) = g(-1)]에서 [eqn: -1+a=it-a+b`] 03 [eqn: f`(0) =g`(0)]에서 [eqn: a=b`] [eqn: f`(1) =g(1)]에서 [eqn: 1+a = a+b`] 따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=1]이므로 [eqn: 2a+b=3] [eqn: f(100)=f(10×10)=f(10)+f(10)] 04 [eqn: =2 f(10)=2 f(2×5)] [eqn: =2left{ f(2)+f(5)right}] [eqn: =2(2+5)=14] ㄱ. [eqn: y=it-0.5] ㄴ. [eqn: y=x`] 06 ㄷ. [eqn: y = 1 over 2 x^2] ㄹ. [eqn: y=it-2x+1]	ㅁ. [eqn: y = x^2 -3x +1] ㅂ. [eqn: y =5-x`] 따라서 일대일대응인 것은 ㄴ, ㄹ, ㅂ으로 [eqn: 3`]개이다. [eqn: y=x ^{2} -4x+5]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 07 문제 이해 [eqn: y=mx-m-1] [eqn: = m(x-1) -1] 의 그래프는 점 [eqn: (1,~-1)]을 지나는 직선이다. ▸3점 (ⅰ) [eqn: a`<`2]인 경우 해결 과정 주어진 함수는 일대일대응이 아니다. (ⅱ) [eqn: a`≥` 2]인 경우 주어진 함수는 일대일대응이다. 따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이고, [eqn: x=2]에서 직선은 점 [eqn: (2,~1)]을 지나야 하므로 주어진 직선의 방정식에 [eqn: (2,~1)]을 대입하면 [eqn: 1=2m-m-1], [eqn: m=2] ▸3점 따라서 [eqn: a]의 최솟값과 그때의 [eqn: m]의 값의 곱은 [eqn: 2 times 2 =4] 답 구하기 ▸2점 [eqn: (f circ g circ h ) (1) = f`(g `(h`(1)))= f`(g(1))] 09 [eqn: =f(-4) = 8] [eqn: (g circ f`)(x) = g`(f`(x)) = 2f(x) +a`] 11 [eqn: =2(3x+2) +a`][eqn: = 6x +a+4] [eqn: (f circ g)(x) =f`(g`(x)) = 3g`(x) +2] [eqn: = 3(2x+a) +2][eqn: = 6x +3a+2] [eqn: (g circ f`)(x) = (f circ g)(x)]에서 [eqn: 6x + a+ 4 = 6x + 3a+2], [eqn: a=1] [eqn: (f circ f circ f`) (1) = f`(f`(f`(1)))= f`(f`(2))] 12 [eqn: =f`(5) = 26] [eqn: (g circ h) (x) =f(x)] ⇔ [eqn: 2 h`(x) + 3 = x+1] 13 따라서 [eqn: h(x) = 1 over 2 x-1]

정답 및 해설

중단원 평가

(ⅰ) [eqn: f(1)=1]이면
[eqn: ( f circ f )(1)=f ( f (1))=f(1)][eqn: =1!=3]

14

해결 과정

이므로    [eqn: f(1)!=1]

▸2점

(ⅱ) [eqn: f(1)=2]이면
[eqn: ( f circ f )(1)=f ( f (1))=f(2)=3]

▸2점

(ⅲ) [eqn: f(1)=3]이면
[eqn: ( f circ f )(1)=f ( f (1))=f(3)=3]
으로 함수 [eqn: f]가 일대일대응이 아니므로
[eqn: f(1)!=3]

▸2점

이상에서 [eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=3]이므로

답 구하기

[eqn: 2 f(1)+3 f(2)=4+9=13]

▸2점

[eqn: f^1 left( 1 over 7 right)=f left( 1 over 7 right)= 2 over 7]

15

[eqn: f `^2 left( 1 over 7 right)=f left( f left( 1 over 7 right)right)= f LEFT ( 2 over 7 RIGHT )= 4 over 7]

[eqn: f` ^3 left( 1 over 7 right )=f left( f` ^2 left ( 1 over 7 right)right)= f LEFT ( 4 over 7 RIGHT )= 6 over 7]

[eqn: f `^4 left( 1 over 7 right)=f left( f `^3 left( 1 over 7 right)right)= f LEFT ( 6 over 7 RIGHT ) = 2 over 7]

[eqn: vdots]

[eqn: f^100 left( 1 over 7 right)=f`^{ 3×33+1}` left( 1 over 7 right)=f^1 left( 1 over 7 right)= 2 over 7]

[eqn: f(x) = cases{1 `& (x `≥` 0) # x+1 ~& (x`<`0)}]이므로

16

[eqn: (f CIRC g)(x)= {cases{1~&(g`(x)` GEQ `0)#g(x)+1&(g(x)`<`0)}}]

[eqn: = cases{1 ~& (x≥-1 ) # x+2 ~& (x< -1 )}]

따라서 함수 [eqn: y =(f circ g)(x)]의 그래프는 ⑤이다.

[eqn: f `^-1 (1)=k]로 놓으면 [eqn: f(k)=1]이므로

18

[eqn: k+2=1], [eqn: k=-1]

따라서 [eqn: f` ^{-1} (1)=it-1]이므로

[eqn: f(0)+f `^-1 (1)=2+(-1)=1]

[eqn: (f circ (g circ f`)^-1 ) (2) = (f circ f`^-1 circ g^-1 )(2)]

19

[eqn: = g^-1 `(2)]

[eqn: g ^{-1} (2)=k]라 하면    [eqn: g(k)=2]

[eqn: 2k-1=2], [eqn: k= {3} over {2}]

따라서    [eqn: (f circ (g circ f`)^-1 ) (2) = 3 over 2]

[eqn: f `^-1 (a)=k]로 놓으면

20

해결 과정

[eqn: (g circ f `^-1 )(a)=g (f `^-1 (a))][eqn: =g(k)=it-8]

이므로    [eqn: -3k+1=-8], [eqn: k=3]

▸5점

즉, [eqn: f `^-1 (a)=3]이므로

답 구하기

[eqn: a=f(3)=3]

▸2점

[eqn: a = (f circ f`)(2) =f`(f`(2)) = f`(1) =0]

21

[eqn: f ^{-1} (a)=f ^{-1} `(0)=k]로 놓으면    [eqn: f(k)=0]

따라서 [eqn: k=1]이므로    [eqn: f^-1`(a) =1]

[eqn: f(x)= 1 over 3 x +1]이므로

22

[eqn: g (2)=f(2×2-1)=f(3)=2]

함수 [eqn: y=ax+b]의 그래프가 점 [eqn: (1,~ 3)]을 지나므로    [eqn: a+b=3]	…… ㉠

23

또, 함수 [eqn: y=ax+b]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (1,~ 3)]을 지나므로 함수 [eqn: y=ax+b]의 그래프는 점 [eqn: (3,~ 1)]을 지난다. 따라서

[eqn: 3a+b=1]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=it-1], [eqn: b=4]이므로

[eqn: b-a=5]

(ⅰ) [eqn: 1 over 2 x-1 ge 0], 즉 [eqn: x ge 2]일 때
[eqn: f(x)=x+1-left vert 1 over 2 x-1 right vert]

24

해결 과정

[eqn: =x+1- 1 over 2 x+1= 1 over 2 x+2]

(ⅱ) [eqn: 1 over 2 x-1＜0], 즉 [eqn: x＜2]일 때
[eqn: f(x)=x+1+ 1 over 2 x-1= 3 over 2 x]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

▸4점

이때 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이가

답 구하기

[eqn: 1 over 2 ×1×2+ 1 over 2 ×1×2=2]

이므로 구하는 넓이는    [eqn: 2TIMES2=][eqn: 4]

▸4점