-2 명제

Ⅳ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 중 명제인 것은?

01

▸3점

① 뛰지 말고 걸어라.

② [eqn: 3x+2>0]

③ 나는 저녁노을이 좋아!

④ 홍길동은 키가 크다.

⑤ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +3x+6=0]이다.

조건 ‘[eqn: a>0] 또는 [eqn: b>0]’의 부정은?

02

▸3점

① [eqn: a＞0]이고 [eqn: b＞0]	② [eqn: a GEQ 0]이고 [eqn: b GEQ 0]

③ [eqn: a>0]또는 [eqn: b≤0]	④ [eqn: a≤0] 또는 [eqn: b≤0]

⑤ [eqn: a≤0]이고 [eqn: b≤0]

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]일 때, 조건
‘[eqn: p]：[eqn: x]는 소수이다.’의 진리집합을 구하여라.

03

▸3점

다음 중 명제 ‘[eqn: x] 또는 [eqn: y]가 무리수이면 [eqn: xy]가 무리수이다.’가 거짓임을 보이기 위한 예로 알맞은 것은?

04

▸3점

① [eqn: x= sqrt {2} ,~y= sqrt {3}]	② [eqn: x= sqrt {2} ,~y=1]

③ [eqn: x=2,~y=1]	④ [eqn: x=2,~y= sqrt {3}]

⑤ [eqn: x= sqrt {2} ,~y= sqrt {2}]

전체집합 [eqn: U]에서의 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라 할 때, 오른쪽 그림은 세 집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R] 사이의 관계를 벤 다이어그램으로 나타낸 것이다. 다음 명제 중에서 항상 참인 것은?

05

▸4점

① [eqn: p ``rarrow`` q]	② [eqn: p ``rarrow`` r]	③ [eqn: q ``rarrow`` p]

④ [eqn: q ``rarrow`` r]	⑤ [eqn: r ``rarrow`` p]

다음 명제 중 거짓인 것은?

06

▸4점

① [eqn: x>1]이면 [eqn: x ^{2} >1]이다.

② [eqn: 10]은 [eqn: 2]와 [eqn: 5]의 공배수이다.

③ [eqn: x ^{3} =x]이면 [eqn: x ^{2} =x]이다.

④ 정삼각형은 이등변삼각형이다.

⑤ [eqn: x]가 [eqn: 6]의 양의 배수이면 [eqn: x]는 [eqn: 3]의 양의 배수이다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 참인 명제인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

07

▸4점

ㄱ. [eqn: a＜b＜0]이면 [eqn: a^2 ＞ b^2]이다.

ㄴ. [eqn: vert a vert + vert b vert ge vert a+b vert]이면 [eqn: ab le 0]
이다.

ㄷ. [eqn: a^3 =8]이면 [eqn: a=2]이다.

보기

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서

술

형

전체집합 [eqn: U= left {x vert x]는 [eqn: 6] 이하의 자연수[eqn: `right}]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자.
‘[eqn: p: ``x]는 [eqn: 6]의 약수이다.’일 때, 명제 [eqn: q ``rarrow`` ～p]가 참이 되게 하는 집합 [eqn: Q]의 개수를 구하여라.

08

▸7점

전체집합 [eqn: U]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 다음 두 명제가 항상 참일 때, 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 사이의 포함 관계를 벤 다이어그램으로 나타낸 것은?

09

▸4점

㈎ 모든 [eqn: x in A]에 대하여 [eqn: x notin B]이다.

㈏ 어떤 [eqn: x in C`]에 대하여 [eqn: x notin A]이다.

①		②
③		④
⑤

명제 ‘모든 사람은 수학적 사고를 한다.’의 부정은?

10

▸3점

① 어떤 사람은 수학적 사고를 한다.

② 수학적 사고를 하는 사람은 없다.

③ 수학적 사고를 하지 않는 사람도 있다.

④ 모든 사람은 수학적 사고를 하지 않는다.

⑤ 수학적 사고를 하지 않는 사람은 없다.

명제 ‘[eqn: a le x le a+2]인 어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -5＜x le 3]이다.’가 참이 되게 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

11

▸4점

다음은 명제 ‘자연수 m, n에 대하여 mn이 짝수이면 m 또는 n이 짝수이다.’를 증명한 것이다.

12

주어진 명제의 대우 ‘자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m]과 [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: mn]은 [eqn: {BOX{~~㈎~~}}]이다.’를 증명하면 된다. [eqn: m]과 [eqn: n]이 홀수이면

[eqn: m=2k+1], [eqn: n=2l+1]([eqn: k], [eqn: l]은 [eqn: 0] 또는 자연수)

로 나타낼 수 있으므로

[eqn: mn=(2k+1)(2l+1)=4kl+2k+2l+1]

[eqn: =2(2kl+k+l)+1]

이때 [eqn: 2kl+k+l]은 [eqn: 0] 또는 자연수이므로 [eqn: mn]은

[eqn: {BOX{~~㈏~~}}]이다. 즉, [eqn: m]과 [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: mn]은  [eqn: {BOX{~~㈏~~}}]이다.

따라서 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: mn]이 짝수이면 [eqn: m] 또는 [eqn: n]이 짝수이다.

증명

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 말을 써넣으시오.

▸4점

Ⅳ. 집합과 명제

중단원 평가
명제 ‘[eqn: a=0] 또는 [eqn: b=0]이면 [eqn: ab=0]이다.’의 대우는? 13 ▸3점 ① [eqn: ab=0]이면 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이다. ② [eqn: ab≠0]이면 [eqn: a≠0] 또는 [eqn: b≠0]이다. ③ [eqn: a≠0]이고 [eqn: b≠0]이면 [eqn: ab≠0]이다. ④ [eqn: a≠0]이거나 [eqn: b≠0]이면 [eqn: ab≠0]이다. ⑤ [eqn: ab≠0]이면 [eqn: a≠0]이고 [eqn: b≠0]이다. 명제 [eqn: ～p`` -> ``q]의 역이 참일 때, 다음 명제 중 반드시 참인 것은? 14 ▸3점 ① [eqn: p ``rarrow`` q] ② [eqn: q ``rarrow`` p] ③ [eqn: p`` -> ``～q] ④ [eqn: SIMp`` -> ``SIMq] ⑤ [eqn: SIM q`` -> `` SIM p] 전체집합 [eqn: U]에서의 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라고 하자. 세 명제 [eqn: p ``rarrow`` q], [eqn: r ``rarrow`` ～q], [eqn: ～r ``rarrow`` p]가 모두 참일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? 15 ▸4점 ㄱ. [eqn: Q subset P] ㄴ. [eqn: Q^C = R] ㄷ. [eqn: P cap R = ∅] 보기 ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ	다음은 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D] 네 사람이 사용하는 휴대 전화의 제조 회사에 대하여 설명한 것이다. 16 ㈎ [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 회사의 제품이 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개 있다. ㈏ [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]는 서로 다른 회사의 제품을 사용한다. ㈐ [eqn: rm A]와 [eqn: rm C]는 서로 다른 회사의 제품을 사용한다. ㈑ [eqn: rm D]는 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C] 중 어느 누구와도 같은 회사의 제품을 사용하지 않는다. 위의 설명으로부터 얻을 수 있는 추론 중에서 항상 옳은 것은? ▸4점 ① [eqn: rm A]는 [eqn: a] 회사 제품을 사용한다. ② [eqn: rm B]는 [eqn: b] 회사 제품을 사용한다. ③ [eqn: rm C]는 [eqn: a] 회사 제품을 사용한다. ④ [eqn: rm C]는 [eqn: c] 회사 제품을 사용한다. ⑤ [eqn: rm D]는 [eqn: c] 회사 제품을 사용한다. 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 안에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? 17 ▸3점 ㈎ [eqn: (x-1)(x-2)=0]은 [eqn: x=1]이기 위한 조건이다. ㈏ [eqn: x=3]은 [eqn: x-2＞0]이기 위한 조건이다. ① 필요, 필요 ② 필요, 충분 ③ 충분, 필요 ④ 충분, 충분 ⑤ 필요충분, 필요 다음 중 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것을 모두 고르면? (단, [eqn: a,~b]는 실수이다.) 18 ▸4점 ① [eqn: p：a=b] [eqn: q：a ^{2} =b ^{2}] ② [eqn: p：a<0]이고 [eqn: b＞0] [eqn: q：ab<0] ③ [eqn: p：a+b>2] [eqn: q : a>1]이고 [eqn: b>1] ④ [eqn: p：a ^{2} -5a=0] [eqn: q : a=0] 또는 [eqn: a=5] ⑤ [eqn: p：a<1] [eqn: q:a ^{2} <1]

Ⅳ. 집합과 명제
[eqn: x≤2]는 [eqn: x≤a]이기 위한 필요조건이고, [eqn: x≥b]는 [eqn: x≥-4]이기 위한 충분조건일 때, [eqn: a]의 최댓값과 [eqn: b]의 최솟값의 합은? 19 ▸3점 ① [eqn: -4] ② [eqn: -2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4] 서 술 형 다음 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라. 20 ▸8점 [eqn: p:` (x+2)^2 =a] [eqn: q:` x=1] 또는 [eqn: x=b] 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음 중 [eqn: (A cup B)-(A cap B)=A-B]이기 위한 필요충분조건인 것은? 21 ▸4점 ① [eqn: A subset B] ② [eqn: B subset A] ③ [eqn: A=B] ④ [eqn: A!=B] ⑤ [eqn: A cap B=∅]	실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 + 25 over {x^2 +3}]의 최솟값을 구하여라. 22 ▸4점 서 술 형 오른쪽 그림과 같이 좌표평면에서 직선 [eqn: y=-2x+6] 위의 점 [eqn: rm P(it a,~ b)]와 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rm A(2,~ 0)], [eqn: rm B(4,~ 0)]및 [eqn: y]축 위의 두 점 [eqn: rm C(0,~ 3)], [eqn: rm D(0,~ 7)]을 꼭짓점으로 하는 두 삼각형 [eqn: rm APB], [eqn: rm CPD]의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S`_2]라고 하자. [eqn: S_1 × S`_2]의 최댓값을 구하여라. (단, [eqn: a＞0], [eqn: b＞0]) 23 ▸10점 오른쪽 그림과 같이 넓이가 [eqn: 4 pi]인 원의 내부에 임의의 점 [eqn: rmP]가 있다. 이 점 [eqn: rmP]를 지나는 현에 의해 만들어지는 두 활꼴의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,~S _{2}]라 할 때, [eqn: 4S_1 `^2 +S_2 `^2]의 최솟값은? 24 ▸4점 ① [eqn: 12pi^2] ② [eqn: 64 over 5 pi^2] ③ [eqn: 13pi^2] ④ [eqn: 66 over 5 pi^2] ⑤ [eqn: 20pi^2]

-2. 명제

Ⅳ

01 ⑤	02 ⑤	03 [eqn: LEFT { 2,~3,~5 RIGHT }]	04 ⑤

05 ③	06 ③	07 ③	08 [eqn: 4]	09 ④

10 ③	11 [eqn: 10]	12 ㈎ 홀수 ㈏ 홀수

13 ⑤	14 ③	15 ⑤	16 ②	17 ②

18 ③, ⑤	19 ②	20 [eqn: 4]	21 ②

22 [eqn: 7]	23 [eqn: 9]	24 ②

[eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]의 원소 중 소수는

03

[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]

이므로 구하는 진리집합은

[eqn: LEFT { 2,~3,~5 RIGHT }]

주어진 명제가 거짓임을 보이기 위한 예는

04

‘[eqn: x] 또는 [eqn: y]가 무리수이지만 [eqn: xy]는 유리수인 것’

이다.

따라서 알맞은 예는 ⑤ [eqn: x=sqrt2], [eqn: y= sqrt {2}]이다.

[eqn: Q subset P]이므로 명제 [eqn: q ``rarrow`` p]는 항상 참이다.

05

③ [eqn: x=it-1]이면 [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} =it-1]이지만
[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} != it-1]이다.

06

ㄱ. [eqn: a＜b＜0]이면  [eqn: vert a vert ＞ vert b vert]이므로
[eqn: a^2 ＞ b^2] (참)

07

ㄴ. [반례] [eqn: a=2], [eqn: b=1]이면
[eqn: vert 2 vert + vert 1 vert ge vert 3 vert]이지만

[eqn: 2 × 1＞0] (거짓)

ㄷ. [eqn: a^3 =8]이면 [eqn: a^3 -8=0]이므로

[eqn: a^3 -8=(a-2)(a^2 +2a+4)=0]
이다.

따라서 [eqn: a=2]이다. (참)

이상에서 참인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

명제 [eqn: q ```rarrow`` ～p]가 참이므로

08

해결 과정

[eqn: Q subset P^C]

즉, [eqn: Q subset left{4,~ 5right}]

▸4점

따라서 주어진 조건을 만족시키는 집합 [eqn: Q]의 개수는    [eqn: 2^2 =4]

답 구하기

▸3점

명제 ‘모든 [eqn: x in A]에 대하여 [eqn: x notin B]이다.’가 참이므로     [eqn: A subset B^C]

09

즉, 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]는 서로소이다.

또, 명제 ‘어떤 [eqn: x in C]에 대하여 [eqn: x notin A]이다.’가 참이므로

[eqn: C ⊄A]

따라서 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]를 벤 다이어그램으로 나타내면 ④와 같다.

주어진 명제의 부정은 ‘어떤 사람은 수학적 사고를 하지 않는다.’, 즉 ‘수학적 사고를 하지 않는  사람도 있다.’이다.

10

[eqn: LEFT { x vert a LEQ x LEQ a+2 RIGHT } SMALLINTER LEFT { x vert -5＜x LEQ 3 RIGHT }]

11

[eqn: != EMPTYSET]

이어야 한다.

따라서

[eqn: a le 3], [eqn: -5＜a+2]

이어야 하므로   [eqn: -7＜a le 3]

이를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: -6], [eqn: -5], [eqn: -4], [eqn: cdots], [eqn: 2], [eqn: 3]으로 [eqn: 10]개이다.

역 [eqn: q] [eqn: →∼p]가 참이므로 그 대우인 [eqn: p] [eqn: -> SIM q]도 참이다.

14

명제 [eqn: r ```rarrow`` ～q]의 대우는 [eqn: q ```rarrow`` ～r]이므로 세 명제 [eqn: p ``rarrow`` q], [eqn: q ```rarrow`` ～r], [eqn: ～r ``rarrow`` p]가 모두 참이다.

15

즉, [eqn: P=Q=R^C]

ㄱ. [eqn: Q=P]이므로    [eqn: Q subset P] (참)

ㄴ. [eqn: Q=R^C]이므로    [eqn: Q^C =(R^C` )^C =R] (참)

ㄷ. [eqn: P=R^C]이므로    [eqn: P cap R=∅] (참)

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

㈎, ㈑에 의하여 [eqn: rm D]의 휴대 전화는 [eqn: a] 또는 [eqn: c] 회사의 제품임을 알 수 있다.

16

또, ㈏, ㈐, ㈑에서 [eqn: rm A]는 [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]와 다른 회사의 제품을 사용하므로 ㈎에 의하여 [eqn: rm A]의 휴대 전화는 [eqn: a] 또는 [eqn: c] 회사의 제품임을 알 수 있다.

따라서 ㈎에 의하여 [eqn: rm B]와 [eqn: rm C]는 같은 회사의 제품을 사용하므로 [eqn: rm B]와 [eqn: rm C]는 모두 [eqn: b] 회사의 제품을 사용한다.

정답 및 해설

중단원 평가

㈎  [eqn: (x-1)(x-2)=0]의 진리집합은 [eqn: left{1,~ 2right}]이
고 [eqn: left{1right} subset left{1,~ 2right}]이므로 [eqn: (x-1)(x-2)=0]
은 [eqn: x=1]이기 위한 필요조건이다.

17

㈏ [eqn: x-2＞0]의 진리집합은 [eqn: left{`x vert x＞2right}]이고
[eqn: left{3right} subset left{x vert x＞2right}]이므로 [eqn: x=3]은 [eqn: x-2＞0]
이기 위한 충분조건이다.

① [eqn: a^2 =b^2][eqn: ⇔][eqn: a=±b]

18

[eqn: p] [eqn: q]

즉, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다.

② [eqn: a>0]이고 [eqn: b<0]이면 [eqn: ab<0]이다.

[eqn: p] [eqn: q]

즉, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다.

③ [eqn: p] [eqn: q]

즉, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

[반례] [eqn: a=3,~b=0]이면 [eqn: 3+0>2]이지만

[eqn: 3>1,0<1]이다.

④ [eqn: a^2 -5a=0] [eqn: LRARROW ~a=0] 또는 [eqn: a=5]

[eqn: p] [eqn: q]

즉, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건이다.

⑤ 조건 [eqn: p,~q]를 만족하는 집합을 각각 [eqn: P,~Q]라
하면

즉 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

따라서 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ③,  ⑤이다.

[eqn: a≤2]이므로 [eqn: a]의 최댓값은 2이다.

19

또, [eqn: b≥-4]이므로 [eqn: b]의 최솟값은 [eqn: -4]이다.

따라서 구하는 합은

[eqn: 2+ LEFT ( -4 RIGHT ) =it-2]

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하면 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건이므로

20

문제 이해

[eqn: Q=P]

▸3점

[eqn: a=(1+2)^2 =9]

해결 과정

한편, 방정식 [eqn: (x+2)^2 =9]의 근은

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-5]

이므로    [eqn: b=-5]

▸4점

따라서    [eqn: a+b=9-5=4]

답 구하기

▸1점

[eqn: LEFT ( A cup B` RIGHT )- LEFT ( A cap B` RIGHT )= A-B]
[eqn: `` LRARROW ``B-A= EMPTYSET]

21

[eqn: `` LRARROW ``B SUBSET A]

[eqn: x^2 + 25 over {x^2 +3} =x^2 +3 + 25 over {x^2 +3}-3]에서

22

[eqn: x^2 +3 ＞0], [eqn: 25 over { x^2 +3} ＞0]이므로

[eqn: x^2 + 25 over { x^2 +3} ge 2 root { LEFT ( x^2 + 3 RIGHT ) × 25 over {x^2 +3} }-3]

[eqn: = 10-3=7]

[eqn: left(`#`]단, 등호는 [eqn: x^2 +3 = 25 over {x^2 +3}]일 때 성립[eqn: lpile {`#`} right)]

따라서 주어진 식의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

점 [eqn: rm P(it a,~ b)]는 직선 [eqn: y=-2x+6] 위의 점이므로

23

해결 과정

[eqn: b=-2a+6], [eqn: 2a+b=6]

[eqn: S_1 = 1 over 2 × 2 ×b=b]

[eqn: S`_2 = 1 over 2 × 4 ×a =2a]

▸4점

[eqn: root{S_1 × S`_2}= root 2ab le 2a+b over 2 =3]

(단, 등호는 [eqn: 2a=b]일 때 성립)

▸4점

따라서 [eqn: S_1 × S`_2]의 최댓값은 [eqn: 9]이다.

답 구하기

▸2점

[eqn: LEFT { (2S _{1} ) ^{2} +(S _{2} ) ^{2} RIGHT } LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +1 ^{2} RIGHT } `][eqn: ` GEQ ` LEFT { {1} over {2} (2S _{1} )+S _{2} RIGHT } ^{2}]

24

[eqn: (4S_1`^2 + S_2 `^2 ) left( 1 over 4 +1 right) ≥ (S_1 + S_2 )^2]

[eqn: 5 over 4 (4S_1`^2 +S_2 `^2 ) ≥ (4pi )^2] (∵ [eqn: S_1 +S_2 = 4pi])

[eqn: 4S_1`^2 + S_2 `^2 ≥ 64 over 5 pi^2]

따라서 [eqn: 4S_1 `^2 +S_2 `^2]의 최솟값은 [eqn: 64 over 5 pi^2]이다.