-1 집합

Ⅳ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 중 집합인 것은?

01

▸2점

① 예쁜 여학생들의 모임

② 키가 큰 남학생들의 모임

③ 우리 고등학교 1학년 학생들의 모임

④ 멋있는 선생님의 모임

⑤ 예의바른 학생의 모임

집합 [eqn: A= LEFT { `x vert x RIGHT .]는 [eqn: 15]의 약수[eqn: `right}]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

02

▸3점

ㄱ. [eqn: 1 in A]	ㄴ. [eqn: 3 notin A]

ㄷ. [eqn: 4 notin A]

보기

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서

술

형

두 집합 [eqn: A= left {`a vert a = n+1,~ n le 3]인 자연수[eqn: `right}], [eqn: B= left {`b vert b= a^2 -1 ,~ a in A right }]에 대하여 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합을 구하여라.

03

▸7점

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

04

▸4점

ㄱ. [eqn: A=left {0 right]이면 [eqn: n(A)=0]이다.

ㄴ. [eqn: B=∅]이면 [eqn: n(B)=0]이다.

ㄷ. [eqn: n( left {3} right })-n(left {1right })=2]

보기

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]일 때, 다음 중 옳은 것은?

05

▸3점

① [eqn: 2∉A]	② [eqn: 5∈A]

③ [eqn: LEFT { 1 RIGHT } SUBSET A]	④ [eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } NSUBSET A]

⑤ [eqn: A SUBSET LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]

집합 [eqn: A= LEFT { EMPTYSET ,~ LEFT { 1 RIGHT } ,~ LEFT { 2 RIGHT } ,~ LEFT { 1,~2 RIGHT } RIGHT }]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

06

▸3점

① [eqn: EMPTYSET IN A]	② [eqn: EMPTYSET SUBSET A]	③ [eqn: LEFT { 1,~2 RIGHT } IN A]

④ [eqn: LEFT { LEFT { 1 RIGHT } RIGHT } IN A]	⑤ [eqn: LEFT { LEFT { 1,~2 RIGHT } RIGHT } SUBSET A]

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? 07 ▸4점 ㄱ. [eqn: n(A)=n( ∅)]이면 [eqn: A=∅]이다. ㄴ. [eqn: A subset B]이면 [eqn: n(A)＜n(B)]이다. ㄷ. [eqn: n(A)＜n(B)]이면 [eqn: A subset B]이다. 보기 ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 두 집합 08 [eqn: A= LEFT { x-1,~y+5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x-y,~x+3y RIGHT }] 에 대하여 [eqn: A=B]일 때, 두 양수 [eqn: x,~ y]의 합 [eqn: x+y]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 집합 [eqn: A= LEFT { a,~b,~c,~d RIGHT }]의 부분집합의 개수와 진부분집합의 개수를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 할 때, [eqn: m+n]의 값은? 09 ▸2점 ① [eqn: 30] ② [eqn: 31] ③ [eqn: 32] ④ [eqn: 33] ⑤ [eqn: 35]	집합 [eqn: A= LEFT { a,~b,~c,~d,~e,~f RIGHT }]의 부분집합 중 [eqn: a], [eqn: b]는 반드시 포함하고 [eqn: f]는 포함하지 않는 부분집합의 개수는? 10 ▸4점 ① [eqn: 64] ② [eqn: 32] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 4] 서 술 형 두 집합 11 [eqn: A=left{3,~ a-1,~ a+3right}], [eqn: B= LEFT { b-1,~b+1,~7,~9 RIGHT }] 에 대하여 [eqn: A cap B=left{3,~ 5right}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. ▸8점 전체집합 [eqn: U=left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5right}]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A=left{1,~ 2,~ 3right}]일 때, [eqn: n(A cap B)=2]를 만족시키는 집합 [eqn: B]의 개수를 구하여라. 12 ▸4점

Ⅳ. 집합과 명제

중단원 평가

두 집합

13

[eqn: A_m = left {`x vert x]는 자연수 [eqn: m]의 약수[eqn: LEFT. ` RIGHT }],

[eqn: B_n = left {`x vert x]는 자연수 [eqn: n]의 배수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]
에 대하여 [eqn: A_p = A_12 cap A _18], [eqn: B_q = B_6 cap B`_8]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

▸4점

전체집합 [eqn: U= LEFT { {1} over {2} ,~ {1} over {2 ^{2}} ,~ {1} over {2 ^{3}} ,~ CDOTS ,~ {1} over {2 ^{10}} RIGHT }]의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 [eqn: A _1], [eqn: A_2], [eqn: cdots], [eqn: A _n] ([eqn: n]은 자연수)이라 하고, 집합 [eqn: A _i]의 원소 중에서 최소인 것을
[eqn: a_i `` LEFT ( i= 1,~2,~3,~cdots,~n RIGHT )]라고 하자.
[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_n]의 값을 구하여라.

14

▸4점

오른쪽 그림에서 색칠한 부분은 각각 전체집합 [eqn: U]와 그 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]를 나타낸 것이다. 다음 중에서 [eqn: LEFT ( A cup B` RIGHT )^C]를 바르게 나타낸 것은?

15

[eqn: U]

[eqn: A]

[eqn: B]

▸3점

①		②
③		④
⑤

세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 오른쪽 벤 다이어그램의 색칠한 부분을 나타낸 집합은?

16

▸4점

① [eqn: A LEFT -( B cap C` RIGHT )]

② [eqn: LEFT ( A cup B` RIGHT )-C]

③ [eqn: LEFT ( A cap C` RIGHT )-B]

④ [eqn: B - LEFT ( A cap C` RIGHT )]

⑤ [eqn: C- LEFT ( A cap B` RIGHT )]

전체집합 [eqn: U= left {`x vert x]는 [eqn: 10]보다 작은 자연수[eqn: `right}]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

17

[eqn: A-B=left{5,~ 7,~ 8right}], [eqn: B-A=left{2,~ 6right}],

[eqn: (A cup B)^C =left{4,~ 9right}]
일 때, [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합을 구하여라.

▸4점

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 집합

18

[eqn: (A SMALLINTER B) CUP (A-B)]
를 간단히 하면?

▸3점

① [eqn: EMPTYSET]	② [eqn: A]	③ [eqn: B]

④ [eqn: U]	⑤ [eqn: A SMALLINTER B]

Ⅳ. 집합과 명제
전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A⊂B]일 때, 다음 중 성립하지 않는 것은? 19 ▸3점 ① [eqn: A CUP B=B] ② [eqn: A SMALLINTER B=A] ③ [eqn: A-B= EMPTYSET] ④ [eqn: B ^{C} SUBSET A ^{C}] ⑤ [eqn: A SMALLINTER`B ^{C} =U] 서 술 형 두 집합 [eqn: A= left {1,~ 2,~ 3,~ 4 right }], [eqn: B=left {3,~ 4,~ 5,~ 6 right }]에 대하여 [eqn: (A cap B) cup X=X], [eqn: X cap (A cup B`)=X]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하여라. 20 ▸8점 전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 연산 [eqn: △]를 다음과 같이 정의하자. 21 [eqn: A△B=(A-B) cup (B-A)] 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ▸4점 ㄱ. [eqn: A△B=(A cup B)-(A cap B)] ㄴ. [eqn: A△B=B△A] ㄷ. [eqn: (A△B)△C=A△(B△C`)] ㄹ. [eqn: A^C △B^C =A△B] 보기 ① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ	전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 22 [eqn: n(U)=30], [eqn: n(A SMALLINTER B)=8], [eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)=17] 일 때, [eqn: n(A)+n(B)]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 20] ② [eqn: 21] ③ [eqn: 30] ④ [eqn: 31] ⑤ [eqn: 36] 학생 수가 [eqn: 30]명인 어느 반의 모든 학생은 체육, 봉사, 예술 동아리 중 적어도 한 동아리에 가입하였다. 체육, 봉사, 예술 동아리에 가입한 학생이 각각 [eqn: 19]명, [eqn: 16]명, [eqn: 20]명이고, 세 동아리에 모두 가입한 학생이 [eqn: 5]명일 때, 하나의 동아리에만 가입한 학생 수를 구하여라. 23 ▸4점 서 술 형 학생 [eqn: 35]명에 대하여 과학 선택과목을 조사하였다. 물리를 선택한 학생이 [eqn: 24]명, 화학을 선택한 학생이 [eqn: 28]명일 때, 두 과목을 모두 선택한 학생 수의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. 24 ▸8점

-1. 집합

Ⅳ

01 ③	02 ③	03 [eqn: 26]	04 ②	05 ③

06 ④	07 ①	08 ④	09 ②	10 ④

11 [eqn: 6]	12 [eqn: 12]	13 [eqn: 30]	14 [eqn: 5]	15 ①

16 ③	17 [eqn: 4]	18 ②	19 ⑤	20 [eqn: 16]

21 ⑤	22 ②	23 [eqn: 10]	24 [eqn: 41]

[eqn: A= left {1,~ 3,~ 5,~ 15 right }]이므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

02

[eqn: A=left{2,~ 3,~ 4right}], [eqn: B=left{3,~ 8,~ 15right}]

03

해결 과정

▸4점

따라서 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은

답 구하기

[eqn: 3+8+15=26]

▸3점

ㄱ. [eqn: A= left {0 right }]이면    [eqn: n(A)=1] (거짓)

04

ㄴ. [eqn: B=∅]이면 집합 [eqn: B]의 원소가 하나도 없으
므로    [eqn: n(B)=0] (참)

ㄷ. [eqn: n(left{3right})-n(left{1right})=1-1=0] (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

① [eqn: 2`∈A]	② [eqn: 5`∉A]

05

④ [eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } SUBSET A]	⑤ [eqn: A NSUBSET LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]

④ 집합 [eqn: A]의 원소는 [eqn: EMPTYSET ,~ LEFT { 1 RIGHT } ,~ LEFT { 2 RIGHT } ,~ LEFT { 1,~2 RIGHT }]이
므로  [eqn: LEFT { LEFT { 1RIGHT }`RIGHT }subsetA]이다.

06

ㄱ. [eqn: n(∅)=0]이므로 [eqn: n(A)=0]
따라서 [eqn: A=∅]이다. (참)

07

ㄴ. [eqn: A=B]이면 [eqn: A subset B]이지만 [eqn: n(A)=n(B)]이
다. (거짓)

ㄷ. [eqn: A=left{1right}], [eqn: B=left{2,~ 3right}]이면 [eqn: n(A)＜n(B)]이
지만 [eqn: A ⊄B]이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

[eqn: x-1=x-y]이면    [eqn: y=1]

08

[eqn: y+5=x+3y]이므로    [eqn: x=3]

[eqn: x-1=x+3y]이면 [eqn: y=it- {1} over {3}]이므로 음수가 된다.

따라서    [eqn: x+y=4]

집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수는    [eqn: 2^4 =16]

09

집합 [eqn: A]의 진부분집합의 개수는	[eqn: 2^4 -1=15]

따라서    [eqn: m+n=31]

[eqn: 2^6-2-1 =2^3 =8]

10

(ⅰ) [eqn: A cap B = left { 3,~5 right }]에서 [eqn: 5 in A]
이때 [eqn: a-1=5], 즉 [eqn: a=6]이면
[eqn: A=left{3,~ 5,~ 9right}], [eqn: A cap B=left{3,~ 5,~ 9right}]
가 되므로   [eqn: a!=6]
따라서 [eqn: a+3=5], 즉 [eqn: a=2]이다.

11

해결 과정

▸3점

(ⅱ) [eqn: A cap B=left{3,~ 5right}]에서 [eqn: 3 in B], [eqn: 5in B]
이때 [eqn: b-1=3], 즉 [eqn: b=4]이면
[eqn: B=left{3,~ 5,~ 7,~ 9right}]
가 되므로 주어진 조건을 만족시킨다.
따라서    [eqn: b=4]

▸3점

[eqn: a+b=2+4=6]

답 구하기

▸2점

(ⅰ) [eqn: A cap B=left{1,~ 2right}]일 때
[eqn: 3 notin B]이어야 하므로 집합 [eqn: B]는 [eqn: 1], [eqn: 2]를 원소
로 갖고 [eqn: 3]은 원소로 갖지 않아야 한다.
따라서 집합 [eqn: B]의 개수는    [eqn: 2^5-3 = 2^2 =4]

12

(ⅱ) [eqn: A cap B=left{1,~ 3right}]일 때
[eqn: 2 notin B]이어야 하므로 집합 [eqn: B]는 [eqn: 1], [eqn: 3]을 원소
로 갖고 [eqn: 2]는 원소로 갖지 않아야 한다.
따라서 집합 [eqn: B]의 개수는    [eqn: 2^2 = 4]

(ⅲ) [eqn: A cap B=left{2,~ 3right}]일 때
[eqn: 1 notin B]이어야 하므로 집합 [eqn: B]는 [eqn: 2], [eqn: 3]을 원소
로 갖고 [eqn: 1]은 원소로 갖지 않아야 한다.
따라서 집합 [eqn: B]의 개수는    [eqn: 2^2 =4]

이상에서 집합 [eqn: B]의 개수는    [eqn: 4+4+4=12]

[eqn: A_12 cap A _18 =left{1,~ 2,~ 3,~ 6right}=A_6]

13

[eqn: B_6 cap B_8 = left { 24,~48, ~cdots right} = B`_24]

따라서 [eqn: p=6], [eqn: q=24]이므로    [eqn: p+q=30]

원소 중에서 최소인 것이 [eqn: 1 over 2]인 집합은

14

[eqn: left{ 1 over 2 right}]의 [eqn: 1]개

원소 중에서 최소인 것이 [eqn: 1 over 2^2]인 집합은

정답 및 해설

중단원 평가

[eqn: left{ 1 over 2^2 right}], [eqn: left { 1 over 2^2 ,~ 1 over 2 right}]의 [eqn: 2]개

원소 중에서 최소인 것이 [eqn: 1 over 2^3]인 집합은

[eqn: left { 1 over 2^3 right}], [eqn: left{ 1 over 2^3 ,~ 1 over 2^2 right}], [eqn: left{ 1 over 2^3 ,~ 1 over 2 right}],

[eqn: left {1 over 2^3 ,~ 1 over 2^2 ,~ 1 over 2 right}]의 [eqn: 2^2]개

[eqn: VDOTS]

원소 중에서 최소인 것이 [eqn: 1 over 2^10]인 집합은

[eqn: left { 1 over 2 ,~ 1 over 2^2 ,~ cdots ,~ 1 over 2^9 right}]의 부분집합과 [eqn: left { 1 over 2^10 right}]의

합집합인 경우이므로 [eqn: 2^9]개

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + cdots+ a_n]

[eqn: = 1 over 2 × 1 + 1 over 2^2 times 2+ 1 over 2^3 × 2^2 + cdots + 1 over 2^10 × 2^9]

[eqn: = 1 over 2 + 1 over 2 + 1 over 2 + cdots + 1 over 2][eqn: = 1 over 2 × 10 = 5]

15

[eqn: A cup B]

[eqn: LEFT ( A cup B` RIGHT )^C]

16

[eqn: LEFT ( A SMALLINTER C` RIGHT )]

[eqn: B]

[eqn: -]

[eqn: =]

[eqn: LEFT ( A SMALLINTER C` RIGHT ) -B]

세 집합 [eqn: U], [eqn: A], [eqn: B]를 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

17

따라서 [eqn: A cap B=left{1,~ 3right}]이므로 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합은    [eqn: 1+3=4]

[eqn: (A` SMALLINTER `B)` CUP `(A-B)=(A` SMALLINTER `B)`` CUP ``(A` SMALLINTER `B ^{C} `)]

18

[eqn: =A` SMALLINTER `(B` CUP `B ^{C} `)][eqn: =A]

[eqn: (A cap B) cup X=X], [eqn: X cap (A cup B)=X]에서

20

문제 이해

[eqn: (A capB) subset X subset (A cup B)]

▸3점

즉,

해결 과정

[eqn: left{3,~ 4right} subset X subset left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6right}]이므로 집합 [eqn: X]는 집합 [eqn: left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6right}]의 부분집합 중에서 [eqn: 3], [eqn: 4]를 원소로 갖는 부분집합이다.

▸2점

따라서 집합 [eqn: X]의 개수는

답 구하기

[eqn: 2^6-2 =2^4 =16]

▸3점

[eqn: n(A CUP B)=n(U)-n((A CUP B) ^{C} `)]

22

[eqn: =30-17=13]

[eqn: n(A CUP B)=n(A)+n(B)-(A CAP B)]에서

[eqn: 13=n(A)+n(B)-8]

따라서    [eqn: n(A)+n(B)=21]

체육, 봉사, 예술 동아리에 가입한 학생들의 집합을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]라 하자.

23

또, 세 동아리 중 두 동아리에만 가입한 학생 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하면 구하는 학생 수는 오른쪽 벤 다이어그램에서 색칠한 부분에 속하는 학생 수의 합과 같다.

[eqn: n LEFT ( A cup B cup C` RIGHT )]

[eqn: = n LEFT ( A RIGHT )+ n LEFT ( B` RIGHT )+ n LEFT ( C` RIGHT )- n LEFT ( A cap B` RIGHT )][eqn: -n LEFT ( B SMALLINTER C` RIGHT )]    [eqn: -n LEFT ( C SMALLINTER A RIGHT )][eqn: + n LEFT ( A cap B cap C` RIGHT )]

[eqn: 30=19+16+20-(a+5)-(b+5)]

[eqn: -(c+5)+5]

[eqn: a+b+c=15]

따라서 하나의 동아리에만 가입한 학생 수는

[eqn: 30-(a+b+c+5)=30-(15+5)][eqn: =10]

물리를 선택한 학생의 집합을 [eqn: A], 화학을 선택한 학생의 집합을 [eqn: B]라 하면 두 과목 모두 선택한 학생의 집합은 [eqn: A SMALLINTER B]이다.

24

문제 이해

▸2점

(ⅰ) [eqn: A`SUBSET `B]일 때, [eqn: n`(A`CAP`B`)]는 최대
이고, 이때

해결 과정

[eqn: n`(A`CAP`B`)=24]

(ⅱ) [eqn: n`(A`CUP`B`)=35]일 때, [eqn: n`(A`CAP`B`)]는 최소
이고, 이때

[eqn: n`(A`CAP`B`)=n`(A`)+n`(B`)-n`(A`CUP`B`)]

[eqn: =24+28-35][eqn: =17]

▸5점

따라서 최댓값과 최솟값의 합은

답 구하기

[eqn: 24+17=41]

▸1점