-4 도형의 이동

Ⅲ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

점 [eqn: (x, ~y)]를 점 [eqn: (x-2, ~y+1)]로 옮기는 평행이동에 의하여 다음 점이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

01

▸2점

⑴ [eqn: (-1, ~5)]	⑵ [eqn: (3, ~4)]

02

원점을 점 [eqn: (－2, ~1)]로 옮기는 평행이동에 의하여 원점으로 옮겨지는 점의 좌표를 [eqn: ( alpha ,~ beta )]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서

술

형

한 개의 동전을 던져서 다음과 같은 방법으로 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P(1, ~-1)]을 이동하려고 한다.

03

㈎ 앞면이 나오면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향
으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한다.

㈏ 뒷면이 나오면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의
방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한다.

동전을 [eqn: 8]회 던져서 앞면이 [eqn: 6]회, 뒷면이 [eqn: 2]회 나왔을 때, 점 [eqn: rm P]를 평행이동한 점을 [eqn: rm Q]라 하자. 이때 선분 [eqn: rm PQ]의 길이를 구하여라.

▸7점

다음 방정식이 나타내는 도형을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하여라.

04

▸4점

⑴ [eqn: y=2x^2 -2]

⑵ [eqn: (x-1)^2 +(y+2)^2 =1]

직선 [eqn: 3x+y-5=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면 직선 [eqn: 3x+y-1=0]과 일치한다. 이때 [eqn: n]의 값은?

05

▸3점

① [eqn: -5]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -9]

점 [eqn: (2,~3)]을 점 [eqn: (1,~5)]로 옮기는 평행이동에 의하여 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]이 옮겨지는 도형의 방정식은?

06

▸3점

① [eqn: (x+1)^2 +(y+2)^2 =1]

② [eqn: (x+1)^2 +(y-2)^2 =1]

③ [eqn: (x+1)^2 +(y-1)^2 =1]

④ [eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =1]

⑤ [eqn: (x-1)^2 +(y+2)^2 =1]

원 [eqn: x^2 +y^2 +4x-6y+8=0]을 평행이동하면 원 [eqn: x^2 +y^2 =r^2]과 일치한다. 상수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: r^2]의 값을 구하여라. 07 ▸3점 점 [eqn: (x, ~y)]를 점 [eqn: (x+a,~y+b)]로 옮기는 평행이동에 의하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+2y+1=0]이 원점을 중심으로 하는 원으로 옮겨졌을 때, [eqn: a+b]의 값은? 08 ▸3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 직선 [eqn: y= 3 over 2 x-3]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 직선이 네 점 [eqn: rmP(1, ~3)], [eqn: rmQ(3, ~0)], [eqn: rmR(5, ~3)], [eqn: rmS(3, ~6)]을 꼭짓점으로 하는 마름모 [eqn: rmPQRS]의 넓이를 이등분한다. [eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계식은? 09 ▸4점 ① [eqn: a+b+1=0] ② [eqn: 2a-3b+3=0] ③ [eqn: 3a-b+3=0] ④ [eqn: 2a-2b+1=0] ⑤ [eqn: 3a-2b+3=0]	점 [eqn: (1, ~2)]를 [eqn: x]축, [eqn: y]축, 원점에 대하여 대칭이동을 반복할 때, 다음 중 좌표평면 위에 나타낼 수 없는 점은? 10 ▸3점 ① [eqn: (1, ~2)] ② [eqn: (-1,~2)] ③ [eqn: (-1,~-2)] ④ [eqn: (2, ~1)] ⑤ [eqn: (1, ~－2)] 서 술 형 곡선 [eqn: y=x^2 －3x－4] 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 원점에 대하여 대칭일 때, [eqn: rmbar PQ]의 길이를 구하여라. 11 ▸8점 직선 [eqn: 5x-4y+3=0]을 다음에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라. 12 ▸4점 ⑴ [eqn: x]축 ⑵ [eqn: y]축 ⑶ 원점 ⑷ 직선 [eqn: y=x]

Ⅲ. 도형의 방정식

중단원 평가
다음 보기 중 방정식 [eqn: f`(x,~y)=0]이 나타내는 도형을 대칭이동한 결과가 옳지 않은 것의 개수는? 13 ▸3점 ㄱ. [eqn: x`]축에 대하여 대칭 ⇨ [eqn: f`(－x,`` y)=0] ㄴ. [eqn: y`]축에 대하여 대칭 ⇨ [eqn: f`(x, ``－y)=0] ㄷ. 원점에 대하여 대칭 ⇨ [eqn: f`(－x,`` －y)=0] ㄹ. 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭 ⇨ [eqn: f`(y, ``x)=0] ㅁ. 직선 [eqn: y=－x]에 대하여 대칭 ⇨ [eqn: f`(－y, ``－x)=0] 보기 ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4] 원 [eqn: x^2 +y^2 －4x+6y+12=0]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은? 14 ▸3점 ① [eqn: (x－1)^2 +(y－4)^2 =9] ② [eqn: x^2 +y^2 =1] ③ [eqn: (x－2)^2 +(y－3)^2 =1] ④ [eqn: (x+2)^2 +(y+3)^2 =1] ⑤ [eqn: (x－3)^2 +(y+3)^2 =1] 직선 [eqn: y=kx+1]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} －6x+4y+9=0]의 넓이를 이등분할 때, [eqn: k]의 값은? 15 ▸4점 ① [eqn: -1] ② [eqn: 0] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 3]	원 [eqn: x^2 +y^2 -6x-4y+9=0]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면 직선 [eqn: y=mx]에 접할 때, 모든 상수 [eqn: m]의 값의 합을 구하여라. 16 ▸4점 원 [eqn: (x－2)^2 +y^2 =4]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원의 중심이 직선 [eqn: y=2x+k] 위에 있을 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? 17 ▸4점 ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4] 서 술 형 원 [eqn: C_1] : [eqn: x^2 -2x+ y^2 +4y+4=0]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원을 [eqn: C_2]라 하자. 원 [eqn: C_1] 위의 임의의 점 [eqn: rm P]와 원 [eqn: C_2] 위의 임의의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리의 최솟값을 구하여라. 18 ▸8점

Ⅲ. 도형의 방정식

점 [eqn: rm A(4, ~-3)]을 지나는 직선 [eqn: l]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하였더니 다시 점 [eqn: rm A]를 지나는 직선이 되었다. 이때 직선 [eqn: l]의 기울기는?

19

▸3점

① [eqn: -7]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 2]

원 [eqn: x^2 +y^2 =9]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 후, 다시 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동하였더니 원 [eqn: x^2 +y^2 +4x－6y+k=0]이 되었다. 이때 [eqn: a+b－k`]의 값은?

20

▸4점

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

방정식 [eqn: f`(x,~y)=0]이 나타내는 도형이 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 방정식
[eqn: f`(y－1,~－x)=0]이 나타내는 도형은?

21

▸4점

①		②
③		④
⑤

서

술

형

두 직선 [eqn: ax+(b-1)y=2], [eqn: (a+1)x+by=1]이 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

22

▸8점

두 원

23

[eqn: (x+2)^2 +(y-1)^2 =1],

[eqn: (x-2)^2 +(y-5)^2 =1]
이 직선 [eqn: l]에 대하여 서로 대칭일 때, 직선 [eqn: l]의 방정식은?

▸4점

① [eqn: y=-2x+2]	② [eqn: y=-x+2]	③ [eqn: y=-x+3]

④ [eqn: y=x+2]	⑤ [eqn: y=2x+2]

담으로 둘러싸인 직사각형 모양의 평평한 구역이 있다. 경비원이 순찰 지점 [eqn: rm A]에서 출발하여 오른쪽 그림과 같이 담의 두 지점을 지나 순찰 지점 [eqn: rm B]까지 최단 거리로 이동할 때, 그 이동 거리는?

24

▸4점

① [eqn: 50] m	② [eqn: 60] m	③ [eqn: 70] m

④ [eqn: 50 sqrt 2] m	⑤ [eqn: 60 sqrt 2] m

-4. 도형의 이동

Ⅲ

01 ⑴ [eqn: (-3, ~6)] ⑵ [eqn: (1, ~5)]	02 ①	03 [eqn: 2 sqrt {5}]

04 ⑴ [eqn: y=2x^2 +8x+5]

⑵ [eqn: (x+1)^2 +(y+3)^2 =1]	05 ③	06 ②

07 [eqn: 5]	08 ②	09 ⑤	10 ④

11 [eqn: 4 sqrt {10}]

12 ⑴ [eqn: 5x+4y+3=0] ⑵ [eqn: 5x+4y-3=0]

⑶ [eqn: 5x-4y-3=0] ⑷ [eqn: 4x-5y-3=0]

13 ③	14 ④	15 ③	16 [eqn: - 12over5]

17 ③	18 [eqn: 3 sqrt {2} -2]	19 ①	20 ①

21 ③	22 [eqn: 5]	23 ③	24 ⑤

앞면이 [eqn: 6]회 나오고 뒷면이 [eqn: 2]회 나오면 점 [eqn: rm P (1,~-1)]은 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 6-2=4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -6+2 times 2=-2]만큼 평행이동하므로 점 [eqn: rm Q]의 좌표는   [eqn: (5, ~-3)]

03

해결 과정

▸4점

따라서 선분 [eqn: rm PQ]의 길이는

답 구하기

[eqn: sqrt {(5-1) ^{2} + LEFT { (-3-(-1) RIGHT } ^{2}} =2 sqrt {5}]

▸3점

직선 [eqn: 3x+y-5=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면

05

[eqn: 3(x-1)+(y-n)-5=0]

[eqn: 3x+y-n-8=0]

따라서 [eqn: -n-8=it-1]이므로    [eqn: n=it-7]

원 [eqn: x^2 + y^2 =1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면

06

[eqn: (x+1)^2 + (y-2)^2 =1]

두 원 [eqn: (x+2)^2 +(y-3)^2 =5], [eqn: x^2 +y^2 =r^2]의 반지름의 길이가 서로 같아야 하므로    [eqn: r^2 =5]

07

원 [eqn: (x-2)^2 + (y+1)^2 =4]의 중심인 점

08

[eqn: (2,~-1)]이 원점으로 옮겨지므로

[eqn: 2+a =0 ,~ -1+b =0]

따라서 [eqn: a=it-2,~b=1]이므로    [eqn: a+b=it-1]

직선 [eqn: y = 3 over 2 x -3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]

09

축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하면

[eqn: y -b = 3 over2 (x-a)-3]

이 직선이 [eqn: rmbar{PR}]의 중점 [eqn: (3,~3)]을 지나므로

[eqn: 3-b = 3 over 2 (3-a) -3], [eqn: 3a-2b+3 =0]

[eqn: x`]축, [eqn: y`]축, 원점 대하여 대칭이동을 반복하면 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 부호만 달라진다.

10

따라서 좌표평면 위에 나타날 수 없는 점은 ④

[eqn: (2,~1)]이다.

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 하면 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는    [eqn: (-a,~-b)]

11

문제 이해

▸2점

두 점 [eqn: {rmP}(a,~b),~{rmQ}(-a,~-b)]는 곡선 [eqn: y=x^2 -3x-4] 위의 점이므로

해결 과정

[eqn: b = a^2 -3a-4] … ㉠, [eqn: -b = a^2 +3a -4]… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면    [eqn: 2a^2 -8 =0 ,~ a^2 =4]

[eqn: a=2] 또는 [eqn: a=-2]

▸4점

따라서 [eqn: a=2,~b=it-6] 또는

답 구하기

[eqn: a=it-2,~b=6]이므로

[eqn: rmbar PQ = sqrt {(2+2)^2 + (-6-6)^2} =4sqrt10]

▸2점

[eqn: x`]대신 [eqn: -x`]를 대입하면

14

[eqn: (-x)^2 + y^2 -4(-x) +6 y +12 =0]

[eqn: x^2 + y^2 +4x+6y +12 =0]

[eqn: (x+2)^2 + (y+3)^2 =1]

[eqn: y = kx +1]에 [eqn: x`]대신 [eqn: -x`]를 대입하면

15

[eqn: y = -kx +1]

이 직선이 원 [eqn: x^2 + y^2 -6x +4 y +9 =0]의 중심 [eqn: (3,~-2)]를 지나야 하므로

[eqn: -2 = -3k +1], [eqn: k =1]

원 [eqn: (x-3)^2 +(y-2)^2 =4]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면    [eqn: (x+3)^2 +(y-2)^2 =4]

16

이 원이 직선 [eqn: mx-y=0]에 접하므로

[eqn: {vert -3m-2 vert }over {sqrt{m^2 +(-1)^2}} =2], [eqn: 5m^2 +12m=0]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: - 12over5]이다.

정답 및 해설

중단원 평가

원 [eqn: (x-2)^2 + y^2 =4]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면    [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4]

17

원의 중심 [eqn: (0,~2)]가 직선 [eqn: y=2x+k] 위에 있으

므로    [eqn: 2 = 2 times 0 + k], [eqn: k=2]

원 [eqn: C_1]: [eqn: (x-1)^2 +(y+2)^2 =1]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원 [eqn: C_2]의 방정식은    [eqn: C_2]: [eqn: (x+2)^2 +(y-1)^2 =1]

18

해결 과정

▸3점

오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리의 최솟값은 두 원의 중심인 점

[eqn: (1, ~-2)]와 점

[eqn: (-2, ~1)] 사이의 거리에서 두 원의 반지름의 길이의 합을 뺀 것과 같다.

▸2점

따라서 구하는 최솟값은

답 구하기

[eqn: sqrt {(-3)^2 +3^2} -2 = 3 sqrt2 -2]

▸3점

직선 [eqn: l]의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 직선의 방정식은

19

[eqn: y+3=m(x-4)]	…… ㉠

직선 ㉠을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: x+3=m(y-4)]	…… ㉡

직선 ㉡을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: x+3=m(-y-4)]	…… ㉢

직선 ㉢이 점 [eqn: RM A(4, ~-3)]을 지나므로

[eqn: 4+3=m(3-4)], [eqn: m=it-7]

원 [eqn: x^2 + y^2 =9]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하면

20

[eqn: (x-a)^2 + (y-b)^2 =9]	……㉠

원 ㉠을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: (-x-a)^2 + (y-b)^2 =9]

[eqn: (x+a)^2 + (y-b)^2 =9]

[eqn: x^2 + y^2 +2ax -2by +a^2 +b^2 -9 =0]

[eqn: 2a =4 ,~2b= 6 ,~ a^2 +b^2 -9 =k`]이므로

[eqn: a=2,~b=3,~k=4]

따라서    [eqn: a+b-k=1]

도형 [eqn: f`(y－1,~－x)=0]은 도형 [eqn: f(x,~y)=0]을 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 후 [eqn: y`]축에

21

대하여 대칭시키고 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭한 것이므로 ③이다.

직선 [eqn: ax+(b-1)y=2]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면

22

문제 이해

[eqn: (b-1)x+ay=2]

▸3점

이 직선과 직선 [eqn: (a+1)x+by=1]이 일치하므로    [eqn: {a+1}over{b+1} = b over a = 1over2]

해결 과정

[eqn: {a+1}over{b+1} = 1over2]에서   [eqn: 2a-b=-3]…… ㉠

[eqn: b over a = 1over2]에서   [eqn: a-2b=0]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=it-2], [eqn: b=it-1]

▸4점

따라서    [eqn: a^2 +b^2 =5]

답 구하기

▸1점

직선 [eqn: l]은 두 원의 중심을 이은 선분의 수직이등분선이다. 직선 [eqn: l]의 방정식을 [eqn: y=ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)로 놓으면 두 원의 중심을 지나는 직선의 기울기가 [eqn: {5-1}over{2-(-2)}=1]이므로 직선 [eqn: l]의 기울기는    [eqn: a=it-1]

23

두 원의 중심을 이은 선분의 중점의 좌표는

[eqn: (0, ~3)]이고, 직선 [eqn: l]이 이 점을 지나므로

[eqn: b=3]

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은    [eqn: y=-x+3]

오른쪽 그림과 같이 직사각형을 좌표평면 위에 나타내고 점 [eqn: rm A]를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm A'], 점 [eqn: rm B]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm B']이라 하면

24

[eqn: rm {bar AP} = {bar A'P}], [eqn: rm {bar QB}= {bar QB'}]

따라서 경비원의 이동 거리는

[eqn: rm {bar AP} + {bar PQ} + {bar QB} = {bar A'P}+ {bar PQ} + {bar QB'} GEQ {bar A'B'}]

이때 [eqn: rm A'(-20, ~50)], [eqn: rm B'(40, ~-10)]이므로 구하는 이동 거리는

[eqn: rm {bar A'B'}][eqn: = sqrt {(40+20)^2 + (-10-50)^2 }]

[eqn: =60 sqrt 2] (m)