-3 원의 방정식

Ⅲ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 원의 방정식을 구하여라.

01

▸2점

⑴ 중심의 좌표가 [eqn: (-3, ~1)]이고, 반지름의 길이가 [eqn: sqrt 3]인 원

⑵ 중심의 좌표가 [eqn: (2, ~-1)]이고, 점 [eqn: (3, ~0)]을 지나는 원

원 [eqn: x^2 +y^2 +6x-8y=0]의 중심의 좌표는 [eqn: (a, ~b)]이고 반지름의 길이는 [eqn: r]이다. 이때 [eqn: a+b+r]의 값은?

02

▸2점

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 이차방정식

03

[eqn: x^2 +y^2 +2kx-4y+k+1=0]이 반지름의 길이가 [eqn: sqrt5]인 원의 방정식이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: k]의 값의 합은?

▸3점

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

두 점 [eqn: (1, ~5)], [eqn: (－3,~－1)]을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은?

04

▸4점

① [eqn: (x +1)^2 +(y +2)^2 =13]

② [eqn: (x -1)^2 +(y -2)^2 =52]

③ [eqn: (x -1)^2 +(y +2)^2 =13]

④ [eqn: (x +1)^2 +(y -2)^2 =13]

⑤ [eqn: (x +1)^2 +(y -2)^2 =52]

서

술

형

세 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(3,~0)], [eqn: rm B(1, ~2)]를 지나는 원의 중심이 점 [eqn: rm C( it p,~ q)]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

05

▸8점

두 점 [eqn: (1, ~2)], [eqn: (3,~2)]를 지나고 중심이 [eqn: y =2x -1] 위에 있는 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a,~b)], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 할 때, [eqn: abr`]의 값은?

06

▸4점

① [eqn: 6 sqrt {3}]	② [eqn: 6 sqrt {2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5` sqrt {2}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {3}]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +y^2 +x+2y+k=0]이 원을 나타낼 때, 상수 [eqn: k`]의 값의 범위는? 07 ▸3점 ① [eqn: k< {1} over {2}] ② [eqn: k＜ {5} over {4}] ③ [eqn: 0＜k＜2] ④ [eqn: k＜0] 또는 [eqn: k＞4] ⑤ [eqn: k＞5] 원 [eqn: x^2 +y^2 +4ax -2ay +10a -15=0]의 넓이가 최소가 될 때, 이 원의 중심의 좌표는? 08 (단, [eqn: a]는 상수) ▸4점 ① [eqn: (－2,~－1)] ② [eqn: (－2, ~1)] ③ [eqn: (－1,~2)] ④ [eqn: (1, ~2)] ⑤ [eqn: (2, ~－1)] 원 [eqn: x^2 +y^2 =5]와 직선 [eqn: 2x-y+k=0]이 한 점에서 만날 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하여라. 09 ▸3점	직선 [eqn: mx +y +m=0]과 원 [eqn: x^2 +y^2 -2x -2=0]이 서로 다른 두 점에서 만날 때, [eqn: m]의 값의 범위는? 10 ▸3점 ① [eqn: m＜ sqrt {3}] ② [eqn: m＜ it- sqrt {3}] 또는 [eqn: m> sqrt {3}] ③ [eqn: - sqrt {3} ＜m＜ sqrt {3}] ④ [eqn: -3<m<3] ⑤ [eqn: m<it-3] 또는 [eqn: m>3] 원 [eqn: x^2 +y^2 -4x +2y +1=0]에 의하여 잘리는 [eqn: x`]축 위의 선분의 길이는? 11 ▸3점 ① [eqn: sqrt {3}] ② [eqn: 2 sqrt {3}] ③ [eqn: sqrt {2}] ④ [eqn: 2 sqrt {2}] ⑤ [eqn: 2 sqrt {5}] 서 술 형 원 [eqn: (x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2]이 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (-1, ~0)], [eqn: (7, ~0)]에서 만나고, [eqn: y]축과 두 점 [eqn: (0, ~1+2 sqrt {2})], [eqn: (0, ~1-2 sqrt {2})]에서 만날 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: r]에 대하여 [eqn: a+b+r^2]의 값을 구하여라. 12 ▸7점

Ⅲ. 도형의 방정식

중단원 평가
서 술 형 원 [eqn: x^2 +y^2 =r^2]과 직선 [eqn: x-y+2=0]이 만나서 생기는 현의 길이가 [eqn: 2]일 때, 양수 [eqn: r]의 값을 구하여라. 13 ▸7점 두 점 [eqn: rm A(2,~5)], [eqn: rm B(4,~1)]이 있다. 점 [eqn: rmP]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위를 움직일 때, [eqn: rm △PAB]의 넓이의 최솟값은? 14 ▸4점 ① [eqn: 5- sqrt {5}] ② [eqn: 7- sqrt {5}] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 9+ sqrt {5}] ⑤ [eqn: 9- sqrt {5}] 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x-4ay+b=0]이 점 [eqn: (－3,~4)]를 지나고, [eqn: x]축에 접하도록 상수 [eqn: a,`` b]의 값을 정할 때, [eqn: a +b]의 값은? 15 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]	점 [eqn: (－4,~2)]를 지나고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 모두 접하는 원은 [eqn: 2]개가 있다. 두 원 중 큰 원의 넓이는? 16 ▸4점 ① [eqn: 25pi] ② [eqn: 50pi] ③ [eqn: 75pi] ④ [eqn: 100pi] ⑤ [eqn: 125pi] 중심이 제[eqn: 1]사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 오른쪽 그림과 같이 [eqn: y]축과 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]에 동시에 접한다. 이 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a, ~b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? 17 ▸4점 ① [eqn: 3- sqrt 3] ② [eqn: 1+ sqrt 3] ③ [eqn: 2+ sqrt 3] ④ [eqn: 1+2 sqrt 3] ⑤ [eqn: 3+ sqrt 3] 원 [eqn: x^2 +y^2 =20]에 접하고 기울기가 [eqn: 3]인 접선의 방정식을 구하여라. 18 ▸3점

Ⅲ. 도형의 방정식
원 [eqn: x^2 +y^2 =5] 위의 점 [eqn: (－1,~－2)]에서 원에 그은 접선의 [eqn: x`]절편은? 19 ▸3점 ① [eqn: －5] ② [eqn: - 5 over 2] ③ [eqn: －1] ④ [eqn: 5 over 2] ⑤ [eqn: 5] 점 [eqn: (1, ~3)]에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]에 그은 접선의 방정식은? 20 ▸4점 ① [eqn: x =1] 또는 [eqn: 4x +3y +5=0] ② [eqn: x =1] 또는 [eqn: 4x -3y +5=0] ③ [eqn: x =1] 또는 [eqn: 4x -3y -5=0] ④ [eqn: x =3] 또는 [eqn: 4x +3y +5=0] ⑤ [eqn: x =3] 또는 [eqn: 4x -3y +5=0] 두 점 [eqn: rm A(-3, ~0)], [eqn: rm B(0, ~3)]에 대하여 [eqn: rm bar {AP} ： bar {BP} = 2：1]을 만족시키는 점 [eqn: rm P]가 있다. 이때 삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이의 최댓값은? 21 ▸4점 ① [eqn: 4 sqrt 2] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 2 sqrt {10}] ④ [eqn: 3 sqrt 5] ⑤ [eqn: 7]	원 [eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =r^2]과 원 밖의 점 [eqn: rm A(5, ~4)]가 있다. 점 [eqn: rm A]에서 원에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 양수 [eqn: r]의 값은? 22 ▸4점 ① [eqn: 3] ② [eqn: sqrt 10] ③ [eqn: sqrt 11] ④ [eqn: 2 sqrt 3] ⑤ [eqn: sqrt 13] [eqn: x]축 위의 점 [eqn: (n, ~0)]에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]에 접선을 그을 때, 제[eqn: 1]사분면에 있는 접점을 [eqn: ( x_n , ~y_n )]이라 하자. 이때 [eqn: y_2 times y_3 times cdots times y_8]의 값은? 23 (단, [eqn: n GEQ2]인 자연수이다.) ▸4점 ① [eqn: 1over3] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 2over3] ④ [eqn: 3over4] ⑤ [eqn: 1] 서 술 형 점 [eqn: rm A(4, ~0)]과 원 [eqn: x^2 +y^2 =12] 위의 점 [eqn: rm P]를 지나는 직선 [eqn: rm AP]의 기울기의 최댓값을 구하여라. 24 ▸9점

-3. 원의 방정식

Ⅲ

01 ⑴ [eqn: (x+3)^2 +(y-1)^2 =3]

⑵ [eqn: (x-2)^2 +(y+1)^2 =2]	02 ①	03 ④

04 ④	05 [eqn: 2]	06 ②	07 ②	08 ②

09 [eqn: 5]	10 ③	11 ②	12 [eqn: 21]	13 [eqn: sqrt {3}]

14 ⑤	15 ③	16 ④	17 ⑤

18 [eqn: y=3x±10 sqrt {2}]	19 ①	20 ②

21 ②	22 ②	23 ④	24 [eqn: sqrt 3]

원의 방정식을

05

문제 이해

[eqn: x^2 +y^2 +ax+by+c=0]으로 놓으면

▸2점

[eqn: c=0], [eqn: 9+3a+c=0],

해결 과정

[eqn: 5+a+2b+c=0]

이므로    [eqn: a=it-3], [eqn: b=it-1], [eqn: c=0]

따라서 원의 방정식은    [eqn: x^2 +y^2 -3x-y=0]

[eqn: LEFT ( x - 3over2 RIGHT )^2 + LEFT ( y - 1over2 RIGHT )^2 = 5over2]

▸3점

따라서 [eqn: p= 3over2], [eqn: q= 1over2]이므로

답 구하기

[eqn: p+q=2]

▸3점

[eqn: (1-a)^2 + (2-b)^2 = (3-a)^2 + (2-b)^2]이므로

06

[eqn: 4a-8 =0], [eqn: a=2]

또 [eqn: b =2a-1]이므로    [eqn: b = 2 cdot 2 -1 =3]

[eqn: r = sqrt {(1-2)^2 + (2-3)^2} =sqrt2]

따라서    [eqn: abr=6 sqrt {2}]

[eqn: (x+2a)^2 + (y-a)^2 =5a^2 -10a +15]에서

08

[eqn: sqrt {5a^2 -10a +15 } =sqrt {5(a-1)^2 +10}][eqn: ≥ sqrt 10][eqn: a=1]일 때 원의 넓이가 최소가 되므로 중심의 좌표는 [eqn: (-2,~1)]이다.

[eqn: a= {-1+7}over2 =3]

12

해결 과정

[eqn: b= {1+ 2 sqrt {2} +1-2 sqrt{2} }over2 =1]

▸4점

중심 [eqn: (3, ~1)]과 점 [eqn: (7, ~0)] 사이의 거리는 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: r^2 =(7-3)^2 +(0-1)^2 =17]

▸2점

따라서   [eqn: a+b+r^2 =21]

답 구하기

▸1점

오른쪽 그림에서

13

해결 과정

[eqn: rm bar {AH} =1], [eqn: rm {bar{OH}} = {vert 2 vert } over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}}]

[eqn: rm = sqrt {2}]

▸4점

직각삼각형 [eqn: rm OAH]에서

답 구하기

[eqn: r= rm {bar OA} = sqrt{ 1^2 +({sqrt2})^2} = {sqrt3}]

▸3점

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

14

[eqn: 2x+y-9 =0]

점 [eqn: rmP`]와 직선 사이의 거리의 최솟값은

[eqn: {vert 2 CDOT 0+0 CDOT 1-9 vert } over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2}}} -1][eqn: = {9 sqrt {5}} over {5} -1]

또, [eqn: rm {bar{AB}} =2 sqrt {5}]이므로 [eqn: rm△PAB`]의 넓이의 최솟값은    [eqn: {1} over {2} TIMES 2 sqrt {5} TIMES {9 sqrt {5} -5} over {5} =9- sqrt {5}]

원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4ay +b=0]이 점 [eqn: (-3,~4)]를 지나므로    [eqn: 9+16+6 -16a +b =0]

15

[eqn: 16a-b =31]	……㉠

원 [eqn: (x-1)^2 + (y-2a)^2 = 4a^2 -b+1]이 [eqn: x`]축에 접하므로    [eqn: 2a = sqrt {4a^2 -b+1}], [eqn: b=1]	……㉡

㉡을 ㉠을 대입하면

[eqn: 16a -1 =31], [eqn: a=2]

따라서    [eqn: a +b =2+1 =3]

원의 방정식을 [eqn: (x+r) ^{2} +(y-r) ^{2} =r ^{2} ``(r>0)]으로 놓으면    [eqn: (-4 +r)^2 +(2-r)^2 =r^2]

16

[eqn: r=2] 또는 [eqn: r=10]

따라서 큰 원의 반지름의 길이가 [eqn: 10]이므로 넓이는    [eqn: pi TIMES 10 ^{2} =100 pi `]

원이 [eqn: y]축에 접하므로

17

[eqn: a=1]

[eqn: {vert {sqrt3}-b vert }over {sqrt{({sqrt 3})^2 + (-1)^2}} =1]이므로

[eqn: {sqrt3} -b= +-2]

정답 및 해설

중단원 평가

[eqn: b＞0]이므로   [eqn: b=2+ sqrt {3}]

따라서   [eqn: a+b=3+ sqrt{3}]

접선의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 기울기가 [eqn: m`]이고 점 [eqn: (1,~3)]을 지나는 직선의 방정식은

20

[eqn: y = m(x-1) +3 = mx-m+3]

[eqn: mx- y -m+3 =0]

원의 중심 [eqn: (0,~0)]과 접선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 [eqn: 1]과 같아야 하므로

[eqn: { vert -m+3 vert} over sqrt {m^2 + (-1)^2} =1], [eqn: m = 4 over 3]

[eqn: m = 4 over 3]를 [eqn: mx- y -m+3 =0]에 대입하면

[eqn: 4 over 3 x- y - 4 over 3 + 3 =0], [eqn: 4x-3y +5 =0]

한편, 오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: (1,~3)]에서 원
[eqn: x^2 + y^2 =1]에 그은 접선 중 [eqn: y`]축과 평행한 접선을 가지므로    [eqn: x=1]

따라서 구하는 접선의 방정식은

[eqn: x=1] 또는 [eqn: 4x-3y +5 =0]

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (x, ~y)]로 놓으면

21

[eqn: sqrt {(x+3)^2 +y^2} ：sqrt{x^2 +(y-3)^2} =2：1]

[eqn: (x-1)^2 +(y-4)^2 =(2{sqrt 2})^2]

[eqn: rm △PAB]의 높이를 [eqn: h]라 하면 오른쪽 그림에서 [eqn: rm △PAB]의 넓이는

[eqn: 1over2 times rm {bar AB} times it h]

따라서 [eqn: rm {bar AB} = 3 sqrt{2}]이고, [eqn: h=2 sqrt{2}]일 때, [eqn: rm △PAB]의 넓이가 최대이므로 구하는 최댓값은  [eqn: 1over2 times 3 {sqrt 2} times 2{sqrt 2}=6]

오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 [eqn: rm C]라 하고, 점 [eqn: rm A]에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rm T_1], [eqn: rm T_2]라 하면 사각형

22

[eqn: rm AT_1 CT_2]는 정사각형이다. 이때 [eqn: rm {bar CA} = 2 sqrt5]이고, [eqn: rm {bar CT_1}：{bar CA} =1：sqrt{2}]이므로

[eqn: rm {bar CT}_1 = 1over {sqrt2} {bar CA} = sqrt 10]

따라서 양수 [eqn: r]의 값은 [eqn: sqrt10]이다.

점 [eqn: (x_n ,~ y_n )]에서의 접선의 방정식은

23

[eqn: x _{n} x+y _{n} y=1]	…… ㉠

점 [eqn: (x_n ,~ y_n )]은 원 위의 점이므로

[eqn: x_n `^2 + y_n `^2 =1]	…… ㉡

직선 ㉠이 점 [eqn: (n, ~0)]을 지나므로

[eqn: x _{n} n=1], [eqn: x_n = 1over n]	…… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: y_n `^2][eqn: = 1- x_n `^2 = 1 - 1over{n^2}]
[eqn: = {n^2 -1}over n^2 = {n-1}over n times {n+1}overn]

따라서

[eqn: (y_2 times y_3 times cdots times y_8 )^2]

[eqn: = LEFT ( 1over2 times 3over2 RIGHT )times LEFT ( 2over3 times 4over3 RIGHT ) times cdots times LEFT ( 7over8 times 9over8 RIGHT )][eqn: = 9over16]

이므로    [eqn: y_2 times y_3 times cdots times y_8 = 3over4]

직선 [eqn: rm AP]의 기울기가 최대가 되는 경우는 오른쪽 그림과 같이 제[eqn: 4]사분면에서 직선 [eqn: rm AP]가 원에 접하는 경우이다.

24

문제 이해

▸3점

직선 [eqn: rm AP]의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 직선 [eqn: rm AP]의 방정식은

해결 과정

[eqn: y=m(x-4)], [eqn: mx-y-4m=0]

이때 원의 중심인 점 [eqn: (0, ~0)]과 직선 [eqn: rm AP] 사이의 거리는 [eqn: rm 2 sqrt 3]이 되어야 하므로

[eqn: {vert -4m vert }over{sqrt{ m^2 +1}} = 2 sqrt3], [eqn: m^2 =3]

▸4점

[eqn: m＞0]이므로    [eqn: m= sqrt3]

답 구하기

따라서 직선 [eqn: rm AP]의 기울기의 최댓값은 [eqn: sqrt 3]이다.

▸2점