-2 직선의 방정식

Ⅲ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 직선의 방정식을 구하여라.

01

▸4점

⑴ 점 [eqn: (2, ~1)]을 지나고 기울기가 [eqn: 3]인 직선

⑵ 두 점 [eqn: (2, ~5)], [eqn: (1, ~4)]를 지나는 직선

⑶ 점 [eqn: (3, ~4)]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선

⑷ 점 [eqn: (-2, ~6)]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선

점 [eqn: (-2, ~1)]을 지나고 [eqn: x]절편이 [eqn: -4]인 직선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라 할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값을 구하여라.

02

▸3점

기울기가 [eqn: 3]이고 두 점 [eqn: (2,~a)], [eqn: (a,~6)]을 지나는 직선의 방정식은?

03

▸4점

① [eqn: y=3x+1]	② [eqn: y=3x-1]	③ [eqn: y=3x+2]

④ [eqn: y=3x-3]	⑤ [eqn: y=3x+5]

세 점 [eqn: rm A(-1,~-2)], [eqn: rm B(4, ~0)], [eqn: rm C(0, ~6)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rm A]를 지나면서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식은?

04

▸4점

① [eqn: 3x-5y-7=0]	② [eqn: 3x-4y-5=0]

③ [eqn: 3x+5y-1=0]	④ [eqn: 4x-3y-2=0]

⑤ [eqn: 5x-3y-1=0]

직선 [eqn: (1+k)x+(k-1)y=2k]에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 골라라.

05

(단, [eqn: k]는 상수)

▸4점

ㄱ. [eqn: k=0]일 때, 직선 [eqn: y=x]와 일치한다.

ㄴ. [eqn: k != 0]일 때, 직선 [eqn: y=-x+2]와 일치한다.

ㄷ. [eqn: k]의 값에 관계없이 점 [eqn: (1,~1)]을 지난다.

보기

오른쪽 그림과 같이 네 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(4,~ 0)],

06

[eqn: rm B(4, ~4)], [eqn: rm C(0, ~4)]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm OABC]가 있다. 점 [eqn: rm (1, ~1)]을 지나는 직선 [eqn: l]과 [eqn: rm bar OC], [eqn: rm bar AB]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하면 사각형 [eqn: rm OAQP]와 사각형 [eqn: rm PQBC]의 넓이의 비가 [eqn: 1：2]일 때, 직선 [eqn: l]의 기울기를 구하여라.

▸4점

[eqn: ab `＞`0], [eqn: bc `＜`0]일 때, 방정식 [eqn: ax +by +c=0]의 그래프가 지나지 않는 사분면은? 07 ▸4점 ① 제[eqn: `1]사분면 ② 제[eqn: `2]사분면 ③ 제[eqn: `3]사분면 ④ 제[eqn: `4]사분면 ⑤ 제[eqn: `1], [eqn: 2]사분면 두 직선 [eqn: y=4x-1], [eqn: y=kx+2]가 다음 조건을 만족할 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라. 08 ▸3점 ⑴ 서로 평행하다. ⑵ 서로 수직이다. 직선 [eqn: y=3x-4]에 수직이고 점 [eqn: (-1,~2)]를 지나는 직선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a +b]의 값은? 09 ▸3점 ① [eqn: - 2 over 3] ② [eqn: 2 over 3] ③ 1 ④ [eqn: - 4 over 3] ⑤ [eqn: 4 over 3]	두 점 [eqn: rm A(1,~2)], [eqn: rm B(-3, ~4)]를 지나는 직선에 평행하고, [eqn: y]절편이 [eqn: -1]인 직선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라 할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? 10 ▸3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: - 3over2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 3over2] ⑤ [eqn: 2] 서 술 형 두 점 [eqn: rm A(1, ~5)], [eqn: rm B(4, ~2)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1：2]로 내분하는 점을 지나고, 직선 [eqn: rm AB]에 수직인 직선의 방정식을 [eqn: ax-y+b=0]이라 하자. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라. 11 ▸7점 두 직선 [eqn: x+ky-1=0], [eqn: kx+(2k+3)y-3=0]이 서로 평행할 때, 상수 [eqn: k]의 값은? 12 ▸4점 ① [eqn: -5] ② [eqn: -3] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 3]

Ⅲ. 도형의 방정식

중단원 평가
두 직선 [eqn: ax-2y+2=0], [eqn: x+by+c=0]이 점 [eqn: (2, ~4)]에서 수직으로 만난다. 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: abc]의 값을 구하여라. 13 ▸4점 세 직선 [eqn: x +2y =6], [eqn: 4x -3y =12], [eqn: ax +y =1]의 세 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 직각삼각형이 될 때, 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은? 14 ▸4점 ① [eqn: 5 over 4] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3 over 4] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: - 5 over 4] 서 술 형 오른쪽 그림과 같이 높이가 [eqn: 6]인 벽에 길이가 [eqn: 10]인 유리판을 덮어 온실을 만들었다. 유리의 중심을 수직으로 통과한 햇빛이 지면과 만나는 지점과 벽 사이의 거리를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: 4a]의 값을 구하여라. (단, 유리를 통과하는 햇빛은 직선으로 생각한다.) 15 ▸8점	제[eqn: 2]사분면 위의 점 [eqn: (k,~2)]에서 직선 16 [eqn: 12x -5y -4=0]에 이르는 거리가 [eqn: 2]일 때, [eqn: k]의 값은? ▸3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: - 1 over 3] ④ [eqn: - 5 over 3] ⑤ [eqn: - 10 over 3] 직선 [eqn: 3x-4y=0]에 평행하고, 점 [eqn: (2, ~1)]에서의 거리가 [eqn: 1]인 직선의 [eqn: y]절편은? 17 (단, [eqn: y]절편은 양수이다.) ▸3점 ① [eqn: 1over3] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 3over4] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 4over3] 점 [eqn: (1, ~-1)]에서 직선 [eqn: ax+by=0]까지의 거리가 [eqn: sqrt 2]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계식은? 18 (단, [eqn: a != 0], [eqn: b != 0]) ▸4점 ① [eqn: a-b=2] ② [eqn: a-b= sqrt 2] ③ [eqn: a+b=0] ④ [eqn: a+b=2] ⑤ [eqn: ab= sqrt 2]

Ⅲ. 도형의 방정식
직선 [eqn: -3x +y -2+k (x -y)=0]과 원점 사이의 거리를 [eqn: f(k)]라 할 때, [eqn: f(k)]의 최댓값을 구하여라. 19 ▸4점 직선 [eqn: x +2y =10] 위의 점 중에서 원점에 가장 가까운 점을 [eqn: rm P it(a,~b)]라 할 때, [eqn: a +b]의 값은? 20 ▸4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6] 서 술 형 오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: x over a + y over b = 1]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 9]이다. 원점과 이 직선 사이의 거리가 [eqn: 3]이 되도록 양수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. 21 ▸8점	세 점 [eqn: rmO(0, ~0)], [eqn: rm A(1, ~5)], [eqn: rmB(4, ~－2)]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm △OAB]의 넓이는? 22 ▸4점 ① [eqn: 11] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 7] 두 직선 [eqn: 2x -y +1=0], [eqn: 2x -y -9=0] 사이의 거리는? 23 ▸3점 ① [eqn: sqrt {5}] ② [eqn: 2 sqrt {5}] ③ [eqn: 3 sqrt {5}] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 오른쪽 그림과 같이 네 점 [eqn: rm A(-1, ~0)], 24 [eqn: rm B(3,~0)], [eqn: rm C(4,~ 2)], [eqn: rm D(0, ~2)]를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 두 선분 [eqn: rm AD], [eqn: rm BC] 사이의 거리는? ▸4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: sqrt 5] ③ [eqn: {8 sqrt 5}over5] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: {8 sqrt5 }over3]

-2. 직선의 방정식

Ⅲ

01 ⑴ [eqn: y=3x-5] ⑵ [eqn: y=x+3] ⑶ [eqn: y=4]

⑷ [eqn: x=-2]	02 [eqn: 1]	03 ④	04 ⑤

05 ㄱ, ㄷ	06 [eqn: {1} over {3}]	07 ③

08 ⑴ [eqn: 4] ⑵ [eqn: - {1} over {4}]	09 ⑤	10 ②	11 [eqn: 3]

12 ③	13 [eqn: -36]	14 ⑤	15 [eqn: 7]	16 ②

17 ③	18 ③	19 [eqn: sqrt {2}]	20 ⑤	21 [eqn: 6 sqrt {2}]

22 ①	23 ②	24 ③

기울기가 [eqn: 3]이고 점 [eqn: (2,~a)]를 지나는 직선
[eqn: y = 3(x-2) +a`]가 점 [eqn: (a,~6)]을 지나므로

03

[eqn: 6=3(a-2)+a`], [eqn: a=3]

따라서 구하는 직선의 방정식은    [eqn: y =3x-3]

두 점 [eqn: rm A(-1,~-2)]와 [eqn: rm bar BC]의 중점 [eqn: (2, ~3)]을 지나는 직선의 방정식은

04

[eqn: y-3={3-(-2)}over{2-(-1)}=(x-2)], [eqn: 5x-3y-1=0]

ㄴ. [eqn: k != 0], [eqn: k = 1]이면 [eqn: x=1]이므로 주어진 직선은 직선 [eqn: y=-x+2]와 일치한다고 할 수 없다. (거짓)

05

ㄷ. [eqn: (x+y-2)k+(x-y)=0]이 [eqn: k]에 대한 항등식이므로    [eqn: x+y-2=0], [eqn: x-y=0]

[eqn: x=1], [eqn: y=1]

즉, 주어진 직선은 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (1, ~1)]을 지난다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

직선 [eqn: l]의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 직선 [eqn: l]의 방정식은   [eqn: y=m(x-1)+1]

06

두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표가 각각 [eqn: 1-m], [eqn: 1+3m]이므로 사각형 [eqn: rm OAQP]의 넓이는

[eqn: 1over2 times (1-m+1+3m) times 4=4(m+1)]

사각형 [eqn: rm PQBC]의 넓이는

[eqn: 16-4(m+1)=4(3-m)]

[eqn: 4(m+1)：4(3-m)=1：2]이므로    [eqn: m = 1over3]

[eqn: ax+ by +c =0]에서    [eqn: y =- a over b x - c over b]

07

[eqn: ab>0,~bc<0]이므로    [eqn: - a over b < 0,~ - c over b >0]

따라서 [eqn: ax +by +c =0]의 그래프는 제[eqn: 3]사분면을 지나지 않는다.

[eqn: rm bar AB]를 [eqn: 1：2]로 내분하는 점의 좌표는

11

해결 과정

[eqn: (2, ~4)]

▸2점

직선 [eqn: rm AB]의 기울기는 [eqn: {2-5}over{4-1}=-1]이므로 직선 [eqn: rm AB]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: 1]이다.

▸2점

따라서 직선의 방정식은

[eqn: y-4=x-2], [eqn: x-y+2=0]

▸2점

[eqn: a=1], [eqn: b=2]이므로   [eqn: a+b=3]

답 구하기

▸1점

[eqn: 1 over k = {k}over{2k+3} != -1 over -3]이어야 하므로

12

[eqn: 1over k = k over{2k+3}]에서    [eqn: k=-1] 또는 [eqn: k=3]

[eqn: k=3]이면 두 직선이 일치하므로 평행한 경우는

[eqn: k=it-1]

두 직선이 점 [eqn: (2, ~4)]를 지나므로

13

[eqn: 2a-8+2=0], [eqn: 2+4b+c=0]

또, 두 직선이 서로 수직이므로    [eqn: a-2b=0]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b= 3over2], [eqn: c=it-8]이므로

[eqn: abc=it-36]

[eqn: x+2y =6] …… ㉠, [eqn: 4x-3y =12] …… ㉡,

14

[eqn: ax+y=1]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢의 기울기는 각각 [eqn: - 1 over 2 ,~ 4 over 3 ,`` -a`]이므로 ㉠과 ㉡은 수직이 될 수 없다.

(ⅰ) ㉠과 ㉢이 수직일 때

[eqn: LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) TIMES (-a)=it-1], [eqn: a =-2]

(ⅱ) ㉡과 ㉢이 수직일 때

[eqn: {4} over {3} TIMES (-a)=it-1], [eqn: a = 3 over 4]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 값은

[eqn: (-2)+ {3} over {4} =it- {5} over {4}]

정답 및 해설

중단원 평가

오른쪽 그림과 같이 지면이 [eqn: x]축, 벽이 [eqn: y]축이 되도록 좌표축을 잡으면

15

문제 이해

[eqn: rm {bar OA}^2][eqn: =10^2 -6^2 =64]

[eqn: rm bar OA =8]

▸3점

직선 [eqn: rm AB]의 기울기는 [eqn: - 3over4]이므로 햇빛이 통과하는 직선은 기울기가 [eqn: 4over3]이고 선분 [eqn: rm AB]의 중점 [eqn: (4, ~3)]을 지난다.

해결 과정

따라서 이 직선의 방정식은

[eqn: y-3= 4over 3 (x-4)], [eqn: y= 4over3 x - 7over3]

▸3점

이때 [eqn: a]의 값은 이 직선의 [eqn: x]절편과 같으므로    [eqn: a= 7over4], [eqn: 4a=7]

답 구하기

▸2점

[eqn: {vert 12k-5 CDOT 2-4 vert } over {sqrt {12 ^{2} +(-5) ^{2}}} =2],[eqn: vert 12k-14 vert =26]

16

[eqn: k < 0]이므로     [eqn: -(12k-14 ) =26]

따라서    [eqn: k=it-1]

직선 [eqn: 3x-4y=0]과 평행한 직선의 방정식을 [eqn: y= 3over4 x + k], 즉 [eqn: 3x-4y+4k=0]으로 놓으면

17

[eqn: {vert 3 cdot 1 - 4 cdot 1 + 4k vert}over {sqrt {3^2 + (-4)^2}} =1]

[eqn: k= 3over4] 또는 [eqn: k= - 7over4]

따라서 이 직선의 양수인 [eqn: y]절편은 [eqn: 3over4]이다.

[eqn: {vert a cdot 1 + b cdot (-1) vert } over {sqrt {a^2 +b^2}} = sqrt {2}]이므로

18

[eqn: vert a-b vert = sqrt {2} sqrt {a^2 +b^2 }]

[eqn: a^2 +2ab+b^2 =0], [eqn: a+b=0]

[eqn: (k-3)x + (1-k)y-2 =0]

19

[eqn: f(k) = {vert -2 vert} over sqrt {(k-3)^2 + (1-k)^2}]

[eqn: = 2 over sqrt {2k^2 -8k +10}][eqn: = 2 over sqrt {2(k-2)^2 +2}]

따라서 [eqn: k=2]일 때, 최댓값 [eqn: sqrt {2}]를 갖는다.

직선 [eqn: rmOP]는 원점을 지나고, 직선 [eqn: x+2 y=10]과 수직이므로 직선 [eqn: rmOP`]의 방정식은    [eqn: y=2x`]

20

두 직선 [eqn: y =2x`], [eqn: x+2y = 10]의 교점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: rmP (2,~4)]

따라서    [eqn: a+b = 2+4 =6]

[eqn: 1over2 ab = 9]이므로

21

해결 과정

[eqn: ab=18]	…… ㉠

[eqn: x over a + y over b = 1]에서    [eqn: bx+ay-ab=0]

원점과 이 직선 사이의 거리가 [eqn: 3]이므로

[eqn: {vert -ab vert }over{sqrt{a^2 +b^2 }}=3], [eqn: { 18 }over{sqrt{a^2 +b^2 }}=3]

[eqn: sqrt {a^2 +b^2} =6], [eqn: a^2 +b^2 =36] …… ㉡

▸5점

[eqn: (a+b)^2 =a^2 +b^2 +2ab]이므로 ㉠, ㉡에 의하여

답 구하기

[eqn: (a+b)^2 =36+2 times 18=72]

그런데 [eqn: a＞0], [eqn: b＞0]이므로

[eqn: a+b=6sqrt 2]

▸3점

[eqn: rm A(1,~5),~B(4,~-2)]를 지나는 직선의 방정식은    [eqn: 7x +3y-22 =0]

22

원점 [eqn: rmO`]에서 [eqn: rmbar AB]까지의 거리는

[eqn: {vert -22 vert} over sqrt {7^2 +3^2} = 22 over sqrt58]

[eqn: rmbar AB = sqrt {(4-1)^2 + (-2-5)^2 } =sqrt58]

따라서    [eqn: rm △OAB= {1} over {2} TIMES sqrt {58} TIMES {22} over {sqrt {58}} =11]

직선 [eqn: 2x -y+1 =0] 위의 한 점 [eqn: (0,~1)]과 직선 [eqn: 2x-y-9 =0] 사이의 거리는

23

[eqn: {vert 2 CDOT 0-1-9 vert } over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2}}} = {10} over {sqrt {5}} =2 sqrt {5}]

직선 [eqn: rm AD]의 방정식을 구하면

24

[eqn: y=2x+2], 즉 [eqn: 2x-y+2=0]

점 [eqn: rm B(3, ~0)]과 직선 [eqn: 2x-y+2=0] 사이의 거리가 두 선분 [eqn: rm AD], [eqn: rm BC] 사이의 거리이므로

[eqn: {vert 2 cdot 3 - 0 + 2 vert }over{sqrt{2^2 +(-1)^2}} = 8 over{sqrt5} = {8sqrt5}over5]