-1 평면좌표

Ⅲ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리가 [eqn: 5]이다. 점 [eqn: rmA]의 좌표가 [eqn: 4]일 때, 다음 중 점 [eqn: rmB]의 좌표가 될 수 있는 것은?

01

▸2점

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

서

술

형

수직선 위의 세 점 [eqn: rm A(2)], [eqn: rm B(3)], [eqn: rm C( it x)]에 대하여 [eqn: rm bar AC + bar BC =5]일 때, 양수 [eqn: x]의 값을 구하여라.

02

▸7점

다음 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리를 구하여라.

03

▸4점

⑴ [eqn: rm A(2,~1)], [eqn: rm B(1,~2)]

⑵ [eqn: rm A(-1,~3)], [eqn: rm B(4,~-2)]

두 점 [eqn: rm A(-1,~ it -a)], [eqn: rm B(it a,~-6)] 사이의 거리가 [eqn: 5]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

04

▸3점

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

세 점 [eqn: rm A(1,~0)], [eqn: rm B(3,~4)], [eqn: rm C( it x,~5)]에 대하여 [eqn: rm bar AC = bar BC]일 때, [eqn: x]의 값은?

05

▸3점

① [eqn: -2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -22]	⑤ [eqn: -23]

두 점 [eqn: rmA(3,~ 0)], [eqn: rmB(1,~4)]로부터 같은 거리에 있는 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

06

▸4점

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

세 점 [eqn: rm A(-1,~7)], [eqn: rm B(1,~ it a)], [eqn: rm C(4, ~2)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm ∠B=90ﾟ]일 때, [eqn: a]의 값은? 07 (단, [eqn: a＞1]) ▸4점 ① [eqn: 4] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 8] 서 술 형 세 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A( it a,~0)], [eqn: rm B(1,~it b)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OAB]가 정삼각형일 때, 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. 08 ▸8점 세 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(2, ~0)], [eqn: rm B(0, ~4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OAB]의 외심의 좌표를 [eqn: rm P( it x,~ y)]라 할 때, [eqn: x+y]의 값은? 09 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9]	두 점 [eqn: rm A( it a, ~ 0)], [eqn: rm B(2,~ it a)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]의 길이가 최소가 되도록 하는 [eqn: a]의 값을 구하여라. 10 ▸4점 점 [eqn: rmA(3, ~0)]에서 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmP]를 거쳐 점 [eqn: rmB(1,~ 3)]까지 이르는 최단 경로의 길이는? 11 ▸4점 ① [eqn: root7_`] ② [eqn: root13_`] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] 세 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(it a, ~ b)], [eqn: rm B(2,~3)]에 대하여 [eqn: sqrt {(a-2)^2 +(b-3)^2} +sqrt{a^2 +b^2 }]의 최솟값을 구하여라. 12 ▸4점

Ⅲ. 도형의 방정식

중단원 평가
서 술 형 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 방정식 [eqn: xy+x+y-1=0]을 만족하는 정수 [eqn: x], [eqn: y]를 좌표평면 위의 점 [eqn: (x, ~y)]로 나타낼 때, 이 점들을 꼭짓점으로 하는 사각형의 두 대각선의 길이의 합을 구하여라. 13 ▸8점 두 점 [eqn: rm A(2,~4)], [eqn: rm B(6,~-2)]에 대하여 다음 점의 좌표를 구하여라. 14 ▸3점 ⑴ 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1：2]로 내분하는 점 ⑵ 선분 [eqn: rm AB]의 중점 두 점 [eqn: rm A(2,~3)], [eqn: rm B(5,~6)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2：3]으로 외분하는 점의 좌표를 구하여라. 15 ▸2점	두 점 [eqn: rm A(-1, ~1)], [eqn: rm B(4, ~6)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 3：2]로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 3：2]로 외분하는 점을 [eqn: rm Q]라 할 때, 선분 [eqn: rm PQ]의 중점의 좌표는 [eqn: rm M( it a,~ b)]이다. 이때 [eqn: a+b]의 값은? 16 ▸3점 ① [eqn: 12] ② [eqn: 14] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 20] 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (2,~3)]이고 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3：2]로 내분하는 점의 좌표는 [eqn: left ( 7 over 5 , `` 12 over 5 right)]일 때, 점 [eqn: rmB]의 좌표는? 17 ▸3점 ① [eqn: (－2, ~6)] ② [eqn: (1, ~2)] ③ [eqn: (5, ~5)] ④ [eqn: (6, ~3)] ⑤ [eqn: (8, ~6)] 18 오른쪽 그림과 같이 평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 네 꼭짓점의 좌표가 [eqn: rm A(5,~ it a)], [eqn: rm B( it b, ~3)], [eqn: rm C(1, ~5)], [eqn: rm D(1, ~2)]일 때, [eqn: a+b]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9]

Ⅲ. 도형의 방정식
네 점 [eqn: rmA it(a,~ 1)], [eqn: rmB(3, ~5)], [eqn: rmC(7,~ 3)], [eqn: rmD it(b, ~－1)]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 마름모일 때, [eqn: a,`~b]의 값은 두 쌍이 존재한다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 모두 구하면? 19 ▸4점 ① [eqn: 3,~9] ② [eqn: 6, ~13] ③ [eqn: 6, ~14] ④ [eqn: 9, ~13] ⑤ [eqn: 9, ~14] 세 점 [eqn: rm A( it a, ~1)], [eqn: rm B( it 2a,~ 5)], [eqn: rm C(-3,~ it b)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: rm G(1, ~ it b)]일 때, [eqn: ab]의 값은? 20 ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] 세 점 [eqn: rm A(2, ~4)], [eqn: rm B(-2, ~6)], [eqn: rm C(6, ~8)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 세 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC], [eqn: rm CA]의 중점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 하자. 삼각형 [eqn: rm PQR]의 무게중심의 좌표를 [eqn: (a, ~b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? 21 ▸4점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]	세 점 [eqn: rm A(-1, ~2)], [eqn: rm B(1,~ 5)], [eqn: rm C(5,~ it k)]에 대하여 [eqn: rm bar AB ： bar BC = 1 ： 2]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은? 22 ▸4점 ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12] 서 술 형 세 점 [eqn: rm A(1,~5)], [eqn: rm B(-4,~ -7)], [eqn: rm C(5, ~2)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. [eqn: rm ∠A]의 이등분선이 변 [eqn: rm BC]와 만나는 점을 [eqn: rm D(it a,~ b)]라 할 때, [eqn: a over b]의 값을 구하여라. 23 ▸8점 수직선 위의 [eqn: sqrt { 6}]과 [eqn: sqrt { 7}] 사이의 세 수 24 [eqn: a= {sqrt {7} + sqrt {6}} over {2}], [eqn: b= {2 sqrt {7} + sqrt {6}} over {3}], [eqn: c= {sqrt {7} +3 sqrt {6}} over {4}] 사이의 대소 관계를 나타내면? ▸4점 ① [eqn: a`＞`b`＞`c] ② [eqn: a`＞`c`＞`b] ③ [eqn: b`＞`a`＞`c] ④ [eqn: b`＞`c`＞`a] ⑤ [eqn: c`＞`a`＞`b]

-1. 평면좌표

Ⅲ

01 ⑤	02 [eqn: 5]	03 ⑴ [eqn: sqrt {2}] ⑵ [eqn: 5 sqrt 2]

04 ③	05 ③	06 ④	07 ⑤	08 [eqn: 7]

09 ②	10 [eqn: 1]	11 ③	12 [eqn: sqrt {13}]	13 [eqn: 4 sqrt {5}]

14 ⑴ [eqn: LEFT ( {10} over {3} ,~2 RIGHT )] ⑵ [eqn: (4, ~1)]	15 [eqn: (-4, ~-3)]

16 ④	17 ②	18 ③	19 ③	20 ③

21 ④	22 ④	23 [eqn: -5]	24 ③

점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: x]라 하면

01

[eqn: rm {bar{AB}} it= vert x-4 vert =5], [eqn: x=9] 또는 [eqn: x=-1]

[eqn: rm {bar{AC}} + {bar{BC}}]

02

문제 이해

[eqn: rm = it vert x-2 vert + vert x-3 vert =5]

▸2점

(ⅰ) [eqn: x＜2]일 때
[eqn: -x+2-x+3=5], [eqn: x=0]

해결 과정

(ⅱ) [eqn: 2 LEQ x ＜3]일 때
[eqn: x-2-x+3=5], [eqn: 1=5] (모순)

(ⅲ) [eqn: x GEQ 3]일 때
[eqn: x-2+x-3=5], [eqn: x=5]

▸4점

이상에서 구하는 양수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 5]이다.

답 구하기

▸1점

[eqn: rm bar {AB} =sqrt{it (a+1)^2 +(-6+a)^2 }=5]

04

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a^2 -5a+6=0], [eqn: (a-2)(a-3)=0]

[eqn: a=2] 또는 [eqn: a=3]

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 5]이다.

[eqn: rm {bar AC} = {bar BC}]에서 [eqn: rm {bar AC}^2 = {bar BC}^2]이므로

05

[eqn: (x-1)^2 +25=(x-3)^2 +1]

[eqn: x^2 -2x+26=x^2 -6x+10]

[eqn: 4x=-16], [eqn: x=-4]

점 [eqn: rmP]가 [eqn: y`]축 위의 점이므로    [eqn: a=0]

06

[eqn: rmbar AP = bar BP]에서 [eqn: rm {bar{AP}} ^{2} = {bar{BP}} ^{2}]이므로

[eqn: 3^2 + (0-b)^2 = 1^2 +(4-b)^2]

[eqn: 9 = -8b + 16+1], [eqn: b=1]

따라서    [eqn: a+b = 0+1 =1]

[eqn: rm △ABC]는 [eqn: rm ∠B=90ﾟ]직각삼각형이므로

07

[eqn: rm {bar AC}^2 ={bar AB}^2 +{bar BC}^2]

[eqn: 50=(a^2 -14a+53)+(a^2 -4a+13)]

[eqn: a^2 -9a+8=0]

[eqn: (a-1)(a-8)=0]

[eqn: a＞1]이므로   [eqn: a=8]

[eqn: rm {bar OA} = {bar OB}={bar AB}]이므로

08

문제 이해

[eqn: rm {bar OA}^2 = {bar OB}^2 = {bar AB}^2]

▸2점

[eqn: rm {bar OA}^2 ={bar OB}^2]에서   [eqn: a^2 =1^2 +b^2]

해결 과정

[eqn: rm {bar OB}^2 ={bar AB}^2]에서    [eqn: 1^2 +b^2 =(a-1)^2 +b^2]

[eqn: a^2 -2a=0], [eqn: a(a-2)=0]

[eqn: a＞0]이므로   [eqn: a=2]

▸3점

[eqn: 2^2 =1^2 +b^2]이고 [eqn: b＞0]이므로

[eqn: b=sqrt 3]

▸2점

따라서   [eqn: a^2 +b^2 =4+3=7]

답 구하기

▸1점

[eqn: rm △OAB]의 외심 [eqn: rm P( it x,~ y)]에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로

09

[eqn: rm {bar OP} = {bar AP} = {bar BP}], 즉 [eqn: rm {bar OP}^2 = {bar AP}^2 = {bar BP}^2]

[eqn: rm {bar OP}^2 = {bar AP}^2]에서

[eqn: x^2 +y^2 =(x-2)^2 +y^2], [eqn: x=1]

[eqn: rm {bar OP}^2 = {bar BP}^2]에서

[eqn: x^2 +y^2 =x^2 +(y-4)^2], [eqn: y=2]

따라서   [eqn: x+y=3]

[eqn: rm bar AB][eqn: = sqrt{(a-2)^2 +(0-a)^2 }]
[eqn: = sqrt {2a ^{2} -4a+4}]

10

[eqn: = sqrt {2(a-1) ^{2} +2}]

따라서 [eqn: a=1]일 때 [eqn: rm bar AB]의 길이는 [eqn: sqrt 2]로 최소가 된다.

점 [eqn: rmA`]와 [eqn: y`]축에 대하여 대칭인 점을 [eqn: rmA prime]이라 하면 [eqn: rmA prime (-3,~0)]이고 [eqn: rmbar AP = bar {A prime P}]이므로

11

[eqn: rmbar AP + bar BP = bar {A prime P} + bar BP]

[eqn: rm`≥` bar {A prime B}]

[eqn: = sqrt {(-3-1)^2 + (0-3)^2}][eqn: =5]

따라서 [eqn: rmbar AP + bar BP]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

정답 및 해설

중단원 평가

[eqn: sqrt {(a-2)^2 +(b-3)^2 }+ sqrt {a^2 +b^2 }][eqn: = rm {bar AB} + {bar OA}]

12

따라서 구하는 최솟값은    [eqn: rm {bar{OB}} = sqrt {13}]

[eqn: xy+x+y-1=0]에서

13

해결 과정

[eqn: (x+1)(y+1)=2]

이 방정식을 만족하는 정수 [eqn: x], [eqn: y]를 순서쌍으로 나타내면

[eqn: (0, ~1)], [eqn: (1, ~0)], [eqn: (-2, ~-3)], [eqn: (-3, ~-2)]

이 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 다음 그림과 같다.

▸4점

따라서 두 대각선의 길이는

답 구하기

[eqn: sqrt {(1+3)^2 +(0+2)^2 } = {sqrt 20} =2 sqrt {5}]

[eqn: sqrt {(0+2)^2 +(1+3)^2} = sqrt {20}=2 sqrt{5}]

이므로 두 대각선의 길이의 합은 [eqn: 4 sqrt {5}]이다.

▸4점

[eqn: rm P(2, ~4)], [eqn: rm Q(14, ~16)]이므로

16

[eqn: rm bar PQ]의 중점 [eqn: rm M]의 좌표는   [eqn: rm M(8, ~10)]

따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=10]이므로   [eqn: a+b=18]

점 [eqn: rmB`]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 하면

17

[eqn: 7 over 5 = {3x+2 cdot 2} over 3+2], [eqn: x=1]

[eqn: 12 over 5 = {3y + 2 cdot 3} over 3+2], [eqn: y=2]

따라서 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: (1,~2)]이다.

[eqn: rm bar AC]의 중점과 [eqn: rm bar BD]의 중점이 일치하므로

18

[eqn: {5+1}over2 = {1+b}over2], [eqn: {a+5}over2 = {2+3}over2]

[eqn: 1+b=6], [eqn: a+5=5]

따라서 [eqn: a=0], [eqn: b=5]이므로   [eqn: a+b=5]

[eqn: rm bar AC]의 중점과 [eqn: rm bar BD]의 중점이 일치하므로

19

[eqn: a+7 over 2 = b+3 over 2]에서    [eqn: a-b =it-4]   [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: rmbar AB = bar BC]에서 [eqn: rm{bar AB}^2 = {bar BC}^2]이므로

[eqn: (a-3)^2 + 16 = 16+4], [eqn: a^2 -6a+5 =0]

[eqn: (a-1)(a-5) =0], [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=5] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: a=1]일 때 [eqn: b=5 ,~a=5]일 때 [eqn: b=9]

따라서 [eqn: a+b`]의 값은 [eqn: 6] 또는 [eqn: 14]이다.

[eqn: {a+2a+(-3)}over3 =1]이므로    [eqn: a=2]

20

[eqn: {1+5+b}over3 =b]이므로    [eqn: b=3]

따라서   [eqn: ab=6]

[eqn: rm △ABC]의 무게중심과 [eqn: rm △PQR]의 무게중심은
일치하므로

21

[eqn: a= {2+(-2)+6}over3 =2], [eqn: b= {4+6+8}over3 =6]

따라서    [eqn: a+b=8]

[eqn: rm 4 {bar AB}^2 ={bar BC}^2]이므로

22

[eqn: 4(2^2 +3^2 )=4^2 +(k-5)^2]

[eqn: k^2 -10k-11=0], [eqn: (k-11)(k+1)=0]

[eqn: k]는 양수이므로   [eqn: k=11]

[eqn: rm ∠BAD=∠CAD]이므로

23

문제 이해

[eqn: rm {bar AB} ：{bar AC}= {bar BD}：{bar DC}]

이때 [eqn: rm {bar AB} =13], [eqn: rm {bar AC} =5]이므로

[eqn: rm {bar BD}：{bar DC} = 13：5]

▸3점

따라서 점 [eqn: rm D]는 [eqn: rm bar BC]를 [eqn: 13：5]로 내분하는 점이므로

해결 과정

[eqn: a= {13 times 5 + 5 times (-4)}over{13+5}= 5 over2]

[eqn: b= {13 times 2 + 5 times (-7)}over{13+5} = it- 1over2]

▸3점

따라서    [eqn: a over b = it-5]

답 구하기

▸2점

[eqn: a`]는 [eqn: sqrt 6]과 [eqn: sqrt 7] 사이의 중점이다.

24

[eqn: b`]는 [eqn: sqrt 6]과 [eqn: sqrt 7] 사이의 [eqn: 2:1]의 내분점이다.

[eqn: c`]는 [eqn: sqrt 6]과 [eqn: sqrt 7] 사이의 [eqn: 1:3]의 내분점이다.

따라서    [eqn: b `>`a`>`c]