-3 여러 가지

Ⅱ

방정식과 부등식

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 방정식을 풀어라.

01

▸4점

⑴ [eqn: x^3 +8=0]

⑵ [eqn: x^4 +x^3 -2x^2 =0]

⑶ [eqn: x^4 -2x^2 -3=0]

사차방정식 [eqn: x^4 +x^3 -5x^2 -3x+2=0]의 실근 중 무리수인 두 근의 곱은?

02

▸3점

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

삼차방정식 [eqn: x^3 -ax^2 +3x+2=0]의 세 근을 [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수)

03

▸3점

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]의 모든 근이 방정식 [eqn: x^2 +x-2=0]의 모든 근과 일치한다. 다항식

04

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c]를 [eqn: x^2 +x-2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(100)]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수, [eqn: c＞0])

▸4점

① [eqn: 97]	② [eqn: 98]	③ [eqn: 99]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 101]

삼차방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때,

05

[eqn: omega+ omega^3 + omega^5 + omega^7 + omega^9 + omega^11 + omega^13 + omega^15]

을 간단히 하면?

▸4점

① [eqn: omega]	② [eqn: 1]	③ [eqn: -omega]

④ [eqn: - omega ^2]	⑤ [eqn: -1]

서

술

형

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: x] [eqn: rmcm]인 정육면체에서 밑면의 가로와 세로의 길이를 각각 [eqn: 2] [eqn: rmcm], [eqn: 1] [eqn: rmcm] 줄이고, 높이를 [eqn: 2] [eqn: rmcm] 늘여서 직육면체를 만들었더니 그 부피가 [eqn: 10] [eqn: rmcm ^{3}]가 되었다. 이때 [eqn: x]의 값을 구하여라.

06

▸8점

다음 연립방정식을 풀어라. 07 ▸4점 ⑴ [eqn: cases{ x-y+2=0 # x^2 +3x-y-1=0] ⑵ [eqn: cases{ 2x^2 +y^2 =150 # 2x+y=20] 연립방정식 [eqn: cases{ x-2y=3 # x^2 +y^2 =a]가 오직 한 쌍의 실수인 해를 가질 때, 상수 [eqn: a]의 값은? 08 ▸4점 ① [eqn: 7over5] ② [eqn: 9over5] ③ [eqn: 11over5] ④ [eqn: 13over5] ⑤ [eqn: 3] 연립방정식 [eqn: cases{ x^2 +xy=6 # x^2 +2xy-3y^2 =0]을 만족시키는 양수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍을 [eqn: (alpha ,~ beta )]라 할 때, [eqn: alpha^2 + beta^2]의 값은? 09 ▸3점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 15] ⑤ [eqn: 18]	연립방정식 [eqn: cases{ x+y=4 # xy= a]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? 10 ▸4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] 오른쪽 그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: 13]인 원에 내접하는 직사각형의 둘레의 길이가 [eqn: 34]일 때, 이 직사각형의 가로, 세로 중 긴 변의 길이는? 11 ▸4점 ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12] 연립부등식 [eqn: {cases{x+a GEQ 2x-1#4x-3<6x}}]의 해가 12 [eqn: - {3} over {2} <x LEQ 3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 0] ⑤ [eqn: -1]

Ⅱ. 방정식과 부등식

중단원 평가
부등식 [eqn: 2 vert x+1 vert -3 vert x-2 vert GEQ 1]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는? 13 ▸4점 ① [eqn: 4] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 8] 이차부등식 [eqn: x^2 +3x-4 leq 0]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는? 14 ▸2점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7] 서 술 형 이차부등식 [eqn: x^2 +ax+b＜0]의 해가 [eqn: 1＜x＜3]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라. 15 ▸7점	이차부등식 [eqn: ax^2 +bx+c GEQ 0]의 해가 [eqn: x=2]뿐일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 부호를 바르게 나타낸 것은? 16 ▸3점 ① [eqn: a＜0], [eqn: b＜0], [eqn: c＞0] ② [eqn: a＜0], [eqn: b＞0], [eqn: c＜0] ③ [eqn: a＜0], [eqn: b＞0], [eqn: c＞0] ④ [eqn: a＞0], [eqn: b＜0], [eqn: c＞0] ⑤ [eqn: a＞0], [eqn: b＞0], [eqn: c＜0] 오른쪽 그림은 두 점 [eqn: (-1,~0)], [eqn: (2,~0)]을 지나는 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 나타낸 것이다. 부등식 [eqn: f LEFT ( {x-k}over2 RIGHT ) leq 0]의 해가 17 [eqn: -3 LEQ x LEQ 3]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 0] ② [eqn: -1] ③ [eqn: -2] ④ [eqn: -3] ⑤ [eqn: -4] [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 이차부등식 18 [eqn: x^2 -2x+1 LEQ -x^2 +k]가 항상 성립할 때, 실수 [eqn: k]의 최솟값은? ▸4점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 7over2] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 9over2] ⑤ [eqn: 5]

Ⅱ. 방정식과 부등식
어느 음원 판매 업체에서 음원의 한 달 사용료를 19 [eqn: x] % 인상하면 회원 수는 [eqn: 0.5x] % 줄어든다고 한다. 이 음원 판매 업체의 한 달 수입이 [eqn: 8] % 이상이 증가되도록 할 때, [eqn: x]의 최솟값은? ▸4점 ① [eqn: 10] ② [eqn: 15] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 25] ⑤ [eqn: 30] 다음 중 연립부등식 [eqn: cases{ x^2 -3x-4 leq 0 # 3x^2 +x-2 GEQ 0]의 해가 될 수 없는 것은? 20 ▸3점 ① [eqn: -1] ② [eqn: 0] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 3] 연립부등식 [eqn: cases{ x^2 +2x-8 LEQ 0 # 1 LEQ [x] LEQ3]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는? 21 (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]	[eqn: x]에 대한 이차방정식 22 [eqn: x^2 +(a^2 -5a+4)x-a+2=0]이 서로 다른 부호의 두 실근을 갖는다. 음수인 근의 절댓값이 양수인 근보다 클 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? ▸4점 ① [eqn: a＞4] ② [eqn: a＞2] ③ [eqn: 1＜a＜2] ④ [eqn: 2＜a＜4] ⑤ [eqn: a＜1] 또는 [eqn: a＞4] 두 이차방정식 [eqn: x^2 +2ax+3a=0], 23 [eqn: ax^2 +ax+1=0] 중 한 방정식만 허근을 갖도록 상수 [eqn: a]의 값을 정할 때, [eqn: a]의 최솟값은? ▸4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 7over3] ③ [eqn: 5over2] ④ [eqn: 8over3] ⑤ [eqn: 3] 서 술 형 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm bar AC = bar BC = 15]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 빗변 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P]에서 변 [eqn: rm BC]와 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 할 때, 직사각형 [eqn: rm PQCR]의 넓이는 두 삼각형 [eqn: rm APR], [eqn: rm PBQ] 각각의 넓이보다 크다. [eqn: rm bar {QC} = it a]일 때, 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라. 24 ▸9점

-3. 여러 가지 방정식과 부등식

Ⅱ

01 해설 참조	02 ⑤	03 ③	04 ③

05 ④	06 [eqn: 3]	07 해설 참조	08 ②

09 ①	10 ②	11 ⑤	12 ②	13 ④

14 ④	15 [eqn: -1]	16 ②	17 ②	18 ⑤

19 ③	20 ②	21 ②	22 ①	23 ⑤

24 [eqn: 30]

⑴ [eqn: x^3 +8=0]에서

01

[eqn: (x+2)(x^2 -2x+4)=0]

[eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1 +- sqrt{3} i]

⑵ [eqn: x^4 +x^3 -2x^2 =0]에서

[eqn: x^2 (x-1)(x+2)=0]

[eqn: x=0](중근) 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-2]

⑶ [eqn: x^4 -2x^2 -3=0]에서 [eqn: x^2 =X]로 놓으면

[eqn: X^2 -2X-3=0], [eqn: (X+1)(X-3)=0]

[eqn: X=-1] 또는 [eqn: X=3]

[eqn: x= +- i] 또는 [eqn: x= +- sqrt{3}]

[eqn: x^2 +x-2=0]에서    [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]

04

[eqn: c＞0]이므로

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=(x+2)(x-1)^2]

[eqn: Q(x)=x-1]

따라서    [eqn: Q(100)=100-1=99]

[eqn: omega^3 =1], [eqn: omega^2 +omega+1=0]이므로

05

[eqn: omega + omega ^{3} + omega ^{5} + omega ^{7} + omega ^{9} + omega ^{11} + omega ^{13} + omega ^{15}]

[eqn: =(omega+1+omega^2 )+(omega+1+omega^2 )+omega+1]

[eqn: =omega+1=-omega^2]

부피가 [eqn: 10] cm³인 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이는 각각

06

문제 이해

[eqn: (x-2)] [eqn: rmcm], [eqn: (x-1)] [eqn: rmcm], [eqn: (x+2)] [eqn: rmcm]

▸2점

따라서 직육면체의 부피는

해결 과정

[eqn: (x-2)(x-1)(x+2)=10]

[eqn: x^3 -x^2 -4x-6=0]

[eqn: (x-3)(x^2 +2x+2)=0]

[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=-1 +- i]

▸4점

그런데 [eqn: x＞0]이므로   [eqn: x=3]

답 구하기

▸2점

⑴ [eqn: x-y+2=0]에서   [eqn: y=x+2]

07

이것을 [eqn: x ^{2} +3x-y-1=0]에 대입하여 풀면

[eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=1]

따라서    [eqn: cases{ x=-3 # y=-1] 또는 [eqn: cases{ x=1 # y=3]

⑵ [eqn: 2x+y=20]에서   [eqn: y=20-2x]

이것을 [eqn: 2x ^{2} +y ^{2} =150]에 대입하여 풀면

[eqn: x=5] 또는 [eqn: x= 25over3]

따라서    [eqn: cases{ x=5 # y=10] 또는 [eqn: cases{ x= 25over3 # y= 10over3]

[eqn: x ^{2} +2xy-3y ^{2} =0]에서   [eqn: (x+3y)(x-y)=0]

09

(ⅰ) [eqn: x=-3y]일 때,   [eqn: cases{ x=3 # y=-1] 또는 [eqn: cases{ x=-3 # y=1]

(ⅱ) [eqn: x=y]일 때,  [eqn: cases{ x= sqrt3 # y= sqrt3] 또는 [eqn: cases{ x=- sqrt3 # y= -sqrt3]

따라서 [eqn: alpha =sqrt 3], [eqn: beta = sqrt3]이므로

[eqn: alpha ^2 + beta ^2 =6]

[eqn: x], [eqn: y]를 근으로 갖고, 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: t^2 -(x+y)t+xy=0], 즉

10

[eqn: t^2 -4t+a=0]이 실근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D]라 하면   [eqn: D over 4 = 2^2 -a GEQ0], [eqn: a LEQ 4]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x], 세로의 길이를 [eqn: y]라 하면    [eqn: cases{ 2x +2y =34 # x^2 +y^2 =13^2]

11

연립방정식을 풀면    [eqn: cases{ x=5 # y=12] 또는 [eqn: cases{ x=12 # y=5]

따라서 가로, 세로 중 긴 변의 길이는 [eqn: 12]이다.

(ⅰ) [eqn: x＜-1]일 때, [eqn: x GEQ 9]
그런데 [eqn: x＜-1]이므로 해는 없다.

13

(ⅱ) [eqn: -1 LEQ x ＜2]일 때, [eqn: x GEQ 1]
그런데 [eqn: -1 LEQ x ＜2]이므로   [eqn: 1 LEQ x ＜2]

(ⅲ) [eqn: x GEQ 2]일 때, [eqn: x LEQ 7]
그런데 [eqn: x GEQ2]이므로   [eqn: 2 LEQ x LEQ 7]

이상에서 [eqn: 1 LEQ x LEQ 7]이므로 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 7]개이다.

정답 및 해설

중단원 평가

[eqn: x^2 +3x-4 LEQ 0]에서    [eqn: -4 LEQ x LEQ 1]

14

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는

[eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]의 [eqn: 6]개이다.

해가 [eqn: 1＜x＜3]이고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차부등식은

15

해결 과정

[eqn: (x-1)(x-3)＜0], [eqn: x^2 -4x+3＜0]

▸4점

따라서 [eqn: a=-4], [eqn: b=3]이므로

답 구하기

[eqn: a+b=-1]

▸3점

주어진 이차부등식의 해가 [eqn: x=2]뿐이므로

16

[eqn: a(x-2)^2 GEQ 0] ([eqn: a<0]), [eqn: ax^2 -4ax+4a GEQ 0]

따라서 [eqn: b=-4a], [eqn: c=4a]이므로   [eqn: b＞0], [eqn: c＜0]

[eqn: {x-k}over2 =t]로 놓으면 [eqn: -1 LEQ t LEQ 2]이므로

17

[eqn: -1 LEQ {x-k}over2 LEQ2], [eqn: -2 +k LEQ x LEQ 4+k]

[eqn: -2+k=-3], [eqn: 4+k=3]에서   [eqn: k=-1]

[eqn: x^2 -2x+1 LEQ -x^2 +k]에서

18

[eqn: 2x^2 -2x+1-k LEQ 0]

[eqn: f(x)=2x^2 -2x+1-k]로 놓으면

[eqn: f(x)=2 LEFT ( x- 1over2 RIGHT )^2 + 1over2 -k]

[eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 [eqn: f(x) LEQ 0]이 항상 성립하려면 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉, [eqn: f(-1) LEQ 0]이어야 하므로

[eqn: f(-1)=5-k LEQ 0], [eqn: k GEQ 5]

따라서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

현재 사용료를 [eqn: a]원, 회원 수를 [eqn: b]명이라 하면 현재 수입은 [eqn: ab]원이므로

19

[eqn: a LEFT ( 1+ x over 100 RIGHT )b LEFT ( 1- x over 200 RIGHT ) GEQ ab LEFT ( 1+ 8over100 RIGHT )]

[eqn: x^2 -100x+1600 LEQ 0], [eqn: 20 LEQ x LEQ 80]

따라서 [eqn: x]의 최솟값은 [eqn: 20]이다.

[eqn: x^2 +2x-8 LEQ 0]에서    [eqn: -4 LEQ x LEQ 2] …… ㉠

21

[eqn: 1 LEQ [x] LEQ3]에서

[eqn: [x]=1] 또는 [eqn: [x]=2] 또는 [eqn: [x]=3]

[eqn: 1 LEQ x ＜2] 또는 [eqn: 2 LEQ x ＜3] 또는 [eqn: 3 LEQ x ＜4]

즉,   [eqn: 1 LEQ x ＜4]	…… ㉡

따라서 ㉠, ㉡의 공통부분은 [eqn: 1 LEQ x LEQ 2]이므로 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2]의 [eqn: 2]개이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

22

(두 근의 합)[eqn: =-(a^2 -5a+4)＜0] …… ㉠

(두 근의 곱)[eqn: =-a+2＜0]	…… ㉡

㉠에서    [eqn: a＜1] 또는 [eqn: a＞4]

㉡에서    [eqn: a＞2]

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면    [eqn: a＞4]

[eqn: x^2 +2ax+3a=0]의 판별식을 [eqn: D]라 할 때

23

[eqn: D over 4 =a^2 -3a＜0], [eqn: 0＜a＜3]

[eqn: ax^2 +ax+1=0]의 판별식을 [eqn: D']이라 할 때

[eqn: D'=a^2 -4a＜0], [eqn: 0＜a＜4]

다음 그림에서 한 방정식만 허근을 갖도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위는   [eqn: 3 LEQ a ＜4]

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

[eqn: rm △ABC]∽[eqn: rm △APR]([eqn: rm AA]닮음)이므로

24

문제 이해

[eqn: rm {bar PR } = {bar AR} = it a], 즉, [eqn: rm {bar QC } = {bar PR} = {bar AR} = it a]

[eqn: rm {bar RC } = {bar PQ}= {bar BQ} = 15- it a]

▸2점

직사각형 [eqn: rm PQCR]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm APR]의 넓이보다 크므로

해결 과정

[eqn: a(15-a)＞ 1over2 a^2] 　　	…… ㉠

직사각형 [eqn: rm PQCR]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm PBQ]의 넓이보다 크므로

[eqn: a(15-a)＞ 1over 2 (15-a)^2]	…… ㉡

▸3점

㉠에서     [eqn: 0＜a＜10]	…… ㉢

㉡에서     [eqn: 5＜a＜15]	…… ㉣

▸3점

㉢, ㉣에서   [eqn: 5＜a＜10]

따라서 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은

답 구하기

[eqn: 6+7+8+9=30]

▸1점