-2 이차방정식과

Ⅱ

이차함수

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+a]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

01

▸3점

이차함수 [eqn: y=x ^{2} －2(a+k)x+k ^{2} +2k+b]가 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: x]축에 접할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

02

▸3점

① [eqn: －2]	② [eqn: －1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차함수 [eqn: y=x^2 －4x－5]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점의 좌표가 [eqn: (a,~0)], [eqn: (b,~0)]일 때, [eqn: a-b]의 값은?

03

▸2점

① [eqn: －8]	② [eqn: －6]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

꼭짓점의 좌표가 점 [eqn: (1, ~－2)]인 이차함수

04

[eqn: f`(x)=ax^2 +bx+c]의 그래프와 [eqn: x]축의 두 교점 사이의 거리가 [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b-c]의 값은?

▸3점

① [eqn: －2]	② [eqn: －1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차방정식 [eqn: ax^2 -2ax+b=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: -1＜ alpha ＜0]일 때, [eqn: beta]의 값의 범위는?

05

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수, [eqn: a＞0])

▸3점

① [eqn: beta＜-3]	② [eqn: -2＜beta＜2]	③ [eqn: beta＞0]

④ [eqn: 2＜beta＜3]	⑤ [eqn: beta＞2]

서

술

형

이차방정식 [eqn: x^2 +2kx+3k+4=0]의 서로 다른 두 근 사이에 [eqn: -1]이 있을 때, 정수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

06

▸8점

이차함수 [eqn: y=-x^2 +3x]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? 07 ▸3점 ① [eqn: k＜ 9over4] ② [eqn: k LEQ {9} over {4}] ③ [eqn: k> {9} over {4}] ④ [eqn: k GEQ {9} over {4}] ⑤ [eqn: k>3] 직선 [eqn: y=2x+a]가 이차함수 [eqn: y=x^2 -1]의 그래프에 접할 때, 실수 [eqn: a]의 값은? 08 ▸3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 이차함수 [eqn: y=x^2 -2mx+1+m^2]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-1]이 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: m]값의 범위를 구하여라. 09 ▸4점	서 술 형 오른쪽 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프와 직선 [eqn: y=ax+b]가 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: -1], [eqn: 2]인 두 점에서 만날 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라. 10 ▸8점 함수 [eqn: y=mx]의 그래프와 함수 [eqn: y=x^2 －x+1]의 그래프가 접할 때의 [eqn: m]의 값을 [eqn: alpha ,~ beta]라 할 때, [eqn: alpha]와 [eqn: beta]를 두 근으로 하는 이차방정식은? (단, [eqn: alpha != beta]) 11 ▸3점 ① [eqn: x^2 +2x+3=0] ② [eqn: x^2 +2x－3=0] ③ [eqn: x^2 －2x－3=0] ④ [eqn: x^2 +3x+2=0] ⑤ [eqn: x^2 －3x+2=0] 이차함수 [eqn: y=x^2 +2x－2]의 그래프에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은? 12 ▸3점 ① 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (－1,~ －3)]이다. ② 대칭축은 [eqn: x=it－1]이다. ③ 최솟값은 [eqn: -3]이다. ④ [eqn: x]축과 만나지 않는다. ⑤ [eqn: y=x^2 +2x－2]의 그래프는 [eqn: y=x^2]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동한 것이다.

Ⅱ. 방정식과 부등식

중단원 평가
이차함수 [eqn: f`(x)=ax ^{2} +bx+c]가 [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: -1]을 갖고 [eqn: f(0)=7]일 때, 상수 [eqn: a, ``b, ``c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은? 13 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} +ax－3+a]의 최솟값을 [eqn: g(a)]라 하자. [eqn: g(a)]가 최댓값을 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값은? 14 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} －2ax-15－2a ^{2} =0]이 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 가질 때, [eqn: alpha ^2 + beta ^2]의 최솟값은? 15 (단, [eqn: a]는 실수) ▸4점 ① [eqn: 15] ② [eqn: 20] ③ [eqn: 25] ④ [eqn: 30] ⑤ [eqn: 35]	주어진 범위에서 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하여라. 16 ▸4점 ⑴ [eqn: y=x^2 +2x-2] [eqn: (0 LEQ x LEQ 3 )] ⑵ [eqn: y=-2x^2 -8x+15] [eqn: (-3 LEQ x LEQ 0 )] 서 술 형 [eqn: -1 leq x leq 1]일 때, 이차함수 [eqn: y=-x^2 +2x+a]의 최댓값이 [eqn: 5]이다. 이 함수의 최솟값을 구하여라. 17 (단, [eqn: a]는 상수) ▸7점 [eqn: -1 leq x leq 1]일 때, 이차함수 [eqn: y=-x^2 +ax]의 최댓값이 [eqn: 4]이다. 이때 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a GEQ 2]) 18 ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]

Ⅱ. 방정식과 부등식
이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b]에 대하여 19 [eqn: f(-4)=f(2)]가 성립한다. [eqn: -2 leq x leq 4]일 때, [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값을 차례로 나열한 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) ▸4점 ① [eqn: f(2)], [eqn: f(-2)] ② [eqn: f(4)], [eqn: f(-2)] ③ [eqn: f(-1)], [eqn: f(-2)] ④ [eqn: f(2)], [eqn: f(-1)] ⑤ [eqn: f(4)], [eqn: f(-1)] 서 술 형 [eqn: -3 le x le0]일 때, 20 [eqn: y=(x^2 +2x+2)^2 -4(x^2 +2x+2)-1] 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. ▸8점 21 길이 [eqn: 2pi]인 끈을 잘라 두 개의 원을 만들 때, 두 원의 넓이의 합의 최솟값은? ▸4점 ① [eqn: pi over 4] ② [eqn: pi over 3] ③ [eqn: pi over 2] ④ [eqn: pi] ⑤ [eqn: 2pi]	물체를 초속 [eqn: 10``RMm]로 똑바로 위로 던질 때, [eqn: t]초 후의 높이를 [eqn: y``rmm]라 하면 [eqn: y=－5t` ^{2} +10t]라 한다. 이 물체가 도달하는 최고 높이는? 22 ▸4점 ① [eqn: 5`` rm m] ② [eqn: 6`` rm m] ③ [eqn: 7`` rm m] ④ [eqn: 8`` rm m] ⑤ [eqn: 9`` rm m] 오른쪽 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x^2 -5x+4]의 그래프가 [eqn: y]축과 점 [eqn: rm A]에서 만나고, [eqn: x]축과 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]에서 만난다. 점 [eqn: \P it (a,~b)]가 곡선 위를 따라 점 [eqn: rm A]에서 점 [eqn: rm C]까지 움직일 때, [eqn: 3a+b]의 최댓값과 최솟값의 합은? 23 ▸4점 ① [eqn: 12] ② [eqn: 13] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 15] ⑤ [eqn: 16] 이차함수 [eqn: y=x^2 +1]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 평행한 직선을 그어 직선 [eqn: y=x-1]과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 할 때, 선분 [eqn: rm PQ]의 길이의 최솟값은? 24 ▸4점 ① [eqn: 5over4] ② [eqn: 7over4] ③ [eqn: 9over4] ④ [eqn: 11over4] ⑤ [eqn: 13over4]

-2. 이차방정식과 이차함수

Ⅱ

01 [eqn: a<4]	02 ⑤	03 ②	04 ①	05 ④

06 [eqn: -6]	07 ①	08 ①	09 [eqn: m GEQ {1} over {2}]

10 [eqn: 1]	11 ②	12 ④	13 ①	14 ④

15 ④	16 ⑴ 최댓값: [eqn: 13], 최솟값: [eqn: -3]

⑵ 최댓값: [eqn: 23], 최솟값: [eqn: 15]	17 [eqn: 1]	18 ④

19 ⑤	20 [eqn: -1]	21 ③	22 ①	23 ④

24 ②

이차방정식 [eqn: x^2 - 2(a+ k)x + k^2 +2k + b =0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

02

[eqn: D over 4 = (a+k)^2 -k^2 -2k-b =0]

[eqn: (2a-2)k + a^2 -b =0]

위의 식이 [eqn: k]에 대한 항등식이 되어야 하므로

[eqn: 2a -2 =0 ,~ a^2 -b =0]

따라서 [eqn: a=1,~b=1]이므로

[eqn: a+b=2]

[eqn: f(x) = a(x-1)^2 -2]로 놓으면 대칭축 [eqn: x=1]에서 두 교점까지의 거리는 각각 [eqn: 1]이다.

04

따라서 두 교점은 [eqn: (0,~0),~(2,~0)]이다.

[eqn: f(0)=a-2=0]이므로    [eqn: a=2]

따라서 [eqn: f(x)=2(x-1) ^{2} -2=2x ^{2} -4x]이므로

[eqn: a+b-c=2+(-4)-0= it -2]

[eqn: y=ax^2 -2ax+b][eqn: (a＞0)]로 놓으면

05

[eqn: y=a(x-1)^2 -a+b]

따라서 오른쪽 그림에서

[eqn: 2＜ beta ＜3]

[eqn: f(x)=x^2 +2kx+3k+4]로 놓으면 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉, [eqn: f(-1)＜0]

06

문제 이해

▸3점

[eqn: 1-2k+3k+4＜0], [eqn: k＜-5]

해결 과정

▸3점

따라서 정수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: -6]이다.

답 구하기

▸2점

이차방정식 [eqn: -x^2 +3x=k], 즉 [eqn: x^2 -3x+k=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

07

[eqn: D=9-4k＞0], [eqn: k＜ 9over4]

이차방정식 [eqn: x^2 -1=2x+a], 즉

08

[eqn: x^2 -2x-(a+1)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 =(-1)^2 +(a+1)=0]

따라서    [eqn: a=it-2]

이차방정식 [eqn: x^2 -2mx+1+m^2 = 2x-1], 즉

09

[eqn: x^2 -2(m+1)x+2+m^2 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over4 = left{-(m+1) right}^2 -(2+m^2 ) geq 0], [eqn: m GEQ {1} over {2}]

이차방정식 [eqn: x^2 =ax+b], 즉

10

문제 이해

[eqn: x^2 -ax-b=0]의 두 근은 [eqn: -1], [eqn: 2]이다.

▸3점

이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

해결 과정

[eqn: -1+2=-(-a)]

▸3점

따라서    [eqn: a=1]

답 구하기

▸2점

이차방정식 [eqn: mx = x^2 -x+1], 즉

11

[eqn: x^2 - (m+1)x +1 =0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D = (m+1)^2 -4 = 0], [eqn: m^2 +2m-3 =0]

따라서 구하는 이차방정식은    [eqn: x^2 +2x-3 =0]

[eqn: y = x^2 +2x -2 = (x+1)^2 -3]

12

④ 이차방정식 [eqn: x^2 +2x-2=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} =1-(-2)=3＞0]

따라서 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: f(x) = a(x-2)^2 -1]([eqn: a>0)]에 [eqn: x=0`]을 대입하면    [eqn: f`(0)=4a-1=7], [eqn: a=2]

13

[eqn: f(x) = 2(x-2)^2 -1 = 2x^2 -8x +7]이므로

[eqn: a=2,~b=it-8,~c=7]

따라서    [eqn: a+b+c =1]

정답 및 해설

중단원 평가

[eqn: f(x) = 2x^2 +ax-3 +a`]

14

[eqn: = 2 `left( x + a over 4 right)^2 - a^2 over 8 +a-3]

[eqn: g`(a) = - a^2 over 8 +a-3][eqn: = - 1 over 8 (a-4)^2 -1]

따라서 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=4]일 때, 최댓값 [eqn: -1]을 갖는다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

15

[eqn: alpha + beta =2a,~ alpha beta =-15-2a ^{2}]

[eqn: alpha^2 +beta^2 = (alpha+beta)^2 -2 alpha beta]

[eqn: =4a ^{2} -2(-15-2a ^{2} )][eqn: =8a ^{2} +30]

따라서 [eqn: a=0]일 때, 최솟값 [eqn: 30]을 갖는다.

[eqn: y][eqn: =-x^2 +2x+a][eqn: =-(x-1)^2 +a+1]

17

해결 과정

[eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 최댓값은 [eqn: x=1]일 때 [eqn: a+1]이므로 [eqn: a+1=5]에서    [eqn: a=4]

▸5점

따라서 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]일 때,

답 구하기

[eqn: y=-(x-1)^2 +5]는 [eqn: x=-1]에서 최솟값 [eqn: 1]을 갖는다.

▸2점

[eqn: y=-x^2 +ax=- LEFT ( x- a over2 RIGHT ) ^2 +{a^2 }over4]에서 대칭축은

18

[eqn: x= a over 2][eqn: GEQ 1]

따라서 [eqn: x=1]일 때, 최댓값 [eqn: 4]를 가지므로

[eqn: -1+a=4], [eqn: a=5]

[eqn: f(-4)=f(2)]이므로 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 대칭축은    [eqn: x=-1]

19

따라서 [eqn: -2 LEQ x LEQ 4]일 때, 이차함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(4)]이고, 최솟값은 [eqn: f(-1)]이다.

[eqn: x^2 +2x+2=t]로 놓으면

20

문제 이해

[eqn: t=x^2 +2x+2][eqn: =(x+1)^2 +1]

[eqn: -3 le x le0]이므로    [eqn: 1 le t le5]

▸3점

이때 주어진 식은

해결 과정

[eqn: y=t^2 -4t-1][eqn: =(t-2)^2 -5~(1 le t le5)]

이므로 [eqn: t=5]일 때 최댓값 [eqn: 4], [eqn: t=2]일 때 최솟값 [eqn: -5]를 갖는다.

▸3점

따라서 최댓값과 최솟값의 합은

답 구하기

[eqn: 4+(-5)=IT-1]

▸2점

나누어진 끈의 길이를 각각 [eqn: 2x], [eqn: 2pi -2x`]

21

([eqn: 0`<x< pi])라 하고 이 끈으로 만들어지는 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r_1 ,~ r_2]라 하면

[eqn: 2pi r_1 = 2x`], [eqn: r_1 = x over pi]

[eqn: 2pi r_2 = 2pi -2x`], [eqn: r_2 = 1 - x over pi]

두 원의 넓이의 합을 [eqn: S(x)]라 하면

[eqn: S(x) = pi left( x over pi right)^2 + pi` left( 1 - x over pi right)^2]

[eqn: = 2 over pi left( x - pi over 2 right)^2 + pi over 2] [eqn: left(0 < pi over 2 `<` pi right)]

따라서 [eqn: S(x)]는 [eqn: x = pi over 2]일 때, 최솟값 [eqn: pi over 2]를 가지므로 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 [eqn: pi over 2]이다.

[eqn: y = -5t^2 +10t`][eqn: = -5(t-1)^2 +5]

22

따라서 [eqn: 1]초 후에 최고 높이 [eqn: 5`` rm m]에 도달한다.

[eqn: x^2 -5x+4=0]에서

23

[eqn: (x-1)(x-4)=0]

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=4]

이므로   [eqn: rm A(0,~ 4)], [eqn: rm B(1, ~0)], [eqn: rm C(4, ~0)]

점 [eqn: rm P( it a, ~b)]는 곡선 위의 점이므로

[eqn: b=a^2 -5a+4]

즉, [eqn: 3a+b=a^2 -2a+4=(a-1)^2 +3]

이때 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A]에서 점 [eqn: rm C]까지 움직이므로 [eqn: 0 LEQ a LEQ 4]이다. 따라서 [eqn: a=4]일 때 최댓값은 [eqn: 12]이므로 [eqn: a=1]일 때 최솟값은 [eqn: 3]이므로 최댓값과 최솟값의 합은

[eqn: 12+3=15]

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (a, ~a^2 +1)]로 놓으면 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표도 [eqn: a^2 +1]이므로 [eqn: a^2 +1=x-1]에서

24

[eqn: x=a^2 +2]

따라서 [eqn: rm Q( it a ^{2} +2,~a ^{2} +1)]이다.

[eqn: rm {bar PQ} = it (a^2 +2)-a= LEFT ( a- 1over2 RIGHT )^2 + 7over4]이므로

[eqn: a= 1over2]일 때, 선분 [eqn: rm PQ]의 길이는 최소가 되고, 그 최솟값은 [eqn: 7over4]이다.