-1 복소수와

Ⅱ

이차방정식

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

등식 [eqn: (1+i)x+(1-i)y=4+2i]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: xy]의 값은?

01

▸2점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

복소수 [eqn: 1 over {1+i} + i over2]를 [eqn: a+bi] 꼴로 나타낼 때,

02

[eqn: 4a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)

▸3점

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

등식 [eqn: (x+2i)(2-i)=6+yi]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은?

03

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서

술

형

[eqn: i(x+3i)^2]이 정수가 되도록 하는 실수 [eqn: x]의 값을 모두 구하여라.

04

▸6점

[eqn: alpha =a-2i], [eqn: beta =3+bi]일 때, [eqn: alpha + bar { beta } = 5-6i]를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

05

(단, [eqn: bar { beta }]는 [eqn: beta]의 켤레복소수이다.)

▸4점

[eqn: LEFT ( {1-i}over{i} RIGHT )^4 + LEFT ( {1+i}over {i} RIGHT )^4]의 값은?

06

▸3점

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

[eqn: z=1+i]일 때, [eqn: {z bar { z} }over{z- bar { z} }]의 값은? 07 (단, [eqn: bar { z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) ▸4점 ① [eqn: -2i] ② [eqn: -1-i] ③ [eqn: -i] ④ [eqn: i] ⑤ [eqn: 1+i] 두 복소수 [eqn: z_1], [eqn: z_2]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? 08 (단, [eqn: bar { z_2 }]는 [eqn: z_2]의 켤레복소수이다.) ▸4점 ㄱ. [eqn: z_1 = bar{z_2}]이면 [eqn: z_1 + z_2]는 실수이다. ㄴ. [eqn: z_1 = bar {z_2}]일 때, [eqn: z_1 z_2 =0]이면 [eqn: z_1 =0]이다. ㄷ. [eqn: {z_{1}}`^2 + {z_2}`^2 =0]이면 [eqn: {z_1}=0]이고 [eqn: {z_2}=0]이다. 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 계산이 잘못된 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? 09 ▸4점 ㄱ. [eqn: sqrt {-3} sqrt {-3} = sqrt {(-3)(-3)} = sqrt {9} =3] ㄴ. [eqn: sqrt {5} sqrt {-2} = sqrt {-10} = sqrt {10} i`] ㄷ. [eqn: {sqrt {2}} over {sqrt {-6}} = sqrt {{2} over {-6}} = sqrt {- {1} over {3}} = sqrt {{1} over {3}} i] ㄹ. [eqn: {sqrt {-10}} over {sqrt {2}} = sqrt {{-10} over {2}} = sqrt {-5} = sqrt {5} i] 보기 ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄷ, ㄹ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ	실근을 갖는 이차방정식만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? 10 ▸3점 ㄱ. [eqn: x^2 -3x+2=0] ㄴ. [eqn: x^2 + SQRT { 2} x+2=0] ㄷ. [eqn: 2x^2 -4x+3=0] ㄹ. [eqn: x^2 =8(x-2)] ㅁ. [eqn: x^2 -2ax+3a^2 =0 (a<0)] 보기 ① ㄱ, ㅁ ② ㄱ, ㄹ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄹ, ㅁ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㅁ 이차방정식 [eqn: x^2 -4x+k+5=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? 11 ▸2점 ① [eqn: k＜-1] ② [eqn: k>-1] ③ [eqn: k＜1] ④ [eqn: k>1] ⑤ [eqn: k＜2] 이차방정식 12 [eqn: x ^{2} -2(k-a)x+k ^{2} +a ^{2} -b+1=0] 이 [eqn: k`]의 값에 관계없이 중근을 갖는다고 할 때, 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 4] ② [eqn: 3] ③ 2 ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 0]

Ⅱ. 방정식과 부등식

중단원 평가
이차방정식 [eqn: x^2 -10x-2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: (alpha - beta )^2]의 값은? 13 ▸4점 ① [eqn: 92] ② [eqn: 96] ③ [eqn: 100] ④ [eqn: 104] ⑤ [eqn: 108] 서 술 형 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 근이 [eqn: a], [eqn: b]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. 14 (단, [eqn: ab != 0]) ▸8점 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax-a+2=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라 할 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =11]이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값을 모두 구하면? 15 ▸4점 ① [eqn: -5, ~3] ② [eqn: -3, ~-2] ③ [eqn: -3, ~5] ④ [eqn: -1, ~2] ⑤ [eqn: -1, ~3]	이차방정식 [eqn: x^2 -ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 3+i]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? 16 ▸3점 ① [eqn: 12] ② [eqn: 14] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 20] 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(k+1)x+k=0]의 두 근의 비가 [eqn: 2：3]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 모두 구하여라. 17 ▸4점 서 술 형 이차방정식 [eqn: x^2 -x-5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha+ beta]와 [eqn: alpha beta]를 두 근으로 갖고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 [eqn: x^2 +ax+b=0]이라 하자. 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라. 18 ▸8점

Ⅱ. 방정식과 부등식
이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라 할 때, 다음 중 [eqn: {1} over {alpha } ,`` {1} over {beta } `]을 두 근으로 하는 이차방정식은? 19 ▸3점 ① [eqn: 3x^2 -x+2=0] ② [eqn: 3x^2 +x+2=0] ③ [eqn: 3x^2 -x-2=0] ④ [eqn: 3x^2 +x-2=0] ⑤ [eqn: x^2 -x+2=0] 이차방정식 [eqn: 2x^2 +ax+b=0]에서 [eqn: a]의 값을 잘못 보고 풀었더니 두 근이 [eqn: 1], [eqn: 3]이 되었고, [eqn: b]의 값을 잘못 보고 풀었더니 두 근이 [eqn: -1], [eqn: 2]가 되었다. 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값은? 20 ▸4점 ① [eqn: 32] ② [eqn: 36] ③ [eqn: 40] ④ [eqn: 44] ⑤ [eqn: 48] 서 술 형 [eqn: x]에 대한 이차방정식 21 [eqn: x^2 +(a^2 -3a-4)x-a+2=0] 의 두 실근의 절댓값이 서로 같고 부호가 다를 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라. ▸8점	이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha+ beta=1], [eqn: alpha beta=6]일 때, 이차방정식 [eqn: f(2x-1)=0]의 두 근의 곱은? 22 ▸4점 ① [eqn: -6] ② [eqn: -4] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 8] 이차방정식 [eqn: x^2 +x-3=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: f( alpha )=f( beta )=1]을 만족시키는 이차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(3)]의 값은? 23 (단, [eqn: f(x)]의 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 1]이다.) ▸4점 ① [eqn: 10] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 18] 다음 중 이차식 [eqn: x ^{2} +4x+6]을 복소수의 범위에서 바르게 인수분해한 것은? 24 ▸4점 ① [eqn: (x-1-i`)(x-1+i`)] ② [eqn: (x+2-i`)(x+2+i`)] ③ [eqn: (x+2- sqrt {2} )(x+2+ sqrt {2} )] ④ [eqn: (x-2- sqrt {2} i)(x-2+ sqrt {2} i)] ⑤ [eqn: (x+2- sqrt {2} i`)(x+2+ sqrt {2} i`)]

-1. 복소수와 이차방정식

Ⅱ

01 ③	02 ①	03 ④	04 [eqn: +-3]	05 [eqn: 6]

06 ②	07 ③	08 ③	09 ②	10 ②

11 ①	12 ④	13 ⑤	14 [eqn: 5]	15 ①

16 ③	17 [eqn: {3} over {2}], [eqn: {2} over {3}]	18 [eqn: -1]	19 ①

20 ③	21 [eqn: 4]	22 ③	23 ①	24 ⑤

[eqn: i(x+3i) ^{2} =i(x ^{2} +6 x i -9)]

04

해결 과정

[eqn: =-6x+(x ^{2} -9)i]

▸3점

주어진 복소수가 정수가 되려면

답 구하기

[eqn: x^2 -9=0], 즉 [eqn: x=±3]

▸3점

[eqn: beta =3+bi]이므로   [eqn: bar { beta }= 3-bi]

05

[eqn: alpha + bar { beta }][eqn: =(a-2i)+(3-bi)]

[eqn: =(a+3)-(b+2)i][eqn: =5-6i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a+3=5], [eqn: b+2=6]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=4]이므로

[eqn: a+b=6]

[eqn: z=1+i]이므로    [eqn: bar { z} =1-i]

07

[eqn: {z bar { z} }over{z- bar { z} }][eqn: = {(1+i)(1-i)}over{1+i-(1-i)}= 2 over 2i][eqn: = 1over i = -i]

[eqn: z_1 =a+bi], [eqn: z_2 =c+di]([eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 실수)라 하면    [eqn: bar { z_2 }=c-di]

08

ㄱ. [eqn: z_1 = bar { z_2}]에서 [eqn: a+bi=c-di]이므로

[eqn: a=c], [eqn: b=-d]

[eqn: z_1 +z_2 =(a+c)+(b+d)i=2a]

ㄴ. [eqn: z_1 z_2][eqn: =(a+bi)(c+di)]

[eqn: =(c-di)(c+di)=c^2 +d^2 ~]

[eqn: z_1 z_2 =0], 즉 [eqn: c^2 +d^2 =0]이면 [eqn: c=d=0]이므로 [eqn: a=b=0]이다. 따라서   [eqn: z_1 =0]

ㄷ. [eqn: z_1 = 1+i], [eqn: z_2 = 1-i]이면

[eqn: {z_1}`^2 +{z_2}`^2 =(1+i)^2 +(1-i)^2 =0]

이지만 [eqn: z_1 != 0]이고 [eqn: z_2 != 0]이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ㄱ.[eqn: sqrt {-3} sqrt {-3} = sqrt {3} i sqrt {3} i=3i ^{2} =-3]

09

ㄷ.[eqn: {sqrt {2}} over {sqrt {-6}} = {sqrt {2}} over {sqrt {6} i} = {i} over {sqrt {3} i ^{2}} =- sqrt {{1} over {3}} i]

ㄱ. [eqn: D=(-3) ^{2} -4 CDOT 1 CDOT 2=1>0]

10

ㄴ. [eqn: D=( sqrt {2} ) ^{2} -4 CDOT 1 CDOT 2=-6<0]

ㄷ. [eqn: D=(-4) ^{2} -4 CDOT 2 CDOT 3=-8<0]

ㄹ. [eqn: x ^{2} -8x+16=0]에서

[eqn: D=(-8) ^{2} -4 CDOT 1 CDOT 16=0]

ㅁ. [eqn: D=(-2a) ^{2} -4 CDOT 1 CDOT 3a ^{2} =-8a ^{2} <0]

따라서 실근을 갖는 이차방정식은 ㄱ, ㄹ이다.

이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

12

[eqn: {D} over {4} =(k-a) ^{2} -(k ^{2} +a ^{2} -b+1)=0]

[eqn: -2ak+b-1=0]

그런데 이 식이 [eqn: k]에 대한 항등식이므로

[eqn: -2a=0,~b-1=0]

따라서 [eqn: a=0,~b=1]이므로    [eqn: a+b=1]

[eqn: x^2 -10x-2=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

13

[eqn: alpha+ beta =10], [eqn: alpha beta =-2]

따라서

[eqn: (alpha - beta )^2][eqn: =( alpha + beta )^2 -4 alpha beta]

[eqn: =10^2 -4 cdot (-2)=108]

[eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 근이 [eqn: a], [eqn: b]이므로

14

문제 이해

[eqn: a+b=-a], [eqn: ab=b]

▸3점

[eqn: ab=b]에서    [eqn: (a-1)b=0]

해결 과정

이때 [eqn: b != 0]이므로    [eqn: a=1]

[eqn: a+b=-a]에서    [eqn: b=-2a=-2]

▸4점

[eqn: a^2 +b^2 =1^2 +(-2)^2 =5]

답 구하기

▸1점

[eqn: alpha + beta =a,~ alpha beta =-a+2]이므로

15

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta][eqn: =a ^{2} -2(-a+2)]

[eqn: =a ^{2} +2a-4=11]

즉, [eqn: a ^{2} +2a-15=0]에서   [eqn: (a+5)(a-3)=0]

따라서    [eqn: a=-5] 또는 [eqn: a=3]

계수가 실수인 이차방정식 [eqn: x^2 -ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 3+i]이므로 다른 한 근은 [eqn: 3-i]이다.

16

정답 및 해설

중단원 평가

따라서 두 근의 합은

[eqn: a=(3+i)+(3-i)=6]

두 근의 곱은

[eqn: b=(3+i)(3-i)=9+1=10]

이므로    [eqn: a+b=6+10=16]

두 근의 비가 [eqn: 2：3]이므로 두 근을 [eqn: 2 alpha ,~3 alpha]로 놓으면

17

[eqn: 2 alpha +3 alpha =k+1]  …… ㉠, [eqn: 6 alpha ^{2} =k]  …… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면    [eqn: 5 alpha =6 alpha ^{2} +1]

[eqn: 6 alpha ^{2} -5 alpha +1=0], [eqn: (2 alpha -1)(3 alpha -1)=0]

[eqn: alpha = {1} over {2}] 또는 [eqn: alpha = {1} over {3}]

따라서    [eqn: k= {3} over {2}] 또는 [eqn: k= {2} over {3}]

[eqn: x^2 -x-5=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

18

문제 이해

[eqn: alpha + beta =1], [eqn: alpha beta =-5]

▸2점

[eqn: alpha + beta]와 [eqn: alpha beta]의 합과 곱을 각각 구하면

해결 과정

[eqn: (alpha + beta )+ alpha beta =-4], [eqn: (alpha + beta ) alpha beta =-5]

따라서 [eqn: alpha + beta]와 [eqn: alpha beta]를 두 근으로 갖고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은

[eqn: x^2 -(-4)x-5=0]

[eqn: x^2 +4x-5=0]

▸5점

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=-5]이므로

답 구하기

[eqn: a+b=-1]

▸1점

[eqn: alpha + beta = {1} over {2} ,~ alpha beta = {3} over {2}]이므로

19

[eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } = {{1} over {2}} over {{3} over {2}} = {1} over {3}]

[eqn: {1} over {alpha } CDOT {1} over {beta } = {1} over {alpha beta } = {1} over {{3} over {2}} = {2} over {3}]

따라서 [eqn: {1} over {alpha } , {1} over {beta }]을 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x ^{2} - {1} over {3} x+ {2} over {3} =0], 즉 [eqn: 3x ^{2} -x+2=0]

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 2]이고, 두 수 [eqn: 1], [eqn: 3]을 근으로 갖는 이차방정식은

20

[eqn: 2(x-1)(x-3)=0], 즉 [eqn: 2x^2 -8x+6=0]

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 2]이고, 두 수 [eqn: -1], [eqn: 2]를 근으로 갖는 이차방정식은

[eqn: 2(x+1)(x-2)=0], 즉 [eqn: 2x^2 -2x-4=0]

따라서 [eqn: a=-2], [eqn: b=6]이므로   [eqn: a^2 +b^2 =40]

두 실근의 절댓값이 서로 같고 부호가 다르므로 두 근의 합은 [eqn: 0]이고 두 근의 곱은 음수이어야 한다.

21

문제 이해

▸3점

[eqn: -(a^2 -3a-4)=0]이므로

해결 과정

[eqn: (a+1)(a-4)=0]

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=4]

[eqn: -a+2＜0]이므로    [eqn: a＞2]

▸4점

따라서     [eqn: a=4]

답 구하기

▸1점

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

22

[eqn: f(x)][eqn: =a(x- alpha )(x- beta )]

[eqn: =a left {x^2 -( alpha + beta )x+ alpha beta right }]

[eqn: =a(x^2 -x+6)(a != 0)]

위 식에 [eqn: x] 대신 [eqn: 2x-1]을 대입하면

[eqn: f(2x-1)][eqn: =a left {(2x-1)^2 -(2x-1)+6 right]

[eqn: =a(4x^2 -6x+8)]

따라서 이차방정식 [eqn: f(2x-1)=0]은

[eqn: a(4x^2 -6x+8)=0]

이므로 두 근의 곱은    [eqn: 8over4 =2]

[eqn: f( alpha )-1=f( beta )-1=0]이므로 이차방정식

23

[eqn: f(x)-1=0]의 두 근은 [eqn: alpha], [eqn: beta]이다.

[eqn: f(x)]의 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x)-1=(x- alpha )(x- beta )]

이때 [eqn: alpha + beta =-1], [eqn: alpha beta =-3]이므로

[eqn: f(x)-1][eqn: =x^2 -( alpha + beta )x+ alpha beta]

[eqn: =x^2 +x-3]

따라서 [eqn: f(x)=x^2 +x-2]이므로    [eqn: f(3)=10]

[eqn: x ^{2} +4x+6=0]에서

24

[eqn: x=-2± sqrt {4-6} =-2± sqrt {2} i]

따라서

[eqn: x ^{2} +4x+6=(x+2- sqrt {2} i)(x+2+ sqrt {2} i)]