-2 나머지정리와

Ⅰ

인수분해

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

등식 [eqn: (a-3)x+b+1=0]이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

01

▸2점

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은?

02

▸3점

[eqn: x ^{2} +ax+6=(bx+2)(x+c)]

① [eqn: 13]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: -1]

서

술

형

등식 [eqn: x^4 +ax^3 +x+b=(x+1)(x-2)f(x)]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하여라.

03

▸8점

오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: (4,~0)], [eqn: (0,~2)]를 지나는 직선 [eqn: l]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에 대하여 등식

04

[eqn: x^2 +ay^2 +bx+16=0]이 성립하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정할 때, [eqn: vert a vert + vert b vert]의 값은?

▸4점

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

삼차식 [eqn: f(x)]가 다음을 모두 만족시킨다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -3x+2]로 나누었을 때의 나머지는?

05

▸4점

㈎ [eqn: f(0)=5]

㈏ [eqn: f(x+1)=f(x)+x^2]

① [eqn: x]	② [eqn: x+1]	③ [eqn: x+2]

④ [eqn: x+3]	⑤ [eqn: x+4]

다항식 [eqn: f(x)=x^3 +3x^2 -5x+2]를 [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는?

06

▸2점

① [eqn: -16]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 13]일 때, [eqn: (x-2)f(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지는?

07

▸3점

① [eqn: 13]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 39]

다항식 [eqn: f(x)=x^2 -ax+5]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R_1], [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R_2]라 하자. [eqn: R_1 -R_2 =28]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

08

▸4점

① [eqn: -28]	② [eqn: -14]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 14]

이차 이상의 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 6]이고, [eqn: x+3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: -10]이다. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-5)(x+3)]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(1)]의 값은?

09

▸4점

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

다항식 [eqn: f(x)=x^7 +3x^3 +ax-1]이 [eqn: x+1]로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

10

▸3점

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

서

술

형

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 이차식 [eqn: f(x)]가 서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

11

[eqn: f(a)=f(b)=0], [eqn: f(0)=7]

을 만족시킨다. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

▸8점

다음은 나눗셈 [eqn: (4x^3 +6x^2 -12x-11)÷(x+2)]를 조립제법을 이용하여 계산하는 과정을 나타낸 것이다.

12

[eqn: -2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: {BOX{~~~~}}]	[eqn: -11]
		[eqn: {BOX{~~~~}}]	[eqn: 4]	[eqn: 16]
	[eqn: 4]	[eqn: -1]	[eqn: -8]	[eqn: {BOX{~~~~}}]

[eqn: {BOX{~~~~}}] 안에 알맞은 수를 모두 더하면?

▸3점

① [eqn: -15]	② [eqn: -10]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 15]

Ⅰ. 다항식

중단원 평가
다음 식을 인수분해하여라. 13 ▸4점 ⑴ [eqn: x^3 +12x^2 y+48xy^2 +64y^3] ⑵ [eqn: 27x^3 -8y^3] 다항식 [eqn: x^4 +2x^2 -8]을 인수분해하여라. 14 ▸3점 서 술 형 다항식 [eqn: x^4 -18x^2 +81]이 [eqn: (x+a)^2 (x+b)^2]으로 인수분해될 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값을 구하여라. 15 (단, [eqn: a＞b]) ▸8점	다항식 [eqn: (a-b)^3 -b^3]을 인수분해하면? 16 ▸3점 ① [eqn: a(a^2 -3ab+3b^2 )] ② [eqn: a(a^2 +3ab+3b^2 )] ③ [eqn: (a-b)(a^2 +ab+b^2 )] ④ [eqn: (a-2b)(a^2 -ab+b^2 )] ⑤ [eqn: (a-2b)(a^2 -ab-b^2 )] 다음 중 다항식 [eqn: x^3 +2x^2 +2x+1]의 인수인 것은? 17 ▸3점 ① [eqn: x^2 -1] ② [eqn: x^2 +1] ③ [eqn: x^2 -x+1] ④ [eqn: x^2 +x+1] ⑤ [eqn: x^2 +x-1] 다항식 [eqn: f(x)=x^3 +2x^2 +px+q]가 [eqn: x+1]과 [eqn: x-2]를 인수로 가질 때, 다음 중 다항식 [eqn: f(x)]의 또 다른 인수인 것은? 18 ▸3점 ① [eqn: x-4] ② [eqn: x-3] ③ [eqn: x-1] ④ [eqn: x+2] ⑤ [eqn: x+3]

Ⅰ. 다항식
이차식 [eqn: f(x)]에 대하여 다항식 19 [eqn: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k] 가 [eqn: left {f(x) right }^2] 꼴로 인수분해될 때, 상수 [eqn: k]의 값은? ▸4점 ① [eqn: -24] ② [eqn: -5] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 39] ⑤ [eqn: 64] [eqn: x+1]이 다항식 [eqn: ax^4 +bx^3 +cx-a]의 인수일 때, 다음 중 임의의 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 주어진 다항식의 인수가 반드시 될 수 있는 것은? 20 ▸4점 ① [eqn: x+2] ② [eqn: x] ③ [eqn: x-1] ④ [eqn: x-2] ⑤ [eqn: x-3] 부피가 [eqn: (x^3 +7x^2 -17x+9) pi]인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 밑면의 반지름의 길이와 높이가 각각 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 일차식으로 나타내어질 때, 이 원기둥의 겉넓이는? (단, [eqn: x＞1]) 21 ▸4점 ① [eqn: 4pi x(x-1)] ② [eqn: 4pi (x-1)(x+2)] ③ [eqn: 4pi (x-1)(x+4)] ④ [eqn: 4pi (x+1)(x+2)] ⑤ [eqn: 4pi (x+1)(x+4)]	다항식 [eqn: f(x)=x^3 +x^2 -5x+3]일 때, 인수분해를 이용하여 [eqn: f(11)]의 값을 구하면? 22 ▸4점 ① [eqn: 1400] ② [eqn: 1600] ③ [eqn: 1800] ④ [eqn: 2000] ⑤ [eqn: 2200] 서 술 형 [eqn: 1]이 아닌 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 23 [eqn: 3587=15^3 +15^2 -15+2=a times b] 로 나타낼 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. ▸8점 삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 24 [eqn: a^3 +c^3 +a^2 c+ac^2 -ab^2 -b^2 c=0] 인 관계가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? ▸4점 ① 정삼각형 ② [eqn: a=b]인 이등변삼각형 ③ [eqn: b=c]인 이등변삼각형 ④ 빗변의 길이가 [eqn: a]인 직각삼각형 ⑤ 빗변의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형

-2. 나머지정리와 인수분해

Ⅰ

01 ①	02 ②	03 [eqn: 7]	04 ③	05 ⑤

06 ⑤	07 ③	08 ②	09 ①	10 ③

11 [eqn: -8]	12 ①

13 ⑴ [eqn: (x+4y) ^{3}] ⑵ [eqn: (3x-2y)(9x ^{2} +6xy+4y ^{2} )]

14 [eqn: (x ^{2} -2)(x ^{2} +4)]	15 [eqn: 6]	16 ④

17 ④	18 ⑤	19 ③	20 ③	21 ③

22 ①	23 [eqn: 228]	24 ⑤

[eqn: x ^{2} +ax+6][eqn: =bx ^{2} +(bc+2)x+2c]

02

이 식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: b=1,~bc+2=a,~2c=6]

따라서 [eqn: a=5,~b=1,~c=3]이므로

[eqn: a+b+c=9]

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면    [eqn: 1-a-1+b=0]

03

문제 이해

[eqn: a=b]	…… ㉠

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 16+8a+2+b=0]

[eqn: 8a+b+18=0]	…… ㉡

▸3점

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

해결 과정

[eqn: a=-2], [eqn: b=-2]

따라서 주어진 등식은

[eqn: x^4 -2x^3 +x-2=(x+1)(x-2)f(x)]

▸2점

이 등식의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면

답 구하기

[eqn: 81-54+3-2=4f(3)], [eqn: 28=4f(3)]

[eqn: f(3)=7]

▸3점

직선 [eqn: l]의 방정식은   [eqn: y=- 1over2 x+2]

04

이것을 [eqn: x^2 +ay^2 +bx+16=0]에 대입하면

[eqn: x^2 +a LEFT ( - 1over2 x +2 RIGHT )^2 +bx+16=0]

[eqn: left (1+ a over 4 right ) x^2 -(2a-b)x+(4a+16)=0]

이 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: 1+ a over 4 =0], [eqn: 2a-b=0], [eqn: 4a+16=0]

[eqn: a=-4], [eqn: b=-8]

따라서   [eqn: vert a vert + vert b vert =12]

[eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -3x+2]로 나누었을 때의 몫을
[eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

05

[eqn: f(x)][eqn: =(x^2 -3x+2)Q(x)+ax+b]
[eqn: =(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b]

㈎, ㈏에 의하여

[eqn: f(1)=f(0)+0=5], [eqn: f(2)=f(1)+1=6]

이므로

[eqn: f(1)=a+b=5], [eqn: f(2)=2a+b=6]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=1], [eqn: b=4]

따라서 구하는 나머지는    [eqn: x+4]

[eqn: f(4)=13]이므로 [eqn: (x-2)f(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지는

07

[eqn: (4-2)f(4)=2f(4)=2 times 13=26]

[eqn: R_1 =f(1)=6-a]

08

[eqn: R_2 = f(-1)=6+a]

[eqn: R_1 - R_2 = -2a=28]

따라서   [eqn: a=-14]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-5)(x+3)]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

09

[eqn: f(x)=(x-5)(x+3)Q(x)+ax+b]

나머지정리에 의하여

[eqn: f(5)=5a+b=6]	…… ㉠

[eqn: f(-3)=-3a+b=-10]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=2], [eqn: b=-4]

따라서 [eqn: R(x)=2x-4]이므로

[eqn: R(1)=-2]

[eqn: f(a)=f(b)=0]이므로

11

문제 이해

[eqn: f(x)=(x-a)(x-b)]

로 놓자.

▸2점

[eqn: f(0)=7]에서    [eqn: ab=7]

해결 과정

[eqn: a], [eqn: b]는 서로 다른 자연수이므로

[eqn: a=1], [eqn: b=7] 또는 [eqn: a=7], [eqn: b=1]

▸3점

따라서 [eqn: f(x)=(x-1)(x-7)]이므로 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나누었을 때의 나머지는

답 구하기

[eqn: f(5)=4 cdot (-2)=-8]

▸3점

정답 및 해설

중단원 평가

[eqn: -2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: {BOX{`-12``}}]	[eqn: -11]
		[eqn: {BOX{~-8~}}]	[eqn: 4]	[eqn: 16]
	[eqn: 4]	[eqn: -1]	[eqn: -8]	[eqn: {BOX{~``5``~}}]

12

따라서    [eqn: -12+(-8)+5=-15]

[eqn: x^2 =X]로 놓으면

14

[eqn: x^4 +2x^2 -8][eqn: =X^2 +2X-8]

[eqn: =(X-2)(X+4)]

[eqn: =(x^2 -2)(x^2 +4)]

[eqn: x^4 -18x^2 +81]

15

해결 과정

[eqn: =(x^2 -9)^2][eqn: =(x+3)^2 (x-3)^2]

▸4점

이때 [eqn: a＞b]이므로    [eqn: a=3], [eqn: b=-3]

답 구하기

따라서    [eqn: a-b=6]

▸4점

[eqn: (a-b)^3 -b^3]

16

[eqn: = left {(a-b)-b right } left {(a-b)^2 +(a-b)b+b^2 right }]

[eqn: =(a-2b)(a^2 -ab+b^2 )]

[eqn: x^3 +2x^2 +2x+1=(x+1)(x^2 +x+1)]

17

따라서 인수인 것은 ④ [eqn: x^2 +x+1]이다.

[eqn: f(-1)=0], [eqn: f(2)=0]이므로

18

[eqn: -p+q+1=0], [eqn: 2p+q+16=0]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: p=-5], [eqn: q=-6]

주어진 다항식은 [eqn: x^3 +2x^2 -5x-6]이므로

[eqn: x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x-2)(x+3)]

따라서 다항식 [eqn: f(x)]의 또 다른 인수인 것은 ⑤ [eqn: x+3]이다.

[eqn: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k]

19

[eqn: =(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+k]

[eqn: =(x^2 +8x+7)(x^2 +8x+15)+k]

[eqn: x^2 +8x=X]로 놓으면

[eqn: (X+7)(X+15)+k]

[eqn: =X^2 +22X+105+k]

이 식이 완전제곱식이 되려면

[eqn: 105+k=11^2]

따라서    [eqn: k=121-105=16]

[eqn: f(x)=ax^4 +bx^3 +cx-a]로 놓으면 [eqn: x+1]이
다항식 [eqn: f(x)]의 인수이므로    [eqn: f(-1)=0]

20

[eqn: f(-1)=a-b-c-a=0]에서    [eqn: b=-c]

[eqn: ax^4 +bx^3 +cx-a]

[eqn: =ax^4 -cx^3 +cx-a]

[eqn: =a(x^4 -1)-cx(x^2 -1)]

[eqn: =a(x^2 +1)(x^2 -1)-cx(x^2 -1)]

[eqn: =(x^2 -1)(ax^2 -cx+a)]

[eqn: =(x+1)(x-1)(ax^2 -cx+a)]

따라서 인수가 반드시 될 수 있는 것은 ③ [eqn: x-1]이다.

[eqn: (x^3 +7x^2 -17x+9)pi =(x-1)^2 (x+9)pi]이므
로 주어진 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는
[eqn: x-1], 높이는 [eqn: x+9]이다.

21

따라서 구하는 원기둥의 겉넓이는

[eqn: 2pi (x-1)(x+9)+2pi(x-1)^2]

[eqn: =2pi (x-1)(x+9+x-1)]

[eqn: =4pi (x-1)(x+4)]

[eqn: f(x)][eqn: =(x-1)(x^2 +2x-3)]

22

[eqn: =(x-1)^2 (x+3)]

이므로   [eqn: f(11)=10^2 cdot 4=1400]

[eqn: 15=x]로 놓으면

23

문제 이해

▸1점

[eqn: 15^3 +15^2 -15+2]

해결 과정

[eqn: =x^3 +x^2 -x+2]

[eqn: =(x+2)(x^2 -x+1)]

[eqn: 3587=(15+2)(15^2 -15+1)=17 times 211]

▸6점

따라서   [eqn: a+b=228]

답 구하기

▸1점

[eqn: a^3 +c^3 +a^2 c+ac^2 -ab^2 -b^2 c]

24

[eqn: =(a+c)(a^2 -ac+c^2 )+ac(a+c)-b^2 (a+c)]

[eqn: =(a+c) left {(a^2 -ac+c^2 )+ac-b^2 right }]

[eqn: =(a+c)(a^2 +c^2 -b^2 )=0]

[eqn: a+c != 0]이므로

[eqn: a^2 +c^2 -b^2 =0], 즉 [eqn: a^2 +c^2 =b^2]

따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 빗변의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형이다.