-1 다항식의 연산

Ⅰ

중단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 다항식을 [eqn: a]에 대하여 내림차순으로 정리한 것은?

01

▸2점

[eqn: (3a^2 -6ab +2b^2 ) + ( 2a^2 - 3ab -4b^2 )]

① [eqn: -2b^2 -3ab +5a^2]	② [eqn: 5a^2 +3ab -2b^2]

③ [eqn: -2b^2 -9ab +5a^2]	④ [eqn: 5a^2 -9ab -2b^2]

⑤ [eqn: 5a^2 +9ab -2b^2]

다음 다항식을 [eqn: x]에 대하여 오름차순으로 정리한 것은?

02

▸2점

[eqn: (2x^4 +3x^3 -4x+3)-(x^3 +2x -4)]

① [eqn: 2x^4 -2x^3 -6x +7]	② [eqn: 2x^4 +2x^3 +6x -7]

③ [eqn: 7-6x+2x^3 +2x^4]	④ [eqn: 7-6x -2x^3 +2x^4]

⑤ [eqn: 7+6x -2x^3 +2x^4]

다음 식을 간단히 하여라.

03

▸4점

⑴ [eqn: 3(2a+1) -2(a-2)]

⑵ [eqn: 2(x+4)-(x+1)]

⑶ [eqn: 1over2 (x+6) - 1over3 ( x -9)]

⑷ [eqn: a over 3 + {a+5}over 6]

다음 식을 간단히 하여라.

04

▸4점

⑴ [eqn: (6x^2 +3x -2) + ( x^2 +3x -4)]

⑵ [eqn: (x^2 -3x +6) - ( 2x^2 -x +3)]

⑶ [eqn: x^3 +2x^2 +4 + 2(x^3 -3x^2 +4x -7)]

⑷ [eqn: 3x^3 +7x^2 +5x -(2x^3 +6x^2 +1)]

두 다항식

05

[eqn: A=2x^2 +3xy -5y^2], [eqn: B= 3x^2 -xy +4y^2]

에 대하여 [eqn: 3A+2B]를 간단히 하면?

▸4점

① [eqn: 6x^2 -7xy -7y^2]	② [eqn: 6x^2 +2xy -y^2]

③ [eqn: 12x^2 +2xy -7y^2]	④ [eqn: 12x^2 -7xy -y^2]

⑤ [eqn: 12x^2 +7xy -7y^2]

서

술

형

다항식 [eqn: 2x^3 -7x +2]에 어떤 식을 빼야 할 것을 잘못하여 더했더니 그 결과가 [eqn: 4x^3 +2x+7]이 되었다. 바르게 계산한 답을 구하여라.

06

▸6점

[eqn: x=a^2 +b^2], [eqn: y= a^2 -b^2]일 때, [eqn: {(x+y)-(x-y)}over4]을 간단히 하면? 07 ▸3점 ① [eqn: {a^2 +b^2 }over 4] ② [eqn: {a^2 - b^2 }over 4] ③ [eqn: a^2 -b^2] ④ [eqn: {a^2 +b^2 }over 2] ⑤ [eqn: {a^2 -b^2 }over 2] 두 다항식 08 [eqn: A= x^3 -xy^2 +3y^3], [eqn: B= 3x^3 -4xy^2] 에 대하여 [eqn: 2A+X = B]를 만족시키는 다항식 [eqn: X]는? ▸3점 ① [eqn: x^3 +2xy^2 -6x^3] ② [eqn: x^3 -2xy^2 -6y^3] ③ [eqn: 3x^3 -2xy^2 -6y^3] ④ [eqn: 3x^3 +2xy^2 -6y^3] ⑤ [eqn: x^3 -2xy^2 +6y^3] 임의의 두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A◎B=A-3B]로 정의할 때, 09 [eqn: (x^2 -xy + 3y^2 ) ◎ ( 3x^2 +2xy -y^2 )] 을 간단히 하면? ▸4점 ① [eqn: 8x^2 +7xy -6y^2] ② [eqn: 8x^2 +7xy +6y^2] ③ [eqn: -8x^2 -7xy +6y^2] ④ [eqn: -8x^2 +7xy +6y^2] ⑤ [eqn: -8x^2 -7xy -6y^2]	다음 식을 전개하여라. 10 ▸4점 ⑴ [eqn: (2x+3)^2] ⑵ [eqn: (3x+y)(3x-y)] ⑶ [eqn: (x-5)^3] ⑷ [eqn: (3x+1)(9x^2 -3x +1)] [eqn: a+b=4], [eqn: ab=-5]일 때, 다음 식의 값을 구하여라. 11 ▸4점 ⑴ [eqn: a^2 +b^2] ⑵ [eqn: a^3 +b^3] [eqn: (1-2x+3x^2 )^2]에서 [eqn: x^3]의 계수는? 12 ▸3점 ① [eqn: -14] ② [eqn: -12] ③ [eqn: -10] ④ [eqn: -8] ⑤ [eqn: -6]

Ⅰ. 다항식

중단원 평가
[eqn: x+y+z=1], [eqn: xy+yz+zx=2], [eqn: xyz=3]일 때, 13 [eqn: (1-x)(1-y)(1-z)]의 값은? ▸4점 ① [eqn: -4] ② [eqn: -3] ③ [eqn: -2] ④ [eqn: -1] ⑤ [eqn: 0] [eqn: a+b+c=2], [eqn: a^2 +b^2 +c^2 = 6], [eqn: abc=4]일 때, 14 [eqn: a^3 +b^3 +c^3]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 26] ② [eqn: 28] ③ [eqn: 30] ④ [eqn: 32] ⑤ [eqn: 34] 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: 16`\cm], [eqn: 10`\cm]인 직사각형 모양의 두꺼운 종이의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 [eqn: x`\cm]인 정사각형 [eqn: 4]개를 잘라 내고, 나머지 부분을 접어서 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들었다. 이 상자의 부피를 [eqn: x]에 관한 다항식으로 나타내어라. 15 ▸4점	둘레가 [eqn: 32]이고 넓이가 [eqn: 56]인 직사각형의 대각선의 길이는? 16 ▸4점 ① [eqn: 11] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 15] 서 술 형 오른쪽 그림과 같이 서로 외접하는 작은 두 구가 반지름의 길이가 [eqn: 9]인 큰 구에 내접하고 있다. 작은 두 구의 부피의 합이 [eqn: 324pi]일 때, 작은 두 구의 겉넓이의 합을 구하여라. 17 ▸8점 서 술 형 삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 18 [eqn: (a+b+c )(a-b+c)][eqn: =(a+b-c)(-a+b+c)] 인 관계가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하여라. ▸8점

Ⅰ. 다항식

[eqn: (6x^5 y^2 - 12 x^2 y^4 ) div ax^2 y = 3 x^b y -cy^d]일 때,

19

[eqn: a+b+c+d]의 값은?

▸3점

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

다음은 다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -2x+5]를 [eqn: x ^{2} +x+2]로 나누는 과정이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: a+b+c+d]의 값을 구하여라.

20

▸3점

		[eqn: ax]	[eqn: +2]
[eqn: x ^{2} +x+2]	)	[eqn: x ^{3}]	[eqn: +3x ^{2}]	[eqn: -2x]	[eqn: +5]
		[eqn: x ^{3}]	[eqn: +~x ^{2}]	[eqn: +bx]
			[eqn: cx ^{2}]	[eqn: -4x]	[eqn: +5]
			[eqn: 2x ^{2}]	[eqn: +2x]	[eqn: +4]
				[eqn: dx]	[eqn: +1]

다항식 [eqn: 2x^3 -5x^2 +3]을 다항식 [eqn: x^2 -2x]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라 하자. 이때 [eqn: Q(2) + R(0)]의 값은?

21

▸4점

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: 2x-5]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: x ^{2} +2x+1]이고 나머지가 [eqn: 3]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

22

▸3점

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

서

술

형

다항식 [eqn: 4x^3 +2x^2 -3x +5]를 다항식 [eqn: f(x)]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: 4x+10]이고, 나머지가 [eqn: x-35]일 때, 다항식 [eqn: f(x)]와 [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

23

▸8점

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x- {1} over {2}]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라 할 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: 2x-1]로 나눈 몫과 나머지를 차례로 구하면?

24

① [eqn: Q(x)], [eqn: R]	② [eqn: {1} over {2} Q(x)], [eqn: R]

③ [eqn: 2Q(x)], [eqn: R]	④ [eqn: {1} over {2} Q(x)], [eqn: {1} over {2} R]

⑤ [eqn: Q(x)], [eqn: 2R]

-1. 다항식의 연산

Ⅰ

01 ④	02 ③	03 해설 참조

04 해설 참조	05 ⑤	06 [eqn: -16x -3]

07 ⑤	08 ②	09 ③	10 해설 참조

11 ⑴ [eqn: 26] ⑵ [eqn: 124] 12 ②	13 ④	14 ①

15 [eqn: 4x ^{3} -52x ^{2} +160x]	16 ②	17 [eqn: 180pi]

18 해설 참조	19 ④	20 [eqn: -1]	21 ③

22 ⑤	23 해설 참조	24 ②

[eqn: (3a^2 -6ab +2b^2 ) + (2a^2 -3ab -4b^2 )]

01

[eqn: = 5a^2 -9ab -2b^2]

[eqn: (2x^4 +3x^3 -4x +3) -(x^3 +2x -4)]

02

[eqn: =2x^4 +2x^3 -6x +7][eqn: = 7 - 6x +2x^3 +2x^4]

⑴ [eqn: 3(2a+1)-2(a-2)][eqn: = 4a+7]

03

⑵ [eqn: 2(x+4)-(x+1)][eqn: =2x+8-x-1 = x+7]

⑶ [eqn: 1over2 (x+6) - 1 over 3 ( x -9)][eqn: = 1 over 6 x + 6]

⑷ [eqn: a over 3 + {a +5}over 6][eqn: = {2a + a +5} over 6][eqn: = {3a+5}over 6]

⑴ [eqn: (6x^2 +3x -2) + (x^2 +3x -4)]

04

[eqn: = 7x^2 +6x -6]

⑵ [eqn: (x^2 -3x +6 ) -(2x^2 -x +3)]

[eqn: = -x^2 -4x +9]

⑶ [eqn: x^3 +2x^2 +4 + 2(x^3 -3x^2 +4x -7)]

[eqn: = 3x^3 -4x^2 +8x -10]

⑷ [eqn: 3x^3 +7x^2 +5x - ( 2x^3 +6x^2 +1)]

[eqn: =x^3 +x^2 +5x -1]

[eqn: 3A+2B]

05

[eqn: = 3(2x^2 +3xy -5y^2 ) +2(3x^2 -xy +4y^2 )]

[eqn: = 12x^2 +7xy -7y^2]

다항식 [eqn: 2x^3 -7x +2]에서 잘못 더한 어떤 식을 [eqn: X]라 하면

06

해결 과정

[eqn: 2x^3 -7x +2 +X = 4x^3 +2x +7]

이므로    [eqn: X=2x^3 +9x +5]

▸4점

따라서 바르게 계산한 답은

답 구하기

[eqn: 2x^3 -7x +2 -(2x^3 +9x +5)][eqn: = -16x -3]

▸2점

[eqn: x= a^2 +b^2], [eqn: y= a^2 -b^2]에서

07

[eqn: x+y=2a^2], [eqn: x-y = 2b^2]이므로

[eqn: (x+y)-(x-y)}over 4 = {2a^2 -2b^2}over4 = {a^2 -b^2}over 2]

[eqn: A= x^3 -xy^2 +3y^3], [eqn: B= 3x^3 -4xy^2]이므로

08

[eqn: 2A+X=B]에서

[eqn: 2(x^3 -xy^2 +3y^3 ) +X=3x^3 -4xy^2]

따라서    [eqn: X= x^3 -2xy^2 -6y^3]

[eqn: A◎B = A-3B]이므로

09

[eqn: (x^2 -xy +3y^2 ) ◎ (3x^2 +2xy -y^2 )]

[eqn: = (x^2 -xy +3y^2 ) - 3 ( 3x^2 +2xy -y^2 )]

[eqn: = -8x^2 -7xy +6y^2]

⑴ [eqn: (2x +3 )^2 = 4x^2 +12x +9]

10

⑵ [eqn: (3x +y)(3x-y) = 9x^2 -y^2]

⑶ [eqn: (x-5)^3 = x^3 -15x ^2 +75x -125]

⑷ [eqn: (3x +1 )(9x^2 -3x +1)= 27x^3 +1]

⑴ [eqn: a^2 +b^2][eqn: = (a+b)^2 -2ab][eqn: =26]

11

⑵ [eqn: a^3 +b^3][eqn: = (a+b)^3 -3ab(a+b)][eqn: =124]

[eqn: (1-2x+3x^2 )^2]을 전개하였을 때, [eqn: x^3]항이 나오

12

는 것은    [eqn: 3x^2 times (-2x)], [eqn: -2x times3x^2]

즉, [eqn: x^3]의 계수는 [eqn: -12]이다.

[eqn: (1-x)(1-y)(1-z)]

13

[eqn: = 1 -(x+y+z) +(xy +yz+zx) - xyz]

[eqn: = 1-1 +2 -3 = -1]

[eqn: a+b+c=2], [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =6]에서

14

[eqn: a^2 +b^2 +c^2 = (a+b+c)^2 - 2 (ab+bc+ca)]

이므로    [eqn: ab+bc+ca = -1]

[eqn: a^3 +b^3 +c^3]

[eqn: = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)+3abc]

[eqn: = 2 cdot left{ 6 - (-1) right} + 3 cdot 4 = 26]

정답 및 해설

중단원 평가

잘라 내는 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: x`\cm]이므로 상자의 부피를 [eqn: V(x)]라 하면

15

[eqn: V(x)][eqn: = x(16-2x)(10-2x)]
[eqn: =4x ^{3} -52x ^{2} +160x]

가로의 길이를 [eqn: x], 세로의 길이를 [eqn: y]라 하면

16

둘레의 길이가 [eqn: 32]이고, 넓이가 [eqn: 56]이므로

[eqn: x+y = 16], [eqn: xy = 56]

대각선의 길이를 [eqn: a]라 하면

[eqn: a= sqrt {x ^{2} +y ^{2}} = sqrt {(x+y) ^{2} -2xy}]

[eqn: = sqrt {16 ^{2} -2 CDOT 56} = sqrt {256-112} =12]

작은 두 구의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면

17

문제 이해

[eqn: a+b =9]

▸2점

작은 두 구의 부피의 합이 [eqn: 324pi]이므로

[eqn: 4 over 3 pi (a^3 +b^3 ) = 324 pi]

[eqn: a^3 +b^3 = 243]

▸2점

[eqn: a^3 +b^3 = (a+b)^3 -3ab(a+b)]에서

해결 과정

[eqn: 243 = 9^3 -3 ab cdot 9]

[eqn: ab= 18]

▸2점

따라서 작은 두 구의 겉넓이의 합은

답 구하기

[eqn: 4pi(a^2 +b^2 )][eqn: =180pi]

▸2점

주어진 등식을 정리하면

해결 과정

18

[eqn: (a+c)^2 - b^2 = b^2 - (a-c)^2]

▸3점

[eqn: a^2 +2ac +c^2 -b^2 = b^2 -a^2 +2ac -c^2]

[eqn: 2a^2 +2c^2 = 2b^2], 즉    [eqn: a^2 +c^2 = b^2]

▸3점

따라서 주어진 등식을 만족시키는 삼각형은 빗변의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형이다.

답 구하기

▸2점

[eqn: (6x^5 y^2 -12x^2 y^4 ) div ax^2 y][eqn: = 6 over a x^3 y - 12 over a y^3]

19

[eqn: = 3x^b y - cy^b]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=3], [eqn: c=6], [eqn: d=3]이므로

[eqn: a+b+c+d=14]

[eqn: a=1], [eqn: b=2], [eqn: c=2], [eqn: d=it-6]이므로

20

[eqn: a+b+c+d=it-1]

		[eqn: 2x]	[eqn: -1]
[eqn: x^2 -2x]	)	[eqn: 2x^3]	[eqn: -5x^2]	[eqn: ~~~~+3]
		[eqn: 2x^3]	[eqn: -4x^2]
			[eqn: -x^2]	[eqn: ~~~~+3]
			[eqn: -x^2]	[eqn: +2x]
				[eqn: -2x +3]

21

따라서 [eqn: Q(x)=2x-1], [eqn: R(x)=-2x+3]이므로

[eqn: Q(2)+R(0) = 3+3=6]

[eqn: f(x)=(2x-5)(x ^{2} +2x+1)+3]이므로

22

[eqn: f(1)=(2-5)(1+2+1)+3=9]

다항식 [eqn: 4x^3 +2x^2 -3x +5]를 다항식 [eqn: f(x)]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: 4x+10]이고, 나머지가 [eqn: x-35]이므로

23

해결 과정

[eqn: 4x^3 +2x^2 -3x +5]

[eqn: = f(x)(4x+10) + x-35]

▸4점

따라서

답 구하기

[eqn: f(x)]

[eqn: = left{ 4x^3 +2x^2 -3x +5 - (x-35) right}div (4x+10)]

[eqn: = x^2 -2x +4]

이므로

[eqn: f(2)=2 ^{2} -2 CDOT 2+4=4]

▸4점

[eqn: f(x)= LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) Q(x)+R]

24

[eqn: = {1}over{2}(2x-1)Q(x)+R]

[eqn: =(2x-1)⋅{1}over{2}Q(x)+R]

따라서 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: {1}over{2}Q(x)]이고, 나머지는 [eqn: R]이다.