수준별

문제

절대부등식

04

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

이차부등식 [eqn: x ^{2} +kx+9>0]이 [eqn: x]에 대한 절대부등식이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

01

다음은 [eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 부등식

03

[eqn: {a+b} over {2} GEQ sqrt {ab}]가 성립함을 증명하는 과정이다. [eqn: box~~] 안에 알맞은 것을 써넣어라.

[eqn: {a+b} over {2} - {BOX{~~~~}}]

[eqn: = {a+b- {BOX{~~}} sqrt {ab}} over {2}]

[eqn: = {LEFT ( sqrt {a} RIGHT ) ^{2} -2 sqrt {a} sqrt {b} + LEFT ( ` {BOX{~~~}} ` RIGHT ) ^{2}} over {2}]

[eqn: = {LEFT ( sqrt {a} - {BOX{~~~}} ` RIGHT ) ^{2}} over {2} GEQ 0]

따라서    [eqn: {a+b} over {2} GEQ sqrt {ab}]

(단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

[eqn: a], [eqn: b]가 실수일 때, 부등식 [eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ -ab]가 성립함을 증명하여라.

02

[eqn: a>0]일 때, 다음 식의 최솟값을 구하여라.

04

⑴ [eqn: a+ {1} over {a}]

⑵ [eqn: 9a+ {4} over {a}]

수준별

문제

절대부등식

04

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

부등식 [eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | LEQ LEFT | a-b RIGHT |]가 성립함을 증명하여라.

01

대각선의 길이가 [eqn: 10]인 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하여라.

03

[eqn: x>0], [eqn: y>0]일 때, [eqn: LEFT ( x+ {4} over {y} RIGHT ) LEFT ( y+ {16} over {x} RIGHT ) ``]은

02

[eqn: xy=a]에서 최솟값 [eqn: b``]를 갖는다. 이때 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

실수 [eqn: x], [eqn: y]가 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =13]을 만족시킬 때,

04

[eqn: 2x+3y]의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하여라.

수준별

문제

절대부등식

04

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

세 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 부등식 [eqn: (x+y)(y+z)(z+x)-kxyz ge 0]이 절대부등식이 되게 하는 상수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

01

다음은 임의의 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]와 [eqn: a+b=1], [eqn: 0 le a le 1]을 만족하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

02

[eqn: |`ax+by`| le sqrt{ax^2`+by^2}]

임을 증명한 것이다.

[eqn: &|`ax+by`| ^{2} - LEFT ( sqrt {ax ^{2} `+by ^{2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = & ax ^{2} `(a-1)+by ^{2} ` {BOX{~㈎~}} +2abxy]

[eqn: = & {BOX{~㈏~}} `a(a-1)]

[eqn: 0 le a le 1]이므로 [eqn: a(a-1)le 0]이다.

따라서   [eqn: &|`ax+by`| ^{2} - LEFT ( sqrt {ax ^{2} `+by ^{2}} RIGHT ) ^{2} le0]

즉, [eqn: |`ax+by`| le sqrt{ax^2`+by^2}]이다.

㈎에 알맞은 식을 [eqn: f(a)], ㈏에 알맞은 식을 [eqn: g(x,~y)]라 할 때, [eqn: f(5)+g(3,~6)]의 값을 구하여라.

Ⅳ-2. 명제 절대부등식 04 01 [eqn: {bold{-6<k<6}}] 답 02 풀이 참조 답 [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} = LEFT ( a+ {b} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {4} b ^{2}] [eqn: LEFT ( a+ {b} over {2} RIGHT ) ^{2} GEQ 0], [eqn: {3} over {4} b ^{2} GEQ 0]이므로 [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} GEQ 0`] 따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ -ab] (단, 등호는 [eqn: a=b=0]일 때 성립한다.) 03 [eqn: bold{ sqrt {ab}], [eqn: bold2], [eqn: {bold{sqrt {b}}}], [eqn: {bold{sqrt {b}}}] 답 04 ⑴ [eqn: bold2] ⑵ [eqn: {bold{12}}] 답 01 풀이 참조 답 (ⅰ) [eqn: LEFT | a RIGHT | GEQ LEFT | b RIGHT |]일 때, [eqn: LEFT | a-b RIGHT | ^{2} - LEFT ( LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | RIGHT ) ^{2}][eqn: =2 LEFT ( LEFT | ab RIGHT | -ab RIGHT ) GEQ 0] 이때 [eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | GEQ 0], [eqn: LEFT | a-b RIGHT | GEQ 0]이므로 [eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | LEQ LEFT | a-b RIGHT |] (ⅱ) [eqn: LEFT | a RIGHT | < LEFT | b RIGHT |]일 때, [eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | <0 LEQ LEFT | a-b RIGHT |] (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | LEQ LEFT | a-b RIGHT |] (단, 등호는 [eqn: ab GEQ 0]일 때 성립한다.) 02 [eqn: bold{44] 답 [eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 [eqn: LEFT ( x+ {4} over {y} RIGHT ) LEFT ( y+ {16} over {x} RIGHT ) ``][eqn: =xy+16+4+ {64} over {xy}] [eqn: GEQ 20+2 sqrt {xy``·`` {64} over {xy}}][eqn: =36] 등호는 [eqn: xy= {64} over {xy} ``]일 때 성립하므로 [eqn: (`xy) ^{2} =64] [eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 [eqn: xy=8] 따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=36]이므로 [eqn: a+b=8+36=44]	03 [eqn: bold50] 답 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y]라 하면 [eqn: sqrt {x ^{2} +y ^{2}} =10], 즉 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =100] [eqn: x ^{2} >0], [eqn: y ^{2} >0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 [eqn: x ^{2} +y ^{2} GEQ 2 sqrt {x ^{2} ``·``y ^{2}} =2xy], [eqn: 100 GEQ 2xy] [eqn: xy LEQ 50] (단, 등호는 [eqn: x=y]일 때 성립한다.) 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 [eqn: 50]이다. 04 [eqn: bold-169] 답 [eqn: (2 ^{2} +3 ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} ) GEQ (2x+3y) ^{2}] [eqn: x ^{2} +y ^{2} =13]이므로 [eqn: 169 GEQ (2x+3y) ^{2} `] [eqn: -13 LEQ 2x+3y LEQ 13] (단, 등호는 [eqn: x= {y} over {2}]일 때 성립한다.) 따라서 구하는 곱은 [eqn: 13``·``(-13)=-169] 01 [eqn: bold8] 답 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 [eqn: x+y` GEQ 2 sqrt {xy}] (등호는 [eqn: x=y]일 때 성립) [eqn: y+z` GEQ 2 sqrt {yz} `] (등호는 [eqn: y=z]일 때 성립) [eqn: z+x` GEQ 2 sqrt {zx}] (등호는 [eqn: z=x]일 때 성립) 이므로 [eqn: (x+y)(y+z)(z+x)` GEQ `2 sqrt {xy} ``·``2 sqrt {yz} ``·``2 sqrt {zx}] [eqn: =8xyz] 여기서 등호가 성립하는 경우는 [eqn: x=y=z]일 때이다. 따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 8]이다. 02 [eqn: bold4] 답 [eqn: LEFT | ax+by RIGHT |^2 - left (sqrt {ax^2 +by^2} right)^{2}] [eqn: =(a^2`x^2`+2abxy+b^2`y^2`)- LEFT (ax ^{2} `+by ^{2}right)] [eqn: =&ax^2`(a-1)+by^2`(b-1)+2abxy] [eqn: =&ax^2`(a-1)+(1-a)y^2`(-a)+2a(1-a)xy] [eqn: =&left(x^2`-2xy+y^2right)a(a-1)][eqn: =&(x-y)^2`a(a-1)] [eqn: a+b=1]이므로 [eqn: f(a)=b-1=1-a-1=-a] [eqn: g(x,~y)=(x-y)^2`] 따라서 [eqn: f(5)+g(3,~6)=-5+(3-6)^2`=4]

정답 및 해설

수준별 문제