수준별

문제

충분조건과 필요조건

03

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음에서 조건 [eqn: p]는 조건 [eqn: q]이기 위한 무슨 조건인지 말하여라.

01

⑴ [eqn: p:`x=5]	[eqn: q:` x^2 -25=0]

⑵ [eqn: p:` LEFT | x RIGHT | + LEFT | y RIGHT | =0]	[eqn: q:` x^2 +y^2 =0]

[eqn: -5 LEQ x LEQ 7]는 [eqn: x GEQ a]이기 위한 충분조건일 때, [eqn: a]의 최댓값을 구하여라.

03

다음 중 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a `=` b`=` 0]이기 위한 필요충분조건인 것만을 모두 골라라.

02

⑴ [eqn: ab=0]

⑵ [eqn: a+b=0]

⑶ [eqn: a ^{2}+b ^{2} =0]

⑷ [eqn: LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | =``0]

전체집합 [eqn: U]에서 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자. [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건일 때, 두 집합 [eqn: P], [eqn: Q] 사이의 포함 관계를 말하여라.

04

수준별

문제

충분조건과 필요조건

03

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

두 조건

01

[eqn: p`:`(x-3) ^{2} `=a], [eqn: q`:`x=0] 또는[eqn: ~x=b]

에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: 50]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 54]

[eqn: x-2 != 0]은 [eqn: x ^{2} +ax-10 != 0]이기 위한 필요조건일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은?

03

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 다음과 같을 때, □ 안에 충분, 필요, 필요충분 중에서 가장 알맞은 것을 각각 써넣어라. (단, [eqn: x], [eqn: y]는 실수)

02

⑴ 조건 [eqn: 'p`:`|x-1|` LEQ 2']는 조건 [eqn: 'q`:] [eqn: x]는 [eqn: 3]의 약수이다.’가 되기 위한 조건이다.

⑵ 조건 [eqn: 'p`:`x ^{2} `+y ^{2} `=2xy']는 조건

[eqn: 'q`:`2y+(2x+y)i=x+y+3 x`i ']가 되기 위한 조건이다.

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이고, [eqn: ～q]는 [eqn: ～r]이기 위한 충분조건이다. 다음 물음에 답하여라.

04

⑴ 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라 할 때, 세 집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R] 사이의 포함 관계를 말하여라.

⑵ [eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 어떤 조건인지 말하여라.

수준별

문제

충분조건과 필요조건

03

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

자연수 [eqn: x]에 대하여 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]가

01

[eqn: p`:`2x ^{2} `-7x>22], [eqn: q`:`3x+2>7], [eqn: r`:`x>k]

일 때, [eqn: p]는 [eqn: r]이기 위한 충분조건이고, [eqn: q]는 [eqn: r]이기 위한 필요조건이 되는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 구하여라.

네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]에 대하여 [eqn: SIM q`]는 [eqn: SIMp]이기 위한 충분조건이고 [eqn: s]는 [eqn: r]이기 위한 필요조건이다. 다음 중 명제 [eqn: p~ -> ~s]가 참이 되게 하기 위해 필요한 조건인 것을 모두 골라라.

02

⑴ [eqn: p~ RARROW ~q]	⑵ [eqn: q~ RARROW ~s]	⑶ [eqn: r~ RARROW ~q]	⑷ [eqn: SIM r~ RARROW ~ SIM q]

Ⅳ-2. 명제 충분조건과 필요조건 03 01 ⑴ 충분조건 ⑵ 필요충분조건 답 02 ⑶, ⑷ 답 03 [eqn: bold{-5] 답 04 [eqn: bold{Q SUBSET P] 답 01 [eqn: bold{54] 답 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하면 [eqn: P =Q] [eqn: (0-3) ^{2} `=a], 즉 [eqn: a=9] [eqn: (x-3)^2`=9]이므로 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=6] 즉, [eqn: b=6] 따라서 [eqn: ab=54] 02 ⑴ 필요 ⑵ 필요충분 답 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하면 ⑴ [eqn: P= LEFT{x`|`-1 leq x leq 3 right}], [eqn: Q=left{1,~3right}]이므로 [eqn: Q subset P]이다. 따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 조건이다. 필요 ⑵ [eqn: x^2`+y^2`-2xy=(x-y)^2`=0]에서 [eqn: x=y] 즉, [eqn: P= LEFT{(x,~y)`|x=y`right}] [eqn: 2y=x+y], [eqn: 2x+y=3x]에서 [eqn: x=y] 즉, [eqn: Q= LEFT { (x,~y)`|x=y` RIGHT }] 따라서 [eqn: P = Q]이므로 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 조건이다. 필요충분 03 ③ 답 [eqn: x-2 != 0]은 [eqn: x ^{2} +ax-10 != 0]이기 위한 필요조건이므로 명제 ‘[eqn: x ^{2} +ax-10 != 0]이면 [eqn: x-2 != 0]이다.’는 참이다. 따라서 이 명제의 대우 ‘[eqn: x=2]이면 [eqn: x ^{2} +ax-10=0]이다.’도 참이다. 즉, [eqn: 2 ^{2} +2a-10`=`0]이므로 [eqn: a`=`3]	04 ⑴ [eqn: bold{R SUBSET Q SUBSET P] ⑵ 충분조건 답 ⑴ [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q subset P] [eqn: ～q]는 [eqn: ～r]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: Q ^{C} SUBSET R ^{C}], 즉 [eqn: R SUBSET Q] 따라서 세 집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R] 사이의 포함 관계는 [eqn: R SUBSET Q SUBSET P] ⑵ [eqn: R SUBSET P]이므로 [eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 충분조건이다. 01 [eqn: bold15] 답 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라 하면 [eqn: P SUBSET R]이고 [eqn: R subset Q]이므로 [eqn: P subset R subset Q]가 성립한다. 한편, [eqn: 2x^2`-7x-22=(2x-11)(x+2)]에서 [eqn: P= LEFT { x` LEFT | x> {11} over {2} ,~x는~자연수 RIGHT } RIGHT .] [eqn: = LEFT { 6,~7,~8,~ CDOTS RIGHT }] [eqn: Q= LEFT { x LEFT | x> {5} over {3} ,~x는~자연수 RIGHT } RIGHT . = LEFT { 2,~3,~4,~ CDOTS RIGHT }] [eqn: R= LEFT { x|x>k,~x는~자연수 RIGHT }] [eqn: = LEFT { k+1,~k+2,~k+3,~ CDOTS RIGHT }] 이므로 [eqn: LEFT { 6,~7,~8,~ CDOTS RIGHT } SUBSET LEFT { k+1,~k+2,~k+3,~ CDOTS RIGHT }] [eqn: SUBSET LEFT { 2,~3,~4,~ CDOTS RIGHT }] 따라서 [eqn: k=1,~2,~3,~4,~5]이므로 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 15]이다. 02 ⑵, ⑷ 답 [eqn: SIM q~ RARROW ~ SIM p], [eqn: r~ RARROW ~s]이므로 조건을 추가하여 명제 [eqn: p~ -> ~s]가 참이 되게 하는 방법은 다음과 같은 세 가지 경우가 있다. [eqn: SIM q~ RARROW ~ SIM p]에서 [eqn: p~ RARROW ~q]도 참이므로 (ⅰ) [eqn: p~ RARROW ~q,~ {q~ RARROW~r}} ,~r~RARROW ~s]이면 [eqn: p~ RARROW ~s] (ⅱ) [eqn: p~ RARROW ~q,~q~ RARROW ~s]이면 [eqn: p~ RARROW ~s] (ⅲ) [eqn: p~ RARROW ~r,~r~ RARROW ~s]이면 [eqn: p~ RARROW ~s] 따라서 명제 [eqn: p~ -> ~s]가 참이 되게 하기 위해서는 [eqn: q~ RARROW ~r,~q~ RARROW ~s,~p~ RARROW ~r] 중 하나 또는 각각의 대우 [eqn: SIM r~ RARROW ~ SIM q,~ SIM s~ RARROW ~ SIM q], [eqn: SIM r~ RARROW ~ SIM p] 중 하나가 필요하다.

정답 및 해설

수준별 문제