수준별

문제

명제의 역과 대우

02

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 [eqn: box~~] 안에 알맞은 것을 써넣어라.

01

⑴ 명제 [eqn: q ``->`` p]의 역은 [eqn: {BOX{~~~}} ~ -> ~q]이다.

⑵ 명제 [eqn: p~->~q]의 대우는 [eqn: {BOX{~~~}} ~ -> ~～p]이다.

⑶ 명제 [eqn: SIM p~ -> ~q]의 역은 [eqn: q~ -> ~ {BOX{~~~}}]이다.

⑷ 명제 [eqn: SIM q~ -> ~ SIM p]의 대우는 [eqn: p~ -> ~ {BOX{~~~}}]이다.

다음 중 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 명제 ‘[eqn: ab]가 짝수이면 [eqn: a] 또는 [eqn: b]가 짝수이다.’가 참임을 증명하는 방법으로 옳은 것은?

03

① [eqn: a=3], [eqn: b=4]라 하면 [eqn: ab=12]는 짝수이므로 주어진 명제는 참이다.

② 예를 들어 [eqn: ab=6]이면 [eqn: (a=2,~b=3)] 또는 [eqn: (a=3,~b=2)] 또는 [eqn: (a=1,~b=6)] 또는 [eqn: (a=6,~b=1)]이므로 주어진 명제는 참이다.

③ [eqn: a]가 짝수이면 [eqn: ab]는 짝수이고 [eqn: b]가 짝수이면 [eqn: ab]는 짝수이므로 주어진 명제는 참이다.

④ 역 ‘[eqn: a] 또는 [eqn: b]가 짝수이면 [eqn: ab]는 짝수이다.’가 참이므로 주어진 명제는 참이다.

⑤ 대우 ‘[eqn: a]와 [eqn: b]가 모두 홀수이면 [eqn: ab]는 홀수이다.’가 참이므로 주어진 명제는 참이다.

명제 ‘[eqn: x]가 [eqn: 6]의 배수이면 [eqn: x]는 [eqn: 3]의 배수이다.’의 역과 대우를 말하여라.

02

다음은 대우를 이용하여 명제 ‘실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2 =0]이면 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이다.’임을 증명하는 과정이다. [eqn: box~~] 안에 알맞은 것을 써넣어라.

04

주어진 명제의 대우는

‘실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a!=0] 또는 [eqn: b!=0]이면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} !=0]이다.’

(ⅰ) [eqn: a!=0]이면

[eqn: a^2 >0]이고 [eqn: b ^{2} ` {BOX{~~}} `0]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} >box~~]

즉, [eqn: a ^{2} +b ^{2} !=0]이다.

(ⅱ) [eqn: b!=0]이면

[eqn: b ^{2} ` {BOX{~~}} `0]이고 [eqn: a ^{2} GEQ 0]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} ` {BOX{~~}} `0]

즉, [eqn: a ^{2} +b ^{2} !=0]이다.

따라서 주어진 명제의 [eqn: box~~~~~]가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

수준별

문제

명제의 역과 대우

02

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 ‘[eqn: a]와 [eqn: b]가 모두 유리수이면 [eqn: a+b]도 유리수이다.’의 대우는?

01

① [eqn: a]와 [eqn: b]가 모두 무리수이면 [eqn: a+b]도 무리수이다.

② [eqn: a+b]가 유리수이면 [eqn: a]와 [eqn: b]도 모두 유리수이다.

③ [eqn: a+b]가 유리수이면 [eqn: a]와 [eqn: b] 중 적어도 하나는 유리수이다.

④ [eqn: a+b]가 무리수이면 [eqn: a]와 [eqn: b] 중 적어도 하나는 무리수이다.

⑤ [eqn: a]나 [eqn: b]가 무리수이면 [eqn: a+b]는 무리수이다.

전체집합 [eqn: U=left{x`|`x]는 [eqn: 6] 이하의 자연수[eqn: "}"]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하자. 조건 [eqn: p]가 다음과 같을 때, 명제 [eqn: sim q~->~ p]의 대우가 참이 되게 하는 집합 [eqn: Q]의 개수를 구하여라.

03

[eqn: p:~x]는 [eqn: 3]의 약수이다.

명제 [eqn: ～p~ -> ~q]가 참일 때, 다음 명제 중에서 항상 참인 것은?

02

① [eqn: p~ -> ~q]	② [eqn: q~->~p]

③ [eqn: q~->~ ～p]	④ [eqn: ～q~ -> ~p]

⑤ [eqn: ～q~ ->~～p]

대우를 이용하여 다음 명제를 증명하여라.

04

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y` ge `2]이면 [eqn: x ge 1] 또는 [eqn: y ge 1]이다.

수준별

문제

명제의 역과 대우

02

Ⅳ-2. 명제

(       )반  (         )번

이름 (               )

한쪽 면에는 자연수, 다른 쪽 면에는 영문자가 적혀있는 카드가 있다. ‘이 카드가 한쪽 면에 소수가 적혀있으면 다른 쪽 면에 모음이 적혀있다.’는 규칙을 따른다. 한쪽 면에 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f]가 적혀있는 카드 [eqn: 10]개가 있을 때, 이 카드가 규칙을 따르는지 확인하기 위해 반드시 뒤집어 보아야 하는 카드의 개수를 구하여라.

01

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 모두 정수일 때, [eqn: a ^{2}`+b^2`=c^2]이면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 적어도 하나는 [eqn: 3]의 배수임을 증명하여라.

02

Ⅳ-2. 명제 명제의 역과 대우 02 01 ⑴ [eqn: bold{p] ⑵ [eqn: {bold{SIM p}}] ⑶ [eqn: {bold{SIM p}}] ⑷ [eqn: bold{q] 답 02 역: [eqn: bold{x]가 [eqn: bold{3]의 배수이면 [eqn: bold{x]는 [eqn: bold{6]의 배수이다. 답 대우: [eqn: bold{x]가 [eqn: bold{3]의 배수가 아니면 [eqn: bold{x]는 [eqn: bold{6]의 배수가 아니다. 03 ⑤ 답 04 [eqn: boldGEQ], [eqn: bold0], [eqn: bold{>], [eqn: bold{>], 대우 답 01 ④ 답 명제 [eqn: p~->~q]의 대우는 [eqn: simq ~->~ sim p]이므로 ‘[eqn: a]와 [eqn: b]가 모두 유리수이면 [eqn: a+b]도 유리수이다.’의 대우는 ‘[eqn: a+b]가 유리수가 아니면 [eqn: a]와 [eqn: b]가 모두 유리수인 것은 아니다.’, 즉 ‘[eqn: a+b]가 무리수이면 [eqn: a]와 [eqn: b] 중 적어도 하나는 무리수이다.’이다. 02 ④ 답 명제 [eqn: ～p~ -> ~q]의 대우는 [eqn: ～q~ -> ~p] 주어진 명제가 참이므로 대우 [eqn: ～q~ -> ~p]도 항상 참이다. 03 [eqn: {bold{4}}] 답 명제 [eqn: sim q~->~ p]의 대우 [eqn: sim p~->~ q]가 참이므로 [eqn: P^C` subset Q] 한편, [eqn: P= LEFT { 1,~3` RIGHT }]에서 [eqn: P ^{C} = LEFT { 2,~4,~5,~6 RIGHT }] [eqn: P^C` subset Q subset U`]이므로 집합 [eqn: Q]는 전체집합 [eqn: U]의 부분집합이면서 집합 [eqn: P ^{C}]의 원소 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]을 반드시 원소로 갖는다. 따라서 집합 [eqn: Q]가 될 수 있는 것은 [eqn: LEFT { 2,~4,~5,~6 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~2,~4,~5,~6 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,~3,~4,~5,~6 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6 RIGHT }] 의 [eqn: 4]개이다.	04 풀이 참조 답 ‘[eqn: x+y` ge `2]이면 [eqn: x ge 1] 또는 [eqn: y ge 1]이다.’의 대우는 ‘[eqn: x<1], [eqn: y<1]이면 [eqn: x+y <2]이다.’ 이다. 부등식의 성질에 의해 [eqn: 1]보다 작은 두 수의 합은 [eqn: 2]보다 작은 수이므로 대우는 참이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. 01 [eqn: bold6] 답 명제 ‘한쪽 면에 소수가 적혀있으면 다른 쪽 면에 모음이 적혀있다.’의 대우는 ‘한쪽 면에 자음이 적혀있으면 다른 쪽 면에 1 또는 합성수가 적혀있다.’이므로 한쪽 면에 소수인 [eqn: 3], [eqn: 7]이 적힌 카드와 자음인 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: f]가 적힌 카드의 다른 쪽 면을 확인해야 한다. 즉, [eqn: 6]개의 카드를 확인해야 한다. 02 풀이 참조 답 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 모두 [eqn: 3]의 배수가 아니라고 하면 [eqn: a=3k±1], [eqn: b=3l±1], [eqn: c=3m±1] ([eqn: k], [eqn: l], [eqn: m]은 정수) 로 놓을 수 있다. [eqn: a^2`=(3k+-1)^2`=9k^2`+-6k+1=3(3k^2`+-2k)+1`=3k'+1] ([eqn: k']은 정수) 이고 같은 방법으로 [eqn: b ^{2}`=3l'+1], [eqn: c^2`=3m'+1] ([eqn: l prime], [eqn: m prime]은 정수) 이므로 [eqn: a ^{2} `+b ^{2} `=3(k prime +l prime)+2=3n+2] ([eqn: n]은 정수) 이때 [eqn: c^2`=3m'+1]이므로 [eqn: a^2`+b^2``!=c^2] (가정에 모순) 따라서 [eqn: a^2 +b^2 =c^2]이면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 적어도 하나는 [eqn: 3]의 배수이다.

정답 및 해설

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