수준별

문제

원과 직선의 위치 관계

02

Ⅲ-3. 원의 방정식

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 중 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나는 것을 보기에서 있는 대로 골라라.

01

ㄱ. [eqn: {cases{eqalign{``x ^{2} +y ^{2} =8# `}#``x-y=1}}]	ㄴ. [eqn: {cases{eqalign{``x ^{2} +y ^{2} =3# `}#``x+y=2}}]

ㄷ. [eqn: {cases{eqalign{``x ^{2} +y ^{2} =5# `}#``2x-y=5}}]

보기

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]에 접하고 기울기가 [eqn: 3]인 직선의 방정식을 구하여라.

03

원 [eqn: x^2 +y^2 =4]와 직선 [eqn: y=-x+k]의 위치 관계가 다음과 같도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

02

⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.

⑵ 접한다.

⑶ 만나지 않는다.

원 [eqn: x^2 +y^2 =10] 위의 점 [eqn: (-1, ~3)]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

04

수준별

문제

원과 직선의 위치 관계

02

Ⅲ-3. 원의 방정식

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 중 직선 [eqn: 3x+4y=a]와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 상수 [eqn: a]의 값이 아닌 것은?

01

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

직선 [eqn: x+2y-2=0]에 수직이고, 원
[eqn: x^2 +y^2 =1]에 접하는 직선의 방정식을
[eqn: y=ax+b]라 할 때, [eqn: a^2`+b^2]의 값은?

03

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

원 [eqn: x^2 +y^2 -4x+6y+9=0] 위의 점 [eqn: rm P]와 직선 [eqn: x-2y+2=0] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 하자. 이때 [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

02

중심이 직선 [eqn: y=2x] 위에 있고, 두 직선
[eqn: x+2y -3=0`], [eqn: x+2y-7=0`]에 접하는 원의 방정식을 구하여라.

04

수준별

문제

원과 직선의 위치 관계

02

Ⅲ-3. 원의 방정식

(       )반  (         )번

이름 (               )

직선 [eqn: y=m(x+2)]와 원 [eqn: (x-2)^2`+y^2`=4]의 두 교점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} =2]일 때, 이 직선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. (단, [eqn: m>0])

01

점 [eqn: rm A it ( 0 ,~ a )]에서 원 [eqn: x^2 + ( y - 2 )^2 = 9]에 그은 두 접선이 수직이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

02

Ⅲ-3. 원의 방정식 원과 직선의 위치 관계 02 01 ㄱ, ㄴ 답 02 ⑴ [eqn: {bold{-2 sqrt {2} <k＜2 sqrt {2}}}] 답 ⑵ [eqn: bold{k=-2 sqrt {2}] 또는 [eqn: bold{k=2 sqrt {2}] ⑶ [eqn: bold{k＜-2 sqrt {2}] 또는 [eqn: bold{k＞2 sqrt {2}] 03 [eqn: bold{y=3x±2 sqrt {10}] 답 04 [eqn: bold{y= {1} over {3} x+ {10} over {3}] 답 01 ⑤ 답 [eqn: {LEFT | -a RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} ＜1], [eqn: LEFT | a RIGHT | <5], [eqn: -5<a<5] 02 [eqn: bold16] 답 원 [eqn: (x-2)^2 +(y+3)^2 =4]의 중심인 점 [eqn: (2, ~-3)]과 직선 [eqn: x-2y+2=0] 사이의 거리는 [eqn: 2 sqrt 5]이고, 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2]이므로 [eqn: M=2 sqrt {5}+2], [eqn: m=2 sqrt {5}-2] 따라서 [eqn: Mm=16] 03 ④ 답 직선 [eqn: x+2y-2=0]의 기울기는 [eqn: - 1over2]이므로 [eqn: a= 2] 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]에 접하고 기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식은 [eqn: y=2x± sqrt {5}] 따라서 [eqn: b=± sqrt {5}]이므로 [eqn: a^2 +b^2 = 2^2`+5=9] 04 [eqn: bold{(x-1) ^{2} +(y-2) ^{2} = {4} over {5}] 답 원의 중심의 좌표를 [eqn: (t,~2t)]로 놓으면 [eqn: r][eqn: =][eqn: {LEFT | t+4t-3 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}}} = {LEFT | t+4t-7 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}}}] [eqn: (5t-3)=±(5t-7)`]에서 [eqn: 5t-3 != 5t-7`]이므로	[eqn: 5t-3=-5t+7], 즉 [eqn: t=1] 따라서 원의 중심의 좌표는 [eqn: (1,~2)]이고 반지름의 길이는 [eqn: {2} over {sqrt {5}} `]이므로 구하는 원의 방정식은 [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 over 5] 01 [eqn: bold{` {2 sqrt {39}} over {13}] 답 원 [eqn: (x-2)^2 +y^2 =4]의 중심의 좌표를 [eqn: rm C(2,~0)], [eqn: rm bar{AB}]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하면 [eqn: rmbarCA =2], [eqn: rmbarAM =1]이므로 [eqn: rmbarCM = root{ 2^2`-1`^2}=root3] [eqn: {|2m-0+2m|} over {sqrt {m ^{2} +(-1) ^{2} }} = sqrt {3}]이므로 [eqn: 13m^2 =3] [eqn: m>0]이므로 [eqn: m= {sqrt {39}} over {13}] 즉, 직선 [eqn: y= {sqrt {39}} over {13} (x+2)]의 [eqn: x]절편은 [eqn: -2]이고, [eqn: y]절편은 [eqn: {2 sqrt {39}} over {13}]이므로 구하는 넓이는 [eqn: 1OVER2 × 2 × { 2 ROOT39} OVER 13`=` { 2 ROOT39} OVER 13] 02 [eqn: bold{2+3 sqrt {2}] 답 접선의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: y = mx + a] 원의 중심인 점 [eqn: (0,~2)]와 직선 [eqn: mx - y + a = 0] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 [eqn: 3]과 같아야 하므로 [eqn: {LEFT | m TIMES 0-2+a RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1 ^{2}}} =3], [eqn: LEFT | a-2 RIGHT | =3 sqrt {m ^{2} +1}] [eqn: 9m^2 - ( a^2 - 4a - 5 ) = 0] 이 이차방정식의 두 근을 [eqn: m _{1}], [eqn: m _{2}]라 하면 [eqn: m_1 m_2 = - 1 over 9 ( a^2 - 4a - 5 ) = -1] [eqn: a^2 - 4a - 14 = 0], [eqn: a=2±3 sqrt {2}] 이때 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a = 2+3root2]

정답 및 해설

수준별 문제