수준별

문제

이차함수의 최대, 최소

02

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하여라.

01

⑴ [eqn: y=x ^{2} -2x+6]

⑵ [eqn: y=x ^{2} +4x`]

⑶ [eqn: y=-2x ^{2} +4x-1`]

⑷ [eqn: y=-x ^{2} +x+1`]

[eqn: 1 leq x leq 5]일 때, 이차함수

03

[eqn: f(x)=-x^2 +8x-10]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라.

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2ax-b]가 [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: -1]을 가질 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: ab]의 값을 구하여라.

02

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 이차함수 [eqn: y=(x-2) ^{2} +k-4]의 최솟값이 [eqn: 5]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

04

수준별

문제

이차함수의 최대, 최소

02

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수

(       )반  (         )번

이름 (               )

[eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: -2]를 갖는 이차함수의 그래프가 점 [eqn: (-1,~2)]를 지날 때, 이 이차함수의 식을 구하여라.

01

두 이차함수

03

[eqn: f(x)= -2x^2 -4x +a`], [eqn: g(x)=2x^2 -ax]

에 대하여 [eqn: -2 leq x leq 2]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -10]일 때, 함수 [eqn: g(x)]의 최댓값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 상수)

이차함수 [eqn: y=x^2 -2ax+4a-3]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m]의 최댓값을 구하여라.

02

(단, [eqn: a]는 상수)

다음 그림과 같이 담장에 길이가 [eqn: 16``` rm m]인 철망을 ‘ㄷ’자 모양으로 둘러쳐서 직사각형 모양의 텃밭을 만들려고 한다. 울타리의 담장과 붙은 한 변의 길이를 [eqn: x```rmm], 텃밭의 넓이를 [eqn: y```rmm ^{2}]라 할 때, [eqn: y]의 최댓값을 구하여라.

04

수준별

문제

이차함수의 최대, 최소

02

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수

(       )반  (         )번

이름 (               )

오른쪽 그림과 같이 [eqn: bar { rmAB}=8], [eqn: bar { rmBC}=12]인 직사각형 [eqn: RM ABCD]에서
[eqn: rm bar {AP } = bar { BQ} = bar {CR } = bar {DS }]가 되도록 네 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]를 잡을 때, 사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이의 최솟값을 구하여라.

01

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b]의 합이 [eqn: 4]일 때,  빗변의 길이 [eqn: c]의 최솟값을 구하여라.

02

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수 이차함수의 최대, 최소 02 01 ⑴ 최솟값 [eqn: bold5] ⑵ 최솟값 [eqn: {bold{-4}}] 답 ⑶ 최댓값 [eqn: {bold{1}}] ⑷ 최댓값 [eqn: {bold{{5} over {4}}}] 02 [eqn: bold6] 답 03 [eqn: bold3] 답 04 [eqn: bold9] 답 01 [eqn: bold{y=x ^{2} -2x`-1] 답 [eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: -2]를 가지므로 구하는 이차함수의 식을 [eqn: y=a(x-1)^2 -2]([eqn: a>0])로 놓자. 이 이차함수의 그래프가 점 [eqn: (-1,~2)]를 지나므로 [eqn: 2=a(-1-1)^2 -2], 즉 [eqn: a=1] 따라서 구하는 이차함수의 식은 [eqn: y=(x`-1) ^{2} -2`=x ^{2} -2x`-1] 02 [eqn: bold1] 답 [eqn: y=x ^{2} -2ax+4a-3] [eqn: =(x-a)^2 -a^2 +4a-3] [eqn: x=a]일 때 최솟값 [eqn: -a^2 +4a-3]을 가지므로 [eqn: m=-a ^{2} +4a-3=-(a-2) ^{2} +1] 따라서 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: 1]이다. 03 [eqn: bold20] 답 [eqn: f(x)= -2x^2 -4x +a`][eqn: =-2(x+1)^2 +a+2] [eqn: -2 leq x leq 2]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -10]이므로 [eqn: f(2)=a-16=-10], [eqn: a=6] 즉, [eqn: g(x)=2x^2 -ax =2x^2 -6x = 2 LEFT ( x- { 3} over { 2} RIGHT )^2 - { 9} over { 2}] 따라서 [eqn: -2 leq x leq 2]에서 [eqn: g(x)]의 최댓값은 [eqn: g(-2)=2``·``(-2) ^{2} -6``·``(-2)=20]	04 [eqn: bold32] 답 울타리의 담장과 마주보는 변의 길이는 [eqn: (16-2x)``rmm]이므로 [eqn: y=x(16-2x)] [eqn: =-2x ^{2} +16x] [eqn: =-2(x-4) ^{2} +32] [eqn: (0<x<8)] 따라서 [eqn: y]의 최댓값은 [eqn: 32]이다. 01 [eqn: bold46] 답 [eqn: {rm bar {AP } = bar { BQ} = bar {CR } = bar {DS } }=x]로 놓으면 [eqn: 0< x<8] 사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이를 [eqn: S(x)]라 하면 [eqn: S(x)] [eqn: =(8``·``12)-2 LEFT ( TRIANGLE rm APS+ TRIANGLE rm PBQ RIGHT )] [eqn: =96 - 2 LEFT { { 1} over {2 }cdot x cdot(12-x)+ { 1} over {2 }cdot x cdot(8-x) RIGHT }] [eqn: = 2x^2 -20x +96] [eqn: =2(x-5)^2 +46] 따라서 [eqn: x=5]일 때, 사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이의 최솟값은 [eqn: 46]이다. 02 [eqn: bold{2 sqrt {2}] 답 [eqn: a+b=4] ……㉠ [eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}] ……㉡ ㉠에서 [eqn: b=4-a``(0<a<4)] ……㉢ ㉡, ㉢에서 [eqn: c ^{2} =a ^{2} +(4-a) ^{2} =2(a-2) ^{2} +8 GEQ 8] 따라서 빗변의 길이 [eqn: c]의 최솟값은 [eqn: sqrt {8} =2 sqrt {2}]이다.

정답 및 해설

수준별 문제