수준별

문제

이차방정식의 근과 계수의 관계

03

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

(       )반  (         )번

이름 (               )

다음 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 각각 구하여라.

01

⑴ [eqn: x ^{2} +4x-3=0]

⑵ [eqn: 2x ^{2} +5x+3=0]

⑶ [eqn: 3x ^{2} -4x=0]

⑷ [eqn: x ^{2} +2 sqrt {3} x+3=0]

두 수 [eqn: 2], [eqn: 3]을 근으로 갖고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

03

이차방정식 [eqn: 2x^2 -4x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.

02

⑴ [eqn: alpha + beta `]

⑵ [eqn: alpha beta]

⑶ [eqn: alpha ^2 + beta` ^2]

⑷ [eqn: (alpha - beta )^2]

다음 이차식을 복소수의 범위에서 인수분해하여라.

04

⑴ [eqn: x^2 -2x+5]

⑵ [eqn: x ^{2} -5x+1]

수준별

문제

이차방정식의 근과 계수의 관계

03

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

(       )반  (         )번

이름 (               )

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +mx +12=0]의 두
근이 [eqn: 2], [eqn: alpha `]일 때, [eqn: alpha -m]의 값을 구하여라.

01

(단, [eqn: m]은 상수이다.)

이차방정식 [eqn: x^2 -a x +b=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, 두 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

03

이차방정식 [eqn: x^2 +3x +5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: {alpha^3 +beta`^3 } over {(alpha+1)(beta+1)]의 값을 구하여라.

02

이차방정식 [eqn: x^2 -x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라
할 때, 다음을 두 근으로 갖고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

04

⑴ [eqn: 2alpha], [eqn: 2beta]

⑵ [eqn: alpha+ beta], [eqn: alpha beta]

수준별

문제

이차방정식의 근과 계수의 관계

03

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

(       )반  (         )번

이름 (               )

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: alpha+ beta=11]이다. 이차방정식 [eqn: f(3x-2)=0]의 [eqn: x^2]의 계수를 [eqn: a], [eqn: x]의 계수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: b over a]의 값은?

01

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

이차방정식 [eqn: x^2 -(m-1)x +m=0]의 두 근의 차가 [eqn: 1]일 때, 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합을 구하여라.

02

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식 이차방정식의 근과 계수의 관계 03 01 ⑴ 두 근의 합: [eqn: bold-4], 두 근의 곱: [eqn: bold-3] 답 ⑵ 두 근의 합: [eqn: {bold{- {5} over {2}}}], 두 근의 곱: [eqn: {bold{{3} over {2}}}] ⑶ 두 근의 합: [eqn: {bold{{4} over {3}}}], 두 근의 곱: [eqn: {bold{0}}] ⑷ 두 근의 합: [eqn: {bold{-2 sqrt {3}}}], 두 근의 곱: [eqn: {bold{3}}] 02 ⑴ [eqn: bold2] ⑵ [eqn: bold{ {5} over {2}] ⑶ [eqn: bold-1] ⑷ [eqn: bold-6] 답 03 [eqn: bold{x ^{2} -5x+6=0] 답 04 ⑴ [eqn: bold{(x-1-2i)(x-1+2i)] 답 ⑵ [eqn: {bold{LEFT ( x- {5+ sqrt {21}} over {2} RIGHT ) LEFT ( x- {5- sqrt {21}} over {2} RIGHT )}}] 01 [eqn: bold14] 답 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: 2+ alpha=-m], [eqn: 2alpha=12] 즉, [eqn: alpha =6], [eqn: m=-8] 따라서 [eqn: alpha-m =14] 02 [eqn: bold6] 답 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha + beta =-3], [eqn: alpha beta =5] [eqn: alpha ^{3} + beta ` ^{3}][eqn: =( alpha + beta ) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )] [eqn: =(-3) ^{3} -3``·``5``·``(-3)=18] [eqn: (alpha+1)(beta +1)][eqn: = alphabeta + alpha +beta +1][eqn: =5-3+1=3] 따라서 [eqn: {alpha^3 +beta`^3 } over {(alpha+1)(beta+1)][eqn: = 18 over 3 =6] 03 [eqn: bold{a=2], [eqn: boldb=2] 답 [eqn: 1+i]가 이차방정식 [eqn: x^2 -a x +b=0]의 한 근이므로 다른 한 근은 [eqn: 1-i]이다. 따라서 [eqn: a=(1+i)+(1-i)=2], [eqn: b=(1+i)(1-i)=2]	04 ⑴ [eqn: bold{x ^{2} -2x+12=0] ⑵ [eqn: bold{x ^{2} -4x+3=0] 답 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha+beta=1], [eqn: alpha beta=3] ⑴ [eqn: 2 alpha +2 beta =2( alpha + beta )=2``·``1=2] [eqn: 2 alpha ``·``2 beta =4 alpha beta =4``·``3=12] 따라서 구하는 이차방정식은 [eqn: x^2 -2x+12=0] ⑵ [eqn: (alpha+beta)+alpha beta=1+3=4] [eqn: (alpha+beta) cdot alpha beta=1 cdot 3=3] 따라서 구하는 이차방정식은 [eqn: x^2 -4x+3=0] 01 ② 답 [eqn: f(x)=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta `]이므로 [eqn: f( alpha)=f( beta)=0] 방정식 [eqn: f(3x-2)=0]의 두 근을 [eqn: m], [eqn: n]이라 하면 [eqn: f(3m-2)=0], [eqn: f(3n-2)=0] 이때 [eqn: 3m-2= alpha], [eqn: 3n-2= beta `]라 하면 [eqn: (3m-2)+(3n-2)= alpha+ beta =11]에서 [eqn: 3(m+n ) =15], [eqn: m+n=5] 따라서 이차방정식 [eqn: f(3x-2)=0]의 두 근의 합이 [eqn: 5]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: - b overa =5], 즉 [eqn: b over a = -5] 02 [eqn: bold6] 답 두 근을 [eqn: alpha,~ alpha +1]로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha +( alpha +1)=m-1] …… ㉠ [eqn: alpha ( alpha +1)=m] …… ㉡ ㉠에서 [eqn: m= 2alpha +2] 이것을 ㉡에 대입하여 정리하면 [eqn: alpha ^2 -alpha -2=0] [eqn: (alpha -2)(alpha+1)=0,~alpha =2] 또는 [eqn: alpha =-1] (ⅰ) [eqn: alpha =2]일 때, [eqn: m=6] (ⅱ) [eqn: alpha =-1]일 때, [eqn: m=0] 따라서 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 6+0=6]

정답 및 해설

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