경우의 수

Ⅵ

대단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 번호가 각각 적힌 [eqn: 5]개의 탁구공을 [eqn: A _{1}], [eqn: A _{2}], [eqn: A _{3}], [eqn: A _{4}], [eqn: A _{5}]라고 적힌 가방에 각각 [eqn: 1]개씩 넣을 때, [eqn: 3]번 공은 [eqn: A _{1}]에 넣고 [eqn: i]번 공은 [eqn: A _{i}]에 넣지 않는 경우의 수는? (단, [eqn: i=1,~2,~3,~5])

01

▸3점

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 15]

02

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 8]의 약수가 되는 경우의 수는?

▸3점

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

방정식 [eqn: x+2y+3z=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 순서쌍 [eqn: ( x ,~y ,~z )]의 개수는?

03

▸4점

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

두 지역 [eqn: rmA][eqn: ,] [eqn: rmB] 사이에는 [eqn: 3]개의 버스 노선과 [eqn: 4]개의 기차 노선이 있다. [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점으로 갈 때에는 버스를 타고 [eqn: rmB]지점에서 [eqn: rmA]지점으로 돌아올 때에는 기차를 타는 방법의 수는?

04

▸2점

① [eqn: 7]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

05

오른쪽 그림과 같이 나누어진  [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] [eqn: 4]개의 영역을 서로 다른 [eqn: 4]가지 색으로 칠하려고 한다. 같은 색을 중복하여 사용해도 좋으나 인접하는 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때, 칠하는 경우의 수는?

▸4점

① [eqn: 24]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 72]

남학생 [eqn: 5]명과 여학생 [eqn: 5]명으로 구성된 탁구팀에서 남녀 각각 [eqn: 1]명씩 짝지어 남녀 혼합 복식 팀을 구성하는 방법의 수는?

06

▸3점

① [eqn: 40]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 120]

다섯 개의 알파벳 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: rmE]를 모두 사용하여 일렬로 배열할 때, 모음끼리 이웃하지 않도록 배열하는 방법의 수는? 07 ▸3점 ① [eqn: 36] ② [eqn: 45] ③ [eqn: 54] ④ [eqn: 63] ⑤ [eqn: 72] [eqn: rm s], [eqn: rm i], [eqn: rml], [eqn: rmv], [eqn: rme], [eqn: rmr]의 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 배열할 때, 적어도 한쪽 끝에 모음이 오는 경우의 수는? 08 ▸3점 ① [eqn: 36] ② [eqn: 124] ③ [eqn: 288] ④ [eqn: 432] ⑤ [eqn: 720] [eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]를 모두 사용하여 만든 다섯 자리 자연수 중에서 [eqn: 23000] 이상인 자연수의 개수는? 09 ▸3점 ① [eqn: 60] ② [eqn: 120] ③ [eqn: 240] ④ [eqn: 480] ⑤ [eqn: 960]	집합 [eqn: X="{"1,~2,~3,~4"}"]에 대하여 함수 [eqn: f:X```->``X]로 정의할 때, [eqn: f(1)!=1]이고 일대일대응인 함수 [eqn: f]의 개수는? 10 ▸4점 [eqn: 16] [eqn: 18] [eqn: 20] [eqn: 22] [eqn: 24] [eqn: {} _{n}rm P it rm_{r} =60], [eqn: {} _{n} rm C it rm _{r} =10]일 때, [eqn: n+r``]의 값은? 11 ▸3점 [eqn: 6] [eqn: 7] [eqn: 8] [eqn: 9] [eqn: 1 0] [eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 임의로 선택할 때, 선택된 두 수의 곱이 짝수가 되는 경우의 수는? 12 ▸3점 ① [eqn: 50] ② [eqn: 51] ③ [eqn: 52] ④ [eqn: 53] ⑤ [eqn: 54] [eqn: 9]개의 프로 야구팀이 다른 모든 팀과 각각 [eqn: 6]번씩 경기를 치르는 리그전을 벌일 때, 전체 경기 수는? 13 ▸3점 ① [eqn: 54] ② [eqn: 108] ③ [eqn: 144] ④ [eqn: 180] ⑤ [eqn: 216]

Ⅵ. 경우의 수

대단원 평가
지수, 민희, 영서를 포함한 [eqn: 9]명의 학생 중에서 [eqn: 5]명의 대표를 선출할 때, 지수와 민희는 함께 선출되고 영서는 선출되지 않는 경우의 수는? 14 ▸3점 ① [eqn: 20] ② [eqn: 24] ③ [eqn: 32] ④ [eqn: 40] ⑤ [eqn: 45] 빨간색 공 [eqn: 7]개와 파란색 공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 3]개를 뽑을 때, 모두 같은 색이 나오는 경우의 수는? 15 ▸3점 ① [eqn: 45] ② [eqn: 50] ③ [eqn: 55] ④ [eqn: 60] ⑤ [eqn: 65] [eqn: 8]개의 문자 [eqn: rm`W], [eqn: rm `A], [eqn: rm `T], [eqn: rm `E], [eqn: rm`R], [eqn: rm `B], [eqn: rm `U], [eqn: rm `S] 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개의 문자를 택하여 일렬로 배열할 때, 모음 [eqn: 2]개, 자음 [eqn: 2]개로 이루어진 문자열의 수는? 16 ▸3점 ① [eqn: 90] ② [eqn: 180] ③ [eqn: 360] ④ [eqn: 720] ⑤ [eqn: 1440]	[eqn: 7]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7] 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개의 숫자를 택하여 [eqn: 4]자리 자연수 [eqn: a][eqn: b][eqn: c][eqn: d]를 만들 때, [eqn: a<c], [eqn: b<d]를 만족하는 자연수 [eqn: a][eqn: b][eqn: c][eqn: d]의 개수는? 17 ▸4점 ① [eqn: 70] ② [eqn: 140] ③ [eqn: 210] ④ [eqn: 280] ⑤ [eqn: 350] 중학생 [eqn: 6]명, 고등학생 [eqn: 6]명으로 구성된 모임에서 [eqn: 4] 명의 대표를 뽑을 때, 중학생과 고등학생을 적어도 각각 [eqn: 1]명씩 뽑는 경우의 수는? 18 ▸3점 ① [eqn: 450] ② [eqn: 465] ③ [eqn: 475] ④ [eqn: 480] ⑤ [eqn: 495] 오른쪽 그림과 같이 원 위에 [eqn: 8] 개의 점이 같은 간격으로 놓여 있을 때, 이 중에서 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는? 19 ▸3점 ① [eqn: 24] ② [eqn: 38] ③ [eqn: 44] ④ [eqn: 56] ⑤ [eqn: 64]

Ⅵ. 경우의 수
20 서 술 형 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로 가는 길은 [eqn: 3]가지, [eqn: rmB]에서 [eqn: rmC]로 가는 길은 [eqn: 4]가지, [eqn: rmA]에서 [eqn: rmC]로 가는 길은 [eqn: 2]가지일 때, [eqn: rmA]에서 [eqn: rmC]를 왕복하는 데 [eqn: rmB]를 한 번만 거치는 경우의 수를 구하여라. ▸7점 서로 다른 동화책 [eqn: 3]권, 소설책 [eqn: 2]권, 교과서 [eqn: 3]권을 책꽂이에 꽂을 때, 교과서끼리 이웃하지 않도록 꽂는 방법의 수를 구하여라. 21 ▸5점 [eqn: 500]원 짜리 동전이 [eqn: 3]개, [eqn: 100]원 짜리 동전이 [eqn: 4]개, [eqn: 50]원 짜리 동전이 [eqn: 2]개가 있다. 이 동전의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 방법의 수를 구하여라. 22 (단, [eqn: 0]원을 지불하는 경우는 제외한다.) ▸6점	[eqn: 1 LEQ r LEQ n]일 때, 등식 [eqn: n``·`` _{n-1} rm C it rm _{r-1} =r ``·`` _{n}rm C it rm _{r}]가 성립함을 증명하여라. 23 ▸7점 두 집합 24 [eqn: X="{"1,~2,~3,~4"}"], [eqn: Y="{"1,~2,~3,~4,~5,~6"}"] 에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 함수 [eqn: f:X``` -> ``Y]의 개수를 구하여라. ▸8점 ㈎ [eqn: f(2)=4] ㈏ 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f(x_1 ) >f(x_2 )] 한 평면 위에 있는 서로 다른 [eqn: 7]개의 점이 있다. 다음 물음에 답하여라. 25 ⑴ 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않을 때 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수를 구하여라. ▸3점 ⑵ [eqn: 3]개의 점이 일직선 위에 있을 때 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수를 구하여라. ▸4점

경우의 수

Ⅵ

01 ④	02 ②	03 ①	04 ③	05 ③

06 ⑤	07 ⑤	08 ④	09 ①	10 ②

11 ③	12 ②	13 ⑤	14 ①	15 ①

16 ④	17 ③	18 ②	19 ④	20 [eqn: 48]

21 [eqn: 14400]	22 [eqn: 59]	23 해설 참조

24 [eqn: 6]	25 ⑴ [eqn: 21]  ⑵ [eqn: 19]

[eqn: z=1]인 경우와 [eqn: z=2]인 경우의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는

03

(ⅰ) [eqn: z=1]인 경우    [eqn: (6,~1)], [eqn: (4,~2)], [eqn: (2,~3)]

(ⅱ) [eqn: z=2]인 경우    [eqn: (3,~1)], [eqn: (1,~2)]

따라서 구하는 개수는 [eqn: 5]이다.

[eqn: rm A]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 4]가지, [eqn: rm B]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: rm A]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지, [eqn: rm C]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 2]가지, [eqn: rm D]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: rm B]와 [eqn: rm C]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 2]가지이다.

05

따라서 구하는 경우의 수는   [eqn: 4``·``3``·``2``·``2=48``]

남학생 순서를 고정하고 그 맞은편에 여학생을 배열하는 방법의 수와 같으므로 구하는 방법의 수는    [eqn: {} _{5} rm P _{5} =5!`=120]

06

[eqn: 6]개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는

08

[eqn: 6! =720]

자음은 [eqn: rm s], [eqn: rml], [eqn: rmv], [eqn: rmr]의 [eqn: 4]개이므로 양쪽 끝에 모두 자음이 오는 경우의 수는    [eqn: ` _{4} rm P _{2} ``·``4! =288]

따라서 구하는 경우의 수는    [eqn: 720-288=432]

(ⅰ) 만의 자리에 [eqn: 2]가 오는 경우

09

천의 자리의 숫자를 [eqn: 3], [eqn: 4] 중 하나로 정하고 나머지 숫자 [eqn: 3]개를 일렬로 배열하면 되므로 구하는 자연수의 개수는    [eqn: 2 TIMES 3{!}=12]

(ⅱ) 만의 자리에 [eqn: 3] 또는 [eqn: 4]가 오는 경우

나머지 숫자 [eqn: 4]개를 일렬로 배열하면 되므로 구하는 자연수의 개수는 각각    [eqn: 4!]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 12+4!+4!`=60]

일대일대응인 함수 [eqn: f]의 개수는

10

[eqn: 4 ! = 24]

[eqn: f(1)=1]이고 일대일대응인 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 3 ! = 6]

따라서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 24-6=18]

[eqn: {}_{n} rm C it rm _{r} = {{} _{n} rm P it rm _{r}} over {r!}]이므로    [eqn: 10= {60} over {r!}]

11

[eqn: r ! = 6=3``·``2``·``1], 즉 [eqn: r=3]

또 [eqn: {} _{n} rm P it rm _{3} =60=5``·``4``·``3]에서    [eqn: n=5]

따라서    [eqn: n+r=5+3=8]

두 수 중 적어도 한 수는 짝수이어야 한다. 선택된 두 수가 모두 홀수인 경우의 수는 [eqn: {}_{6}`rmC{}_{2}]이므로 구하는 경우의 수는

12

[eqn: {}_{12}`rmC{}_{2}-{}_{6}`C{}_{2}=66-15=51]

[eqn: 9]개의 팀이 서로 다른 팀과 [eqn: 1]번씩 경기를 치르는 경우의 수는    [eqn: {} _{9} Ｃ _{2} = {9``·``8} over {2``·``1} =36]

13

그런데 각 팀이 다른 팀과 [eqn: 6]번씩 경기를 치르므로 전체 경기 수는    [eqn: 36``·``6=216]

지수와 민희는 함께 선출되고 영서는 선출되지 않아야 하므로 지수와 민희를 먼저 택하고 영서를 제외한 나머지 [eqn: 6]명 중에서 [eqn: 3]명을 택하는 조합의 수와 같다. 즉, 구하는 경우의 수는

14

[eqn: rm{}_{6}`C{}_{3}=20]

빨간색 공 [eqn: 7]개 중에서 [eqn: 3]개를 뽑는 경우의 수는

15

[eqn: {} _{7} Ｃ _{3} =35]

파란색 공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 3]개를 뽑는 경우의 수는

[eqn: {}_5 Ｃ_3 =10]

따라서 구하는 경우의 수는   [eqn: 35+10=45]

모음 [eqn: 2]개, 자음 [eqn: 2]개를 택하는 방법의 수는

16

[eqn: rm _{3} rm `C _{2} TIMES _{5} `C _{2} =3``․``10=30]

[eqn: 4]개의 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수는

[eqn: 4! = 24]이므로 구하는 문자열의 수는

[eqn: 30 TIMES 24=720]

정답 및 해설

대단원 평가

[eqn: a<c]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: c]를 정하는 방법의 수는

17

[eqn: {} _{7} ` rm C _{2} =21]

그 각각에 대하여 [eqn: b<d]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: b], [eqn: d]를 정하는 방법의 수는

[eqn: {} _{5} ` rm C _{2} =10]

따라서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 21 TIMES 10=210]

전체 [eqn: 12]명 중 [eqn: 4]명을 뽑는 경우의 수는	[eqn: {}_12 Ｃ_4 =495]

18

중학생만 [eqn: 4]명을 뽑는 경우의 수는

[eqn: {}_6 Ｃ_4 =15]

고등학생만 [eqn: 4]명을 뽑는 경우의 수는

[eqn: {}_6 Ｃ_4 =15]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 495-(15+15)=465]

[eqn: 8]개의 점 중에서 [eqn: 3]개를 선택하면 하나의 삼각형이 결정되므로 구하는 삼각형의 개수는

19

[eqn: {}_8 Ｃ_3 =56]

20

[eqn: rmA]에서 [eqn: rmC]를 왕복하는 데 [eqn: rmB]를 한 번만 거치는 방법은

문제 이해

[eqn: rmA``→``B``→``C``→``A][eqn: ,] [eqn: rmA``→``C``→``B``→``A]

▸2점

(ⅰ) [eqn: rmA``→``B``→``C``→``A]인 경우의 수는

해결 과정

[eqn: 3``·``4``·``2=24]

(ⅱ) [eqn: rmA``→``C``→``B``→``A]인 경우의 수는

[eqn: 2``·``4``·``3=24]

▸3점

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

답 구하기

[eqn: 24+24 =48]

▸2점

동화책 [eqn: 3]권과 소설책 [eqn: 2]권을 책꽂이에 일렬로 꽂는 방법의 수는

21

해결 과정

[eqn: 5! = 120]

▸2점

동화책과 소설책 사이 및 양끝의 [eqn: 6]개의 자리에 교과서 [eqn: 3]권을 꽂는 방법의 수는

[eqn: ` _{6} rm P _{3} =120]

▸2점

따라서 구하는 방법의 수는

답 구하기

[eqn: 120``·``120=14400]

▸1점

[eqn: 500]원짜리 동전을 지불하는 방법은

22

해결 과정

[eqn: 0,~1,~2,~3]개의 [eqn: 4]가지

[eqn: 100]원짜리 동전을 지불하는 방법은

[eqn: 0,~1,~2,~3,~4]개의 [eqn: 5]가지

[eqn: 50]원짜리 동전을 지불하는 방법은

[eqn: 0,~1,~2]개의 [eqn: 3]가지

▸4점

이때 [eqn: 0]원을 지불하는 경우가 [eqn: 1]가지이므로 구하는 경우의 수는

답 구하기

[eqn: 4``·``5``·``3-1=59]

▸2점

[eqn: n``·`` _{n-1} rm C it rm _{r-1}]

23

해결 과정

[eqn: =n``·`` {(n-1)!} over {(r-1)!`(n-r)!}]

▸2점

[eqn: = {n!} over {(r-1)!`(n-r)!}]

▸2점

[eqn: = {r CDOT n!`} over {r!`(n-r)!}]

▸2점

[eqn: =r``·`` _{n} rm C it rm _{r}]

따라서 등식 [eqn: n``·`` _{n-1} rm C it rm _{r-1} =r ``·`` _{n}rm C it rm _{r}]가 성립한다.

▸1점

[eqn: f(2)=4]이고 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면

24

해결 과정

[eqn: f(x_1 ) >f(x_2 )]이므로 [eqn: 1]에 대응할 수 있는 [eqn: Y]의 원소는 [eqn: 5] 또는 [eqn: 6]이다.

▸3점

또 [eqn: f(3)>f(4)]이므로 [eqn: Y]의 원소 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중 [eqn: 2]개를 뽑아 크기가 큰 수부터 차례로 [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]에 대응시키면 된다.

▸3점

따라서 구하는 함수의 개수는

답 구하기

[eqn: 2 TIMES _{3} Ｃ _{2} =2``·``3=6]

▸2점

⑴ [eqn: 7]개의 점으로 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수는

25

[eqn: {} _{7} Ｃ _{2} =21]

▸3점

⑵ 일직선 위에 있는 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{3} Ｃ _{2} =3]

▸2점

일직선 위에 있는 점으로 만들 수 있는 직선은 [eqn: 1]개뿐이므로 구하는 직선의 개수는

[eqn: 21-3+1=19]

▸2점