함수

Ⅴ

대단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

두 집합

01

[eqn: X= LEFT { -1,~0,~1 RIGHT }], [eqn: Y= left{0,~1,~2,~3 right}]

에 대하여 다음 중 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수인 것은?

▸3점

① [eqn: f(x) = x+3]

② [eqn: f(x) = x]

③ [eqn: f(x) =x^2]

④ [eqn: f(x)= {cases{```````x-1~&(x GEQ 0)#-x-1&(x<0) ^{` ^{` ^{`}}}}}]

⑤ [eqn: f(x) = cases {``홀수~ &(x ge 0)# ````````0 &(x <0)^`^`^`}]

02

[eqn: 0] 이상의 정수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= {cases{`x+1~&(0 LEQ x LEQ 4)#`f(x-4) ^{` ^{` ^{`}}} ~~&(x>4 ^{` ^{` ^{`}}} )}}]

에 대하여 [eqn: f(2) +f(17)]의 값은?

▸3점

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

03

함수 [eqn: f(x) = a|x-1| + 3x-4]가 일대일대응이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?

▸4점

① [eqn: a <`-3]	② [eqn: a>-3]

③ [eqn: -3 < a<3]	④ [eqn: a<3]

⑤ [eqn: a>3]

함수 [eqn: f(x ) = x^2 +x]에 대하여 [eqn: (f circ f ) (2)]의 값은?

04

▸2점

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

05

두 함수 [eqn: f(x) = 2x-3], [eqn: g(x) = -x+1]에 대하여 함수 [eqn: h]가 [eqn: (h circ g) (x) = f(x)]를 만족시킬 때, [eqn: h (2 )]의 값은?

▸3점

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

함수 [eqn: f(x) = ax +b]에 대하여

06

[eqn: f(2) = 15], [eqn: f^-1 (3) =-1]

이 성립할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a +b]의 값은?

▸3점

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

집합 [eqn: X = left{1,~2,~3 right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]가 다음 그림과 같을 때, [eqn: (g CIRC f ^{-1} )(2)+(f CIRC g ^{-1} )(2)]의 값은? 07 ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6] 함수 [eqn: f(x) = cases { `````````````x ~&( x ge 1 )#-x^2 + 2x~&(x <1) }]에 대하여 08 [eqn: (f circ f)(2) + f^-1 (-3 )]의 값은? ▸3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 함수 [eqn: f(x) = 3x+ a]에 대하여 그 역함수 09 [eqn: y=f^-1 (x)]의 그래프가 점 [eqn: (2,~-1)]을 지날 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (1,~k)]를 지난다. 이때 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수) ▸3점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]	[eqn: 4 le x le 10]에서 유리함수 [eqn: y= 4 overx]의 최댓값은? 10 ▸3점 ① [eqn: 2over5] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 2 over3] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 유리함수 [eqn: y= 3 overx-1 -2]의 그래프가 지나지 않는 사분면은? 11 ▸2점 ① 제[eqn: 1]사분면 ② 제[eqn: 2]사분면 ③ 제[eqn: 3]사분면 ④ 제[eqn: 4]사분면 ⑤ 제[eqn: 2], [eqn: 4]사분면 유리함수 [eqn: y= k overx]의 그래프가 점 [eqn: (4,~2)]를 지날 때, 곡선 [eqn: y= k overx]와 직선 [eqn: y = x]의 두 교점 사이의 거리는? 12 ▸4점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 6root2] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 8 root2] ⑤ [eqn: 10] 유리함수 [eqn: y= 3-x overx-2]의 그래프가 점 [eqn: (a,~b)]에 대하여 대칭일 때, [eqn: a+b]의 값은? 13 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

Ⅴ. 함수

대단원 평가
유리함수 [eqn: y= bx+1 overx+a]의 그래프의 점근선의 방정식이 [eqn: x = 2], [eqn: y= -2]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? 14 ▸3점 ① [eqn: -4] ② [eqn: -2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4] 무리함수 [eqn: y= - root 4-2x +3]의 정의역은 15 [eqn: left{x``|``x le a right}]이고 치역은 [eqn: left{y``|`` y le b right}] 이다. 이때 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7] 두 무리함수 [eqn: f(x) = a rootbx], [eqn: g(x) = c root dx]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 부호를 바르게 짝지은 것은? 16 ▸2점 ① [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c<0], [eqn: d<0] ② [eqn: a>0], [eqn: b<0], [eqn: c>0], [eqn: d<0] ③ [eqn: a>0], [eqn: b<0], [eqn: c<0], [eqn: d>0] ④ [eqn: a<0], [eqn: b>0], [eqn: c<0], [eqn: d>0] ⑤ [eqn: a<0], [eqn: b<0], [eqn: c>0], [eqn: d>0]	무리함수 17 [eqn: y= rootax+b + c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 무리함수 [eqn: y= rootbx+c +a]의 그래프가 지나는 사분면은? ▸4점 ① 제[eqn: 1], [eqn: 2]사분면 ② 제[eqn: 1], [eqn: 4]사분면 ③ 제[eqn: 2], [eqn: 3]사분면 ④ 제[eqn: 3], [eqn: 4]사분면 ⑤ 제[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면 무리함수 [eqn: f(x) = root -2x+3 + 1]에 대하여 18 [eqn: f^-1 (3 )]의 값은? ▸3점 ① [eqn: -1] ② [eqn: - 1over2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1over2] ⑤ [eqn: 1] 무리함수 [eqn: f(x) = root x+6]의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라 할 때, 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= g (x)]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표는? 19 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

Ⅴ. 함수
20 서 술 형 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 정의된 함수 [eqn: f(x) = [x] +[-x ]] 의 치역을 구하여라. (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ▸8점 [eqn: -2 le x le 3]에서 정의된 함수 [eqn: y=f (x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 21 [eqn: f(f(x) ) = f(x)] 의 서로 다른 모든 실근의 합을 구하여라. ▸8점 함수 [eqn: f(x) = x^2 -2x + k] [eqn: (x ge 1)]의 역함수를 [eqn: f^-1 (x)]라 하고, 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= f^-1 (x)]의 그래프의 교점을 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: rm bar OP = 4 root2]이다. 다음 물음에 답하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) 22 ⑴ 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라. ▸6점 ⑵ 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라. ▸2점	유리함수 [eqn: y= k overx]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후, 적당히 평행이동하면 유리함수 [eqn: y= 2x+3 overx-1]의 그래프와 겹쳐진다고 한다. 이때 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라. 23 ▸5점 유리함수 [eqn: f(x) = ax+b overx+c]의 그래프가 점 [eqn: ( 1,~3)]을 지나고, 두 점근선의 교점의 좌표가 [eqn: (-3,~2)]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라. 24 ▸6점 무리함수 [eqn: f(x)= a root x+b + c]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 [eqn: y= g(x)]의 그래프가 다음 그림과 같다. 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라. 25 ▸7점

함수

Ⅴ

01 ③	02 ④	03 ③	04 ②	05 ①

06 ⑤	07 ③	08 ④	09 ③	10 ④

11 ②	12 ③	13 ①	14 ①	15 ③

16 ③	17 ②	18 ②	19 ③

20 [eqn: left{-1,~0right}]	21 [eqn: 2]

22 ⑴ [eqn: \P (4,~4)]  ⑵ [eqn: -4]	23 [eqn: -5]	24 [eqn: 15]

25 [eqn: 4]

[eqn: f(2) = 2+1 = 3]

02

[eqn: f(17)][eqn: =f(13)][eqn: =f(9)][eqn: =f(5)][eqn: = f(1)][eqn: =2]

따라서    [eqn: f(2) +f(17)][eqn: =3+2 = 5]

[eqn: f(x) = a|x-1|+3x-4]에서

03

(ⅰ) [eqn: x <1]일 때

[eqn: f(x) = -a(x-1) +3x-4]

[eqn: = -(a-3 )x +a-4]

(ⅱ) [eqn: x ge 1]일 때

[eqn: f(x ) = a(x-1) +3x -4]

[eqn: = (a+3) x -(a+4 )]

함수 [eqn: f(x)]가 일대일대응이 되려면 (ⅰ), (ⅱ)의 일차함수 [eqn: f(x)]의 기울기의 부호가 서로 같아야 하므로

[eqn: -(a-3) (a+3 ) >0]

따라서    [eqn: -3 <a<3]

[eqn: (h circ g)(x ) =f(x)]에서 [eqn: h(g(x)) = f(x)]이므로  [eqn: h(-x+1 ) = 2x-3]

05

[eqn: -x + 1 = t]로 놓으면 [eqn: x = 1- t]이므로

[eqn: h(t) = 2(1-t) -3][eqn: = -2t-1]

따라서    [eqn: h(2) = -4 -1= -5]

[eqn: (f circf ) (2 ) = f(f(2)) = f(2 ) = 2]

08

[eqn: f^-1 (-3) = k]라 하면    [eqn: f(k) = -3]

이때 함숫값이 음수이려면 [eqn: k<1]이므로

[eqn: -k^2 + 2k = -3], [eqn: (k-3) (k+1 ) = 0]

즉, [eqn: k =-1]

따라서 [eqn: f ^{-1} (-3)=-1]이므로

[eqn: (f circ f)(2) + f^-1 (-3 )][eqn: = 2 -1 = 1]

점 [eqn: ( 4,~2)]를 지나므로 [eqn: 2 = k over4]에서    [eqn: k = 8]

12

곡선 [eqn: y= 8 overx]과 직선 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표를
[eqn: alpha]라 하면 [eqn: alpha = 8 overalpha]에서

[eqn: alpha = +- 2 root2]

따라서 두 교점의 좌표는

[eqn: (2root2 ,~2root2 )], [eqn: (-2root2 ,~- 2 root2 )]

이므로 두 교점 사이의 거리는

[eqn: root {(2root2 + 2 root2 ) ^2 + (2 root2 + 2 root2 )^2 }]

[eqn: = root64 = 8]

[eqn: y= 3-x overx-2][eqn: = 1overx-2 -1]이므로 점근선의 방정식은    [eqn: x =2], [eqn: y=-1]

13

이때 함수 [eqn: y= 3-x overx-2]의 그래프는 두 점근선
[eqn: x =2], [eqn: y=-1]의 교점인 [eqn: (2,``-1)]에 대하여 대칭이므로    [eqn: a = 2], [eqn: b = -1]

따라서    [eqn: a+b= 1]

[eqn: y= rootax+b + c][eqn: = root {a left( x + b overa right)} +c]

17

이므로    [eqn: a<0], [eqn: - b over a >0], [eqn: c<0]

즉, [eqn: a<0], [eqn: b>0], [eqn: c <0]

따라서 무리함수

[eqn: y= rootbx+c + a]

[eqn: = root {b left( x+ c overb right) } + a]

의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같이 제[eqn: 1], [eqn: 4]사분면을 지난다.

무리함수 [eqn: f(x) = root x+6]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 교점의 [eqn: x]좌표는 곡선

19

[eqn: f(x) = rootx+6]과 직선 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다. 즉, [eqn: rootx+6 = x]에서

[eqn: x+ 6 = x^2], [eqn: (x+2)(x-3) = 0]

이때 [eqn: x ge 0]이므로    [eqn: x = 3]

정답 및 해설

대단원 평가

[eqn: f(x) = [x] +[-x ]]에서 임의의 정수 [eqn: n]에 대하여

20

해결 과정

(ⅰ) [eqn: x = n]인 경우

[eqn: [x] = n], [eqn: [-x] =-n]

즉, [eqn: [x]+[-x]=n+(-n)=0]

▸3점

(ⅱ) [eqn: n <x<n+1]인 경우

[eqn: -n-1 <-x < -n]이므로

[eqn: [x ] = n], [eqn: [-x ] =- n-1]

즉, [eqn: [x]+[-x]=n+(-n-1)=-1]

▸3점

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)= {cases{````0&(x=n)#-1~&(n<x<n+1)}}]

▸1점

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: left{-1,~0right}]이다.

답 구하기

▸1점

[eqn: f(x ) =t]라고 하면 [eqn: f(f(x )) =f(x)]에서

21

문제 이해

[eqn: f(t) =t]

이 방정식의 실근은 함수 [eqn: y=f (t)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]의 교점의 [eqn: t]좌표이므로 주어진 그래프에 의하여

[eqn: t= -2], [eqn: t=1], [eqn: t=3]

▸3점

(ⅰ) [eqn: t =-2], 즉 [eqn: f(x ) =-2]일 때

해결 과정

[eqn: x =-2]

(ⅱ) [eqn: t =1], 즉 [eqn: f(x ) =1]일 때    [eqn: x =1]

(ⅲ) [eqn: t =3], 즉 [eqn: f(x ) =3]일 때    [eqn: x = 3]

▸4점

이상에서 방정식 [eqn: f(f(x )) =f(x)]의 모든 실근의 합은

답 구하기

[eqn: -2+1+3 = 2]

▸1점

⑴ 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=f^-1 (x)]의 그래프의 교점은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= x]의 교점과 같으므로

22

[eqn: x^2 - 2x + k = x], [eqn: x^2 - 3x + k = 0]

이 이차방정식의 한 근을 [eqn: alpha] [eqn: (alpha >0 )]라 하면

[eqn: alpha^2 - 3alpha + k = 0]  [eqn: cdots]… ㉠

▸4점

이때 교점은 [eqn: rmP ( it alpha ,~alpha )]이고

[eqn: rm bar OP = root {alpha^2 + alpha ^2 } = root2 alpha]이므로

[eqn: root2 alpha = 4 root2]에서    [eqn: alpha = 4]

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (4,~4 )]이다.

▸2점

⑵ ㉠에서    [eqn: 4^2 - 3 cdot 4 + k = 0]

[eqn: k = -4]

▸2점

함수 [eqn: y= k overx]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면    [eqn: -y= k overx], [eqn: y= - k overx]

23

해결 과정

▸1점

함수 [eqn: y= - k overx]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면

[eqn: y= - k overx-m + n][eqn: = {nx-mn -k} overx-m]

▸2점

이때 함수 [eqn: y= 2x+3 overx-1]의 그래프와 겹쳐지므로    [eqn: m=1], [eqn: n=2], [eqn: -mn-k = 3]

답 구하기

따라서    [eqn: k= -5]

▸2점

함수 [eqn: f(x) = ax+b overx+c]의 그래프가 점 [eqn: ( 1,~3)]을 지나므로

24

해결 과정

[eqn: 3 = a+b over1+c]	…… ㉠

▸2점

한편, [eqn: f (x ) = ax+b overx+c][eqn: = b-ac overx+c +a]이고 두 점근선의 교점의 좌표가 [eqn: (-3,~2)]이므로

[eqn: -c=-3], [eqn: a=2]

즉, [eqn: a = 2], [eqn: c = 3]	…[eqn: cdots] ㉡

▸2점

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: 3 = 2+b over1+3]에서    [eqn: b = 10]

▸1점

따라서    [eqn: a+b+c = 2 +10 +3 = 15]

답 구하기

▸1점

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수

25

문제 이해

[eqn: f(x) = a root x+b + c]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것이므로

[eqn: g(x) = a root -x+b + c]

▸2점

주어진 그림으로부터 구하는 무리함수를 [eqn: g(x) = a root -(x-2) +1]로 놓을 수 있으므로    [eqn: b= 2], [eqn: c= 1]

해결 과정

이때 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: (-2,~3)]을 지나므로 [eqn: 3 =2a+1]에서    [eqn: a =1]

▸4점

따라서    [eqn: a+b+c = 4]

답 구하기

▸1점