집합과 명제

Ⅳ

대단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

집합 [eqn: A="{"0,~1,~"{"1"}}"]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?

01

▸3점

① [eqn: 0 IN A]	② [eqn: "{"1"}" SUBSET A]

③ [eqn: "{"1"}" IN A]	④ [eqn: "{"0,~1"}" IN A]

⑤ [eqn: "{"0,~"{"1"}}" SUBSET A]

집합

02

[eqn: A= LEFT { x LEFT ∣ -3 LEQ 2x-3 LEQ 15,``` {x-1} over {2} RIGHT .]은 정수[eqn: LEFT . LEFT . pile{#} RIGHT }]

의 원소의 총합은?

▸3점

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

두 집합

03

[eqn: A = "{" x vert 0 le x le 4 ,``x]는 정수[eqn: `right}],

[eqn: B = "{" x vert x^2 -5x + 6 = 0 "}"]

에 대하여 집합 [eqn: C]를

[eqn: C= "{" z vert z = x+y ,``x in A ,`` y in B "}"]

라 할 때, 집합 [eqn: C`]의 모든 원소의 합은?

▸3점

① [eqn: 27]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 31]

집합 [eqn: A = "{" 1,~2,~3 "}"]에 대하여

04

[eqn: P (A ) = "{"X vert X subset A "}"]

라 할 때, 집합 [eqn: P(A)]의 원소의 개수는?

▸4점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

05

[eqn: "{" 1,~2 "}" subset X subset "{"1,~2,~3,~4,~5"}"]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는?

▸3점

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 32]

06

두 집합

[eqn: A = "{" x vert -1 < x le 5 "}"],

[eqn: B = "{" x vert a-2 <x <b +3 "}"]

에 대하여 [eqn: A subsetB]를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M], 정수 [eqn: b]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: |M-m|]의 값은?

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 집합

07

[eqn: A = "{" 0,~1,~3a+5 "}"], [eqn: B= "{" -4 ,~b, ~2b-3 "}"]

에 대하여 [eqn: A cap B = "{" 1,``2 "}"]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

전체집합 [eqn: U = "{" 1,~2,~3,~4,~5,~6 "}"]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A = "{" 2,~3 "}"]이고 08 [eqn: (A cup B ) cap (A^C cupB^C `) = "{"2,~4,~6 "}"] 일 때, 집합 [eqn: A^C cap B^C`]의 모든 원소의 합은? ▸3점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7] 전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 09 [eqn: "{" A cap (A^C cap B^C `) ^C `"}" cup "{" B cap (A cup B^C `) "}"] [eqn: = A cap B] 가 성립할 때, 다음 중 항상 옳은 것은? ▸3점 ① [eqn: A subset B] ② [eqn: B subset A] ③ [eqn: A^C = B] ④ [eqn: A cap B = emptyset] ⑤ [eqn: A = B^C] 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 다음 명제 중에서 참인 것은? 10 ▸3점 ① [eqn: x^2`=4]이면 [eqn: x=2]이다. ② [eqn: 6]의 배수는 [eqn: 12]의 배수이다. ③ 모든 실수의 제곱은 [eqn: 0]보다 크다. ④ 어떤 소수는 홀수가 아니다. ⑤ 사다리꼴은 평행사변형이다.	실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]와 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s], [eqn: t], [eqn: u]에 대하여 조건 11 [eqn: p`:`x^2`+y^2`+z^2`=0]의 부정 [eqn: sim p]의 진리집합과 같은 진리집합을 갖는 것은? ▸3점 ① [eqn: q`:`|x|+|y|+|z|=0] ② [eqn: r`:`|x|+|y|+|z| != 0] ③ [eqn: s`:`xyz=0] ④ [eqn: t`:`xyz != 0] ⑤ [eqn: u`:`sqrt x`+sqrt y`+sqrt z`=0] 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x``|``x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: `right]일 때, 조건 [eqn: p]의 진리집합을 [eqn: P]라 하자. 다음 중 옳지 않은 것은? 12 ▸3점 ① [eqn: p`:`][eqn: 5 < x < 10] [eqn: P ^{C} `= LEFT {1,~2,~3,~4,~5,~10RIGHT }] ② [eqn: p`:`][eqn: x]는 소수이다. [eqn: sim p`:`][eqn: x]는 짝수이다. ③ [eqn: p`:`][eqn: x^2`-2x+1=0] [eqn: P^C`=left{x`|`x !=1`right}] ④ [eqn: p`:`][eqn: x]는 [eqn: 5]의 배수이다. [eqn: sim p`:`][eqn: x]는 [eqn: 5]의 배수가 아니다. ⑤ [eqn: p`:`][eqn: x]는 [eqn: 12]의 약수이다. [eqn: P^C`=left{5,~7,~8,~9,~10`right}] 세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 명제 13 ‘[eqn: x^2`+y^2`+z^2`=xy+yz+zx]이면 [eqn: x=y=z]이다.’ 의 대우는? ▸3점 ① [eqn: x!=y] 또는 [eqn: y!=z] 또는 [eqn: z!=x]이면 [eqn: x^2`+y^2`+z^2`!=xy+yz+zx]이다. ② [eqn: x=y=z]이면 [eqn: x^2`+y^2`+z^2`=xy+yz+zx]이다. ③ [eqn: x!=y] 또는 [eqn: y!=z] 또는 [eqn: z!=x]이면 [eqn: x^2`+y^2`+z^2`=xy+yz+zx]이다. ④ [eqn: x^2`+y^2`+z^2`!=xy+yz+zx]이면 [eqn: x!=y] 또는 [eqn: y!=z] 또는 [eqn: z!=x]이다. ⑤ [eqn: x=y=z]이면 [eqn: x^2`+y^2`+z^2`!=xy+yz+zx]이다.

Ⅳ. 집합과 명제

대단원 평가
다음 명제 중에서 주어진 명제는 참이고 그 역은 거짓인 것은? (단, [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 실수이고 [eqn: i]는 허수 단위이다.) 14 ▸3점 ① [eqn: x>y]이면 [eqn: xz>yz]이다. ② [eqn: x+yi`]가 허수이면 [eqn: x=0]이다. ③ [eqn: xz=yz]이면 [eqn: x=y]이다. ④ [eqn: rm triangle ABC]가 정삼각형이면 [eqn: angle rm A=60 Deg]이다. ⑤ [eqn: |x|+y ^{2} `=0]이면 [eqn: x=y=0]이다. 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라고 하자. 명제 [eqn: p~->~q]가 참이고 명제 [eqn: r~->~ sim p]의 역이 참일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 15 ▸3점 ㄱ. [eqn: R`subset P^C] ㄴ. [eqn: (P-Q) SUBSET R] ㄷ. 명제 [eqn: sim r ~-> ~q]의 대우는 참이다. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 다음은 대우를 이용하여 주어진 명제가 참임을 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 순서대로 나열한 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수) 16 ▸3점 명제 ‘[eqn: a+b le 0]이면 [eqn: a le 0] 또는 [eqn: b le0]이다.’의 대우는 □이다. 대우가 □이므로 원래 명제도 □이다. ① [eqn: a>0], [eqn: b>0]이면 [eqn: a+b >0]이다., 참, 참 ② [eqn: a>0], [eqn: b>0]이면 [eqn: a+b >0]이다., 참, 거짓 ③ [eqn: a>0], [eqn: b>0]이면 [eqn: a+b >0]이다., 거짓, 참 ④ [eqn: a>0] 또는 [eqn: b>0]이면 [eqn: a+b >0]이다., 거짓, 참 ⑤ [eqn: a>0] 또는 [eqn: b>0]이면 [eqn: a+b >0]이다., 거짓, 거짓	실수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: A]가 17 ‘[eqn: x in A]이면 [eqn: sqrt2`x inA]이다.’ 를 만족시킬 때, 다음 중 옳은 것은? ▸4점 ① [eqn: 1 in A]이면 [eqn: 0 IN A] ② [eqn: A]의 원소가 무한개이면 [eqn: 0 in A] ③ [eqn: A]의 원소가 유한개이면 [eqn: 1 notin A] ④ [eqn: x in A]이면 [eqn: x+ sqrt {2} ` notin A] ⑤ [eqn: x in A], [eqn: y in A]이면 [eqn: x+y notin A] 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: P], [eqn: Q]라 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은? 18 ▸2점 ① [eqn: p``` RARROW ```q]이면 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건 ② [eqn: Q subset P]이면 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건 ③ [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건이면 [eqn: p~ RARROW ~q] ④ [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 충분조건이면 [eqn: P subset Q] ⑤ [eqn: p]는 [eqn: p]이기 위한 필요충분조건 다음은 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 명제 19 ‘[eqn: ac < 0]이면 이차방정식 [eqn: ax^2`+bx+c=0]은 서로 다른 두 실근을 가진다.’가 참임을 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 순서대로 나열한 것은? ▸3점 • 가정 : [eqn: ac < 0] • 결론의 부정 : 이차방정식 [eqn: ax^2`+bx+c=0]이 □을 갖는다. • 증명 : 판별식 [eqn: D=b^2`-4ac □ 0]에서 [eqn: ac □0] (가정에 모순) 따라서 원래 명제는 참이다. ① 허근, [eqn: ge], [eqn: le] ② 허근, [eqn: le], [eqn: le] ③ 중근 또는 허근, [eqn: ge], [eqn: le] ④ 중근 또는 허근, [eqn: le], [eqn: le] ⑤ 중근 또는 허근, [eqn: le], [eqn: ge]

Ⅳ. 집합과 명제
서 술 형 두 집합 20 [eqn: A="{"1,~2,~3,~4"}"], [eqn: B="{"4,~5"}"] 에 대하여 다음을 모두 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하여라. ▸5점 ㈎ [eqn: (A- B) cup X = X] ㈏ [eqn: (A cup B ) cap X = X] 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: A_n]을 21 [eqn: A_n = "{" x vert x]는 [eqn: n]의 배수[eqn: "}"] 라 하자. [eqn: A_n subset (A_6 cap A_ 8 )]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 [eqn: a], [eqn: (A_4 cupA_6 ) subset A_ n]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. ▸7점 어느 학교 [eqn: 100]명의 학생에게 세 문제 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 풀게 하였더니 [eqn: rmA] 문제를 푼 학생이 [eqn: 55]명, [eqn: rmB] 문제를 푼 학생이 [eqn: 42]명, [eqn: rmC] 문제를 푼 학생이 [eqn: 36]명이었다. 이 중에는 두 문제만 푼 학생이 [eqn: 29]명, 세 문제를 모두 푼 학생이 [eqn: 7]명이었다. 다음 물음에 답하여라. 22 ⑴ [eqn: 100]명의 학생 중 적어도 한 문제를 푼 학생 수를 구하여라. ▸6점 ⑵ [eqn: 100]명의 학생 중 한 문제도 풀지 못한 학생 수를 구하여라. ▸3점	네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이고, [eqn: r]는 [eqn: s]이기 위한 필요조건일 때, 상수 [eqn: a]의 최댓값 [eqn: M]과 최솟값 [eqn: m]의 합 [eqn: M+m]의 값을 구하여라. 23 ▸6점 [eqn: p`:` 3 le x le 7] [eqn: q`:`x le a] [eqn: r`:` x > a] [eqn: s`:` 11 < x le 200] 오른쪽 그림에서 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 각 변을 한 변으로 하는 정오각형의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이라 하면 [eqn: S_1`=S_2`+S_3]을 만족시킨다. 다음 물음에 답하여라. (단, [eqn: rm bar{BC}=5]를 한 변으로 하는 정오각형의 넓이가 [eqn: S_1]이다.) 24 ⑴ [eqn: rm bar{AB}+bar{AC}]의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: sqrt {2} M]의 값을 구하여라. ▸6점 ⑵ [eqn: rm bar{AB}+bar{AC}]의 값이 최대일 때의 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 4S`]의 값을 구하여라. ▸3점 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 25 [eqn: k"{"x^2 +2(k-1)x-4(k-1)"}"<0] 이 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라. ▸6점

집합과 명제

Ⅳ

01 ④	02 ②	03 ①	04 ④	05 ②

06 ②	07 ①	08 ④	09 ①	10 ④

11 ②	12 ②	13 ①	14 ④	15 ⑤

16 ①	17 ③	18 ④	19 ⑤	20 [eqn: 4]

21 [eqn: 26]	22 ⑴ [eqn: 90]  ⑵ [eqn: 10]	23 [eqn: 18]

24 ⑴ [eqn: 10]  ⑵ [eqn: 25]	25 [eqn: -3<k<0]

[eqn: A = "{" 0,~1,~2,~3,~4 "}"], [eqn: B= "{" 2,~3 "}"],

03

[eqn: C = "{" 2, ~3,~ 4,~5,~6,~7 "}"]

따라서 집합 [eqn: C`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+3+4+5+6+ 7 = 27]

집합 [eqn: A = "{" 1,``2,``3 "}"]의 부분집합의 개수는 [eqn: 8]이므로 집합 [eqn: P(A)]의 원소의 개수는 [eqn: 8]이다.

04

집합 [eqn: X]는 원소 [eqn: 1], [eqn: 2]를 반드시 포함하는 집합 [eqn: "{" 1,~2,~3,~4,~5 "}"]의 부분집합이므로

05

[eqn: "{"1,~2"}"], [eqn: "{"1,~2,~3"}"], [eqn: "{"1,~2,~4"}"], [eqn: "{"1,~2,~5"}"],

[eqn: "{"1,~2,~3,~4"}"], [eqn: "{"1,~2,~3,~5"}"], [eqn: "{"1,~2,~4,~5"}"],

[eqn: "{"1,~2,~3,~4,~5"}"]

의 [eqn: 8]개이다.

[eqn: A subset B]를 만족하려면 [eqn: a-2 le -1], [eqn: b+3 > 5]이어야 하므로    [eqn: a le 1], [eqn: b>2]

06

이때 정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 1], 정수 [eqn: b]의 최솟값은 [eqn: 3]이므로

[eqn: M = 1], [eqn: m = 3]

따라서    [eqn: | M-m | = 2]

[eqn: 2 in A]이므로

07

[eqn: 3a+5 = 2], [eqn: a = -1]

[eqn: A SMALLINTER B="{"1,~2"}"]이므로 [eqn: b=1] 또는 [eqn: b=2]이다.

(ⅰ) [eqn: b = 1]이면

[eqn: B = "{"-4,~-1,~1 "}"]이므로 [eqn: A cap B = "{"1 "}"]이 되어 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: b =2]이면

[eqn: B= "{" -4,~1,~2 "}"]이므로 [eqn: A cap B = "{"1,~2 "}"}]

따라서 [eqn: a = -1], [eqn: b= 2]이므로

[eqn: a+b = -1+2 =1]

[eqn: (A cupB) cap (A cap B)^C = (A cup B) -(A cap B)]

08

[eqn: = "{" 2,~4,~6 "}"]

이므로 이를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

[eqn: A^C cap B^C][eqn: = (A cupB )^C]

[eqn: ="{"1,~5"}"]

따라서 집합 [eqn: A^C cap B^C]의 모든 원소의 합은    [eqn: 1+5 = 6]

[eqn: "{" A cap (A^C cap B^C` ) ^C "}" cup "{" B cap (A cup B^C ` ) "}"]

09

[eqn: = "{" A cap (A cupB) "}" cup "{" (B cap A) cup (B cap B^C` ) "}"]

[eqn: = A cup "{" (A cap B ) cup emptyset"}"]

[eqn: = A cup (A cap B )][eqn: = A]

즉 [eqn: A cap B=A]이므로   [eqn: A subset B]

조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s], [eqn: t], [eqn: u]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R], [eqn: S], [eqn: T], [eqn: U]라 하면

11

[eqn: P^C`= LEFT { (x,~y,~z)`|`x!=0~또는~y!=0~또는~z!=0 RIGHT }]

[eqn: Q`= LEFT { (x,~y,~z)`|`x=y=z=0 RIGHT }]

[eqn: R`= LEFT { (x,~y,~z)`|`x!=0~또는~y!=0~또는~z!=0 RIGHT }]

[eqn: S`= LEFT { (x,~y,~z)`|`x=0~또는~y=0~또는~z=0 RIGHT }]

[eqn: T`= LEFT { (x,~y,~z)`|`x!=0~그리고~y!=0~그리고~z!=0 RIGHT }]

[eqn: U`= LEFT { (x,~y,~z)`|`x=y=z=0 RIGHT }]

① [eqn: z<0]이면 [eqn: xz<yz]이므로 거짓인 명제이다.

14

② [eqn: 2+i]는 허수이지만 [eqn: x!=0]이므로 거짓인 명제이다.

③ [eqn: x=1], [eqn: y=2], [eqn: z=0]이면 [eqn: xz=yz]이지만

[eqn: x!=y]이므로 거짓인 명제이다.

⑤ 주어진 명제도 참이고 역 ‘[eqn: x=y=0]이면

[eqn: |x|+y^2 =0]이다.’도 참인 명제이다.

[eqn: p~ -> ~q]에서 [eqn: P subset Q], [eqn: SIM p~ -> ~r]에서 [eqn: P^C`subsetR]

15

즉, [eqn: R^C` subset P]이므로    [eqn: R^C`subset P subset Q]

ㄴ. [eqn: P-Q= EMPTYSET]이므로    [eqn: (P-Q) SUBSET R]

ㄷ. [eqn: Q ^{C} ` SUBSET R]이므로 [eqn: SIM q~ -> ~r]은 참이다.

[eqn: x=0]이면 [eqn: sqrt {2} x=0]이므로   [eqn: left{ 0 right} subset A]

17

[eqn: x !=0]이면  [eqn: LEFT { x,`` sqrt {2} x,~2x,~2 sqrt {2} x,~ CDOTS RIGHT } SUBSET A]

정답 및 해설

대단원 평가

① [대우] [eqn: 0 NOTIN A]이면 [eqn: 1 notin A]

[반례] [eqn: LEFT { 1,`` sqrt {2} ,~2,~2 sqrt {2} ,` CDOTS RIGHT } SUBSET A]	(거짓)

② [대우] [eqn: 0 notin A]이면 [eqn: A]의 원소는 유한개이다.

[반례] [eqn: LEFT { 1,~ sqrt2`,~2,~2sqrt2`,~cdots` RIGHT } subset A](거짓)

④ [대우] [eqn: x+ sqrt {2} `IN A]이면 [eqn: x notin A]

[반례] [eqn: x=0]일 때, [eqn: LEFT { 0,~ sqrt {2} `,~2,~ CDOTS ` RIGHT } SUBSET A]

(거짓)

⑤ [대우] [eqn: x+y IN A]이면   [eqn: x notin A] 또는 [eqn: y notin A]

[반례] [eqn: x=1,~y=-1]일 때,

[eqn: LEFT { CDOTS ,~- sqrt {2} ,~-1,~0,~1,~ sqrt {2} ,` CDOTS RIGHT } SUBSET A]

(거짓)

[eqn: A-B="{"1,~2,~3"}"]

20

문제 이해

[eqn: A CUP B="{"1,~2,~3,~4,~5"}"]

▸2점

집합 [eqn: X]는 원소 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 반드시 포함하는 집합 [eqn: "{"1,~2,~3,~4,~5"}"]의 부분집합이다.

해결 과정

▸1점

따라서 집합 [eqn: X]는

답 구하기

[eqn: "{"1,~2,~3"}"], [eqn: "{"1,~2,~3,~4"}"], [eqn: "{"1,~2,~3,~5"}"],

[eqn: "{"1,~2,~3,~4,~5"}"]의 [eqn: 4]개이다.

▸2점

[eqn: A_n subset][eqn: A_6 cap A_ 8 = A_24]를 만족시키는 [eqn: n]은 [eqn: 24]의 배수이므로 [eqn: n]의 최솟값 [eqn: a=24]이다.

21

해결 과정

▸3점

[eqn: (A_4 cup A_6 ) subset A_n]을 만족시키는 집합 [eqn: A_n]은 [eqn: 4] 또는 [eqn: 6]의 배수를 원소로 하므로 [eqn: n]의 최댓값 [eqn: b]는 [eqn: 4]와 [eqn: 6]의 최대공약수인 [eqn: 2]이다.

▸3점

따라서    [eqn: a +b = 26]

답 구하기

▸1점

⑴ 학생 전체의 집합을 [eqn: U], [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C] 문제를 푼 학생의 집합을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]라 하면

22

[eqn: n (U) =100], [eqn: n (A) = 55], [eqn: n (B) =42],

[eqn: n (C) = 36], [eqn: n (A cap B cap C ) = 7]

▸3점

두 문제만 푼 학생은 [eqn: ①+②+③][eqn: =29]이므로

[eqn: n (A cup B cup C)]

[eqn: =55+42+36]

[eqn: -(①+7)][eqn: -(②+7)-(③+7) +7]

[eqn: = 119 -(①+②+③)][eqn: = 119 - 29 = 90]

따라서 적어도 한 문제를 푼 학생 수는 [eqn: 90]이다.

▸3점

⑵   [eqn: n (A^C cap B^C cap C^C` )]

[eqn: = n (U) - n(A cup B cup C)]

[eqn: = 100 - 90= 10]

따라서 한 문제도 풀지 못한 학생 수는 [eqn: 10]이다.

▸3점

네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R], [eqn: S]라 하면

23

문제 이해

▸1점

해결 과정

[eqn: P= LEFT { x`|`3 LEQ x LEQ 7 RIGHT } SUBSET LEFT { x`|`x LEQ a RIGHT } =Q]

에서    [eqn: a` GEQ `7]

[eqn: S= LEFT { x`|` 11<x LEQ 200RIGHT } subset LEFT { x`|`x>a RIGHT } =R]

에서    [eqn: a le 11]

이므로    [eqn: 7 le a le 11]

▸4점

따라서   [eqn: M+m= 11+7=18]

▸1점

⑴ [eqn: bar{rm `AB it} =b], [eqn: bar{rm `AC it} =c]라 하면 [eqn: bar{rm`BC} =5]이므로 상수 [eqn: k]에 대하여

24

[eqn: S _{1} `=5 ^{2} k`,~S _{2} `=b ^{2} k`,~S _{3} `=c ^{2} k`]

[eqn: 5^2`k=b^2`k+c^2`k], [eqn: b ^{2} +c ^{2} `=5 ^{2} ~ CDOTS]㉠

▸2점

한편, 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

[eqn: (1 ^{2} +1 ^{2} `)(b ^{2} `+c ^{2} `) GEQ (b+c) ^{2}]  [eqn: CDOTS]㉡

▸2점

(단, 등호는 [eqn: b=c]일 때 성립한다.)

㉠, ㉡으로부터   [eqn: b+c LEQ sqrt {2 TIMES 5 ^{2}}=5sqrt2]

[eqn: sqrt {2} `M= sqrt {2} ` TIMES 5sqrt2`=10]

▸2점

⑵ [eqn: b=c]일 때 [eqn: b+c], 즉 [eqn: rm bar{AB}+bar{AC}]의 값이 최대이므로 [eqn: rm triangleABC]의 넓이 [eqn: S]에 대하여

[eqn: 4S=4 TIMES {1} over {2} LEFT ( {5} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} =4 TIMES {25} over {4} =25]

▸3점

(ⅰ) [eqn: k=0]일 때, 주어진 부등식은 성립하지 않는다.

25

해결 과정

▸2점

(ⅱ) [eqn: k!=0]일 때, 주어진 부등식이 모든 실수에 [eqn: x]에 대하여 성립하므로    [eqn: k<0]

[eqn: x^2 +2(k-1)x-4(k-1)>0]

▸3점

방정식 [eqn: x^2 +2(k-1)x-4(k-1)=0]의

판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over4 =(k-1)^{2} +4(k-1)<0]

[eqn: (k+3)(k-1)<0], 즉 [eqn: -3<k<1]

(ⅰ), (ⅱ)에서   [eqn: -3<k<0]

답 구하기

▸1점