도형의 방정식

Ⅲ

대단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

두 점 [eqn: {rmA}(a`,~3)`,~{RMB}(`-1`,~3a`)] 사이의 거리가 [eqn: 3root2]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

01

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: root5]	⑤ [eqn: 3]

두 점 [eqn: rm A ( -1,~ 2 )], [eqn: rm B ( 4,~ 5 )]에서 같은 거리에 있는 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm P]와 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는?

02

▸3점

① [eqn: {12 sqrt {21}} over {5}]	② [eqn: {12 sqrt {34}} over {5}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {6 sqrt {34}} over {5}]	⑤ [eqn: {18 sqrt {21}} over {5}]

두 점 [eqn: rm A(-3,~0)], [eqn: rm B(2,~5)]를 이은 선분 [eqn: rm { AB }]를 [eqn: 3``:``2]로 내분하는 점 [eqn: rm { P }]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 할 때, [eqn: x+y]의 값은?

03

▸2점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

세 점 [eqn: rmO(0,~0)], [eqn: rm A(1,~2)], [eqn: rm B(5,~-2)]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm triangle ABO]가 있다. 직선 [eqn: y=mx]가 선분 [eqn: rmAB]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE OAD: TRIANGLE OBD`=`3`:`1]일 때, 상수 [eqn: m]의 값은?

04

▸4점

① [eqn: - 1over5]	② [eqn: - 1over4]	③ [eqn: - 1over3]

④ [eqn: - 1over2]	⑤ [eqn: -1]

05

두 점 [eqn: rmA(-2,~1)], [eqn: rmB(3,~6)]을 이은 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3``:``2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], [eqn: 1``:``2]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: bar{ rm PQ}]의 중점의 좌표는?

▸2점

① [eqn: (-3,~0)]	② [eqn: (-3,~1)]	③ [eqn: (-2,~-1)]

④ [eqn: (-2,~1)]	⑤ [eqn: (-1,~0)]

직선 [eqn: l`]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 이 직선 위의 점은?

06

▸3점

① [eqn: (-1,~3)]

② [eqn: (0,~1)]

③ [eqn: (2,~1)]

④ [eqn: (2,~-2)]

⑤ [eqn: (3,~-1)]

직선 [eqn: 3x-y=1]에 평행하고 점 [eqn: (1,~-2)]를 지나는 직선의 방정식은? 07 ▸2점 ① [eqn: y=3x-5] ② [eqn: y=3x-6] ③ [eqn: y=3x-7] ④ [eqn: y=5x-5] ⑤ [eqn: y=5x-7] 08 다음 중 직선 [eqn: y=3x+1]과 서로 수직인 직선의 방정식은? ▸3점 ① [eqn: 3x+y=1] ② [eqn: 3x-y=1] ③ [eqn: 3x+y=-1] ④ [eqn: x+3y=1] ⑤ [eqn: x-3y=1] 두 점 [eqn: rm A(3,~2)], [eqn: \B it(a,~b)]를 지나는 직선이 직선 [eqn: x+2y-3=0`]과 수직으로 만나고, 그 교점은 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2`` :`` 1]로 내분한다. 이때 [eqn: 3a+b`]의 값은? 09 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9] 원점에서 직선 [eqn: ax-y+2=0]에 내린 수선의 길이가 [eqn: 1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? 10 ▸3점 ① [eqn: +- SQRT {2 }] ② [eqn: +- SQRT {3 }] ③ [eqn: +-2] ④ [eqn: +- SQRT {5 }] ⑤ [eqn: +- SQRT {6 }]	중심의 좌표가 [eqn: (1,~-2)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원의 방정식이 11 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x+4y+k=0] 일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 0] ③ [eqn: -2] ④ [eqn: -4] ⑤ [eqn: -6] [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rm A(-2,~0)], [eqn: rm B(4,~0)]과 [eqn: y`]축 위의 두 점 [eqn: rm C(0,~2+2root3 )], [eqn: rm D(0,~2-2root3 )]을 동시에 지나는 원의 넓이는? 12 ▸3점 ① [eqn: 11` pi] ② [eqn: 13` pi] ③ [eqn: 15` pi] ④ [eqn: 16` pi] ⑤ [eqn: 18` pi] 직선 [eqn: 2x+y-k=0]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =3]에 접할 때, 양수 [eqn: k]의 값은? 13 ▸3점 ① [eqn: root3`] ② [eqn: sqrt {5} `] ③ [eqn: sqrt {7}] ④ [eqn: sqrt {10}] ⑤ [eqn: sqrt {15}]

Ⅲ. 도형의 방정식

대단원 평가
오른쪽 그림과 같이 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: rm barOP]에 수직인 직선 [eqn: l]이 직선 [eqn: x+y=3]과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 할 때, [eqn: rmbarPQ]의 길이의 최솟값은? 14 (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) ▸4점 ① [eqn: 2] ② [eqn: root14 over 2] ③ [eqn: root3] ④ [eqn: root10 over 2] ⑤ [eqn: 3 over 2] 원 [eqn: x^2 +y^2 =5]와 직선 [eqn: y=x-1]의 교점에서의 접선을 각각 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}]라 하자. 이때 두 접선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}]의 기울기의 곱은? 15 ▸3점 ① [eqn: 1] ②[eqn: root2] ③ [eqn: root3] ④ [eqn: 2] ⑤[eqn: root5] 점 [eqn: (x,~y)]를 점 [eqn: (x+a,~y+b)]로 옮기는 평행이동에 의하여 점 [eqn: ( -3 ,~ 1 )]이 점 [eqn: ( 2 ,~ -1 )]로 옮겨질 때, 이 평행이동에 의하여 점 [eqn: (-1,~3)]이 옮겨지는 좌표는? 16 ▸2점 ① [eqn: (2,~3)] ② [eqn: (3,~1)] ③ [eqn: (3,~2)] ④ [eqn: (4,~1)] ⑤ [eqn: (4,~2)]	원 [eqn: (x+1) ^{2} +(y-1) ^{2} =5]를 원 17 [eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2} =5]로 이동시키는 평행이동에 의하여 직선 [eqn: 3x-2y+7=0]이 옮겨지는 도형의 방정식은? ▸3점 ① [eqn: 3x-2y+1=0] ② [eqn: 3x-2y-1=0] ③ [eqn: 3x-2y-2=0] ④ [eqn: 3x-2y-3=0] ⑤ [eqn: 3x-2y-4=0] 직선 [eqn: ax+2y+3=0]([eqn: a != 0)]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하였더니 직선 [eqn: 2x+3y+1=0]과 수직이 되었다. 이때 상수 [eqn: a`]의 값은? 18 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 좌표평면 위에서 점 19 [eqn: rm A _{1}(1,~0)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm B _{1}]이라 하고, 점 [eqn: rm B _{1}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm A _{2}]라 하자. 이와 같이 점 [eqn: {RMA}_n][eqn: (n=1,``2,``3,`` CDOTS )]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rmB}_n]이라 하고, 점 [eqn: {rmB}_n]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: {rmA}_n+1]이라고 할 때, 점 [eqn: rm A _99]의 좌표는? ▸4점 ① [eqn: (49,~50)] ② [eqn: (49,~51)] ③ [eqn: (50,~49)] ④ [eqn: (50,~51)] ⑤ [eqn: (51,~49)]

Ⅲ. 도형의 방정식
서 술 형 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 할 때, 등식 20 [eqn: RM {barAB}^2 +RM {barBC} ^2 +RM {barCA} ^2][eqn: =3 LEFT ( rm {bar{AG }} ^{2}+ rm {bar{BG }} ^{2}+ rm {bar{CG }}^{2} RIGHT )] 이 성립함을 설명하여라. ▸6점 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA (8, ~0)], [eqn: rmB (0,~4)]가 있다. [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmoverlinePA =overline PB], [eqn: rmoverlineQA =overline QB]가 성립할 때, [eqn: {bar{\PQ }}^2]의 값을 구하여라. 21 ▸7점 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: root5]인 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 두 꼭짓점 [eqn: \A], [eqn: \B]가 각각 [eqn: y]축, [eqn: x]축 위에 있고, [eqn: rmB(1,~0)]일 때, 다음 물음에 답하여라. 22 ⑴ 점 [eqn: rmA]의 좌표를 구하여라. ▸3점 ⑵ 직선 [eqn: rmCD]의 방정식을 구하여라. ▸5점	직선 [eqn: x+y-4+k(x-2y-1)=0]에 접하고 중심의 좌표가 [eqn: (-1,~-1)]인 원 중에서 넓이가 최대인 원의 반지름의 길이를 구하여라. 23 ▸7점 다음 그림과 같이 원 [eqn: x^2 +y^2 =4] 위의 한 점 [eqn: rmP]와 두 점 [eqn: rm A(-4,~0)],[eqn: rm ~B(0,~3)]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: TRIANGLE rm PAB]가 있다. 물음에 답하여라. 24 ⑴ 직선 [eqn: rmAB]의 방정식을 구하여라. ▸2점 ⑵ [eqn: TRIANGLE rm PAB]의 넓이의 최댓값을 구하여라. ▸6점 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 두 정사각형 [eqn: rm ABCD]와 [eqn: rm PQRS]가 있다. 점 [eqn: rm A]는 직선 25 [eqn: 4x-3y+11=0]위를 움직이고, 점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: 4x-3y-18=0``]위를 움직일 때, 두 점 [eqn: rm C]와 [eqn: rm R``]사이의 거리의 최솟값을 구하여라. (단, [eqn: bar{ rm AB}]와 [eqn: bar{ rm PQ}]는 항상 [eqn: y]축과 평행하게 움직인다.) ▸8점

도형의 방정식

Ⅲ

01 ③	02 ④	03 ③	04 ②	05 ①

06 ④	07 ①	08 ④	09 ③	10 ②

11 ④	12 ②	13 ⑤	14 ②	15 ①

16 ④	17 ②	18 ③	19 ③

20 해설 참조	21 [eqn: 45]

22 ⑴ [eqn: (0,~2)]  ⑵ [eqn: y=-2x+7]

23 [eqn: 2` sqrt {5} `]

24 ⑴ [eqn: 3x-4y+12=0]  ⑵ [eqn: 11]	25 [eqn: 3]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표를 각각 [eqn: ( a,~ 0 )], [eqn: ( 0,~ b )]라 하면 [eqn: rm bar AP = bar BP]에서

02

[eqn: root { ( a + 1 )^2 + 2^2` } = root { ( a - 4 )^2 + 5^2` }]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 10a = 36], 즉 [eqn: a= {18} over {5}]

[eqn: RM BAR AQ = bar BQ]에서

[eqn: root { 1^2 + ( b - 2 )^2` } = root { 4^2 + ( b - 5 )^2` }]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 6b = 36], 즉 [eqn: b = 6]

따라서

[eqn: rm bar{PQ} ` it = sqrt {a ^{2} `+b ^{2} `} `=` sqrt {{324} over {25} +36}][eqn: `=` {6 sqrt {34}} over {5}]

점 [eqn: rmD]는 [eqn: rm bar{AB}]를 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점이다.

04

이때 점 [eqn: rmD]의 좌표는

[eqn: rm D left({3 times 5+1 times 1} over {3+1},~{3 times (-2)+1 times 2} over {3+1}right)`]

즉, [eqn: rmD(4, ~-1)]

따라서 [eqn: m]은 직선 [eqn: rmOD]의 기울기이므로

[eqn: m=- {1} over {4}]

직선 [eqn: rm AB`]의 기울기는 [eqn: 2`]이므로

09

[eqn: {b-2} over {a-3} =2`], [eqn: b=2a-4`][eqn: ~CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: rm bar{AB} `]를 [eqn: 2``:``1]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: {pmatrix{{2a+3} over {3} ,~ {2b+2} over {3}}}]이고, 이 점은 직선

[eqn: x+2y-3=0`] 위에 있으므로

[eqn: {2a+3} over {3} +2cdot{2b+2} over {3} -3=0`]

[eqn: a+2b-1=0`]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면    [eqn: a= {9} over {5}], [eqn: b=- {2} over {5}]

따라서    [eqn: 3a+b=5`]

원의 방정식은    [eqn: (x-1) ^{2} +(y+2) ^{2} =9]

11

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x+4y-4=0]이므로

[eqn: k=-4]

[eqn: bar{rmAB}]의 중점의 [eqn: x]좌표는

12

[eqn: x={-2+4} over {2} =1]

[eqn: bar{rm CD}]의 중점의 [eqn: y]좌표는

[eqn: y= {2+2root3 +2-2root3 } over {2} =2]

이므로 원의 중심의 좌표를 [eqn: RMP]라 하면

[eqn: rmP(1,~2)]

[eqn: bar{rm PA}][eqn: = sqrt {(1+2) ^{2} +(2-0) ^{2}}][eqn: =root{13}]

따라서 구하는 원의 넓이는

[eqn: ( sqrt {13} ) ^{2} pi =13 pi]

[eqn: y=-2x+k]를 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =3]에 대입하여 전개하면    [eqn: 5x ^{2} -4kx+k ^{2} -3=0]

13

[eqn: {D} over {4} =4k ^{2} -5(k ^{2} -3)=0]이어야 하므로

[eqn: -k ^{2} +15=0], [eqn: k= +- root {15}]

그런데 [eqn: k>0]이므로   [eqn: k= root {15}]

직각삼각형 [eqn: \OPQ]에서

14

[eqn: rm {barPQ}^{2}=rm {barOQ} ^{2} -1]이고,

[eqn: rm barOQ]의 길이의 최솟값, 즉, 원점 [eqn: rm O]에서 직선

[eqn: x+y=3]까지의 거리는

[eqn: {LEFT | -3 RIGHT |} over {sqrt {2}} = {3} over {sqrt {2}} = {3 sqrt {2}} over {2}]

[eqn: rm bar{PQ} GEQ sqrt {LEFT ( {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} -1} = {sqrt {14}} over {2}]

따라서 [eqn: bar{rmPQ}]의 길이의 최솟값은 [eqn: {sqrt {14}} over {2}]이다.

정답 및 해설

대단원 평가

[eqn: y=x-1]을 [eqn: x^2 +y^2 =5]에 대입하여 전개하면

15

[eqn: x^2 -x-2=0], [eqn: (x-2)(x+1)=0]

따라서    [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-1]

교점의 좌표는    [eqn: (2,~1)], [eqn: (-1,~-2)]

원의 중심과 교점을 지나는 직선의 기울기는 각각    [eqn: {1} over {2}], [eqn: 2]

즉, 두 접선의 기울기는 [eqn: -2`], [eqn: - {1} over {2}]이므로

구하는 값은    [eqn: -2` TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) `=`1]

점 [eqn: rmB _{1}], [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2}], [eqn: rm A _{3}], [eqn: rmB _{3}], [eqn: CDOTS]를 차례로 구하면

19

[eqn: rm A _{1} (1,~0) -> rm`B _{1} (0,~1)][eqn: rm -> A _{2} (1,``1)][eqn: rm -> B _{2} (1,``1)]

[eqn: rm -> A _{3} (2,~1) -> B _{3} (1,~2) ->][eqn: rm A _{4} (2,~2) ->][eqn: rm B _{4} (2,~2) ->][eqn: rm A _{5} (3,~2) -> B _{5} (2,~3) ->][eqn: CDOTS]이므로

[eqn: rm A _{1} (1,~0)], [eqn: rm A _{3} (2,~1)], [eqn: rm A _{5} (3,~2)], [eqn: rm A _{7} (4,~3)], [eqn: CDOTS], 즉 [eqn: rm`A][eqn: {} _{2n-1} (n,~n-1)][eqn: (n=1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS )]

따라서 점 [eqn: rm A_99]의 좌표는    [eqn: (50,~49)]

[eqn: {RM A}(-a,~0)], [eqn: {RM B}(a,~0)], [eqn: {RM C}(3b,~3c)]로 놓으면 [eqn: rm triangleABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는

20

문제 이해

[eqn: LEFT ( {-a+a+3b} over {3} ,~ {3c} over {3} RIGHT )], 즉 [eqn: (b,~c)]

▸2점

[eqn: RM {barAG} ^2 +RM {barBG} ^2 +RM {barCG}^2]

해결 과정

[eqn: =2a^2 +6b^2 + 6c^2]

▸2점

[eqn: RM {barAB}^{2}+RM {barBC} ^2 +RM {barCA} ^2][eqn: = 6a^2 +18b^2 + 18c^2]

따라서

답 구하기

[eqn: RM {barAB}^2 +RM {barBC} ^2 +RM {barCA} ^2][eqn: =3 left(RM {bar AG} ^{2} +RM {barBG}^{2} +RM {barCG}^{2} right)]

▸2점

[eqn: rmoverlinePA =overline PB], [eqn: rmoverlineQA =overline QB]이므로 두 점 [eqn: \P], [eqn: \Q]는 [eqn: rmbarAB`]의 수직이등분선 위의 점이다.

21

문제 이해

▸2점

[eqn: rm barAB]의 중점의 좌표는 [eqn: (4, ~2)], [eqn: rm barAB]의 수직이등분선의 기울기가 [eqn: 2]이므로 [eqn: rm barAB]의 수직이등분선의 방정식은

해결 과정

[eqn: y-2=2(x-4)], [eqn: y=2x-6]

즉, [eqn: rmP(3,~0)], [eqn: rmQ(0,~-6)]

▸4점

따라서   [eqn: rm {barPQ}^2 =3^2 +(-6)^2 =45]

답 구하기

▸1점

⑴ 점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (0,~a)] [eqn: (a>0)]로 놓으면

22

[eqn: {rmbarAB}`=`root{ 1^2`+`a^2`}`=`root5]

따라서 [eqn: a=2]이므로 점 [eqn: \A]의 좌표는

[eqn: (0,~2)]

▸3점

⑵ 직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: -2]이므로 직선 [eqn: rmCD]의 방정식을 [eqn: y=-2x+k]로 놓으면

[eqn: {|`2-k|} over{ root{2^2 +1`}}`=`root5], [eqn: 2-k= +- 5]

[eqn: k>0]이므로    [eqn: k=7]

▸4점

따라서 직선 [eqn: rmCD]의 방정식은

[eqn: y=-2x+7]

▸1점

[eqn: (1+k)x+(1-2k)y-4-k=0]에서

23

해결 과정

[eqn: r= {|-(1+k)-(1-2k)-4-k|} over {sqrt {(1+k) ^{2} +(1-2k) ^{2} } }]

[eqn: = 6 over {root{5left(k - 1 over 5right)^2 + 9 over 5}}]

▸4점

따라서 [eqn: r`]의 최댓값은 [eqn: 2 sqrt {5}]이다.

답 구하기

▸3점

⑴ [eqn: x over-4 + y over3 =1], [eqn: y= 3 over 4 x+3]

24

즉, [eqn: 3x-4y+12=0]

▸2점

⑵ [eqn: rm bar{AB} = sqrt {4 ^{2} +3 ^{2} } =5]

원의 중심과 직선 [eqn: 3x-4y+12=0] 사이의 거리는 [eqn: {|12|} over {sqrt {3 ^{2} +(-4) ^{2}} } = {12} over {5}]이므로

[eqn: TRIANGLE rm PAB]의 높이는    [eqn: {22} over {5}]

▸4점

구하는 값은    [eqn: {1} over {2} TIMES 5 TIMES {22} over {5}][eqn: =11]

▸2점

점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmA]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: 4(x-1)-3(y+1)+11=0]

25

해결 과정

▸2점

점 [eqn: rm R]는 점 [eqn: rm P]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: 4(x+1)-3(y-1)-18=0``]

▸2점

최소 거리는 직선 [eqn: 4x-3y+4=0] 위의 점 [eqn: (-1,~0)]에서 직선 [eqn: 4x-3y-11=0] 사이의 거리이므로    [eqn: {vert -4-11 vert } over {sqrt {4 ^{2} +(-3) ^{2}}}=3]

답 구하기

▸4점