방정식과 부등식

Ⅱ

대단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

[eqn: 2x-3yi+y-2x i=5-3i]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은?

01

▸2점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: f(x)=ax^2 +bx+c]에 대하여

02

[eqn: f LEFT ( { 2} over {1+i } RIGHT )=5+3i]

가 성립할 때, [eqn: f(1+i)=p+qi]이다. 실수 [eqn: p], [eqn: q]의 합 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]는 실수)

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -5x -k=0]이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k`]의 최댓값은?

03

▸3점

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식

04

[eqn: x^2 +2(k+a)x +k^2 +a^2 +bk +b-2=0]

이 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 중근을 가질 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

▸3점

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -6k x +6k-1=0]의 두 근의 차가 [eqn: 2]일 때, 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은?

05

▸4점

① [eqn: { 1} over { 3}]	② [eqn: { 2} over { 3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: { 4} over { 3}]	⑤ [eqn: { 5} over { 3}]

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax -5]의 그래프와 [eqn: x`]축이 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: x=1], [eqn: x=b]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

06

▸3점

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx +c]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 이차방정식 [eqn: cx^2 +bx +a=0]의 두 근의 합은? 07 (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수) ▸3점 ① [eqn: -{ 1} over { 2}] ② [eqn: -{ 2} over { 5}] ③ [eqn: -{ 3} over { 10}] ④ [eqn: -{ 1} over { 5}] ⑤ [eqn: -{ 1} over { 10}] 이차함수 [eqn: y=x^2 -3x +a]의 그래프와 직선 [eqn: y=x +3]이 서로 만나지 않기 위한 자연수 [eqn: a`]의 최솟값은? 08 ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] [eqn: 0 leq x leq 4`]에서 이차함수 [eqn: f(x) =-2x^2 +4x +k`]의 최댓값이 [eqn: 5]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? 09 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]	어느 가게에서는 [eqn: rmA] 상품 한 개당 [eqn: 300]원의 이익을 남기고 팔면 하루에 [eqn: 400]개를 팔 수 있는데, [eqn: rmA] 상품 한 개당 이익금을 [eqn: 10]원 줄일 때마다 [eqn: 20]개씩 더 팔린다고 한다. 이 가게에서 하루 동안 [eqn: rmA] 상품을 팔아 얻을 수 있는 최대의 이익금은? 10 ▸4점 ① [eqn: 115000]원 ② [eqn: 117000]원 ③ [eqn: 120000]원 ④ [eqn: 123000]원 ⑤ [eqn: 125000]원 사차방정식 [eqn: x^4 +2x^3 +3x^2 -2x-4=0]의 모든 실근의 합은? 11 ▸3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 삼차방정식 [eqn: x^3 -5x^2 +ax=0]이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 자연수 [eqn: a`]의 개수는? 12 ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10]

Ⅱ. 방정식과 부등식

대단원 평가
다음 두 연립방정식의 해가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 값은? 13 ▸3점 [eqn: cases {x+2y=5#x+ay=7^`^`], [eqn: cases{2x+y=4#xy+y^2 =b^`^`] ① [eqn: 6] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 15] ⑤ [eqn: 18] [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{x+y=3 # x^2 +y^2 =k^`^`]가 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 최솟값은? 14 ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 연립부등식 [eqn: cases{ 2(3-x)+8 ge 5x-7 #{2x+1} over 3 < {-x-6}over 4 }]을 만족시키는 [eqn: x]의 값 중 가장 큰 정수는? 15 ▸3점 ① [eqn: -3] ② [eqn: -2] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: 0] ⑤ [eqn: 1] 16 부등식 [eqn: 3□x+1□+2□x-1□ LEQ 10]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 최댓값과 최솟값의 합은? ▸3점 ① [eqn: - {1} over {5}] ② [eqn: - {2} over {5}] ③ [eqn: - {3} over {5}] ④ [eqn: - {4} over {5}] ⑤ [eqn: -1]	이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b<0]의 해가 [eqn: -2<x<1]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) 17 ▸3점 ① [eqn: -1] ② [eqn: -2] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -4] ⑤ [eqn: -5] 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +ax+b]의 그래프가 직선 [eqn: y=2x+1]보다 위쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: 1<x<3]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? 18 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 두 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +(a^2 -1)=0], 19 [eqn: 3ax ^{2} +(5-a)=0]이 모두 허근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은? ▸3점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]

Ⅱ. 방정식과 부등식
서 술 형 오른쪽 그림과 같이 원의 두 현 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]의 교점을 [eqn: rmP]라고 하자. [eqn: rm bar {AP }=3], [eqn: rm bar {CP }=2], [eqn: rm bar {DP }=4]이고, [eqn: rm ANGLEAPC = 30 DEG]일 때, 다음 물음에 답하여라. 20 ⑴ [eqn: rm bar {BP }]의 길이를 구하여라. ▸2점 ⑵ 두 삼각형 [eqn: rmAPC], [eqn: rmBPD]의 넓이를 각각 구하여라. ▸2점 ⑶ 두 삼각형 [eqn: rmAPC], [eqn: rmBPD]의 넓이를 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 6]인 이차방정식을 구하여라. ▸3점 이차함수 21 [eqn: f(x)=-2(x^2 -2x)^2 +4(x^2 -2x) +k] 에 대하여 다음 물음에 답하여라. (단, [eqn: k]는 상수) ⑴ [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: 0 leq x leq 3]일 때, 함수 [eqn: g(x)=x^2 -2x]의 최댓값과 최솟값을 구하여라. ▸2점 ⑵ [eqn: x]의 값이 [eqn: 0 leq x leq 3]인 범위에서 함수 [eqn: f (x)]의 최솟값이 [eqn: 0`]일 때, [eqn: f (x)]의 최댓값을 구하여라. ▸4점 삼차방정식 [eqn: x^3 +(a+1)x^2 -a=0]이 중근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하여라. 22 ▸7점	오른쪽 그림과 같이 지름 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 10]인 반원의 호 위에 양 끝점 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 아닌 점 [eqn: rmP]를 잡아 삼각형 [eqn: rmABP]를 만들었다. 다음 물음에 답하여라. 23 ⑴ [eqn: {rm bar { AP} }=x], [eqn: bar { rmBP}=y]라 할 때, [eqn: x]와 [eqn: y`] 사이의 관계식을 구하여라. ▸2점 ⑵ 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이가 [eqn: 24`]일 때, [eqn: rm bar { AP}+ bar { BP}]를 구하여라. ▸5점 [eqn: x]에 대한 이차부등식 [eqn: f(x)<0]의 해가 24 [eqn: -3<x<3]일 때, 부등식 [eqn: f(14-x) GEQ 0]의 해를 구하여라. ▸7점 [eqn: n]이 자연수일 때, 연립부등식 25 [eqn: {cases{eqalign{x ^{2} +2x+(1-n ^{2} )>0# # x ^{2} +(n-n ^{2} )x-n ^{3} LEQ 0}}} ``] 에 대하여 다음 물음에 답하여라. ⑴ 이 연립부등식의 해를 [eqn: n]에 관한 식으로 나타내어라. ▸4점 ⑵ 이 연립부등식의 정수인 해의 개수가 [eqn: 21] 이하가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하여라. ▸3점

방정식과 부등식

Ⅱ

01 ②	02 ②	03 ③	04 ②	05 ②

06 ②	07 ③	08 ④	09 ③	10 ⑤

11 ③	12 ③	13 ⑤	14 ⑤	15 ①

16 ②	17 ①	18 ④	19 ⑤

20 ⑴ [eqn: {8} over {3}]  ⑵ [eqn: rmTRIANGLE APC][eqn: ={3} over {2}], [eqn: rm TRIANGLE BPD={8} over {3}]

⑶ [eqn: 6x ^{2} -25x+24=0]

21 ⑴ 최댓값 [eqn: 3], 최솟값 [eqn: -1]  ⑵ [eqn: 8]

22 [eqn: - {7} over {2}]	23 ⑴ [eqn: x^2&+y^2&=100]  ⑵ [eqn: 14]

24 [eqn: x LEQ 11] 또는 [eqn: x GEQ 17]

25 ⑴ [eqn: n-1<x LEQ n ^{2}]  ⑵ [eqn: 15]

[eqn: f LEFT ( {2} over {1+i} RIGHT ) =f(1-i)][eqn: =a(1-i)^2 +b(1-i)+c]

02

[eqn: =(b+c)-(2a+b)i=5+3i]

즉, [eqn: b+c=5], [eqn: 2a+b=-3]

[eqn: f(1+i)=a(1+i) ^{2} +b(1+i)+c]

[eqn: =(b+c)+(2a+b)i]

[eqn: =5-3i=p+qi]

따라서 [eqn: p=5], [eqn: q=-3]이므로    [eqn: p+q=2]

[eqn: x ^{2} +2(k+a)x+k ^{2} +a ^{2} +bk+b-2=0 ^{}]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

04

[eqn: {D} over {4} =(k+a) ^{2} -(k ^{2} +a ^{2} +bk+b-2)=0]

[eqn: (2a-b)k-(b-2)=0 ^{` ^{`}}]

[eqn: k]의 값에 관계없이 성립해야 하므로

[eqn: 2a-b=0], [eqn: b-2=0]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=2]이므로    [eqn: a+b=3]

두 근을 [eqn: alpha -1], [eqn: alpha +1]로 놓으면

05

[eqn: (alpha-1)+(alpha+1)=6k], [eqn: alpha=3k]    …… ㉠

[eqn: ( alpha -1)( alpha +1)=6k-1], [eqn: alpha^2 =6k]  …… ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 9k^2 =6k], [eqn: 3k(3k-2)=0]

따라서 [eqn: k=0] 또는 [eqn: k= {2} over {3}]이므로 구하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: {2} over {3}]이다.

하루 동안의 이익금은

09

10

[eqn: (300-10x)(400+20x)]

[eqn: =-200(x-5) ^{2} +125000]

따라서 [eqn: x=5], 즉 [eqn: 250]원의 이익을 남기고 팔 때, 최대의 이익금은 [eqn: 125000]원이다.

[eqn: x(x^2&-5x+a)=0]에서 이차방정식

12

[eqn: x^2&-5x+a=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=][eqn: (-5) ^{2} & -4a>0`], [eqn: a<][eqn: { 25} over { 4}]        …… ㉠

또, [eqn: x^2&-5x+a=0]의 근이 [eqn: x != 0]이어야 하므로    [eqn: a != 0]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: 6]개이다.

[eqn: {cases{x+2y&=5#2x+y&=4^`^`}]의 해와 같으므로    [eqn: x=1], [eqn: y=2]

13

[eqn: x=1], [eqn: y=2]가 [eqn: x+ay=7], [eqn: xy+y^2 =b]의 근이므로    [eqn: 1+2a=7], [eqn: a=3]

[eqn: 1 CDOT2+2^2&=b], [eqn: b=6]

따라서    [eqn: ab=18]

[eqn: y=3-x]를 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =k]에 대입하면

14

[eqn: x^2&+(3-x)^2&=k], [eqn: 2x^2&-6x+9-k=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: { D} over {4 }][eqn: =(-3) ^{2} & -2 CDOT (9-k) GEQ 0], [eqn: k≥][eqn: { 9} over {2 }]

따라서 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

(ⅰ) [eqn: x<`-1]일 때,

16

[eqn: -3(x+1)-2(x-1) LEQ 10], [eqn: 5x GEQ -11],

[eqn: x GEQ - {11} over {5}], 즉 [eqn: - {11} over {5} LEQ x<`-1]

(ⅱ) [eqn: -1 LEQ x<`1]일 때,

[eqn: 3(x+1)-2(x-1) LEQ 10], [eqn: x LEQ 5]

즉 [eqn: -1 LEQ x<`1]

(ⅲ) [eqn: x GEQ 1]일 때, [eqn: 3(x+1)+2(x-1) LEQ 10]

[eqn: 5x LEQ 9], [eqn: x LEQ {9} over {5}], 즉 [eqn: 1 LEQ x LEQ {9} over {5}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여    [eqn: - {11} over {5} LEQ x LEQ {9} over {5}]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: - {2} over {5}]이다.

정답 및 해설

대단원 평가

[eqn: 2x ^{2} +(a^2 -1)=0]의 판별식 [eqn: D]가

19

[eqn: D=-4 CDOT 2 CDOT (a ^{2} -1)<0]이어야 하므로

[eqn: a<`-1] 또는 [eqn: a>1][eqn: ~CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: 3ax ^{2} +(5-a)=0]의 판별식 [eqn: D]가

[eqn: D=-4 CDOT 3a CDOT (5-a)<0]이어야 하므로

[eqn: 0<a<5]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면    [eqn: 1<a<5]

따라서 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 9]이다.

⑴ [eqn: rm 3 TIMES {bar{BP}} =2`․`4]이므로    [eqn: rm {bar{BP}} = {8} over {3}]

20

▸2점

⑵ [eqn: rmTRIANGLE APC= {1} over {2} `․`2`․`3`․`sin30 DEG = {3} over {2}]

[eqn: rm TRIANGLE BPD= {1} over {2} `․` {8} over {3} `․`4`․`sin30 DEG = {8} over {3}]

▸2점

⑶ [eqn: {3} over {2}], [eqn: {8} over {3}]을 두 근으로 하고, [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 6]인 이차방정식은 [eqn: 6 LEFT ( x ^{2} - {25} over {6} x+4 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: 6x ^{2} -25x+24=0]

▸3점

⑴ [eqn: g(x)=(x-1) ^{2} -1] [eqn: (0 LEQ x LEQ 3)]에서

21

[eqn: x=3]일 때, 최댓값    [eqn: g(3)=3]

[eqn: x=1]일 때, 최솟값    [eqn: g(1)=-1]

▸2점

⑵ [eqn: x ^{2} -2x=t] [eqn: (0 LEQ x LEQ 3)]로 놓으면

⑴에 의하여    [eqn: -1 LEQ t LEQ 3]

[eqn: f(t)=-2t ^{2} +4t+k][eqn: =-2(t-1) ^{2} +k+2]

[eqn: -1 LEQ t LEQ 3]에서 함수 [eqn: f(t)]의 최솟값은 [eqn: 0]이므로

[eqn: f(-1)=f(3)=k-6=0], [eqn: k=6]

▸3점

따라서 [eqn: f(t)]의 최댓값은 [eqn: f(1)=8]이므로

[eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 8]이다.

▸1점

[eqn: x ^{3} +(a+1)x ^{2} -a=0]에서

22

문제 이해

[eqn: (x+1)][eqn: (x^2&+ax-a)=0]이므로

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x^2&+ax-a=0]

주어진 삼차방정식이 중근을 가지려면

[eqn: x^2&+ax-a=0]의 한 근이 [eqn: x=-1]이거나 중근을 가져야 하므로

▸3점

(ⅰ) [eqn: x=-1]을 근으로 가질 때

해결 과정

[eqn: (-1)^2&-a-a=0]이므로    [eqn: a= { 1} over {2 }]

(ⅱ) 중근을 가질 때

판별식 [eqn: D=0]이므로    [eqn: a^2&+4a=0]

즉, [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=-4]

▸3점

따라서    [eqn: {1} over {2} +0+(-4)=][eqn: - {7} over {2}]

답 구하기

▸1점

⑴ [eqn: ∠rm APB=90°]이므로

23

[eqn: x^2&+y^2&=100]

▸2점

⑵ [eqn: △rm ABP=][eqn: { 1} over { 2}][eqn: xy=24]이므로    [eqn: xy=48]

[eqn: x^2&+y^2&=(x+y)^2&-2xy]에서

[eqn: 100=(x+y) ^{2} -2``․``48], [eqn: (x+y) ^{2} =196]

이때 [eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로    [eqn: x+y=14]

따라서    [eqn: rm bar { AP}+ bar { BP}][eqn: =x+y=14]

▸5점

이차항의 계수가 [eqn: a(a>0)]인 이차부등식은 [eqn: a(x+3)(x-3)<0]이므로

24

문제 이해

[eqn: f(x)=a(x+3)(x-3)]이라 하면

▸3점

[eqn: f(14-x)=a(14-x+3)(14-x-3)]                  [eqn: =a(17-x)(11-x)]

해결 과정

[eqn: =a(x-11)(x-17)]

▸3점

따라서 [eqn: f(14-x) GEQ 0]은

답 구하기

[eqn: a(x-11)(x-17) GEQ 0]이므로

주어진 부등식의 해는 [eqn: x LEQ 11] 또는 [eqn: x GEQ 17]이다.

▸2점

⑴ [eqn: x ^{2} +2x+(1-n ^{2} )>0]을 풀면

25

[eqn: left{x+(1-n)right}left{x+(1+n)right}>0]

[eqn: x<-n-1] 또는 [eqn: x>n-1] …… ㉠

[eqn: x ^{2} +(n-n ^{2} )x-n ^{3} LEQ 0]을 풀면

[eqn: (x-n ^{2} )(x+n) LEQ 0]

[eqn: -n LEQ x LEQ n ^{2}]              …… ㉡

[eqn: -n-1<-n<n-1<n ^{2}]이므로

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

[eqn: n-1<x LEQ n ^{2}]            …… ㉢

▸4점

⑵ ㉢에 속하는 정수의 개수는

[eqn: n ^{2} -(n-1)=n ^{2} -n+1]이므로

[eqn: n ^{2} -n+1 LEQ 21]에서

[eqn: (n-5)(n+4) LEQ 0], [eqn: -4 LEQ n LEQ 5]

따라서 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 15]이다.

▸3점