다항식

Ⅰ

대단원 평가

(       )반  (         )번

이름 (               )

세 다항식 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여

01

[eqn: A+B=3x ^{2} -2xy]

[eqn: B+C=-2x ^{2} +5xy+3y ^{2}]

[eqn: C+A=x ^{2} +3xy-y ^{2} `]

일 때, [eqn: A+B+C`]를 계산하면?

▸2점

① [eqn: -x ^{2} -2xy+y ^{2} `]	② [eqn: -x ^{2} +3xy+y ^{2} `]

③ [eqn: x ^{2} +2xy-2y ^{2} `]	④ [eqn: x ^{2} +3xy-y ^{2} `]

⑤ [eqn: x ^{2} +2xy+y ^{2} `]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (2x-1)(x ^{2} -ax+a)]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]항의 계수가 [eqn: 5]일 때, 상수항은?

02

▸2점

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: x ^{2} -5x-2=0]일 때,

03

[eqn: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]의 값은?

▸3점

① [eqn: 45]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 47]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 49]

[eqn: xy=2], [eqn: (x-1)(y-1)=8]일 때, [eqn: x ^{3} +y ^{3}]의 값은?

04

▸4점

① [eqn: -100]	② [eqn: -95]	③ [eqn: -90]

④ [eqn: -85]	⑤ [eqn: -80]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 다항식 [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +ax-2]가 [eqn: x ^{2} +x-b]로 나누어떨어질 때, [eqn: a+b]의 값은?

05

▸3점

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

다항식 [eqn: A]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 몫이
[eqn: x ^{2} -x+1], 나머지가 [eqn: 2]이다. 다항식 [eqn: A]를 [eqn: x ^{2} +x]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(4)]의 값은?

06

▸4점

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

등식 [eqn: 2x ^{2} +3x-4=a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b-2c]의 값은? 07 ▸2점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 13] 다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 08 [eqn: (x+2)(x ^{2} -2)f(x)=x ^{4} +ax ^{2} +b] 가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] 등식 [eqn: kx ^{2} +x-ky ^{2} -y-7k-1=0]이 실수 [eqn: k]에 대한 항등식일 때, 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은? 09 ▸4점 ① [eqn: -9] ② [eqn: -7] ③ [eqn: -5] ④ [eqn: -3] ⑤ [eqn: -1]	두 다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax], [eqn: {rmg}(x)=x ^{2} +2a]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은? 10 ▸3점 ① [eqn: -20] ② [eqn: -18] ③ [eqn: -16] ④ [eqn: -14] ⑤ [eqn: -12] 두 다항식 [eqn: f(x),~{rmg}(x)]에 대하여 [eqn: f(x)+{rmg}(x)]는 [eqn: x-1]로 나누어떨어지고, [eqn: f(x)-{rmg}(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 2]일 때, 보기의 다항식 중에서 [eqn: x-1]로 나누어떨어지는 것만을 있는 대로 고른 것은? 11 ▸3점 ㄱ. [eqn: f(x)-x ^{3}] ㄴ. [eqn: {rmg}(x)-x ^{2}] ㄷ. [eqn: f(x){rmg}(x)+1] 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 다항식 [eqn: P(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킨다. 이때 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)(x-3)]으로 나누었을 때의 나머지는? 12 ▸3점 ㈎ [eqn: P(1)=2] ㈏ [eqn: P(x+2)=P(x)+4x] ① [eqn: x] ② [eqn: x+1] ③ [eqn: 2x] ④ [eqn: 2x+1] ⑤ [eqn: 3x]

Ⅰ. 다항식

대단원 평가
다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} -4x ^{2} -ax-3]에 대하여 [eqn: f(2x+3)]이 [eqn: x+2]로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a]의 값은? 13 ▸4점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9] [eqn: a+b=10]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +1+2ab-2a-2b]의 값은? 14 ▸3점 ① [eqn: 49] ② [eqn: 64] ③ [eqn: 81] ④ [eqn: 100] ⑤ [eqn: 121] 다항식 [eqn: 27a ^{3} -1]을 인수분해하였더니 15 [eqn: (3a-1)Q(a)] 가 되었다. [eqn: Q(-1)]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10] [eqn: -27+27x-9x ^{2} +x ^{3}]을 인수분해하면 일차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{3}]의 꼴로 나타내어진다. 이때 [eqn: f(1)]의 값은? 16 ▸3점 ① [eqn: -5] ② [eqn: -4] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]	[eqn: x ^{4} +2x ^{2} y ^{2} +9y ^{4}]이 17 [eqn: (x ^{2} +axy+by ^{2} )(x ^{2} +cxy+dy ^{2} )] 으로 인수분해될 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: abcd]의 값은? ▸4점 ① [eqn: -64] ② [eqn: -36] ③ [eqn: -16] ④ [eqn: 36] ⑤ [eqn: 64] 다항식 [eqn: x ^{3} -10x ^{2} +11x-2]가 다항식 18 [eqn: (x+a)(x ^{2} -9x+b)] 로 인수분해될 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 삼차다항식 [eqn: x ^{3} +px ^{2} +qx+6]을 세 일차식의 곱 [eqn: (x+a)(x+b)(x+c)]로 인수분해하였을 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 서로 다른 세 양의 정수가 되도록 하는 정수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 19 [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 155] ② [eqn: 157] ③ [eqn: 159] ④ [eqn: 161] ⑤ [eqn: 163]

Ⅰ. 다항식
서 술 형 [eqn: x ^{2} +x-1=0]일 때, [eqn: 2x ^{4} +x ^{3} -4x ^{2} +2x+2]의 값을 구하여라. [eqn: (]단, [eqn: x>0][eqn: )] 20 ▸6점 오른쪽 그림과 같은 사면체 [eqn: \OABC]에서 세 모서리 [eqn: \OA], [eqn: \OB], [eqn: \OC]는 점 [eqn: \O]에서 서로 수직이다. 21 세 모서리 [eqn: \OA], [eqn: \OB], [eqn: \OC]의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 다음 물음에 답하여라. ㈎ [eqn: a+b+c=8] ㈏ [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =32] ⑴ 세 삼각형 [eqn: \OAB], [eqn: \OBC], [eqn: \OCA]의 넓이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 관한 식으로 나타내어라. ▸2점 ⑵ 세 삼각형 [eqn: \OAB], [eqn: \OBC], [eqn: \OCA]의 넓이의 합을 구하여라. ▸6점 두 다항식 [eqn: f(x)], [eqn: {rmg}(x)]에 대하여 [eqn: f(x)+{rmg}(x)]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 10]이고, [eqn: left{f(x) right}^2 +left{{rmg}(x) right}^2]을 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 48]일 때, [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{3} + LEFT { {rmg}(x) RIGHT } ^{3}]을 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. 22 ▸6점	자연수 [eqn: n]에 대하여 23 [eqn: P _{n} (x)=(x+1)(x+2)(x+3) CDOTS (x+n)] 이라 하자. 등식 [eqn: aP _{3} (x)+bP _{2} (x)+cP _{1} (x)+d] [eqn: =2x ^{3} +4x ^{2} +x+1] [eqn: cdotscdots㉠] 이 [eqn: x]의 값에 관계없이 항상 성립한다고 할 때, 다음 물음에 답하여라. ⑴ 등식 ㉠의 좌변을 [eqn: x]에 대한 다항식으로 나타내어라. ▸2점 ⑵ 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: ab+cd]의 값을 구하여라. ▸5점 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 이차식 [eqn: f(x)], [eqn: {rmg}(x)]의 곱이 [eqn: x ^{4} +3x ^{3} -4x]이다. 24 [eqn: f(0) != 0], [eqn: {rmg}(1) != 0] 일 때, [eqn: {rmg}(-1)]의 값을 구하여라. ▸6점 다음 물음에 답하여라. 25 ⑴ [eqn: x ^{6} -1]을 인수분해하여라. ▸2점 ⑵ [eqn: 6 ^{6} -1]이 두 자리 자연수 [eqn: n]으로 나누어떨어진다고 할 때, ⑴을 이용하여 [eqn: n]의 값을 모두 구하여라. ▸4점

다항식

Ⅰ

01 ⑤	02 ②	03 ④	04 ②	05 ③

06 ①	07 ②	08 ①	09 ②	10 ②

11 ④	12 ③	13 ④	14 ③	15 ②

16 ④	17 ②	18 ①	19 ②	20 [eqn: root5]

21 ⑴ 해설 참조 ⑵ [eqn: 8]	22 [eqn: 220]

23 ⑴ 해설 참조 ⑵ [eqn: 22]	24 [eqn: -1]

25 ⑴ 해설 참조 ⑵ [eqn: 31], [eqn: 43]

[eqn: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]

03

[eqn: =left{(x-1)(x-4)right}left{(x-2)(x-3)right}]

[eqn: =(x ^{2} -5x+4)(x ^{2} -5x+6)]

[eqn: =left{(x ^{2} -5x-2)+6right}left{(x ^{2} -5x-2)+8right}]

[eqn: =6 TIMES8=48]

[eqn: (x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1=8]

04

이때 [eqn: xy=2]이므로

[eqn: 2-(x+y)+1=8], [eqn: x+y=-5]

따라서

[eqn: x ^{3} +y ^{3} =(x+y) ^{3} -3xy(x+y)]

[eqn: =(-5) ^{3} -3cdot2cdot(-5)][eqn: =-95]

[eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} +ax-3]을 [eqn: x ^{2} -x+b]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: 2x-1], 나머지가 [eqn: (a+2b-1)x-2+b]이다.

05

이때 나머지가 [eqn: 0]이어야 하므로

[eqn: a+2b-1=0], [eqn: -2+b=0]

위의 두 식을 연립하여 풀면    [eqn: a=-3], [eqn: b=2]

따라서    [eqn: a+b=-1]

[eqn: A=(x+1)(x ^{2} -x+1)+2][eqn: =x ^{3} +3]

06

다항식 [eqn: A=x ^{3} +3]을 [eqn: x ^{2} +x]로 나누면 몫이
[eqn: x-1]이므로    [eqn: Q(x)=x-1]

따라서    [eqn: Q(4)=3]

[eqn: x=-2]를 대입하면    [eqn: 0=16+4a+b]  [eqn: cdots㉠]

08

[eqn: x ^{2} =2]를 대입하면    [eqn: 0=4+2a+b]    [eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면    [eqn: a=-6], [eqn: b=8]

따라서    [eqn: a+b=2]

[eqn: k(x ^{2} -y ^{2} -7)+(x-y-1)=0]이 [eqn: k]에 대한
항등식이므로    [eqn: x ^{2} -y ^{2} =7], [eqn: x-y=1]

09

이때 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =(x+y)(`x-y)]이므로

[eqn: x+y=7]

[eqn: f(1)+{rmg}(1)=0]    [eqn: cdotscdots㉠]

11

[eqn: f(1)-{rmg}(1)=2]    [eqn: cdotscdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: f(1)=1], [eqn: {rmg}(1)=-1]

ㄱ. [eqn: F(x)=f(x)-x ^{3}]이라 하면
[eqn: F(1)=f(1)-1=1-1=0]

ㄴ. [eqn: G(x)={rmg}(x)-x ^{2}]이라 하면
[eqn: G(1)={rmg}(1)-1=-1-1=-2]

ㄷ. [eqn: H(x)=f(x){rmg}(x)+1]이라 하면
[eqn: H(1)=f(1){rmg}(1)+1=1cdot(-1)+1=0]

따라서 [eqn: x-1]로 나누어떨어지는 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)(x-3)]으로 나누었을 때의 몫을
[eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라 하면

12

[eqn: P(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b]

조건 ㈎, ㈏에 의하여

[eqn: P(1)=2], [eqn: P(3)=P(1)+4=6]이므로

[eqn: P(1)=a+b=2], [eqn: P(3)=3a+b=6]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=2], [eqn: b=0]이므로 구하는 나머지는    [eqn: 2x]

[eqn: f(2x+3)]이 [eqn: x+2]로 나누어떨어지므로

13

[eqn: f(-4+3)=0], 즉 [eqn: f(-1)=0]

[eqn: f(-1)=-1-4+a-3=0]에서    [eqn: a=8]

[eqn: x ^{4} +2x ^{2} y ^{2} +9y ^{4}]

17

[eqn: =(x ^{4} +6x ^{2} y ^{2} +9y ^{4} )-4x ^{2} y ^{2}]

[eqn: =(x ^{2} +3y ^{2} ) ^{2} -(2xy) ^{2}]

[eqn: =(x ^{2} +2xy+3y ^{2} )(x ^{2} -2xy+3y ^{2} )]

따라서    [eqn: abcd=2cdot3cdot(-2)cdot3=-36]

[eqn: f(x)=x ^{3} -10x ^{2} +11x-2]라 하면

18

[eqn: f(1)=0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 갖는다. 이때

[eqn: x ^{3} -10x ^{2} +11x-2=(x-1)(x ^{2} -9x+2)]

따라서   [eqn: a=-1], [eqn: b=2]이므로   [eqn: a+b=1]

정답 및 해설

대단원 평가

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 서로 다른 세 양의 정수이므로
[eqn: a<b<c]라 하면 [eqn: abc=6]이므로

19

[eqn: a=1], [eqn: b=2], [eqn: c=3]

[eqn: x ^{3} +px ^{2} +qx+6=(x+1)(x+2)(x+3)]

[eqn: =x ^{3} +6x ^{2} +11x+6]

따라서 [eqn: p=6], [eqn: q=11]이므로    [eqn: p ^{2} +q ^{2} =157]

[eqn: 2x ^{4} +x ^{3} -4x ^{2} +2x+2]를

20

해결 과정

[eqn: x ^{2} +x-1]로 나누면 몫이 [eqn: 2x ^{2} -x-1], 나머지가 [eqn: 2x+1]이고, [eqn: x ^{2} +x-1=0]이므로

[eqn: 2x ^{4} +x ^{3} -4x ^{2} +2x+2]

[eqn: =(x ^{2} +x-1)][eqn: (2x ^{2} -x-1)+2x+1]

[eqn: =2x+1]

▸4점

[eqn: x ^{2} +x-1=0]의 양의 근이

답 구하기

[eqn: x= {-1+ sqrt {5}} over {2}]이므로 구하는 식의 값은

[eqn: 2 TIMES {-1+ sqrt {5}} over {2} +1= sqrt {5}}]

▸2점

⑴ 세 삼각형 [eqn: \OAB], [eqn: \OBC], [eqn: \OCA]는 모두 직각삼각형이므로 그 넓이는 각각
[eqn: triangle \OAB][eqn: = {1} over {2} ab], [eqn: triangle \OBC][eqn: = {1} over {2} bc],

21

[eqn: triangle \OCA][eqn: = {1} over {2} ca]

▸2점

⑵ [eqn: (a+b+c) ^{2}][eqn: =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2(ab+bc+ca)]

이므로 조건 ㈎, ㈏에 의하여

[eqn: 8 ^{2} =32+2(ab+bc+ca)],

[eqn: ab+bc+ca=16]

▸4점

따라서 세 삼각형의 넓이의 합은

[eqn: {1} over {2} (ab+bc+ca)= {1} over {2} TIMES 16=8]

▸2점

[eqn: f(x)+{rmg}(x)]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 10], [eqn: "{"f(x)"}"^2 +"{"{rmg}(x)"}"^2]을 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 48]이므로

22

문제 이해

[eqn: f(3)+{rmg}(3)=10], [eqn: LEFT { f(3) RIGHT } ^{2} + LEFT { {rmg}(3) RIGHT } ^{2} =48]

▸2점

[eqn: 2f(3){rmg}(3)]

해결 과정

[eqn: = LEFT { f(3)+{rmg}(3) RIGHT } ^{2} - LEFT [left{ f(3)right} ^{2} +left{{rmg}(3)right} ^{2} right]]

즉, [eqn: f(3){rmg}(3)][eqn: = {1} over {2} (100-48)=26]

▸2점

따라서

답 구하기

[eqn: LEFT { f(3) RIGHT } ^{3} + LEFT { {rmg}(3) RIGHT } ^{3}]

[eqn: = LEFT { f(3)+{rmg}(3) RIGHT } ^{3}][eqn: -3f(3){rmg}(3) LEFT { f(3)+{rmg}(3) RIGHT }]

[eqn: =10 ^{3} -3cdot26cdot10][eqn: =220]

▸2점

⑴    [eqn: aP _{3} (x)+bP _{2} (x)+cP _{1} (x)+d]

23

[eqn: =a(x+1)(x+2)(x+3)]	[eqn: +b(x+1)(x+2)+c(x+1)+d]

▸2점

⑵   [eqn: a(x+1)(x+2)(x+3)]
[eqn: +b(x+1)(x+2)+c(x+1)+d]

[eqn: =2x ^{3} +4x ^{2} +x+1]

[eqn: x=-1]을 대입하면   [eqn: d=2]

[eqn: x=-2]를 대입하면   [eqn: -c+2=-9], [eqn: c=11]

[eqn: x=-3]을 대입하면   [eqn: 2b-20=20`], [eqn: b=0]

[eqn: x=0]을 대입하면   [eqn: 6a+13=1], [eqn: a=-2]

▸4점

따라서    [eqn: ab+cd=22]

▸1점

[eqn: h(x)=x ^{4} +3x ^{3} -4x]라 하면

24

문제 이해

[eqn: h(1)=0]이므로 [eqn: x-1]을 인수로 갖는다.

▸2점

[eqn: x ^{4} +3x ^{3} -4x]를 인수분해하면

해결 과정

[eqn: x ^{4} +3x ^{3} -4x][eqn: =x(x-1)(x^2 +4x+4)]

[eqn: =x(x-1)(x+2) ^{2}]

이때 [eqn: f(0) != 0], [eqn: {rmg}(1) != 0]이므로

[eqn: f(x)=(x-1)(x+2)]

[eqn: {rmg}(x)=x(x+2)]

▸3점

따라서    [eqn: {rmg}(-1)=(-1)cdot1=-1]

답 구하기

▸1점

⑴    [eqn: x ^{6} -1]

25

[eqn: =(x ^{3} +1)(x ^{3} -1)] [eqn: =(x+1)(x ^{2} -x+1)(x-1)(x ^{2} +x+1)] [eqn: =(x-1)(x+1)(x ^{2} -x+1)(x ^{2} +x+1)]

▸2점

⑵ ⑴의 식에 [eqn: x=6]을 대입하면

[eqn: 6 ^{6} -1=5 CDOT 7 CDOT 31 CDOT 43]

▸2점

따라서 구하는 두 자리 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 31], [eqn: 43]이다.

▸2점