-1 경우의 수

Ⅵ

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2017년 3월 교육청

[eqn: {}_{6} {rm C} _{3}]의 값은?

01

▸2점

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

▹2016년 7월 교육청

[eqn: ` _{5} rm P _{2} + _{5} rm C _{3}]의 값은?

02

▸2점

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 45]

▹2016년 4월 교육청

[eqn: {} _{n} rm P _{it 2 rm} =56]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

03

▸2점

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

▹2013년 3월 교육청

[eqn: 6]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF] 중에서 임의로 대표 [eqn: 2]명을 뽑는 경우의 수는?

04

▸2점

① [eqn: 6]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 12`]

④ [eqn: 15`]	⑤ [eqn: 18`]

▹2017년 6월 평가원

이틀 동안 진행하는 어느 축제에 모두 다섯 개의 팀이 참가하여 공연한다. 매일 두 팀 이상이 공연하도록 다섯 팀의 공연 날짜와 공연 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 공연은 한 팀씩 하고, 축제 기간 중 각 팀은 [eqn: 1]회만 공연한다.)

05

▸3점

① [eqn: 180]	② [eqn: 210]	③ [eqn: 240]

④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 300]

▹2017년 4월 교육청

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2 RIGHT }]에서 집합

06

[eqn: Y= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6 RIGHT }]으로의 함수 [eqn: f] 중에서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT )]가 [eqn: 4]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는?

▸3점

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

▹2017년 3월 교육청 [eqn: c<b<a<10]인 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]인 세 자리의 자연수 중 [eqn: 500]보다 크고 [eqn: 700]보다 작은 모든 자연수의 개수는? 07 ▸3점 ① [eqn: 12] ② [eqn: 14] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 20] ▹2016년 10월 교육청 등식 [eqn: {} _{n} rm P _{2} - _{7} C _{2} = 21]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? 08 ▸3점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10] ▹2016년 6월 평가원 어느 학교 동아리 회원은 [eqn: 1]학년이 [eqn: 6]명, [eqn: 2]학년이 [eqn: 4]명이다. 이 동아리에서 [eqn: 7]명을 뽑을 때, [eqn: 1]학년에서 [eqn: 4]명, [eqn: 2]학년에서 [eqn: 3]명을 뽑는 경우의 수를 구하시오. 09 ▸3점	▹2016년 4월 교육청 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 [eqn: 5]명의 가족이 있다. 이 가족이 그림과 같이 번호가 적힌 [eqn: 5]개의 의자에 모두 앉을 때, 아버지, 어머니가 모두 홀수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는? 10 ▸3점 ① [eqn: 28] ② [eqn: 30] ③ [eqn: 32] ④ [eqn: 34] ⑤ [eqn: 36] ▹2013년 3월 교육청 음이 아닌 정수 전체의 집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A,``B`]는 다음과 같다. [eqn: A=] [eqn: "{"][eqn: x`□`x`]는 [eqn: 3 ^{n} `]을 [eqn: 10 `]으로 나눈 나머지, [eqn: n `]은 자연수[eqn: "}"] 11 [eqn: B =][eqn: "{"][eqn: x`□`x`]는 [eqn: 9 ^{n}`]을 [eqn: 10`]으로 나눈 나머지, [eqn: n`]은 자연수[eqn: "}"] 아래의 물음에 답하시오. 집합 [eqn: C= LEFT { (a,``b)`□`a IN A,``b IN B RIGHT } `]의 모든 원소들을 좌표평면에 나타낸 점들 중에서 임의로 뽑은 세 점을 꼭짓점으로 하는 서로 다른 삼각형의 개수는? (단, 꼭짓점의 좌표가 다른 삼각형은 서로 다른 것으로 한다.) ▸3점 ① [eqn: 46] ② [eqn: 48] ③ [eqn: 50] ④ [eqn: 52] ⑤ [eqn: 54]

Ⅵ. 경우의 수

중단원 기출 문제

▹2017년 3월 교육청

그림과 같은 [eqn: 7]개의 사물함 중 [eqn: 5]개의 사물함을 남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 2]명에게 각각 [eqn: 1]개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 남학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는다. 사물함을 배정하는 모든 경우의 수를 구하시오.

12

▸4점

3층 →
2층 →
1층 →

▹2016년 10월 교육청

장미 [eqn: 8`]송이, 카네이션 [eqn: 6`]송이, 백합 [eqn: 8`]송이가 있다. 이 중 [eqn: 1`]송이를 골라 꽃병 [eqn: \A`]에 꽂고, 이 꽃과는 다른 종류의 꽃들 중 꽃병 [eqn: \B`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이를 고르는 경우의 수를 구하시오.

13

(단, 같은 종류의 꽃은 서로 구분하지 않는다.)

▸4점

꽃병 [eqn: rm A]

꽃병 [eqn: rmB]

▹2016년 10월 교육청

다음 조건을 만족시키도록 서로 다른 [eqn: 5]개의 바구니에 빨간색 공 [eqn: 3]개와 파란색 공 [eqn: 6]개를 모두 넣는 경우의 수를 구하시오.

14

(단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.)

▸4점

(가) 각 바구니에 공은 [eqn: 1]개 이상, [eqn: 3]개 이하로 넣는다.

(나) 빨간색 공은 한 바구니에 [eqn: 2]개 이상 넣을 수 없다.

▹2016년 10월 교육청

교내 수학경시대회에 [eqn: rmA] 학급 학생 [eqn: 3`]명, [eqn: rmB] 학급 학생 [eqn: 3`]명, [eqn: rmC] 학급 학생 [eqn: 2`]명이 참가 신청하였다. 그림과 같이 두 분단, 네 줄의 좌석에 다음 조건을 만족시키도록 이 학생 [eqn: 8`]명을 배정하는 방법의 수를 구하시오.

15

▸4점

(가) 같은 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.

(나) 같은 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.

(다) 같은 학급 학생을 같은 분단에 배정 할 경우 학급 번호가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배정한다.

	교탁
	[eqn: 1`]분단 □		[eqn: 2`]분단 □
첫째 줄 ➜
둘째 줄 ➜
셋째 줄 ➜
넷째 줄 ➜

Ⅵ. 경우의 수
▹2016년 7월 교육청 세 수 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 중에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 택해 다음 조건을 만족시키도록 일렬로 배열하여 자연수를 만든다. 16 (가) 다섯 자리의 자연수가 되도록 배열한다. (나) [eqn: 1]끼리는 서로 이웃하지 않도록 배열한다. 예를 들어 [eqn: 20200], [eqn: 12201]은 조건을 만족시키는 자연수이고 [eqn: 11020]은 조건을 만족시키지 않는 자연수이다. 만들 수 있는 모든 자연수의 개수는? ▸4점 ① [eqn: 88] ② [eqn: 92] ③ [eqn: 96] ④ [eqn: 100] ⑤ [eqn: 104] ▹2016년 3월 교육청 [eqn: 1`]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 8`]장의 카드 중에서 동시에 [eqn: 5]장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우의 수는? 17 ▸4점 ① [eqn: 24] ② [eqn: 28] ③ [eqn: 32] ④ [eqn: 36] ⑤ [eqn: 40]	▹2016년 3월 교육청 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 모양의 시트지 [eqn: 2]장, 빗변의 길이가 [eqn: root2 a`]인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 [eqn: 4]장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색은 모두 서로 다르다. [그림 1]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 모양의 창문 네 개가 있는 집이 있다. [그림 2]는 이 집의 창문 네 개에 [eqn: 6]장의 시트지를 빈틈없이 붙인 경우의 예이다. 18 이 집의 창문 네 개에 시트지 [eqn: 6]장을 빈틈없이 붙이는 경우의 수는? (단, 붙이는 순서는 구분하지 않으며, 집의 외부에서만 시트지를 붙일 수 있다.) ▸4점 [그림 1] [그림 2] ① [eqn: 432] ② [eqn: 480] ③ [eqn: 528] ④ [eqn: 576] ⑤ [eqn: 624] ▹2016년 3월 교육청 집합 [eqn: X = LEFT {-3,` -2,`-1,```1,```2, ```3` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f(x)`]는 다음 조건을 만족시킨다. 19 (가) [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT | `f(x)+f(-x)` RIGHT | =1`]이다. (나) [eqn: x>0`]이면 [eqn: f(x) >0`]이다. 함수 [eqn: f(x)`]의 개수를 구하시오. ▸4점

-1. 경우의 수

Ⅵ

01 ⑤	02 ①	03 ④	04 ④	05 ③

06 ②	07 ③	08 ②	09 [eqn: 60]	10 ⑤

11 ②	12 [eqn: 528]	13 [eqn: 20]	14 [eqn: 450]	15 [eqn: 396]

16 ⑤	17 ②	18 ④	19 [eqn: 64]

(ⅰ) [eqn: 2`]층 또는 [eqn: 3`]층 중 한 층의 사물함만을 여학생에게 배정하는 경우

12

[eqn: 2 TIMES 2! TIMES _{5`} rmP _{3} =240`]

(ⅱ) [eqn: 1`]층의 사물함만을 여학생에게 배정하는 경우

[eqn: {}_{3`} rm P _{`2} TIMES _{4`} rm P _{3}][eqn: =144`]

(ⅲ) [eqn: 2`]층, [eqn: 3`]층의 사물함을 각각 [eqn: 1`]개씩 여학생에게 배정하는 경우

[eqn: {}_{2`} rmC _{1} times {}_{2`} rmC _{1} times 2! TIMES 3! =48`]

(ⅳ) [eqn: 1`]층의 사물함을 한 여학생에게 배정하고 [eqn: 2`]층 또는 [eqn: 3`]층의 사물함을 다른 여학생에게 배정하는 경우

[eqn: {}_{2} rmC _{1} times{}_{4} rm C _{1} TIMES 2 ! TIMES 3 ! = 96`]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의해서 구하는 경우의 수는

[eqn: 240+144+48+96=528`]

(ⅰ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 장미를 꽂은 경우

13

꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 카네이션이 [eqn: a`]송이, 백합이 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)`]의 [eqn: 6`]이다.

(ⅱ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 카네이션을 꽂은 경우

꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 장미가 [eqn: a`]송이, 백합이 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)], [eqn: (7,``2)], [eqn: (8,``1)]의 [eqn: 8`]이다.

(ⅲ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 백합을 꽂은 경우

꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 카네이션이 [eqn: a`]송이, 장미가 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)`]의 [eqn: 6`]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6+8+6=20]

우선 빨간색 공을 넣는 방법의 수는

14

[eqn: `_5 rm C _3 = 10`]

모든 바구니에 공이 적어도 하나씩 들어가야 하므로 빨간색 공을 넣지 않은 빈 바구니에 파란색 공을 각각 [eqn: 1`]개씩 넣는다. 남은 [eqn: 4`]개의 파란색 공을 서로 다른 [eqn: 5`]개의 바구니에 각각 [eqn: 2`]개 이하로 넣는 경우의 수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 2+2`]인 경우

파란색 공을 넣는 경우의 수는

[eqn: `_5 rm C _2 = 10 `]

(ⅱ) [eqn: 2+1+1`]인 경우

파란색 공을 넣는 경우의 수는

[eqn: `_5 rm C _3` times `_3 rm C _1 = 30 `]

(ⅲ) [eqn: 1+1+1+1`]인 경우

파란색 공을 넣는 경우의 수는

[eqn: `_5 rm C _4 =5 `]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 10 times( 10+30+5) = 450 `]

각 분단에는 같은 학급 학생이 [eqn: 3`]명 올 수 없으므로 [eqn: 1`]분단에는 [eqn: rm A`]학급 학생이 [eqn: 2`]명 또는 [eqn: 1`]명이 배정된다.

15

[eqn: 1`]분단에 [eqn: rm A`]학급 학생 [eqn: 2`]명이 배정되는 경우를 먼저 생각하자. (단, 빈 좌석에는 [eqn: rm B`]학급 학생을 배정한다.)

(ⅰ) 첫째 줄에 [eqn: rm A`]학급 학생이 앉지 않는 경우

[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 1])

	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 2])

	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
([eqn: 3])

(ⅱ) 둘째 줄에 [eqn: rm A`]학급 학생이 앉지 않는 경우

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
([eqn: 4])

[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
[eqn: rm C `]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 5])

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 6])

(ⅲ) 셋째 줄에 [eqn: rm A`]학급 학생이 앉지 않는 경우

[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
([eqn: 7])

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
([eqn: 8])

[eqn: rmC]	[eqn: rmA]
[eqn: rmA]
	[eqn: rmC]
[eqn: rmA]
([eqn: 9])

(ⅳ) 넷째 줄에 A 학급 학생이 앉지 않는 경우

정답 및 해설

중단원 기출 문제

[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
([eqn: 10])

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
[eqn: rm C `]
([eqn: 11])

[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
([eqn: 12])

([eqn: 3`])과 ([eqn: 12`])의 경우 [eqn: rm C] 학급 학생이 같은 분단에 배정되어 학급 번호가 작은 학생이 항상 앞줄에 앉기 때문에 [eqn: rm C] 학급 학생이 배정되는 방법의 수는 [eqn: 1`]이다.

([eqn: 1`]), ([eqn: 2`]), ([eqn: 4`]), ([eqn: 5`]), ([eqn: 6`]), ([eqn: 7`]), ([eqn: 8`]), ([eqn: 9`]), ([eqn: 10`]), ([eqn: 11`])의 경우 [eqn: rm C] 학급 학생이 서로 다른 분단에 배정되는 방법의 수는 [eqn: 2`]이다.

그러므로 [eqn: rm C] 학급 학생이 배정되는 모든 방법의 수는    [eqn: 1 TIMES 2+2 TIMES 10=22`]

[eqn: rm A`]학급 학생이 배정되는 방법의 수는 [eqn: 3`]

[eqn: rm B `]학급 학생이 배정되는 방법의 수는 [eqn: 3`]

[eqn: 1`]분단에 [eqn: rm A`] 학급 학생 [eqn: 2`]명이 배정되는 경우 학생이 배정되는 방법의 수는    [eqn: 22 TIMES 3 TIMES 3`]

[eqn: 1`]분단에 A 학급 학생이 [eqn: 1`]명 배정되는 경우는 [eqn: 2`]분단에 A 학급 학생이 [eqn: 2`]명 배정되는 경우와 같으므로 위에서 구한 [eqn: 1`]분단에 [eqn: rm A`] 학급 학생이 [eqn: 2`]명 배정되는 방법의 수와 같다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 22 TIMES 3 TIMES 3 TIMES 2=396`]

[eqn: 1]을 네 번 이상 사용하면 반드시 [eqn: 1]끼리 서로 이웃하게 되므로 [eqn: 1`]은 세 번 이하로 사용된다.

16

(ⅰ) [eqn: 1]이 사용되지 않는 경우    [eqn: 2 ^{4} `=16]

(ⅱ) [eqn: 1]이 한 번 사용되는 경우

[eqn: 1]로 시작되는 경우의 수는    [eqn: 2^4`=16]

[eqn: 2]로 시작되는 경우의 수는    [eqn: 4times2^3`=32]

(ⅲ) [eqn: 1]이 두 번 사용되는 경우

[eqn: 1]로 시작되는 경우의 수는    [eqn: 3times2 ^{3} `=24]

[eqn: 2]로 시작되는 경우의 수는    [eqn: 3 TIMES 2 ^{2} `=12]

(ⅳ) [eqn: 1]이 세 번 사용되는 경우

첫 번째, 세 번째, 다섯 번째에는 반드시 [eqn: 1]이 사용되므로    [eqn: 2 ^{2} =4]

따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 [eqn: 104`]이다.

선택한 카드에 적혀 있는 [eqn: 5`]개의 수의 합이 짝수이고 [eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 모든 자연수의 합이 [eqn: 36`]으

17

로 짝수이다. 여기서 선택한 카드에 적혀 있는 [eqn: 5`]개의 수의 합이 짝수인 경우는 선택되지 않는 카드 [eqn: 3`]장에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수인 경우와 같다.

세 수의 합이 짝수가 되는 경우는 세 수가 모두 짝수이거나, 세 수 중 짝수 [eqn: 1`]개, 홀수 [eqn: 2`]개인 경우이다.

(ⅰ) 모두 짝수인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{3} =4]

(ⅱ) 짝수 [eqn: 1`]개, 홀수 [eqn: 2`]개인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{1} TIMES _{4} rm C _{2} =4times6=24]

(ⅰ), (ⅱ)로부터 구하는 경우의 수는

[eqn: 4+24=28]

정사각형 모양의 노란색 시트지 [eqn: 2]장을 창문 네 개 중 두 개를 택하여 붙이는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 조합의 수와 같으므로 [eqn: {} _{4} rm C _{2}]이다.

18

나머지 창문 [eqn: 2]개를 직각이등변삼각형 모양으로 각각 나누는 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 2]이고, 나누어진 네 개의 영역에 직각이등변삼각형 모양의 시트지 [eqn: 4]장을 붙이는 경우의 수는 [eqn: 4!]이다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4} \C _{2} TIMES 2 TIMES 2 TIMES 4!`][eqn: =576`]

함수 [eqn: f`]가 집합 [eqn: X = LEFT {`-3,` -2,`-1,``1,``2, ``3` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수라고 하자.

19

[eqn: LEFT | f(x) + f(-x)RIGHT | =1`]

⇔ [eqn: f(x) + f(-x) =1`] 또는

[eqn: f(x)+f(-x)=`-1`]

이므로 [eqn: x>0``]인 [eqn: X`]의 원소 [eqn: x`]에 대하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) [eqn: f(x) =1`]일 때, [eqn: f(-x)=`-2`]

(ⅱ) [eqn: f(x) =2`]일 때

[eqn: f(-x)=`-3`] 또는 [eqn: f(-x)=`-1`]

(ⅲ) [eqn: f(x) =3`]일 때, [eqn: f(-x)=`-2`]

따라서 [eqn: f(1)`]과 [eqn: f(-1)`]을 대응시키는 경우의 수는 [eqn: 4`]이고, [eqn: f(2)`]와 [eqn: f(-2)`]를 대응시키는 경우의 수와 [eqn: f(3)`]와 [eqn: f(-3)`]을 대응시키는 경우의 수는 각각 [eqn: 4`]이므로 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)`]의 개수는    [eqn: 4 times 4 times 4 = 64`]