-2 유리함수와 무리함수

Ⅴ

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2017년 6월 교육청

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2x+5} over {x+3}]의 역함수 [eqn: y=f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 점 [eqn: (p,~q)]에 대하여 대칭이다. [eqn: p-q]의 값은?

01

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▹2017년 6월 교육청

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )= sqrt {-x+a} +b]의 그래프가 그림과 같을 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

02

▸3점

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

▹2017년 6월 교육청

정의역이 [eqn: LEFT { x` LEFT | `-3 LEQ x LEQ 5 RIGHT } RIGHT .]인 무리함수

03

[eqn: y= sqrt {x+4} +5]의 최솟값은?

▸3점

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

▹2017년 3월 교육청

유리함수 [eqn: y= {3x+b} over {x+a}]의 그래프가 점 [eqn: left(2,~1right)]을 지나고, 점 [eqn: left(-2,~c right)]에 대하여 대칭일 때, [eqn: a+b+c`]의 값은?

04

(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▹2017년 3월 교육청

함수 [eqn: y= sqrt {a LEFT ( 6-x RIGHT )}][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]의 그래프와 함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rm B it left(6,~0right)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이가 [eqn: 6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

05

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▹2017년 3월 교육청 무리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a sqrt {x+1} +2]에 대하여 06 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 10 RIGHT ) =3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] ▹2016년 11월 교육청 실내 조명 설비에서 조명 기구의 이용률을 구하기 위해 사용되는 실지수는 실내의 형태와 크기, 광원의 높이에 의하여 결정된다. 직육면체 모양의 실내의 가로의 길이 [eqn: x], 세로의 길이 [eqn: y], 광원의 높이 [eqn: h]에 대하여 실지수 [eqn: K`]는 다음과 같이 구할 수 있다고 한다. 07 [eqn: K`=` {xy} over {h LEFT ( x+y RIGHT )}] 직육면체 모양의 두 전시장 [eqn: A], [eqn: B`]의 실지수를 비교하려고 한다. [eqn: A]의 가로의 길이는 [eqn: 2], 세로의 길이는 [eqn: a], 광원의 높이는 [eqn: 2a]이고, [eqn: B`]의 가로의 길이는 [eqn: 4], 세로의 길이는 [eqn: 2a], 광원의 높이는 [eqn: a]이다. [eqn: B`]의 실지수가 [eqn: A]의 실지수의 [eqn: k]배일 때, [eqn: k]의 값은? (단, 길이와 높이의 단위는 [eqn: rmm]이다.) ▸3점 ① [eqn: {5} over {2}] ② [eqn: 3] ③ [eqn: {7} over {2}] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: {9} over {2}]	▹2016년 11월 교육청 유리함수 [eqn: y= {bx-5} over {x+a}]의 그래프의 점근선이 두 직선 [eqn: x=`-1], [eqn: y=2]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? 08 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9] ▹2016년 11월 교육청 [eqn: x=8]일 때, [eqn: {1} over {sqrt {x+1} + sqrt {x}} + {1} over {sqrt {x+1} - sqrt {x}}]의 값은? 09 ▸3점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9] ▹2016년 11월 교육청 무리함수 [eqn: y= sqrt {x+1} +k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `3,``7 RIGHT )]을 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값은? 10 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

Ⅴ. 함수

중단원 기출 문제
▹2016년 6월 교육청 함수 [eqn: y= {2} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하였더니 함수 [eqn: y= {3x-1} over {x-1}]의 그래프와 일치하였다. 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? 11 ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] ▹2016년 6월 교육청 유리함수 [eqn: y= {3x-14} over {x-5}]의 그래프가 직선 [eqn: y=x+k]에 대하여 대칭일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? 12 ▸3점 ① [eqn: -1] ② [eqn: -2] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -4] ⑤ [eqn: -5] ▹2016년 6월 교육청 무리함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하였더니 무리함수 [eqn: y= sqrt {x+2} +9]의 그래프와 일치하였다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? 13 ▸3점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]	▹2017년 6월 교육청 함수 [eqn: y= {3x+k-10} over {x+1}]의 그래프가 제[eqn: `4]사분면을 지나도록 하는 모든 자연수 [eqn: k]의 개수는? 14 ▸4점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 13] ▹2017년 3월 교육청 유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2x+b} over {x-a}]가 다음 조건을 만족시킨다. 15 (가) [eqn: 2`]가 아닌 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-4 RIGHT ) -4] 이다. (나) 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 평행이동하면 함수 [eqn: y= {3} over {x}]의 그래프와 일치한다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ▸4점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] ▹2016년 11월 교육청 양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {ax} over {x+1}]의 그래프의 점근선인 두 직선과 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 18]일 때, [eqn: a]의 값은? 16 ▸4점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]

Ⅴ. 함수

▹2016년 11월 교육청

그림과 같이 양수 [eqn: a]에 대하여 직선 [eqn: x=a]와 두 곡선 [eqn: y= sqrt {x}], [eqn: y= sqrt {3x}]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= sqrt {3x}]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: {1} over {4}]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

17

▸4점

▹2016년 9월 교육청

그림과 같이 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {x-1} +k][eqn: LEFT ( k>1 RIGHT )]의 그래프가 있다. 점 [eqn: rm P LEFT ( it 1,~k RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: RMOP]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A]라 하자. 점 [eqn: rmP]를 지나고 원점으로부터 거리가 [eqn: 1]인 직선 [eqn: l`]이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 제[eqn: `1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmB], [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rm PBA]의 넓이를 [eqn: S_1], 삼각형 [eqn: rm PCO]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 할 때, [eqn: 2S _{1} =S _{2}]이다. 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 10k ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 직선 [eqn: l`]은 좌표축과 평행하지 않다.)

18

▸4점

▹2015년 9월 교육청

[eqn: {bar{rm AB it}}][eqn: =][eqn: {bar{rm BC it}} =][eqn: {bar{rm CD it}} =2`], [eqn: {bar{rm AD it}} =3]인 등변사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서 선분 [eqn: rmBC]위를 움직이는 점을 [eqn: rm E], 직선 [eqn: rmAE]와 직선 [eqn: rmCD]의 교점을 [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rm C]와 점 [eqn: rmE] 사이의 거리를 [eqn: x`][eqn: (0 LEQ x LEQ 2)], 점 [eqn: rmC]와 점 [eqn: rm F] 사이의 거리를 [eqn: f(x)]라 할 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 모양으로 알맞은 것은?

19

▸4점

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rmC]

[eqn: rmE]

[eqn: rm F]

[eqn: f( x )]

①	[eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: 2]	②	[eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: 2]
③	[eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: 2]	④	[eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: 2]
⑤	[eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: 2]

-2. 유리함수와 무리함수

Ⅴ

01 ⑤	02 ③	03 ②	04 ③	05 ②

06 ④	07 ④	08 ②	09 ②	10 ⑤

11 ②	12 ②	13 ③	14 ③	15 ⑤

16 ①	17 [eqn: 16]	18 [eqn: 20]	19 ①

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 10 RIGHT ) =3]에서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

06

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =a sqrt {3+1} +2][eqn: =2a+2][eqn: =10]

따라서    [eqn: a=4]

[eqn: A]의 실지수는 [eqn: {2a} over { 2a LEFT ( 2+a RIGHT ) }= {1} over {2+a}]

07

[eqn: B`]의 실지수는 [eqn: {8a} over {a LEFT ( 4+2a RIGHT )}= {4} over {2+a} =4times {1} over {2+a}]

따라서 [eqn: B`]의 실지수가 [eqn: A]의 실지수의 [eqn: 4]배이므로

[eqn: y][eqn: = {bx-5} over {x+a}][eqn: = {b LEFT ( x+a RIGHT ) - LEFT ( ab+5 RIGHT )} over {x+a}]
[eqn: = {-ab-5} over {x+a} +b]

08

의 점근선의 방정식은    [eqn: x=it-a], [eqn: y=b]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=2]이므로    [eqn: a+b=3]

[eqn: {1} over {sqrt {x+1} + sqrt {x}} + {1} over {sqrt {x+1} - sqrt {x}}]

09

[eqn: = {LEFT ( sqrt {x+1} - sqrt {x} RIGHT ) + LEFT ( sqrt {x+1} + sqrt {x} RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x+1} + sqrt {x} RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+1} - sqrt {x} RIGHT )}]
[eqn: =2 sqrt {x+1}]

따라서 [eqn: x=8]일 때 구하는 값은 [eqn: 6]이다.

[eqn: 7= sqrt {3+1} +k]

10

따라서    [eqn: k=5]

[eqn: y= {3x-1} over {x-1} = {3(x-1)+2} over {x-1} = {2} over {x-1} +3]

11

함수 [eqn: y= {2} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y= {3x-1} over {x-1}]의 그래프와 일치한다.

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=3]이므로    [eqn: a+b=4]

[eqn: y= {3x-14} over {x-5} = {3 LEFT ( x-5 RIGHT ) +1} over {x-5} = {1} over {x-5} +3][eqn: y= {3x-14} over {x-5}]의 그래프는 [eqn: y= {1} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 것이다.

12

[eqn: y= {1} over {x}]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 [eqn: y= {3x-14} over {x-5}]의 그래프는

[eqn: y= LEFT ( x-5 RIGHT ) +3=x-2]에 대하여 대칭이다.

따라서    [eqn: k=it-2]

함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 9`]만큼 평행이동시킨 그래프가 함수 [eqn: y= sqrt {x+2} +9]의 그래프와 일치하므로    [eqn: a=it-2], [eqn: b=9]

13

따라서    [eqn: a+b=7]

[eqn: y= {3x+k-10} over {x+1}][eqn: =3+ {k-13} over {x+1}]이므로 점근선의 방정식은    [eqn: x=it-1], [eqn: y=3]

14

이 함수의 그래프가 제[eqn: `4]사분면을 지나기 위해서는 [eqn: k-13<0]이고, [eqn: (y]절편[eqn: )][eqn: =k-10<0]이어야 하므로    [eqn: k<10]

따라서 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 9]이다.

[eqn: f(x)`][eqn: = {2x+b} over {x-a}][eqn: = {2(x-a)+2a+b} over {x-a}]

15

[eqn: = {2a+b} over {x-a} +2]

에서 함수 [eqn: y=][eqn: f(x)]의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 [eqn: LEFT ( a,~2 RIGHT )]이다.

이때, [eqn: y=f ^{`-1} (x)]의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 [eqn: LEFT ( a,```2 RIGHT ) `]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점이므로 그 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~a RIGHT )]와 같다.

정답 및 해설

중단원 기출 문제

(가)에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x-4 RIGHT ) -4]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼 평행이동한 그래프와 일치하므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x-4 RIGHT ) -4]의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 [eqn: LEFT ( a+4,```-2 RIGHT )]이다.

점 [eqn: LEFT ( 2,~a RIGHT )]와 점 [eqn: LEFT ( a+4,~-2 RIGHT )]가 같으므로

[eqn: a= it -2]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y= {2a+b} over {x}]의 그래프를 평행이동한 그래프와 일치하므로 (나)에서    [eqn: 2a+b=3],  [eqn: b=7]

따라서    [eqn: a+b=5]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {ax} over {x+1}][eqn: =it- {a} over {x+1} +a]

16

이므로 점근선의 방정식은    [eqn: x=it-1], [eqn: y=a]

두 직선 [eqn: x=it-1], [eqn: y=a]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 18]이므로

[eqn: {1} over {2} (a+1) ^{2} =18]

따라서    [eqn: a=5]

[eqn: rmA][eqn: (a,~ sqrt {a} )], [eqn: rmB][eqn: (a,~ sqrt {3a} )]

17

점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표와 같으므로

[eqn: sqrt {x} = sqrt {3a}], [eqn: x=3a]

따라서    [eqn: rmC][eqn: (3a,~ sqrt {3a} )], [eqn: rmD][eqn: (3a,~3 sqrt {a} )]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]를 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {3 sqrt {a} - sqrt {a}} over {3a-a} = {sqrt {a}} over {a} = {1} over {sqrt {a}}]

[eqn: {1} over {sqrt {a}} = {1} over {4}]이므로    [eqn: sqrt {a} =4]

따라서    [eqn: a=16]

18

직선 [eqn: l]과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmQ(ita,~b)]라 하자.

삼각형 [eqn: rm APB]와 삼각형 [eqn: rmOPQ]는 합동이고,

[eqn: S_2 = 2 S_1]이므로

[eqn: rm {bar{PB}} = {bar{QP}} = {bar{CQ}}]  ……㉠

[eqn: rm P LEFT ( it 1,~k RIGHT )]이므로 [eqn: b = k over2 = f(a)]

[eqn: {k} over {2} = {k} over {a-1} +k]이므로    [eqn: a = it-1]

[eqn: rm Q left(-1,~itk over2 right)]

또한 ㉠에 의하여    [eqn: rmC(-3,~0)]

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: kx - 4y+3k=0]이고 원점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: 1]이므로

[eqn: {LEFT | 3k RIGHT |} over {sqrt {k ^{2} +16}} =1], [eqn: k^2 = 2]

따라서    [eqn: 10k ^{2} =20]

삼각형 [eqn: rm AFD]와 삼각형 [eqn: rmEFC]는 닮음이므로

19

[eqn: {bar{rm AD it}} : {bar{rm EC it}} = {bar{rm DF it}}: {bar{rm CF it}}]

[eqn: 3:x= LEFT { f(x)+2 RIGHT } :f(x)]

[eqn: f(x)= {-6} over {x-3}-2``(0 LEQ x LEQ 2)]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 모양은

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]