-3 원의 방정식

Ⅲ

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2016년 11월 교육청

직선 [eqn: y=x+2]와 평행하고 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]에 접하는 직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: k ^{2}]의 값을 구하시오.

01

▸3점

02

▹2016년 9월 교육청

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(1,~3)], [eqn: rm B(2,~1)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 선분 [eqn: rm BC]를 지름으로 하는 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

02

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▹2014년 3월 교육청

그림은 원 [eqn: (x+1) ^{2} +(y-3) ^{2} =4]와 직선
[eqn: y=mx+2]를 좌표평면 위에 나타낸 것이다.

03

원과 직선의 두 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 2 sqrt {2}]가 되도록 하는 상수 [eqn: m]의 값은?

▸3점

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

▹2012년 11월 교육청

직선 [eqn: y=root2 x +k]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]에 접할 때, 양의 실수 [eqn: k]의 값은?

04

▸3점

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2root2]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

▹2011년 11월 교육청 점 [eqn: (-6,~0)]에서 원 [eqn: x^{ 2}+y ^{2}=9]에 그은 접선의 방정식이 [eqn: y=mx+n]일 때, [eqn: mn]의 값은? 05 (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다.) ▸3점 ① [eqn: root3 over 3] ② [eqn: 2`] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 2root3] ⑤ [eqn: 3root3] ▹2017년 3월 교육청 그림과 같이 좌표평면에서 직선 [eqn: l`:`x-2y+5=0]이 원 [eqn: C]와 점 [eqn: rm P]에서 접하고, 직선 [eqn: l]과 평행한 직선 [eqn: l` prime]이 원 [eqn: C]와 점 [eqn: rm Q]에서 접한다. 삼각형 [eqn: rm POQ]가 정삼각형이 되도록 하는 원 [eqn: C]의 중심이 점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]일 때, [eqn: a+b]의 값은? 06 (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) ▸4점 ① [eqn: 3 sqrt {3}] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 3 sqrt {5}] ④ [eqn: 3 sqrt {6}] ⑤ [eqn: 3 sqrt {7}]	▹2016년 9월 교육청 그림과 같이 좌표평면에서 원점을 지나는 직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이고, 직선 [eqn: l]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 직선 [eqn: m]이 있다. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}] 위의 제[eqn: `1]사분면에 있는 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축과 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]라 하자. 다음은 07 [eqn: {bar{rm PA it}} ^{2} + {bar{rm PB it}} ^{2} + {bar{rm PC it}} ^{2} = {BOX{~(다)~}}]를 구하는 과정이다. (단, 점 [eqn: rmP`]는 직선 [eqn: l`] 위에 있지 않다.) [eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmP] [eqn: rmA] [eqn: rmB] [eqn: l] [eqn: m] [eqn: rmC] 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=sqrt{3}x]이고 직선 [eqn: m]의 방정식은 [eqn: y=BOX{~(가)~} `x]이다. 원 위의 제[eqn: `1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP(ita,~b)]라 하면 [eqn: a>0], [eqn: b>0]이고 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =r ^{2}]이다. 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축과 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]에 내린 수선의 발이 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]이므로 [eqn: bar{rm PA it} = b] [eqn: bar{rm PB it} = { LEFT | sqrt {3} a- b RIGHT |}over{box{~(나)~}] [eqn: bar{rm PC it} = { LEFT | sqrt {3} a+ b RIGHT |}over{box{~(나)~}] 따라서 [eqn: {bar{rmPA}}^{2}+{bar{rmPB}}^{2}+{bar{rmPC}}^{2}= BOX{~(다)~}] 위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: s], [eqn: t]라 하고, (다)에 알맞은 식을 [eqn: f(r)]라 할 때, [eqn: f(s timest)]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 14] ② [eqn: 15] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 17] ⑤ [eqn: 18]

Ⅲ. 도형의 방정식

중단원 기출 문제
▹2016년 9월 교육청 좌표평면 위의 점 [eqn: (3,~4)]를 지나는 직선 중에서 원점과의 거리가 최대인 직선을 [eqn: l]이라 하자. 원 [eqn: (x-7)^{2}+(y-5)^{2}=1] 위의 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 10m]의 값을 구하시오. 08 ▸4점 ▹2016년 9월 교육청 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA(-2,~4)], [eqn: rmB(3,~-6)], [eqn: rm C( ita ,~b)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]에서 각 [eqn: rmACB]의 이등분선이 원점 [eqn: rmO]를 지날 때, 점 [eqn: rmC]와 직선 [eqn: rmAB] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: m^{2}]의 값을 구하시오. 09 ▸4점 [eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmB] [eqn: rmC] [eqn: rmA]	▹2015년 9월 교육청 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =25]와 직선 [eqn: y=f(x)]가 제[eqn: `2]사분면에 있는 원 위의 점 [eqn: rm P]에서 접할 때, [eqn: f(-5)f(5)]의 값을 구하시오. 10 ▸4점 [eqn: y=f(x)] [eqn: y] [eqn: 5] [eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: -5] [eqn: rmP] ▹2015년 3월 교육청 좌표평면에 두 원 11 [eqn: C _{``1} `:`][eqn: x ^{2} +y ^{2} =1], [eqn: C _{``2} `:`][eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x+6y+21=0] 이 있다. 그림과 같이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P]에서 원 [eqn: C _{1}]에 그은 한 접선의 접점을 [eqn: rm Q], 점 [eqn: rm P]에서 원 [eqn: C _{2}]에 그은 한 접선의 접점을 [eqn: rm R]라 하자. [eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: = rm {bar{PR}}]일 때, 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표는? ▸4점

Ⅲ. 도형의 방정식
▹2015년 3월 교육청 그림과 같이 점 [eqn: rm A(4,~3)]을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10]과 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]에서 만난다. [eqn: rm {bar{AP}} =3]일 때, 직선 [eqn: l]의 기울기는? 12 ▸4점 ① [eqn: {23} over {7} `] ② [eqn: {24} over {7} `] ③ [eqn: {25} over {7} `] ④ [eqn: {26} over {7} `] ⑤ [eqn: {27} over {7} `] ▹2015년 3월 교육청 좌표평면에 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -10`x=0]이 있다. 이 원의 현 중에서 점 [eqn: rm A it (1,~0)]을 지나고 그 길이가 자연수인 현의 개수는? 13 ▸4점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]	▹2014년 9월 교육청 다음은 어떤 전시장에 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 1``rmm]인 원기둥 모양의 세 전시물 [eqn: rm A,~B,~C]를 설치하는 방법이다. 14 (가) 관람지점 [eqn: rmP]에서 전시물 [eqn: rmA ,~B]의 밑면의 중심까지의 거리가 각각 [eqn: 2`` rm m]이고, 관람지점 [eqn: rm P]와 전시물 [eqn: rmA ,~B]의 밑면의 중심을 연결한 두 직선이 서로 수직이 되도록 전시물 [eqn: rmA ,~B]를 설치한다. (나) 관람자가 관람지점 [eqn: rm P]에서 전시물 [eqn: rmA ,~B]사이로 전시물 [eqn: rm C]를 보았을 때, 전시물 [eqn: rm C]가 전시물 [eqn: rmA ,~B]에 의해 가려지는 부분이 없도록 전시물 [eqn: rm C]를 설치한다. 관람지점 [eqn: rm P]로부터 전시물 [eqn: rm C]의 밑면의 중심까지의 거리를 [eqn: d][eqn: ` LEFT ( rm m RIGHT )]라 할 때, [eqn: d]의 최솟값은? (단, 관람자의 시선은 전시장의 바닥과 평행하고, 전시물의 높이는 관람자의 시선보다 높다.) ▸4점 ① [eqn: sqrt {3} +1] ② [eqn: sqrt {3} + sqrt {2}] ③ [eqn: sqrt {3} +2] ④ [eqn: sqrt {6} +1] ⑤ [eqn: sqrt {6} + sqrt {2}]

-3. 원의 방정식

Ⅲ

01 [eqn: 18]	02 ②	03 ③	04 ➃	05 ➁

06 ➀	07 ⑤	08 [eqn: 22]	09 [eqn: 180]	10 [eqn: 25]

11 ④	12 ②	13 ③	14 ⑤	15 ⑤

06

원 [eqn: C]의 중심을 점 [eqn: rm C it LEFT ( a,~b RIGHT )]라 하면 직선 [eqn: rmOC]는 직선 [eqn: l`]과 평행하다.

직선 [eqn: rmOC]의 방정식은 [eqn: x-2y=0`]이므로

[eqn: a-2b=0`]	……㉠

원 [eqn: C``]의 반지름의 길이는

[eqn: {LEFT | 5 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +(-2) ^{2}}} = sqrt {5}]

삼각형 [eqn: rmPOQ]가 정삼각형이므로

[eqn: bar{rmOC}= sqrt {a ^{2} +b ^{2}} = sqrt {3} times sqrt {5} = sqrt {15}]

즉 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =15]	……㉡

[eqn: a], [eqn: b`]는 양수이므로 ㉠, ㉡에 의하여

[eqn: a=2 sqrt {3}], [eqn: b= sqrt {3}]

따라서    [eqn: a+b=3 sqrt {3}]

[eqn: s=it- sqrt {3}], [eqn: t=2], [eqn: f(r)= {3} over {2} r ^{2}]

07

따라서    [eqn: f(s timest)=f(-2 sqrt {3} )=18]

직선 [eqn: l`]은 원점과 점 [eqn: (3,~4)]를 연결한 직선과 수직으로 만나야 한다.

08

점 [eqn: (3,~4)]를 지나는 직선의 방정식을

[eqn: y=a(x-3)+4`]라 할 때, 원점과 점 [eqn: (3,~4)]를 연결한 직선의 기울기는 [eqn: {4} over {3}]이므로    [eqn: a=it- {3} over {4}]

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은    [eqn: 3x+4y-25=0]

원의 중심 [eqn: (7,~5)]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리는

[eqn: {|`21+20-25`|} over {sqrt {9+16}}][eqn: = {16} over {5}]

따라서 [eqn: m= {16} over {5} -1= {11} over {5}]이므로    [eqn: 10m=22]

[eqn: {bar{rm AO it}} =2 sqrt {5}], [eqn: {bar{rm BO it}} =3 sqrt {5}]이므로

09

[eqn: {bar{rm AC it}} : {bar{rm BC it}} = {bar{rm AO it}} : {bar{rm BO it}} =2:3], [eqn: 3 {bar{rm AC it}} =2 {bar{rm BC it}}]

[eqn: 3 sqrt {(a+2) ^{2} +(b-4) ^{2}} =2 sqrt {(a-3) ^{2} +(b+6) ^{2}}]

[eqn: (a+6)^{2}+(b-12)^{2}=180`]

즉 점 [eqn: rm C]는 원 [eqn: (x+6)^{2}+(y-12)^{2}=180`] 위의 점이다. (단, 점 [eqn: rm C( ita ,~b)]는 직선 [eqn: rmAB] 위에 있지 않다.)

직선 [eqn: rmAB]는 [eqn: y=it-2x]이므로 원의 중심 [eqn: (-6,``12)]가 직선 [eqn: rm AB] 위에 있다.

따라서 점 [eqn: rm C]와 직선 [eqn: rm AB] 사이의 거리의 최댓값은 원 [eqn: (x+6) ^{2} +(y-12) ^{2} =180`]의 반지름의 길이와 같으므로    [eqn: m ^{2} =180]

[eqn: f(x)=ax+b]라 하면 이차방정식

10

[eqn: x^2 +(ax+b)^2 =25]는 중근을 갖는다.

이차방정식 [eqn: LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT ) x ^{2} +2abx+b ^{2} -25=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} b ^{2} - LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -25 RIGHT )]

[eqn: =25a ^{2} -b ^{2} +25=0]	……㉠

[eqn: f(-5)f(5)][eqn: =LEFT ( -5a+b RIGHT ) LEFT ( 5a+b RIGHT )][eqn: =b ^{2} -25a ^{2}]

따라서 ㉠에 의해    [eqn: f(-5)f(5)=25`]

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: rm P it (a,~0)]이라 하자.

11

직각삼각형 [eqn: rmOPQ]에서    [eqn: rm {bar{PQ}} ^{2}][eqn: =a ^{2} -1]

[eqn: x^2 + y^2 -8x +6y +21 =0`]에서

[eqn: (x-4) ^{2} +(y+3) ^{2} =2 ^{2}]

원 [eqn: C _{2}]는 중심이 [eqn: (4,~-3)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이므로 원 [eqn: C _{2}]의 중심을 [eqn: rm A]라 하면

정답 및 해설

중단원 기출 문제

[eqn: rm A LEFT ( 4,~-3 RIGHT )]이다.

직각삼각형 [eqn: rm APR]에서

[eqn: rm {bar{PR}} ^{2}][eqn: = LEFT { (a-4) ^{2} +(0+3) ^{2} RIGHT } -2 ^{2}]

[eqn: =a ^{2} -8a+21]

[eqn: rm {bar PQ } ^2 = rm { bar PR }^2]이므로    [eqn: a ^{2} -1=][eqn: a ^{2} -8a+21]

따라서    [eqn: a= {11} over {4}]

원점에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

12

[eqn: bar{rmOH}=a], [eqn: {bar{rm HP it}} =b]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmOHP]와 [eqn: rmOHA]에서

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =10`]……㉠, [eqn: a ^{2} + LEFT ( b+3 RIGHT ) ^{2}=25`]…… ㉡

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면    [eqn: a=3], [eqn: b=1]

직선 [eqn: l]의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=m LEFT ( x-4 RIGHT ) +3]이고 원의 중심 [eqn: rmO]와 직선 [eqn: mx-y-4m+3=0] 사이의 거리가 [eqn: 3]이므로

[eqn: {LEFT | `-4m+3` RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} =3], [eqn: 7m ^{2} -24m=0]

따라서    [eqn: m=0] 또는 [eqn: m= {24} over {7}]

직선 [eqn: l]의 기울기는 양수이므로    [eqn: m= {24} over {7} `]

[eqn: x ^{2} + y ^{2} - 10x =0]에서    [eqn: (x-5) ^{2} +y ^{2} =5 ^{2}]

13

원의 중심을 [eqn: rm C]라 하고 점 [eqn: rm A it (1,~0)]을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하자.

현 [eqn: rm PQ]의 길이가 최소일 때는 [eqn: rm {bar{CA}} BOT {bar{PQ}}]일 때이고 이때 [eqn: rm barAP = bar AQ]이다.

직각삼각형 [eqn: rm ACP]에서 [eqn: rm {bar{CA}} =4], [eqn: rm {bar{CP}} =5]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} =3], [eqn: rm bar PQ = 2 times rm bar AP =6]

따라서 현 [eqn: rm PQ]의 길이의 최솟값은 [eqn: 6]이다.

현 [eqn: rm PQ]의 길이가 최대일 때는 현 [eqn: rm PQ]가 지름일 때이므로 현 [eqn: rm PQ]의 길이의 최댓값은 [eqn: 10]이다.

따라서 현의 길이가 자연수인 경우는 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]이다.

이때 길이가 [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]인 현은 각각 [eqn: 2]개씩 존재하고, 길이가 [eqn: 6], [eqn: 10]인 현은 각각 [eqn: 1]개씩 존재한다.

따라서 구하는 현의 개수는    [eqn: 3 times 2 + 2 times 1 = 8]

14

관람지점 [eqn: rm P]를 좌표평면 위의 원점이라 하면 전시물 [eqn: rm A]의 밑면은 중심이 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이다. 또한, 전시물 [eqn: rm B]의 밑면은 중심이 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이다. 두 전시물 사이로 전시물 [eqn: rmC]가 보여야 하므로 원점에서 그은 두 원의 접선 사이에 전시물 [eqn: rmC]의 밑면이 존재해야 한다. 이때, 원점에서 전시물 [eqn: rmC]의 밑면의 중심까지의 거리가 최소가 되려면 전시물 [eqn: rmC]의 밑면이 두 접선에 모두 접해야 한다.

따라서 전시물 [eqn: rmC]의 밑면은 중심이 직선 [eqn: y=x] 위에 있고 두 접선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x], [eqn: y= sqrt {3} x]에 모두 접하는 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이다.

중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~a RIGHT )]라 할 때, 중심에서 두 접선까지의 거리는 각각 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: {LEFT | a- sqrt {3} a RIGHT |} over {sqrt {1+3}} = {LEFT | sqrt {3} a-a RIGHT |} over {sqrt {3+1}} =1]

[eqn: a= {2} over {sqrt {3} -1} = sqrt {3} +1]

원점에서 전시물 [eqn: rmC]의 밑면의 중심까지의 거리는

[eqn: sqrt {2} a]

따라서 [eqn: d`]의 최솟값은    [eqn: sqrt {6} + sqrt {2}]