-2 직선의 방정식

Ⅲ

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2016년 11월 교육청

좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]과 직선

01

[eqn: sqrt {3} x+y+23=0] 사이의 거리를 구하시오.

▸3점

02

▹2016년 9월 교육청

좌표평면에서 두 직선

02

[eqn: x-2y+2=0],   [eqn: 2x+y-6=0]

이 만나는 점과 점 [eqn: rm (4,~0)]을 지나는 직선의 [eqn: y]절편은?

▸3점

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

▹2015년 11월 교육청

좌표평면에서 두 점 [eqn: left(-2,~-3 right)], [eqn: left(2,~5 right)]를 지나는 직선이 점 [eqn: left(a,~7 right)]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

03

▸3점

▹2016년 3월 교육청

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 점 [eqn: {{rm A LEFT ( 0,~2 RIGHT ) it}}]를 지나는 직선과 점 [eqn: {rm B LEFT ( it n,~2 RIGHT )}}]를 지나는 직선이 서로 수직으로 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자.

04

점 [eqn: rmP`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 4,~4 RIGHT )]일 때, 삼각형 [eqn: rmABP]의 무게중심의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 하자. [eqn: a+b]의 값은?

▸3점

① [eqn: 5]	② [eqn: {17} over {3}]	③ [eqn: {19} over {3}]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {23} over {3}]

▹2016년 3월 교육청

그림과 같이 좌표평면에서 점 [eqn: {rmA}(-2,~3)]과 직선 [eqn: y=m LEFT ( x-2 RIGHT )] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 [eqn: bar{rmAB}=bar{rmAC}]를 만족시킨다. 선분 [eqn: rmBC]의 중점이 [eqn: y]축 위에 있을 때, 양수 [eqn: m]의 값은?

05

▸3점

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {7} over {12}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

▹2015년 9월 교육청 좌표평면 위의 두 직선 [eqn: x-2y+2=0], 06 [eqn: 2x+y-6=0]의 교점을 지나고 직선 [eqn: x-3y+6=0]에 수직인 직선의 [eqn: y]절편은? ▸3점 ① [eqn: {13}over{2}] ② [eqn: 7] ③ [eqn: {15}over{2}] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: {17}over{2}] ▹2017년 3월 교육청 그림과 같이 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A it left (0,```6right)], [eqn: rm B it left(18,```0right)]과 제[eqn: `1]사분면 위의 점 [eqn: rm C it left(a,~b right)]가 [eqn: rm {bar{AC}} = {bar{BC}}]를 만족시킨다. 두 선분 [eqn: rm AC], [eqn: rm BC]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm CPQ]의 무게중심을 [eqn: rm G]라 하자. 선분 [eqn: rm CG]의 길이가 [eqn: sqrt {10}]일 때, [eqn: a+b]의 값은? 07 ▸4점 ① [eqn: 17] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 19] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 21]	▹2016년 11월 교육청 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO LEFT ( 0,~0 RIGHT )], [eqn: rm A LEFT (18,~0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 18,~18 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT (0,~18 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmOABC]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 9, ~9 RIGHT )]를 지나고 [eqn: x]축과 만나는 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]이 정사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이를 [eqn: 6]등분한다. 직선 [eqn: l]의 [eqn: x]절편을 [eqn: a]라 하고 [eqn: 6 LEQ a LEQ 10]일 때, 두 직선 [eqn: m]과 [eqn: n]의 기울기의 곱의 최댓값은 [eqn: alpha], 최솟값은 [eqn: beta `]이다. [eqn: alpha ^{2} + beta ` ^{2} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. 08 (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) ▸4점 [eqn: x] [eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: rm A] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rm 9] [eqn: l] [eqn: m] [eqn: n] [eqn: a] [eqn: rm 9] ▹2016년 9월 교육청 좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]를 지나고 꼭짓점이 [eqn: rm A(2,``-4)]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rmB]라 하자. 직선 [eqn: y=mx]가 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 이등분하도록 하는 실수 [eqn: m]의 값은? 09 ▸4점 ① [eqn: - {1} over {6}] ② [eqn: - {1} over {3}] ③ [eqn: - {1} over {2}] ④ [eqn: - {2} over {3}] ⑤ [eqn: - {5} over {6}]

Ⅲ. 도형의 방정식

중단원 기출 문제
▹2016년 9월 교육청 좌표평면에서 점 [eqn: rmA{it(0,~1)}]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P it (t,~0)]에 대하여 점 [eqn: rmP]를 지나고 직선 [eqn: rmAP]에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 10 (단, [eqn: t`]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수이다.) ▸4점 ㄱ. [eqn: t=1]일 때, 직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: 1]이다. ㄴ. 점 [eqn: (3,~2)]를 지나는 직선 [eqn: l]의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. 직선 [eqn: l] 위의 모든 점 [eqn: (x,~y)]에 대하여 부등식 [eqn: y`LEQ ax ^{2}]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: {1}over{4}]이다. 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ▹2016년 3월 교육청 그림과 같이 좌표평면에 세 점 [eqn: {rmO}(0,~0)], [eqn: {rmA}(8,~4)], [eqn: rm B it (7,~a)]와 삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심 [eqn: rm G it (5,~b)]가 있다. 점 [eqn: rmG]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {5}]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a`]는 양수이다.) 11 ▸4점 ① [eqn: 16] ② [eqn: 17] ③ [eqn: 18] ④ [eqn: 19] ⑤ [eqn: 20]	▹2016년 3월 교육청 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 12]인 정사각형 [eqn: rmOABC] 모양의 종이를 점 [eqn: rm O]가 원점에, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았다. 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]는 각각 두 선분 [eqn: rmOC], [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이고, 선분 [eqn: rm OA] 위의 점 [eqn: rm F]에 대하여 [eqn: {bar{rm OF}} =5]이다. 선분 [eqn: rm OC] 위의 점 [eqn: rmP]와 선분 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점 [eqn: rmO]는 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmO']으로, 점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rmDE] 위의 점 [eqn: rmF']으로 옮겨졌다. 이때 좌표평면에서 직선 [eqn: rmPQ]의 방정식은 [eqn: y=mx+n]이다. 12 [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 상수이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) ▸4점 ① [eqn: 6] ② [eqn: {25} over {4}] ③ [eqn: {13} over {2}] ④ [eqn: {27} over {4}] ⑤ [eqn: 7]

Ⅲ. 도형의 방정식
▹2015년 11월 교육청 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에 내접하는 원이 있다. 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rm P]라 하자. 선분 [eqn: rm AP]가 정사각형 [eqn: rm ABCD]에 내접하는 원과 만나는 두 점을 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 할 때, 선분 [eqn: rm QR]의 길이는? 13 ▸4점 [eqn: rm A] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rm D] [eqn: rm P] [eqn: rm Q] [eqn: rm R] [eqn: 10] ① [eqn: {2 sqrt {11}}] ② [eqn: {4 sqrt {3}}] ③ [eqn: {2 sqrt {13}}] ④ [eqn: {2 sqrt {14}}] ⑤ [eqn: {2 sqrt {15}}] ▹2014년 9월 교육청 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A,~B,~C]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심을 [eqn: rm G]라 하고, 변 [eqn: rm AB], 변 [eqn: rm BC], 변 [eqn: rm CA]의 중점의 좌표를 각각 [eqn: rm L LEFT ( 2,~1 RIGHT )], [eqn: rm M LEFT ( 4,~-1 RIGHT )], 14 [eqn: rm N( it a,~b)]라 하자. 직선 [eqn: rm BN]과 직선 [eqn: rm LM]이 서로 수직이고, 점 [eqn: rm G]에서 직선 [eqn: rm LM]까지의 거리가 [eqn: 4 sqrt {2}]일 때, [eqn: ab]의 값은?(단, 무게중심 [eqn: rm G]는 제[eqn: `1]사분면에 있다.) ▸4점 ① [eqn: 60] ② [eqn: 90] ③ [eqn: 120] ④ [eqn: 150] ⑤ [eqn: 180]	▹2014년 9월 교육청 두 직선 15 [eqn: l`:`ax-y+a+2=0] [eqn: m`:`4x+ay+3a+8=0] 에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.) ▸4점 ㄱ. [eqn: a=0]일 때 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]은 서로 수직이다. ㄴ. 직선 [eqn: l]은 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (1,~2)]를 지난다. ㄷ. 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 평행이 되기 위한 [eqn: a]의 값은 존재하지 않는다. 보기 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ▹2013년 3월 교육청 좌표평면에서 세 직선 16 [eqn: y=2x], [eqn: y=- 1 over2 x], [eqn: y=mx+5] [eqn: (m>0)] 로 둘러싸인 도형이 이등변삼각형일 때, [eqn: m]의 값은? ▸4점 [eqn: 5] [eqn: y=2x] [eqn: y=mx+5] [eqn: y] [eqn: rm O] [eqn: x] [eqn: y=- 1 over2 x] ① [eqn: 1over3] ② [eqn: 2 over5] ③ [eqn: 7 over 15] ④ [eqn: 8 over 15] ⑤ [eqn: 3 over 5]

-2. 직선의 방정식

Ⅲ

01 [eqn: 12]	02 ④	03 [eqn: 3]	04 ②	05 ③

06 ④	07 ④	08 [eqn: 106]	09 ④	10 ⑤

11 ①	12 ⑤	13 ⑤	14 ⑤	15 ③

16 ①

08

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm 9]

[eqn: l]

[eqn: m]

[eqn: n]

[eqn: a]

[eqn: rm 9]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

삼각형 [eqn: rmDEF]의 넓이는 [eqn: 54]이므로    [eqn: {bar{rm DE it}} =12]

사각형 [eqn: rmOGFE]의 넓이 [eqn: 54]는 삼각형 [eqn: rm OGF]와 삼각형 [eqn: rmOEF]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: {bar{rm OE it}} + {bar{rm OG it}} =12]

[eqn: bar{rmOG}=a]이므로    [eqn: {bar{rm OE it}} =12-a], [eqn: {bar{rm OD it}} =24-a]

따라서    [eqn: rm D LEFT ( 0, ~it 24-a RIGHT )], [eqn: rm E LEFT ( 0,~ it 12-a RIGHT )]

직선 [eqn: m], [eqn: n]의 기울기는 각각   [eqn: {a-15} over {9}], [eqn: {a-3} over {9}]

두 직선 [eqn: m], [eqn: n]의 기울기의 곱은

[eqn: {1} over {81} LEFT ( a ^{2} -18a+45 RIGHT ) = {1} over {81} LEFT ( a-9 RIGHT ) ^{2} - {4} over {9}]

[eqn: 6 LEQ a leq 10]에서 [eqn: a=6]일 때 최댓값 [eqn: alpha=it- {1} over {3}], [eqn: a=9]일 때 최솟값 [eqn: beta=`- {4} over {9}]를 가지므로

[eqn: alpha ^{2} + beta ` ^{2} = {25} over {81}], 따라서    [eqn: p+q=106]

점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: rm ( it alpha ,~0)]이라 하면

09

[eqn: 2= {0+ alpha } over {2}], 즉 [eqn: alpha =4]

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 이등분하기 위해서는 직선 [eqn: y=mx]는 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: (3,~-2)]를 지나야 하므로    [eqn: -2=3m]

따라서 [eqn: m=it- {2} over {3}]

ㄴ. 직선 [eqn: rmAP]의 기울기는 [eqn: - {1} over {t}]이므로 직선 [eqn: l]의
기울기는 [eqn: t]이다. 따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은

10

[eqn: y=t(x-t)]	……㉠

㉠에 점 [eqn: (3,~2)]를 대입하여 정리하면
[eqn: t ^{2} -3t+2=0]이므로    [eqn: t=1] 또는 [eqn: t=2]

따라서 직선 [eqn: l]의 개수는 2이다. (참)

ㄷ. 주어진 부등식에 ㉠을 대입하면

[eqn: t(x-t) LEQ ax ^{2}]

즉 [eqn: ax ^{2} -tx+t ^{2} ge0]	……㉡

㉡이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: a>0]이고 [eqn: ax ^{2} -tx+t ^{2} =0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면    [eqn: D=t ^{2} -4at ^{2}][eqn: =t ^{2} (1-4a)le0]

[eqn: t ^{2} >0]이므로    [eqn: 1-4a le0] 즉 [eqn: a ge {1} over {4}]

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: {1} over {4}]이다. (참)

삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심 [eqn: rm G]의 좌표는

11

[eqn: LEFT ( 5,{4+a} over {3} RIGHT )]이므로    [eqn: b= {4+a} over {3}]  ……㉠

한편, 직선 [eqn: rm OA]의 방정식은    [eqn: x-2y=0`]

점 [eqn: rm G(5,~ it b)]와 직선 [eqn: x-2y=0] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {5}]이므로    [eqn: {|`5-2b`|}over {sqrt{1^2 +(-2)^2 }} = sqrt5]

[eqn: b=0] 또는 [eqn: b=5]

[eqn: a>0`]이므로 ㉠ 에서 [eqn: b>0`]이다.

따라서 [eqn: b=5], [eqn: a=11]이므로    [eqn: a+b=16`]

네 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmF]의 좌표는 각각

12

[eqn: (0,~0)], [eqn: (12,~0)], [eqn: (12,~12)], [eqn: (0,~12)], [eqn: (5,~0)]

점 [eqn: rmO']은 선분 [eqn: rm BC] 위의 점이므로 점 [eqn: rmO']의 좌표를 [eqn: (a,~12)]로 놓을 수 있다. 또 점 [eqn: rmF']은 선분 [eqn: rmDE] 위의 점이고, 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]는 각각 두 선분 [eqn: rmOC], [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rmF']의 좌표를 [eqn: (b,~8)]로 놓을 수 있다.

직선 [eqn: rmOO']과 직선 [eqn: rmFF']은 모두 직선 [eqn: rmPQ]와 수직이므로 직선 [eqn: rmOO']과 직선 [eqn: rmFF']은 서로 평행하다. 따라서 두 직선의 기울기가 같으므로

[eqn: {12-0} over {a-0} = {8-0} over {b-5}], 즉 [eqn: 2a=3b-15`] ……㉠

[eqn: {bar{rm O prime F prime ` it}}][eqn: =bar{rmOF`}`=5`]이므로

정답 및 해설

중단원 기출 문제

[eqn: sqrt {(b-a) ^{2} +(8-12) ^{2}} =5`]

[eqn: (b-a) ^{2} =9`]	……㉡

㉠, ㉡ 을 연립하여 [eqn: 0 LEQ a LEQ 12], [eqn: 0 LEQ b LEQ 12]의 범위에서 해를 구하면    [eqn: a=6], [eqn: b=9]

직선 [eqn: rmPQ]는 선분 [eqn: rmOO']의 중점 [eqn: (3,~6)]과 선분 [eqn: rmFF']의 중점 [eqn: (7,~4)]를 지나는 직선이므로 직선 [eqn: rmPQ]의 방정식은

[eqn: y][eqn: = {6-4} over {3-7} (x-3)+6][eqn: = it - {1} over {2} x+ {15} over {2} `]

따라서 [eqn: m=it- {1} over {2}], [eqn: n= {15} over {2}]이므로

[eqn: m+n=7`]

13

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: y= {1} over {3} x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm H]

그림과 같이 직선 [eqn: rmAB]를 [eqn: x]축, 직선 [eqn: rmAD]를 [eqn: y]축으로 하는 좌표평면을 잡자.

직선 [eqn: rmAP]는 기울기가 [eqn: 1over3]이고 원점을 지나므로
직선 [eqn: rm AP]의 방정식은    [eqn: y={1over3}x]

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 정사각형 [eqn: rm ABCD]의 한 변의 길이가 [eqn: 10]이므로    [eqn: rm O LEFT ( 5,~5 RIGHT )], [eqn: bar {rmOQ} = 5]

점 [eqn: rm O LEFT ( 5,~5 RIGHT )]서 직선 [eqn: x-3y=0]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면    [eqn: bar{rmOH}=][eqn: {LEFT | 5-15 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +3 ^{2}}} = sqrt {10}]

따라서 [eqn: bar { rm QH}` = sqrt 15]이므로    [eqn: bar { rm QR } = 2 sqrt 15]

14

직선 [eqn: rm BN]과 직선 [eqn: rm LM]의 교점을 [eqn: rm P]라 할 때 직선

[eqn: rm BN]이 선분 [eqn: rm AC]의 수직이등분선이므로 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm LM]의 중점이다. 따라서 점 [eqn: rm P]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2+4} over {2},~ {1-1} over {2} RIGHT )], 즉 [eqn: (3,~0)]

[eqn: rm bar{BG} =2 bar{GN}]이고 [eqn: rm bar{NP} = bar{BP}]이므로

[eqn: rm LEFT ( bar{NP}+4 sqrt {2} RIGHT ) : LEFT ( bar{NP} -4 sqrt {2} RIGHT ) =2:1]

[eqn: rm {barNP} ^{2} = it (a-3) ^{2} +b ^{2} =(12 sqrt {2} ) ^{2}]   …… ㉠

한편, 직선 [eqn: rm LM]과 직선 [eqn: rm NP]는 서로 수직이므로

[eqn: {b} over {a-3} = 1], [eqn: b=a-3]	…… ㉡

무게중심 [eqn: rm G]가 제[eqn: `1]사분면에 있으므로 ㉠, ㉡에서

[eqn: a=15,~b=12]

따라서    [eqn: ab=180`]

ㄱ. [eqn: a=0]일 때 [eqn: l`:`y=2,~m`:`x it`-2]

15

두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]은 서로 수직이다. (참)

ㄴ. [eqn: a]에 관하여 정리하면 [eqn: a(x+1)-y+2=0]
이므로 직선 [eqn: l]은 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (-1,~2)]를 지난다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a=0]일 때, ㄱ에서 두 직선은 서로 수직

[eqn: a!=0]일 때, 두 직선 [eqn: l,~m]의 기울기는 각각 [eqn: a,~- {4} over {a}]이다. [eqn: a=it- {4} over {a}]를 만족하는 실수 [eqn: a]의 값은 존재하지 않으므로 평행이 되기 위한 [eqn: a]의 값은 존재하지 않는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

두 직선 [eqn: y=2x], [eqn: y=- 1over2 x]가 서로 수직이므로 세 직선 [eqn: y=2x], [eqn: y=- 1over2 x], [eqn: y=mx+5]로 둘러싸인 삼각형 [eqn: rm AOB]는 직각이등변삼각형이다.

16

따라서 직선 [eqn: y=mx+5]는 각 [eqn: rm AOB]를 이등분하는 직선 [eqn: l]과 수직이다.

두 직선 [eqn: y=2x], [eqn: y=- 1over2 x]가 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식은 [eqn: {|`2x-y`|} over root5 = {|`x+2y`|} over root5]에서 [eqn: y= 1 over 3 x], [eqn: y=-3x]이다.

[eqn: m>0]이므로 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=-3x]이고

[eqn: m= 1 over3]