-1 평면좌표

Ⅲ

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2017년 3월 교육청

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(3,~4)], [eqn: rmB][eqn: (-3,~2)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 [eqn: y`]좌표는?

01

▸2점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

02

▹2014년 3월 교육청

수직선 위의 두 점 [eqn: rm A(1)], [eqn: rmB][eqn: (7)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P it(a)]라 할 때, [eqn: a]의 값은?

▸2점

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

▹2013년 3월 교육청

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A( it a,~3)], [eqn: rm B(-1, ~it b)], [eqn: rm C(4, ~-5)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (4, ~0)]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

03

▸2점

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

▹2017년 3월 교육청

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 0,~5 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 [eqn: l]이라 할 때, [eqn: l ^{`2}]의 값을 구하시오.

04

▸3점

▹2016년 11월 교육청

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,~-2 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 5,~it a RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rm P]의 좌표가 [eqn: LEFT ( b,~0 RIGHT )]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

05

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▹2016년 9월 교육청

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A( it a,~3)], [eqn: rm B( 2,~1)] 사이의 거리가 [eqn: sqrt{13}]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

06

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▹2016년 3월 교육청 좌표평면에서 두 점 [eqn: rmO it (0,~0)], [eqn: rm A it (8,~0)]에 대하여 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점의 좌표는? 07 ▸3점 ① [eqn: (2,~0)] ② [eqn: (3,~0)] ③ [eqn: (4,~0)] ④ [eqn: (5,~0)] ⑤ [eqn: (6,~0)] ▹2015년 3월 교육청 두 점 [eqn: rm A][eqn: (a,~4)], [eqn: rm B][eqn: (-9,~0)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 4:3]으로 내분하는 점이 [eqn: y]축 위에 있을 때, [eqn: a]의 값은? 08 ▸3점 ① [eqn: 6`] ② [eqn: 8`] ③ [eqn: 10`] ④ [eqn: 12`] ⑤ [eqn: 14`] ▹2013년 9월 교육청 점 [eqn: rm A(1, ~6)]을 한 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 두 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC]의 중점을 각각 [eqn: rm M(it x_1 , ~y_1 )], [eqn: rm N( it x _{2} ,~y _{2} )]라 하자. [eqn: x _{1} +x _{2} =2], [eqn: y_1 +y_2 =4]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표는? 09 ▸3점 ① [eqn: left(1 over 2 , `` 2 over 3 right)] ② [eqn: left(1 over 2 , `` 1 right)] ③ [eqn: left(1 , `` 2 over 3 right)] ④ [eqn: (1,``2)] ⑤ [eqn: (2,``1)]	▹2013년 3월 교육청 그림과 같이 두 점 [eqn: rmP(root2 )], [eqn: rm Q(root3 )]을 수직선 위에 나타내었다. 10 세 점 [eqn: rm A left({root2 +root3 } over 2 right)], [eqn: rm B left({root3 +3root2 } over {1+3} right)], [eqn: rm C left({3root3 -root2 } over{3-1} right)]를 수직선 위에 나타낼 때, 세 점의 위치를 왼쪽부터 순서대로 나열한 것은? ▸3점 ① [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C] ② [eqn: rm A], [eqn: rm C], [eqn: rm B] ③ [eqn: rm B], [eqn: rm A], [eqn: rm C] ④ [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm A] ⑤ [eqn: rm C], [eqn: rm B], [eqn: rm A] ▹2015년 9월 교육청 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm D], 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:3]으로 외분하는 점을 [eqn: rmE], 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 외분하는 점을 [eqn: rmF]라 하자. 삼각형 [eqn: rmFEB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이의 [eqn: k]배이다. 이때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. 11 ▸4점

Ⅲ. 도형의 방정식

중단원 기출 문제
▹2014년 9월 교육청 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P(3,~4),~Q(12,~5)]에 대하여 [eqn: rm ANGLE POQ]의 이등분선과 선분 [eqn: rm PQ]와의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: {b} over {a}]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm O]는 원점이고, [eqn: a]와 [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) 12 ▸4점 ▹2013년 9월 교육청 그림과 같이 [eqn: x]축 위의 네 점 [eqn: rm A_1], [eqn: rm A_2], [eqn: rm A_3], [eqn: rm A_4]에 대하여 [eqn: bar {rm OA_1}], [eqn: bar {rm A_1 A_2}], [eqn: bar {rm A_2 A_3}], [eqn: bar {rm A_3 A_4}]를 각각 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm OA_1 B_1 C_1], [eqn: rm A_1 A_2 B_2 C_2], [eqn: rm A_2 A_3 B_3 C_3], 13 [eqn: rm A_3 A_4 B_4 C_4]가 있다. 점 [eqn: rm B_4]의 좌표가 [eqn: (30, ~18)]이고 정사각형 [eqn: rm OA_1 B_1 C_1], [eqn: rm A_1 A_2 B_2 C_2], [eqn: rm A_2 A_3 B_3 C_3]의 넓이의 비가 [eqn: 1:4:9]일 때, [eqn: rm {bar{B_1 B_3 }}^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) ▸4점	▹2013년 9월 교육청 세 꼭짓점의 좌표가 [eqn: rm A(0,~3)], [eqn: rm B(-5,~-9)], [eqn: rm C(4,~0)]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AC} = bar{AD}]가 되도록 점 [eqn: rm D]를 선분 [eqn: rm AB] 위에 잡는다. 점 [eqn: rm A]를 지나면서 선분 [eqn: rm DC]와 평행인 직선이 선분 [eqn: rm BC]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rm P]라 하자. 이때, 점 [eqn: rm P]의 좌표는? 14 ▸4점 ① [eqn: LEFT ( {61} over {8} ,~ {29} over {8} RIGHT )] ② [eqn: LEFT ( {65} over {8} ,~ {33} over {8} RIGHT )] ③ [eqn: LEFT ( {69} over {8} ,~ {37} over {8} RIGHT )] ④ [eqn: LEFT ( {73} over {8} ,~ {41} over {8} RIGHT )] ⑤ [eqn: LEFT ( {77} over {8} ,~ {45} over {8} RIGHT )] ▹2013년 3월 교육청 그림과 같이 좌표평면 위에 모든 변이 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행한 두 직사각형 [eqn: rm ABCD], [eqn: rm EFGH]가 있다. 기울기가 [eqn: m]인 한 직선이 두 직사각형 [eqn: rm ABCD], [eqn: rm EFGH]의 넓이를 각각 이등분할 때, [eqn: 12m]의 값을 구하시오. 15 ▸4점

Ⅲ. 도형의 방정식
▹2013년 3월 교육청 그림과 같이 세 지점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]를 꼭짓점으로 하고 각 [eqn: rm A]가 [eqn: 90 DEG]인 직각삼각형 모양의 도시가 있다. 두 지점 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 사이의 거리는 [eqn: 6 ~rm km]이고 두 지점 [eqn: rm A], [eqn: rm C] 사이의 거리는 [eqn: 8 ~rm km]이다. 16 [eqn: rm B]지점과 [eqn: rm C]지점에 전파의 수신 반경이 각각 [eqn: 4 ~rm km], [eqn: 6 ~rm km]인 기지국이 설치되어 있다. 이 도시 내부에 전파의 수신 반경이 최소인 기지국 하나를 새로 설치하여 전파가 수신되지 않는 지역이 없도록 할 때, 새로 설치하는 기지국의 위치는 [eqn: rm B]지점에서 [eqn: root k over5 rm ~km] 떨어진 지점이다. [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, 기지국의 높이는 무시하고 모든 지점과 기지국은 동일 평면 위에 있으며, 전파의 수신 반경은 기지국을 중심으로 전파가 수신되는 원 모양 지역의 반지름의 길이를 의미한다.) ▸4점	▹2012년 11월 교육청 그림과 같이 [eqn: △ rm ABC]에서 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm D], 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 5:2]로 외분하는 점을 [eqn: rm E]라 하고, 두 점 [eqn: rm D]와 [eqn: rm E]를 지나는 직선 [eqn: l]과 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm F]라 하자. 17 [eqn: rm A] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rmD] [eqn: rm E] [eqn: rm F] [eqn: l] 다음은 [eqn: bar{rm AF it} `: bar{rm FC it} `=m:n]일 때, [eqn: mn]의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.) 그림과 같이 점 [eqn: rm C]를 지나고 직선 [eqn: l]과 평행한 직선이 선분 [eqn: rm AB]와 만나는 점을 [eqn: rm G]라 하자. [eqn: △ rm ADF]와 [eqn: △ rm AGC]는 서로 닮은 도형이므로 [eqn: {{bar{rm AF it}}} over {{bar{rm FC it}}} = {{bar{rm AD it}}} over {{bar{rm DG it}}}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠ [eqn: △ rm BCG]와 [eqn: △ rm BED]는 서로 닮은 도형이므로 [eqn: {bar{rm BE it}} over {bar{rm EC it}} `= {bar{rm BD it}} over {bar{rm DG it}}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡ [eqn: ㉠]과 [eqn: ㉡]으로부터 [eqn: {bar{rm AD it}} over {bar{rm BD it}} `․` {bar{rm BE it}} over {bar{rm EC it}} `․` {bar{rm FC it}} over {bar{rm AF it}} =] [eqn: cdotscdots]㉢ (가) 한편, [eqn: {bar{rm AD it}} : {bar{rm BD it}} =2:3], [eqn: bar{rm BE it} : bar{rm EC it} =5:2], [eqn: bar{rm AF it} : bar{rm FC it} =m:n]이므로 ㉢으로부터 [eqn: {m} over {n} =] (나) 따라서 [eqn: mn=] (다) 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+bc]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 17] ② [eqn: 26] ③ [eqn: 37] ④ [eqn: 50] ⑤ [eqn: 65]

-1. 평면좌표

Ⅲ

01 ③	02 ③	03 ⑤	04 [eqn: 29]	05 ④

06 ⑤	07 ⑤	08 ④	09 ③	10 ③

11 [eqn: 16]	12 [eqn: 13]	13 [eqn: 116]	14 ⑤	15 [eqn: 18]

16 [eqn: 505]	17 ②

[eqn: {a-1+4} over 3 =4]이므로    [eqn: a=9]

03

[eqn: {3+b-5} over 3 =0]이므로    [eqn: b=2]

따라서    [eqn: a+b=11]

[eqn: l][eqn: = it sqrt {(0-2) ^{2} +(5-0) ^{2}}][eqn: = sqrt {29}]

04

따라서    [eqn: l ^{`2} =29]

[eqn: {2 TIMES 5+1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT )} over {2+1} =b], [eqn: {2 TIMES a+1 TIMES LEFT ( -2 RIGHT )} over {2+1} =0]이므로    [eqn: a=1], [eqn: b=3]

05

따라서    [eqn: a+b=4]

[eqn: sqrt {(a-2) ^{2} +(3-1) ^{2}} = sqrt {13}]이므로

06

[eqn: a ^{2} -4a-5=0]

[eqn: (a+1)(a-5)=0]

[eqn: a>0`]이므로    [eqn: a=5]

[eqn: LEFT ( {3 TIMES 8+1 TIMES 0} over {3+1} ,~ {3 TIMES 0+1 TIMES 0} over {3+1} RIGHT )], 즉 [eqn: (6,~0)]

07

두 점  [eqn: rm A][eqn: (a,~4)], [eqn: rm B][eqn: (-9,~0)]을 [eqn: 4:3]으로 내분하는 점이 [eqn: y]축 위에 있으므로 내분점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]이다.

08

즉, [eqn: {4 TIMES (-9)`+3 TIMES a} over {4+3} =0]이므로    [eqn: a=12]

꼭짓점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 좌표를 각각 [eqn: (a _{1} ,~b _{1} )], [eqn: (a_2 ,~b_2 )]라 하자.

09

두 점 [eqn: rm M], [eqn: rm N]은 두 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC]의 중점이므로

[eqn: 1+a_1 =2x_1], [eqn: 1+a_2 = 2x_2]이고

[eqn: 6+b_1 = 2y_1], [eqn: 6+b_2 = 2y_2]

그런데 [eqn: x_1 + x_2 =2], [eqn: y_1 + y_2 =4]이므로

[eqn: a_1 + a_2 =2], [eqn: b_1 + b_2 =-4]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( {1+a_1 + a_2 } over 3 , ~ {6+b_1 +b_2 } over 3 right)], 즉 [eqn: left( 1,~ 2 over 3 right)]

점 [eqn: rm A]는 선분 [eqn: rm PQ]의 중점이다.

10

점 [eqn: rm B]는 선분 [eqn: rm PQ]를 [eqn: 1:3]으로 내분한 점이다.

점 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm PQ]를 [eqn: 3:1]로 외분한 점이다.

따라서 세 점의 위치를 왼쪽부터 순서대로 나열하면    [eqn: rm B], [eqn: rm A], [eqn: rm C]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 점 [eqn: rm D]는 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1:3]으로 내분하므로   [eqn: rm {bar{BD}} :{bar{DC}} =1:3]

11

점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:3]으로 외분하므로

[eqn: rm {bar{EB}} =2 {bar{BC}}]이고, 점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:2]로 외분하므로 [eqn: rm {bar{BF}} =2 {bar{AB}}]이다.

[eqn: rm {bar{BD}} : {bar{EB}} =1:8]이므로 삼각형 [eqn: rm AEB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이의 [eqn: 8]배이다.

또한 [eqn: rm {bar{BF}} =2 {bar{AB}}]이므로 삼각형 [eqn: rm FEB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이의 [eqn: 16]배이다.

따라서    [eqn: k=16`]

[eqn: rmA`]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: t]

[eqn: 3t]

[eqn: 8t]

(단, [eqn: t`]는 실수)

[eqn: rm bar{OP} =5`,~ bar{OQ} =13`]

12

[eqn: rm ANGLE POQ]의 이등분선과 [eqn: rm bar{PQ}]의 교점을 [eqn: rm M]이라 하면 각의 이등분선의 성질에 의해

[eqn: rm {bar{PM}}: {bar{MQ}} =5:13]

정답 및 해설

중단원 기출 문제

점 [eqn: rm M]은 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: 5:13]으로 내분하므로 점 [eqn: rm M]의 [eqn: x]좌표는    [eqn: {b} over {a} = {11} over {2}]

따라서    [eqn: a+b=13]

정사각형 [eqn: rm A_3 A_4 B_4 C_4]는 한 변의 길이가 [eqn: 18]이므로 점 [eqn: rm A_3]의 좌표는    [eqn: (12,~0)]

13

정사각형 [eqn: rm OA_1 B_1 C_1], [eqn: rm A_1 A_2 B_2 C_2], [eqn: rm A_2 A_3 B_3 C_3]의 넓이의 비가 [eqn: 1:4:9]이므로 정사각형의 한 변의 길이의 비는

[eqn: rm bar {OA_1} : bar {A_1 A_2} : bar{A_2 A_3} = 1:2:3]

[eqn: rm bar OA_3 =12]이므로

[eqn: rm bar OA_1 =2], [eqn: rm Bar{A_1 A_2 } =4], [eqn: rm Bar{A_2 A_3 } =6]

그러므로    [eqn: rm B_1 (2,``2)], [eqn: rm B_3 (12,``6)]

따라서    [eqn: {bar {rm B_1 B_3 }}^2 = left(root{100+16} right)^2 =116]

[eqn: bar { rm AC} = root{16+9} =5]

14

[eqn: bar { rm AB} = root{25+144} =13]

선분 [eqn: rm AP]와 선분 [eqn: rm DC]가 평행하므로 평행선의 성질에 의하여

[eqn: rm bar AB : bar AD = bar PB : bar PC]

그런데 [eqn: rm bar AC = bar AD]이므로    [eqn: rm bar AD = 5]

[eqn: rm bar AB : bar AD = bar PB : bar PC =13: 5]이므로

점 [eqn: rm P]는 [eqn: rm bar BC]를 [eqn: 13: 5]로 외분하는 점이다.

따라서 점 [eqn: rm P]의 좌표는    [eqn: left( 77 over 8 , `` 45 over 8 right)]

직사각형의 두 대각선의 교점을 지나는 직선은 그 직사각형의 넓이를 이등분한다.

15

직사각형 [eqn: rm ABCD]의 대각선의 교점의 좌표는 선분 [eqn: rm AC]의 중점이므로 좌표는

[eqn: left({-2+4} over 2 , ``{7+(-1) } over 2 right)], 즉 [eqn: (1, ``3)]

직사각형 [eqn: rm EFGH]의 대각선의 교점의 좌표는 선분 [eqn: rm EG]의 중점이므로 좌표는

[eqn: left({-3+1} over 2 , ``{1+(-1) } over 2 right)], 즉 [eqn: (-1, ``0)]

따라서 [eqn: m = {3-0} over {1-(-1)} = 3 over 2]이므로

[eqn: 12m =18]

점 [eqn: rm A]는 원점 [eqn: rm O]에, 점 [eqn: rm B]는 [eqn: x]축 위에, 점 [eqn: rm C]는 [eqn: y]축 위에 오도록 직각삼각형 [eqn: rm ABC]를 좌표평면 위에 두면 [eqn: rm B(6,~0)], [eqn: rm C(0,~8)]이다.

16

두 지점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]에 설치된 기지국에서 보내는 전파를 동시에 받는 지점 [eqn: rm D]는 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점이므로 [eqn: rm D LEFT ( {18} over {5} ,~ {16} over {5} RIGHT )]이다. 이 도시에서 전파가 수신되지 않는 지역이 없도록 하기 위해서는 두 지점 [eqn: rm E(0,~2)], [eqn: rm F(2,~0)]에 대하여 도형 [eqn: rm AFDE]를 포함하는 원의 중심에 새로운 기지국을 설치하면 된다.

한편, 사각형 [eqn: rm AFDE]에 대하여 각 [eqn: rm AFD]와 각 [eqn: rm DEA]가 둔각이므로 새로운 기지국의 전파의 수신 변경을 최소로 하기 위해서는 선분 [eqn: rm AD]를 지름으로 하는 원의 중심 [eqn: rm P LEFT ( {9} over {5} ,~ {8} over {5} RIGHT )]에 새로운 기지국을 설치하면 된다.

따라서 두 점 [eqn: rm P LEFT ( {9} over {5} ,~ {8} over {5} RIGHT )], [eqn: rm B(6,~0)] 사이의 거리는 [eqn: root505 over 5]이므로    [eqn: k=505]

[eqn: {{bar{rm AD it}}} over {{bar{rm BD it}}} ``·`` {{bar{rm BE it}}} over {{bar{rm EC it}}} ``·`` {{bar{rm FC it}}} over {{bar{rm AF it}}}][eqn: =][eqn: {{bar{rm AD it}}} over {{bar{rm BD it}}} ``·`` {{bar{rm BD it}}} over {{bar{rm DG it}}} ``·`` {{bar{rm DG it}}} over {{bar{rm AD it}}} =1]

17

[eqn: {2} over {3} TIMES {5} over {2} TIMES {n} over {m} =1]에서    [eqn: {m} over {n} = {5} over {3}]

즉, [eqn: mn=15]

따라서    [eqn: a+bc=1+ {5} over {3} TIMES 15=26]