-3 여러 가지 방정식과

Ⅱ

부등식

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2017년 6월 교육청

이차부등식 [eqn: x ^{2} -7x+12 GEQ 0]의 해가 [eqn: x LEQ alpha] 또는 [eqn: x GEQ beta]일 때, [eqn: beta-alpha]의 값은?

01

▸3점

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

▹2017년 6월 교육청

[eqn: x`]에 대한 부등식

02

[eqn: LEFT | x-2 RIGHT | <a]

를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 19]일 때, 자연수 [eqn: a]의 값은?

▸3점

① [eqn: 10`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 14`]

④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 18`]

▹2017년 6월 교육청

삼차방정식

03

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} -5x+6=0`]

의 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] [eqn: ( alpha < beta < gamma )]에 대하여 [eqn: alpha+ beta +2gamma]의 값은?

▸3점

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▹2017년 6월 교육청

연립방정식

04

[eqn: {cases{``x-y=2 _{` _{` _{`}}}#``x ^{`2} -xy-y ^{`2} =5`}}]

의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

▸3점

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

▹2017년 6월 교육청

[eqn: x`]에 대한 사차방정식

05

[eqn: x^4 -x^3 +ax^2 +x+6=0`]

의 한 근이 [eqn: -2]일 때, 네 실근 중 가장 큰 것을 [eqn: b]라 하자. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

▸3점

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -4`]	⑤ [eqn: -3]

▹2017년 6월 교육청

연립부등식

06

[eqn: {cases{ ``2x+1<x-3 _{`}_{`}_{`}&# ``x ^{2} +6x-7<0&}} `]

의 해가 [eqn: alpha <x< beta]일 때, [eqn: beta - alpha]의 값을 구하시오.

▸3점

▹2017년 3월 교육청 연립부등식 07 [eqn: {cases{``2x<x+9 _{`}#``x+5 LEQ 5x-3 ^{`}}}] 을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? ▸3점 ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7] ▹2017년 3월 교육청 삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +2x+3=0]의 한 허근을 [eqn: alpha`]라 할 때, [eqn: 4 alpha ^{2} -2 alpha +7]의 값은? 08 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9] ▹2017년 3월 교육청 [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 09 [eqn: {cases{``x+y=k _{` _{`}}#``xy+2x-1=0 ^{` ^{`}}}} `] 이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은? ▸3점 ① [eqn: -5] ② [eqn: -4] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]	▹2017년 3월 교육청 어느 라면 전문점에서 라면 한 그릇의 가격이 [eqn: 2000`]원이면 하루에 [eqn: 200]그릇이 판매되고, 라면 한 그릇의 가격을 [eqn: 100]원씩 내릴 때마다 하루 판매량이 [eqn: 20]그릇씩 늘어난다고 한다. 하루의 라면 판매액의 합계가 [eqn: 442000]원 이상이 되기 위한 라면 한 그릇의 가격의 최댓값은? 10 ▸3점 ① [eqn: 1500]원 ② [eqn: 1600]원 ③ [eqn: 1700]원 ④ [eqn: 1800]원 ⑤ [eqn: 1900]원 ▹2016년 11월 교육청 사차방정식 [eqn: LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) ^{2} +5 LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) +6=0]의 11 모든 실근의 곱은? ▸3점 ① [eqn: -4] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 8] ▹2016년 9월 교육청 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2ax+9a]에 대하여 이차부등식 [eqn: f(x) < 0]을 만족시키는 해가 없도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? 12 ▸3점 ① [eqn: 9] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 13]

Ⅱ. 방정식과 부등식

중단원 기출 문제
▹2016년 9월 교육청 연립방정식 13 [eqn: {cases{`x ^{2} +y ^{2} =40#`4x ^{2} +y ^{2} =4xy}} `] 의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y=beta]라 할 때, [eqn: alphabeta]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 16] ② [eqn: 17] ③ [eqn: 18] ④ [eqn: 19] ⑤ [eqn: 20] ▹2016년 6월 교육청 이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b<0]의 해가 [eqn: -1<x<5]가 되도록 하는 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값은? 14 ▸3점 ① [eqn: 20] ② [eqn: 25] ③ [eqn: 30] ④ [eqn: 35] ⑤ [eqn: 40] ▹2016년 3월 교육청 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) it =8]이고 부등식 [eqn: f(x) LEQ 0]의 해가 [eqn: -3 LEQ x LEQ 0]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오. 15 ▸3점	▹2016년 3월 교육청 방정식 [eqn: x ^{3} +8=0]의 근 중 허수부분이 양수인 근을 [eqn: alpha]라 하자. [eqn: alpha - {bar{alpha }}]의 값은? 16 (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고, [eqn: {bar{alpha }}]는 [eqn: alpha]의 켤레복소수이다.) ▸3점 ① [eqn: -2 sqrt {3} i] ② [eqn: - sqrt {3} i] ③ [eqn: sqrt {3} i] ④ [eqn: 2 sqrt {3} i] ⑤ [eqn: 4 sqrt {3} i] ▹2014년 9월 교육청 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx+8k-12=0]이 허근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오. 17 ▸3점 ▹2017년 6월 교육청 [eqn: x`]에 대한 연립부등식 18 [eqn: {cases{ `x^{2} -a ^{2} x GEQ _{`}_{`}_{`}0# `x ^{2 } -4ax+4a ^{2} -1<``0``}}] 을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 1]이 되기 위한 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? (단, [eqn: 0<a< sqrt {2}]) ▸4점 ① [eqn: 3 over 2] ② [eqn: 25 over 16] ③ [eqn: 13 over 8] ④ [eqn: 27 over 16] ⑤ [eqn: 7 over4]

Ⅱ. 방정식과 부등식
▹2016년 11월 교육청 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -ax+b], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =ax+2b]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 19 (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ▸4점 ㄱ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} -2ax-b>0] ㄴ. [eqn: b<0] ㄷ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표는 직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: y]절편보다 크다. 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ▹2016년 9월 교육청 [eqn: x`]에 대한 방정식 20 [eqn: x ^{3} +(8-a)x ^{2} +(a ^{2} -8a`)x-a ^{3} =0]이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 정수 [eqn: a`]의 개수는? ▸4점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 14] ▹2016년 6월 교육청 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 21 [eqn: -x^2 +3x+2 le mx +n le x^2 -x+4`] 가 성립할 때, [eqn: m^ 2 +n^2]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다.) ▸4점 ① [eqn: 8] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 16]	▹2016년 6월 교육청 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 변 [eqn: rm AB]와 변 [eqn: rm AC]를 각각 지름으로 하는 두 원 [eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}]가 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]에서 만난다. 22 [eqn: rmA] [eqn: rmB] [eqn: rmC] [eqn: rmD] [eqn: O_1] [eqn: O_2] [eqn: rm {bar{AD}}], [eqn: rm {bar{AC}}], [eqn: rm {bar{BC}}], [eqn: rm {bar{AB}}]가 이 순서대로 네 개의 연속된 짝수일 때, 두 원 [eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}]의 넓이의 합은 [eqn: S]이다. [eqn: {S} over {pi }]의 값을 구하시오. ▸4점 ▹2016년 3월 교육청 [eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: ax ^{3} +2bx ^{2} +4bx+8a=0]이 서로 다른 세 정수를 근으로 갖는다. 두 정수 [eqn: a`], [eqn: b`]가 [eqn: LEFT | a RIGHT | LEQ 50], [eqn: LEFT | b RIGHT | LEQ 50]일 때, 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수를 구하시오. 23 ▸4점

-3. 여러 가지 방정식과 부등식

Ⅱ

01 ①	02 ①	03 ③	04 ④	05 ④

06 [eqn: 3]	07 ⑤	08 ①	09 ②	10 ③

11 ③	12 ②	13 ①	14 ①	15 [eqn: 56]

16 ④	17 [eqn: 12]	18 ①	19 ⑤	20 ①

21 ②	22 [eqn: 394]	23 [eqn: 46]

[eqn: x ^{3} +8=0`]에서    [eqn: (x+2)(x^2 -2x+4)=0]

16

[eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=1+sqrt3 i] 또는

[eqn: x= 1-sqrt3 i]

따라서 [eqn: alpha][eqn: =1+ sqrt {3} i`]이므로    [eqn: bar{alpha}=1-root{3}i`]

[eqn: alpha-bar{alpha][eqn: =1+ sqrt3 i - (1- sqrt3 i )][eqn: = 2sqrt3 i]

이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

17

[eqn: D=(2k) ^{2} -4(8k-12)][eqn: =4(k-2)(k-6)]

이차방정식이 허근을 가지려면    [eqn: D<0]

[eqn: 2<k<6`]

따라서 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 12]이다.

[eqn: x ^{2} -a ^{2} x`][eqn: =x LEFT ( x-a ^{2} RIGHT ) GEQ 0]에서

18

[eqn: x LEQ 0] 또는 [eqn: x GEQ a ^{2}]

[eqn: x ^{2} -4ax+4a ^{2} -1`][eqn: = LEFT { x- LEFT ( 2a-1 RIGHT ) RIGHT } LEFT { x- LEFT ( 2a+1 RIGHT ) RIGHT } <0]

에서    [eqn: 2a-1<x<2a+1``]

(ⅰ) [eqn: 0<a< {1} over {2} `]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: -1<2a-1<x LEQ0] 또는

[eqn: a ^{2} le x<2a+1<2]

[eqn: 0<a ^{2} < {1} over {4}]이고 [eqn: 1 < 2a + 1 < 2]이므로

[eqn: x=0`,``1]의 [eqn: 2]개 정수해가 존재한다.

(ⅱ) [eqn: a= {1} over {2} `]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: {1} over {4} =a ^{2} LEQ x<2a+1=2]

이므로 [eqn: x=1]의 [eqn: 1]개 정수해가 존재한다.

(ⅲ) [eqn: {1} over {2} <a<1]일 때

연립부등식의 해는    [eqn: a ^{2} LEQ x<2a+1]

[eqn: 1 over 4 < a^2 < 1]이고 [eqn: 2<2a+1<3]이므로

[eqn: x=1`,`2`]의 [eqn: 2`]개 정수해가 존재한다.

(ⅳ) [eqn: a=1`]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: 1=a ^{2} =2a-1`<`x`<2a+1`=3]

이므로 [eqn: x=2`]의 [eqn: 1]개 정수해가 존재한다.

(ⅴ) [eqn: 1<`a` < ` sqrt {2}]일 때

연립부등식의 해는    [eqn: a ^{2} LEQ x<2a+1]

[eqn: 1<a ^{2} ` < `2]이고

[eqn: 3<2a+1<1+2 sqrt {2} <4]이므로 [eqn: x=2,``3`]의 [eqn: 2]개 정수해가 존재한다.

(ⅰ)~(ⅴ)에 의하여 [eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a=1]일 때, [eqn: 1]개 정수해가 존재한다.

따라서 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 3 over 2 `]이다.

ㄱ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]이므로

19

[eqn: x ^{2} -ax+b>ax+2b]

[eqn: x ^{2} -2ax-b>0] (참)

ㄴ. [eqn: x ^{2} -2ax-b>0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로 [eqn: x ^{2} -2ax-b=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면    [eqn: {D} over {4} =a ^{2} +b<0]

[eqn: b<`-a ^{2} LEQ 0]    [eqn: therefore] [eqn: b<0] (참)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -ax+b][eqn: = LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +b]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: - {a ^{2}} over {4} +b]이고, 직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: y]절편은 [eqn: 2b]이므로

[eqn: LEFT ( - {a ^{2}} over {4} +b RIGHT ) -2b][eqn: =IT- {a ^{2}} over {4} -b]

[eqn: >it- {a ^{2}} over {4} +a ^{2}] ([eqn: because] [eqn: b<it-a ^{2}])

[eqn: = {3} over {4} a ^{2}][eqn: GEQ 0]

[eqn: - {a ^{2}} over {4} +b>2b]이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표는 직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: y]절편보다 크다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

정답 및 해설

중단원 기출 문제

[eqn: x ^{3} +(8-a)x ^{2} +(a ^{2} -8a)x-a ^{3} =0]에서

20

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +8x+a ^{2} RIGHT ) =0`]

방정식 [eqn: x ^{2} +8x+a ^{2} =0`]은 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D`]라 할 때

[eqn: {D} over {4} =16-a ^{2} >0]

따라서    [eqn: -4<a<4]	[eqn: cdotscdots]㉠

또한 [eqn: x=a]는 [eqn: x ^{2} +8x+a ^{2} =0]의 근이 아니어야 하므로    [eqn: 2a ^{2} +8a != 0]

따라서    [eqn: a!=0]이고 [eqn: a != it-4] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에 의해 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 6]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

21

[eqn: -x^2 +3x+2 le mx +n]이므로

[eqn: x^2 +(m-3)x +n-2 ge0`]

[eqn: x^2 +(m-3)x +n-2 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면    [eqn: D=(m-3)^2 -4n+8 le 0`]

따라서    [eqn: 4n GEQ m ^{2} -6m+17`]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: mx+n LEQ x ^{2} -x+4]이므로    [eqn: x^2 -(m+1)x+4-n ge 0 `]

[eqn: x ^{2} -(m+1)x+4-n=0]의 판별식을 [eqn: D`` prime]이라 하면    [eqn: D`` prime =(m+1) ^{2} -16+4n LEQ 0]

따라서    [eqn: 4n LEQ it-m ^{2} -2m+15]

[eqn: m ^{2} -6m+17 LEQ 4n LEQ `-m ^{2} -2m+15`]

[eqn: m^2 -6m +17 le `-m^2 -2m +15`]

[eqn: 2m ^{2} -4m+2 LEQ 0], [eqn: 2(m-1) ^{2} LEQ 0]

즉 [eqn: m=1]

[eqn: 12 le 4n le 12`]이므로    [eqn: n=3`]

따라서    [eqn: m ^2 + n^2 =10`]

[eqn: rm {bar{AD}}], [eqn: rm {bar{AC}}], [eqn: rm {bar{BC}}], [eqn: rm {bar{AB}}]는 이 순서대로 네 개의 연속된 짝수이므로

22

[eqn: rm {bar{AD}} = it 2n], [eqn: rm {bar{AC}} = it2 n+2],

[eqn: rm {bar{BC}} =it2n+4], [eqn: rm {bar{AB}} = it 2n+6] (단, [eqn: n`]은 자연수)

이라 하자.

[eqn: rm {bar{BD}} =itx], [eqn: rm {bar{CD}} =ity]라 하면    [eqn: x+y=2n+4`]

두 삼각형 [eqn: rmABD]와 [eqn: rmACD]는 직각삼각형이므로

[eqn: (2n+6) ^{2} -x ^{2} =(2n+2) ^{2} -y ^{2} `], 즉 [eqn: x-y=8`]

따라서    [eqn: x= {n+6 }], [eqn: y= {n-2}]

직각삼각형 [eqn: rmACD`]에서

[eqn: (2n+2) ^{2} =4n ^{2} + LEFT ( {n-2}right ) ^{2} `]

[eqn: n ^{2} -12n=0`], 즉 [eqn: n=12`]

따라서 [eqn: rm {bar{AB}} = it30], [eqn: rm {bar{AC}} = it 26]이므로 두 원의 넓이의 합 [eqn: S]는

[eqn: S=][eqn: {15 ^{2}} ` pi + {13 ^{2}} pi = {394}` pi]

그러므로    [eqn: S overpi = 394`]

[eqn: ax ^{3} +2bx ^{2} +4bx+8a`]

23

[eqn: =a(x ^{3} +8)+2bx(x+2)`]

[eqn: =a(x+2) LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT ) +2bx(x+2)`]

[eqn: =(x+2) LEFT { ax ^{2} -2(a-b)x+4a RIGHT } `][eqn: =0`]

이차방정식 [eqn: LEFT . ax ^{2} -2(a-b)x+4a=0][eqn: (a!=0)]은 [eqn: -2]가 아니고 정수인 서로 다른 두 근을 가져야 한다. 이때 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 [eqn: {4a} over {a} =4]이므로 가능한 서로 다른 두 근은

[eqn: x=1], [eqn: x=4] 또는 [eqn: x= it -1], [eqn: x= it -4]

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은

[eqn: {2(a-b)} over {a} =5] 또는 [eqn: {2(a-b)} over {a} = it -5]

이어야 하므로

[eqn: b= it - {3} over {2} a] 또는 [eqn: b= {7} over {2} a][eqn: (a!=0)]

(ⅰ) [eqn: b= it - {3} over {2} a`]일 때

[eqn: a=32]이면 [eqn: b= it - {3} over {2} TIMES 32= it -48`]이므로

순서쌍 [eqn: (a,```b)`]는

[eqn: (2,```-3)`], [eqn: (4,```-6)`], [eqn: CDOTS `], [eqn: (32,```-48)`],

[eqn: (-2,```3)`], [eqn: (-4,```6)`], [eqn: CDOTS `], [eqn: (-32,```48)`]

의 [eqn: 32]개이다.

(ⅱ) [eqn: b= {7} over {2} a`]일 때

[eqn: a=14`]이면 [eqn: b= {7} over {2} times14=49`]이므로

조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,```b)`]는

[eqn: (2,```7)`], [eqn: (4,```14)`], [eqn: CDOTS `], [eqn: (14,```49)`],

[eqn: (-2,```-7)`], [eqn: (-4,```-14)`], [eqn: CDOTS `],

[eqn: (-14,```-49)`]

의 [eqn: 14]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는    [eqn: 32+14=46]