-2 이차방정식과

Ⅱ

이차함수

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2017년 6월 교육청

이차함수 [eqn: y=it-2x ^{2} +5x]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k]가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은?

01

▸3점

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {9} over {8}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {15} over {8}]

▹2017년 3월 교육청

이차함수 [eqn: y=2x^2 -4x+5]의 최솟값은?

02

▸3점

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▹2017년 3월 교육청

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -4x+1]의 최댓값을 구하시오.

03

▸3점

▹2017년 3월 교육청

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다. [eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 8]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

04

▸3점

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

▹2016년 3월 교육청

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 이차함수

05

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+a]의 최댓값이 [eqn: 12]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

▸3점

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▹2015년 9월 교육청

이차함수 [eqn: y=3x ^{2} -4x+k]의 그래프와 직선 [eqn: y=8x+12]가 한 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

06

▸3점

▹2016년 6월 교육청 이차함수 [eqn: {bold{f(x)=x ^{2} -2ax+5a}}]의 그래프의 꼭짓점을 [eqn: bold{rmA`]라 하고, 점 [eqn: bold{rmA`]에서 [eqn: bold{x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: bold{rmB`]라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. [07~08] (단, [eqn: {bold{rm O}}][eqn: bold rm O]는 원점이고, [eqn: bolda]는 [eqn: bold{a != 0], [eqn: bold{a != 5]인 실수이다.) [eqn: RMA] [eqn: RMB] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: y=f(x)] [eqn: RMO] 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 오직 한 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은? 07 ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] [eqn: 0<a<5]일 때, [eqn: rm {bar{OB}} + rm {bar{AB}}]의 최댓값은? 08 ▸4점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]	▹2017년 6월 교육청 그림과 같이 유리수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+1]과 [eqn: y=it-x ^{2} +ax+b]의 그래프가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1- sqrt {2}]일 때, [eqn: a+3b]의 값은? 09 ▸4점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10] ▹2017년 6월 교육청 직선 [eqn: y=it- {1} over {4} x+1]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm{A], [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자. 점 [eqn: rm P( it a,~b) rm]가 점 [eqn: rm{A]에서 직선 [eqn: y=it- {1} over {4} x+1]을 따라 점 [eqn: rm B]까지 움직일 때, [eqn: a ^{2} +8b]의 최솟값은? 10 ▸4점 ① [eqn: 5] ② [eqn: {17} over {3}] ③ [eqn: {19} over {3}] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: {23} over {3}] [eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: y=`- {1} over {4} x+1]

Ⅱ. 방정식과 부등식

중단원 기출 문제
▹2017년 6월 교육청 길이가 [eqn: 10]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm{P]에 대하여 현 [eqn: rm AP]의 중점과 호 [eqn: rmAP]의 중점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: O _{1}], 현 [eqn: rm BP]의 중점과 호 [eqn: rm BP]의 중점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: O _{2}], 삼각형 [eqn: rm PAB]에 내접하는 원을 [eqn: {O]라 하자. 다음은 세 원 [eqn: O _{1} ,~O _{2} ,~O]의 넓이의 합의 최솟값을 구하는 과정을 나타낸 것이다. 11 [eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: rm P] [eqn: O] [eqn: O _{1}] [eqn: O _{2}] 그림과 같이 두 현 [eqn: rmAP,~BP]의 중점을 각각 [eqn: rm Q,~R]라 하고 선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm C]라 하면 사각형 [eqn: rmPQCR]는 직사각형이다. [eqn: rm Q] [eqn: rm C] [eqn: rm R] [eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: rm P] [eqn: O] [eqn: O _{1}] [eqn: O _{2}] [eqn: rm {bar{PQ}} = it a,~ rm {bar{PR}} = it b rm]라 하면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =`][eqn: {BOX{`` ^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}^{}} (가) ^{{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}}} ``}} `]이다. 원 [eqn: O _{1} `]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1}], 원 [eqn: O _{2} `]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2}], 원 [eqn: O`]의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: rm bar{CQ} = it 5-2r _{1} rm], [eqn: rm bar{CR} = it 5-2r _{2} rm]이다. 이때 [eqn: rm bar{CQ} = bar{PR}], [eqn: rm {bar{CR}} = {bar{PQ}} `]이므로 [eqn: r _{1} = {5-b} over {2}`], [eqn: r _{2} = {5-a} over {2}`] 이다. 한편, 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 [eqn: left ( 2a - r right ) + left ( 2b - r right) = 2 times][eqn: BOX{`` ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} (나) ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} ``}]이다. 따라서 [eqn: r=a+b-][eqn: BOX{`` ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} (나) ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} ``}] 이다.	그러므로 세 원 [eqn: O _{1} ,``O _{2} ,``O`]의 넓이의 합은 [eqn: pi `(r _{1} ^{2} +r _{2} ^{2} +r ^{2} )][eqn: = pi ` LEFT { LEFT ( {5-b} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5-a} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a+b- {BOX{`` _{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} (나) _{} ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} `}} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }] [eqn: cdots]① 이다. [eqn: a+b=t] [eqn: (5<t LEQ 5 sqrt {2} )]라 하면 식 ①은 [eqn: pi ` LEFT ( t- {BOX{`` _{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}^{}} (다) _{}^{{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}}} ``}} `` RIGHT ) ^{2} + {75} over {16} pi] 이므로 세 원 [eqn: O _{1} ,~O _{2} ,~O]의 넓이의 합의 최솟값은 [eqn: {75} over {16} pi]이다. 위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 수를 각각 [eqn: alpha ,~beta,~ gamma]라 할 때, [eqn: ( alpha - beta ) TIMES gamma]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 100] ② [eqn: 125] ③ [eqn: 150] ④ [eqn: 175] ⑤ [eqn: 200] ▹2016년 11월 교육청 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =bx+a]의 그래프가 서로 다른 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB]에서 만날 때, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 하자. 다음은 [eqn: LEFT | alpha-beta RIGHT | = sqrt {5}]일 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값을 구하는 과정이다. (단, [eqn: b>a]) 12 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나므로 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0]의 해는 [eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=beta] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + LEFT ( a-b RIGHT ) x+b-a]이므로 [eqn: b-a=t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT | ^{2} =t ^{2} -` LEFT . {BOX{``````````(가) _{`} ^{`} `````````}} RIGHT .] [eqn: LEFT | alpha-beta RIGHT | = sqrt {5}]이므로 [eqn: t= LEFT . {BOX{``````````(나) _{`}^{`} `````````}} RIGHT .] 따라서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =1-a+b= LEFT . {BOX{``````````(다) _{`}^{`} `````````}} RIGHT .] 위의 ㈎에 알맞은 식을 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )], ㈏와 ㈐에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 할 때, [eqn: p+q+h LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 7] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 13] ⑤ [eqn: 15]

Ⅱ. 방정식과 부등식

▹2017년 6월 교육청

최고차항의 계수가 [eqn: a] [eqn: (a>0)]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

13

㈎ 직선 [eqn: y=4ax-10]과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 1`]과 [eqn: 5`]이다.

㈏ [eqn: 1 LEQ x LEQ 5]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -8]이다.

[eqn: 100`a`]의 값을 구하시오.

▸4점

▹2016년 6월 교육청

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm A=90 DEG]이고 [eqn: rm {bar{AB}} =6]인 직각이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 변 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rm {{BC}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmrmQ]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 변 [eqn: rm {{BC}}]와 평행한 직선이 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. 사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이의 최댓값을 구하시오.

14

(단, 점 [eqn: rmP`]는 꼭짓점 [eqn: rmA`]와 꼭짓점 [eqn: rmB`]가 아니다.)

▸4점

[eqn: RMA]

[eqn: RMB]

[eqn: RMC]

[eqn: RMP]

[eqn: RMQ]

[eqn: RMR]

▹2016년 9월 교육청

고대 이집트의 태양신을 상징하는 어느 오벨리스크는 사각뿔 모양의 돌이다. [그림 [eqn: 1`]]과 같이 높이가 [eqn: 10`][eqn: rmm]인 삼각기둥 [eqn: rmABC-DEF] 모양의 돌을 이용하여 [그림 [eqn: 2`]]와 같이 밑면이 직사각형인 사각뿔 모양의 오벨리스크를 만들려고 한다. 삼각기둥 [eqn: rmABC-DEF] 모양의 돌은 모서리 [eqn: rmEF]의 길이가 [eqn: 6`][eqn: rmm`], 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 모서리 [eqn: rmEF]에 내린 수선의 발과 꼭짓점 [eqn: rmD] 사이의 거리가 [eqn: 4`][eqn: rmm]이다.

15

모서리 [eqn: rmEF] 위의 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rmH]와 두 모서리 [eqn: rmFD], [eqn: rmDE] 위의 각각의 점 [eqn: rmI], [eqn: rmJ]가 직사각형 [eqn: rmGHIJ]의 네 꼭짓점이 될 때, 높이가 [eqn: 10`][eqn: rmm]이고  직사각형 [eqn: rmGHIJ]를 밑면으로 하는 부피가 최대인 사각뿔 모양의 오벨리스크의 부피는 [eqn: V`][eqn: rmm^{3}]이다. [eqn: V]의 값을 구하시오. (단, 각 면에 있는 무늬는 무시한다.)

▸4점

[eqn: rmA] [eqn: rmB] [eqn: rmC] [eqn: rmD] [eqn: rmE] [eqn: rmF]
[그림 [eqn: 1`]]	[그림 [eqn: 2`]]

▹2016년 3월 교육청

이차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2]와 [eqn: 6]이다.

16

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=p]에서 최댓값 [eqn: q]를 갖는다. [eqn: p+q]의 값은?

▸4점

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

-2. 이차방정식과 이차함수

Ⅱ

01 ③	02 ①	03 [eqn: 7]	04 ①	05 ④

06 [eqn: 24]	07 ④	08 ⑤	09 ⑤	10 ④

11 ②	12 ⑤	13 [eqn: 50]	14 [eqn: 12]	15 [eqn: 20]

16 ①

[eqn: -2x ^{2} +5x=2x+k`]에서

01

[eqn: 2x ^{2} -3x+k=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=(-3) ^{2} -4 TIMES 2 TIMES k GEQ 0]

즉 [eqn: k LEQ {9} over {8} `]

따라서 실수 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: {9} over {8}]이다.

[eqn: y`][eqn: =2x`^2 -4x+5`][eqn: =2` LEFT ( x-1 RIGHT )`^2 +3`]

02

따라서 이차함수 [eqn: y=2x`^2 -4x+5`]의 최솟값은 [eqn: x=1]일 때 [eqn: 3]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -4x+1=2(x-1) ^{2} -1]

03

함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]이므로 [eqn: x=1]에서 최솟값, [eqn: x=3]에서 최댓값을 갖는다.

따라서 최댓값은

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} -1][eqn: =7]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +ax+b][eqn: = LEFT ( x+ {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +b]

04

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이므로

[eqn: - {a} over {2} =2], 즉 [eqn: a= it -4]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =8], 즉 [eqn: b=8]

따라서    [eqn: a+b= LEFT ( -4 RIGHT ) +8=4]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]이므로 이차함수 [eqn: f(x)]는

05

[eqn: x=0]에서 최댓값 [eqn: f(0)=a]를 갖고,

[eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: f(2)= it -4+a]를 갖는다.

따라서 [eqn: a=12`]이므로 구하는 최솟값은

[eqn: f(2)=it-4+12=8]

[eqn: 3x ^{2} -4x+k=8x+12]에서

06

[eqn: 3x ^{2} -12x+k-12=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =6 ^{2} -3(k-12)][eqn: =72-3k=0]

따라서    [eqn: k=24]

[eqn: x^2 -2ax +5a=x]에서

07

[eqn: x^2 -(2a+`1)x+5a=0`]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=(2a+1)^2 -20a`][eqn: =4a^2 -16a+1=0`]

근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 4]이다.

[eqn: y=x ^{2} -2ax+5a][eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a ^{2} +5a]이므로

08

[eqn: rmA][eqn: (a,~-a^2 +5a)]

[eqn: 0<a<5]이므로

[eqn: rmbar OB =ita], [eqn: rmbarAB =it-a^2 +5a]

[eqn: rm barOB +rm {bar{AB}} =itg(a)]라 하면

[eqn: g(a)=it-a ^{2} +6a][eqn: = it -` LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} +9]

따라서 [eqn: 0<a<5]에서 [eqn: rm {bar{OB}} + rm {bar{AB}}] 최댓값은 [eqn: 9]이다.

이차함수 [eqn: y=it-x ^{2} +ax+b]의 그래프와 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+1]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표는 이차방정식

09

[eqn: -x ^{2} +ax+b=x ^{2} -3x+1]

즉 [eqn: 2x ^{2} -(3+a)x+1-b=0]

의 두 실근이다. [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이므로 한 근이 [eqn: 1- sqrt {2}]이면 나머지 한 근은 [eqn: 1+ sqrt {2}]이다.

[eqn: 2x ^{2} -(3+a)x+1-b=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = {3+a} over 2 = 2]

[eqn: alpha beta = {1-b} over 2 = it-1]

따라서 [eqn: a=1,~b=3]이므로    [eqn: a+3b=10]

정답 및 해설

중단원 기출 문제

점 [eqn: rm P( it a,~b) rm]는 직선 [eqn: y=it- {1} over {4} x+1] 위의 점이므로

10

[eqn: b=it- {1} over {4} a+1]

[eqn: b=it- {1} over {4} a+1]을 [eqn: a ^{2} +8b]에 대입하면

[eqn: a ^{2} +8=a ^{2} +8 LEFT ( - {1} over {4} a+1 RIGHT )]

[eqn: =a ^{2} -2a`+`8][eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +7]

이때 [eqn: rm A(0,~1)], [eqn: rm B(4,~0)]이므로    [eqn: 0 LEQ a LEQ 4]

따라서 [eqn: a= 1]일 때, [eqn: a^2 +8 b]의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

㈎ [eqn: 25], ㈏ [eqn: 5], ㈐ [eqn: {25} over {4}]이므로

11

[eqn: alpha =25`,`` beta =5`,`` gamma = {25} over {4} `]

따라서    [eqn: ( alpha - beta ) TIMES gamma =125]

근과 계수의 관계에 의하여

12

[eqn: alpha + beta =b-a=t], [eqn: alpha beta =b-a=t]

[eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta][eqn: =t ^{2} -` {BOX{`````4t`````}}]

[eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT | = sqrt {5}]이므로    [eqn: t ^{2} -4t-5=0]

[eqn: LEFT ( t-5 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT ) =0], 즉 [eqn: t=5] 또는 [eqn: t=`-1]

[eqn: t>0]이므로    [eqn: t= {BOX{`````5`````}}]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =1-a+b][eqn: =1+t= {BOX{`````6`````}}]

[eqn: therefore][eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =4t], [eqn: p=5], [eqn: q=6]

따라서    [eqn: p+q+h LEFT ( 1 RIGHT ) =5+6+4=15]

㈎에서 이차방정식 [eqn: f(x)=4ax-10]의 두 실근은 [eqn: 1], [eqn: 5]이다. [eqn: f(x)]의 이차항의 계수가 [eqn: a]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

13

[eqn: f(x)-4ax+10=a(x ^{2} -6x+5)]

로 놓을 수 있다. 따라서

[eqn: f(x) & =ax ^{2} -6ax+5a+4ax-10]

[eqn: =ax ^{2} -2ax+5a-10]

[eqn: =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +4a-10]

한편, [eqn: a>0]이고 [eqn: 1 LEQ x LEQ 5]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -8]이므로 [eqn: f(1)=it-8]이다.

[eqn: f(1)=4a-10=it-8]에서    [eqn: a= {1} over {2}]

따라서    [eqn: 100a=50`]

[eqn: rmbarBQ =ita]라 하면 [eqn: triangle rmPBQ]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rmbar BP = it root2 a]이다.

14

[eqn: △ rm APR]는 [eqn: rm {bar{PA}} = it 6- sqrt {2} a]인 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm {bar{PR}} = it sqrt {2} (6- sqrt {2} a)]

[eqn: rm {bar{CQ}} = {bar{BC}} - {bar{BQ}} = it 6 sqrt {2} -a]

이때

[eqn: □ rmPQCR = it 1over2 times(6root2 -2a+6root2 -a) timesa]

[eqn: =6root2 a- 3over2 a^2 `]

[eqn: =`- {3} over {2} (a-2 sqrt {2} ) ^{2} +12`]

이므로 [eqn: rmbarBQ = it 2root2]일 때, [eqn: □ rm PQCR]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 12]이다.

두 변 [eqn: rm JG], [eqn: rm JI]의 길

15

[eqn: rmD]

[eqn: rm F]

[eqn: rm E]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

[eqn: rm J]

[eqn: rm I]

이를 각각 [eqn: x`][eqn: rmm],

[eqn: y`][eqn: rmm]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm DJI]와 삼각형 [eqn: rm DEF]는 닮음이므로

[eqn: (4-x):4=y:6]

[eqn: 4y=6(4-x)], 즉 [eqn: y=6- {3} over {2} x]

오벨리스크의 부피는

[eqn: {1} over {3} TIMES 10xy][eqn: =20x-5x ^{2} `]

[eqn: =it-5(x-2) ^{2} +20] ([eqn: 0<x<4])

[eqn: x=2]일 때 최대 부피는 [eqn: 20`][eqn: rmm ^{3}]이므로

[eqn: V=20]

이차방정식 [eqn: h(x)=0]의 두 근이 [eqn: 2]와 [eqn: 6]이므로

16

[eqn: h(x)=k(x-2)(x-6)]

으로 놓을 수 있다. 이때 [eqn: g(x)]는 일차함수이고 [eqn: f(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차함수이므로 함수 [eqn: h(x)]는 이차함수이고 이차항의 계수는 [eqn: -1]이다. 즉

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = it -(x-2)(x-6)][eqn: =it-x ^{2} +8x-12]

[eqn: =it-(x-4) ^{2} +4]

이므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=4]에서 최댓값 [eqn: 4]를 갖는다.

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=4]이므로    [eqn: p+q=8]