-1 복소수와

Ⅱ

이차방정식

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2017년 6월 교육청

[eqn: -2i+(2+3i)]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

01

▸2점

① [eqn: 2-i]	② [eqn: 2+i]	③ [eqn: 3-i]

④ [eqn: 3+i]	⑤ [eqn: 4-i]

▹2017년 3월 교육청

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+2=0`]의 두 근의 곱은?

02

▸2점

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▹2016년 11월 교육청

복소수 [eqn: z=3+i]에 대하여 [eqn: z+ {bar{z`}}]의 값은?

03

(단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고, [eqn: {bar{z`}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

▸2점

① [eqn: 6]	② [eqn: 6+i]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 8+i]	⑤ [eqn: 10]

▹2016년 3월 교육청

[eqn: LEFT ( 2-3i RIGHT ) +i LEFT ( -1+4i RIGHT )]의 값은?

04

(단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

▸2점

① [eqn: -4-2i]	② [eqn: -2-4i]	③ [eqn: -2+4i]

④ [eqn: 2-4i]	⑤ [eqn: 2+4i]

▹2015년 9월 교육청

두 복소수 [eqn: z _{1} =2-3i], [eqn: z _{2} =2+3i]에 대하여

05

[eqn: z _{1} z _{2}]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

▸2점

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

▹2014년 9월 교육청

등식 [eqn: 2x LEFT ( 3+i RIGHT ) =3y+4i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

06

▸2점

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▹2017년 6월 교육청 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x-3=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: {6 beta } over {alpha ^{2} +4 alpha -4} + {6 alpha } over {beta ` ^{2} +4 beta -4}]의 값을 구하시오. 07 ▸3점 ▹2017년 3월 교육청 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -16x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta }]의 값을 구하시오. 08 ▸3점 ▹2017년 3월 교육청 [eqn: LEFT ( 2+i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt-1]) 09 ▸3점 ① [eqn: 1][eqn: +3i] ② [eqn: 1+4i] ③ [eqn: 2][eqn: +3i] ④ [eqn: 3][eqn: +3i] ⑤ [eqn: 3 + 4i]	▹2016년 11월 교육청 복소수 [eqn: z=1+ sqrt {3} i]에 대하여 [eqn: z ^{2} -2z+1]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) 10 ▸3점 ① [eqn: -3] ② [eqn: -2+i] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: 2-i] ⑤ [eqn: 3] ▹2016년 6월 교육청 등식 [eqn: a+2i=4+(b-1)i]를 만족하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= root-1]이다.) 11 ▸3점 ▹2016년 6월 교육청 이차방정식 [eqn: x ^{2`}+5x -2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha^2 -5beta]의 값을 구하시오. 12 ▸3점

Ⅱ. 방정식과 부등식

중단원 기출 문제
▹2016년 9월 교육청 등식 [eqn: (3+2i)x ^{2} -5(2y+i)x=8+12i]를 만족시키는 두 정수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은? 13 (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) ▸3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] ▹2016년 9월 교육청 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: alpha + beta =6]이고 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점이 직선 [eqn: y=2x-7] 위에 있을 때, [eqn: f(0)]의 값을 구하시오. 14 ▸3점 ▹2015년 11월 교육청 복소수 [eqn: z=2-3i]에 대하여 [eqn: LEFT ( 1+2i RIGHT ) {bar{z`}}]의 값은? 15 (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: {bar{z`}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) ▸3점 ① [eqn: -4+7i] ② [eqn: -4+4i] ③ [eqn: 3-4i] ④ [eqn: 3+7i] ⑤ [eqn: 7-4i]	▹2014년 9월 교육청 다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +px+q] ([eqn: p,~q]는 실수)가 다음 두 조건을 만족시킨다. 16 ㈎ 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: 1]이다. ㈏ 실수 [eqn: a]에 대하여 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 한 근은 [eqn: a+i]이다. [eqn: p+2q]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) ▸3점 ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] ▹2017년 6월 교육청 두 복소수 [eqn: alpha = {1+i} over {2i}], [eqn: beta = {1-i} over {2i}]에 대하여 [eqn: (2 alpha ` ^{2} +3)(2 beta ` ^{2} +3)]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) 17 ▸4점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 22] ▹2017년 6월 교육청 복소수 [eqn: z=a+bi]([eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)에 대하여 18 [eqn: iz= {bar{z}}] 일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i=sqrt-1]이고, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) ▸4점 ㄱ. [eqn: z+ {bar{z}}=it-2b] ㄴ. [eqn: i {bar{z}} `=`-z] ㄷ. [eqn: {{bar{z}}} over {z} + {z} over {{bar{z}}} `=0`] 보기 ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

Ⅱ. 방정식과 부등식
▹2017년 6월 교육청 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+2=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha<beta])라 하자. 그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} = alpha], [eqn: bar{rm BC it} = beta]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에 내접하는 정사각형의 넓이와 둘레의 길이를 두 근으로 하는 [eqn: x]에 대한 이차방정식이 [eqn: 4x ^{2} +mx+n=0]일 때, 두 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은? (단, 정사각형의 두 변은 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rm BC] 위에 있다.) 19 ▸4점 [eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: alpha] [eqn: beta] ① [eqn: -11] ② [eqn: -10] ③ [eqn: -9] ④ [eqn: -8] ⑤ [eqn: -7`] ▹2016년 6월 교육청 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 그림과 같이 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부에 한 점 [eqn: rmP]를 잡고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 정사각형의 각 변에 평행한 두 직선이 정사각형의 네 변과 만나는 점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F], [eqn: rm G], [eqn: rm H]라 하자. 20 [eqn: rmA] [eqn: rmB] [eqn: rmC] [eqn: rmD] [eqn: rmP] [eqn: rmE] [eqn: rmF] [eqn: rmG] [eqn: rmH] 직사각형 [eqn: rm PFCG]의 둘레의 길이가 [eqn: 28]이고 넓이가 [eqn: 46]일 때, 두 선분 [eqn: rm {{AE}}]와 [eqn: rm {{AH}}]의 길이를 두 근으로 하는 이차방정식은? (단, 이차방정식의 이차항의 계수는 [eqn: rm1]이다.) ▸4점 ① [eqn: x^2 -6x +4=0] ② [eqn: x^2 -6x +6=0] ③ [eqn: x^2 -6x +8=0] ④ [eqn: x^2 -8x +6=0] ⑤ [eqn: x ^{2} -8x+8=0]	▹2016년 6월 교육청 다음은 [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: ax ^{9} +bx ^{8} +1`]이 다항식 [eqn: x ^{2} -x-1`]로 나누어떨어지기 위한 정수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 값을 구하는 과정의 일부이다. 21 방정식 [eqn: x ^{2} -x-1=0]의 두 근을 [eqn: p], [eqn: q]라 하면 [eqn: p`+q=1`], [eqn: p`q`=`-1`] 이다. 따라서 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =` {BOX{``````(가)``````}}] , [eqn: p ^{4} +q ^{4} =` {BOX{``````(나)`````}} `]이다. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: ax ^{9} +bx ^{8} +1]이 [eqn: x ^{2} -x-1]로 나누어떨어지면 [eqn: ap ^{9} +bp ^{8} =it-1] [eqn: cdotscdots][eqn: ①`] [eqn: aq ^{9} +bq ^{8} =it-1] [eqn: cdotscdots][eqn: ②`] 이다. ①, ②의 양변에 각각 [eqn: q ^{8}], [eqn: p ^{8}]을 곱하여 정리하면 [eqn: ap+b=-q ^{8}] [eqn: cdotscdots][eqn: ③] [eqn: aq+b=-p ^{8}] [eqn: cdotscdots][eqn: ④] 이다. ③에서 ④를 뺀 식으로부터 [eqn: a(p-q)=p ^{8} -q ^{8}]이고, [eqn: p != q]이므로 [eqn: a= {p ^{8} -q ^{8}} over {p-q}]이다. 따라서 [eqn: a= `{BOX{`````(다)`````}}]이다. [eqn: vdots] 위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 수를 각각 [eqn: r`], [eqn: s`], [eqn: t`]라 할 때, [eqn: r+s+t`]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 27] ② [eqn: 29] ③ [eqn: 31] ④ [eqn: 33] ⑤ [eqn: 35] ▹2015년 6월 교육청 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 22 [eqn: f(x)+x-1=0] 의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: alpha+beta=1], [eqn: alpha beta =it-3]이고 [eqn: f(1)=it-6]일 때, [eqn: f(3)]의 값은? ▸4점 ① [eqn: 0] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 8]

-1. 복소수와 이차방정식

Ⅱ

01 ②	02 ⑤	03 ①	04 ②	05 ③

06 ④	07 [eqn: 24]	08 [eqn: 16]	09 ①	10 ①

11 [eqn: 7]	12 [eqn: 27]	13 ➄	14 [eqn: 8]	15 ①

16 ①	17 ②	18 ⑤	19 ⑤	20 ③

21 ③	22 ③

[eqn: -2i+(2+3i)=2+(-2+3)i=2+i]

01

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+2=0]의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은

02

[eqn: {2} over {1} =2`]

[eqn: z=3+i]에서    [eqn: {bar{z`}} =3-i]

03

[eqn: z+ {bar{z`}} = LEFT ( 3+i RIGHT ) + LEFT ( 3-i RIGHT ) =6]

[eqn: (2-3i)+i(-1+4i)]

04

[eqn: =2-3i-i+4i ^{2}]

[eqn: =2-3i-i-4]

[eqn: =it-2-4i]

[eqn: z _{1} z _{2}][eqn: =(2-3i)(2+3i)][eqn: =2 ^{2} -(3i) ^{2}][eqn: =13]

05

[eqn: 6x+2x`i=3y+4i]에서

06

[eqn: x=2,~y=4]

따라서    [eqn: x+y=6]

이차방정식 [eqn: x^2 +4x-3=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 [eqn: alpha^2 +4alpha -3=0], [eqn: beta^2 +4beta -3=0]에서

07

[eqn: alpha^2 +4alpha -4 =-1], [eqn: beta^2 +4beta -4 =-1]

근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha +beta =-4`]이므로

[eqn: {6 beta } over {alpha ^{2} +4 alpha -4} + {6 alpha } over {beta ^{2} +4 beta -4} =-6 LEFT ( {beta } + alpha } RIGHT ) =24]

근과 계수의 관계에 의하여

08

[eqn: alpha+beta= {16} over {3}], [eqn: alpha beta = {1} over {3}]

따라서    [eqn: {1} over {alpha} + {1} over {beta}][eqn: = {alpha + beta } over {alpha beta }][eqn: =16]

[eqn: (2+i)(1+i)][eqn: =2+2i+i+i^2]

09

[eqn: =2+2i+i-1]

[eqn: =][eqn: 1+3i]

[eqn: z=1+ sqrt {3} i]에서

10

[eqn: z ^{2} -2z+1][eqn: = LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT { LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) -1 RIGHT } ^{2}]

[eqn: = LEFT ( sqrt {3} i RIGHT ) ^{2} =it-3]

따라서    [eqn: z ^{2} -2z+1=it-3]

[eqn: a+2i=4+(b-1)i``]에서

11

[eqn: a=4`], [eqn: b-1=2`]

따라서 [eqn: a=4`], [eqn: b=3`]이므로    [eqn: a+b=7]

[eqn: alpha]는 이차방정식 [eqn: x^2 +5x -2=0]의 한 근이므로

12

[eqn: alpha^2 +5alpha -2=0]에서

[eqn: alpha^2 = it-5alpha +2]

근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha+beta =it-5]이므로

[eqn: alpha ^{2} -5 beta =(-5 alpha +2)-5 beta]

[eqn: =it-5( alpha + beta )+2][eqn: =27]

[eqn: 3x ^{2} -10xy+(2x ^{2} -5x)i=8+12i]에서

13

[eqn: {cases{3x ^{2} -10xy=8&~~~` CDOTS CDOTS ㉠#2x ^{2} -5x=12&`~~~ CDOTS CDOTS ㉡}}]

㉡에서    [eqn: 2x ^{2} -5x-12=0]

[eqn: (2x+3)(x-4)=0]

[eqn: x]는 정수이므로 [eqn: x=4] [eqn: cdotscdots]㉢

㉠에 ㉢을 대입하면

[eqn: 48-40y=8`],즉 [eqn: y=1]

따라서    [eqn: x+y=5]

[eqn: f(x)=(x- alpha )(x- beta )][eqn: =x ^{2} -( alpha + beta )x+ alpha beta]

14

[eqn: =x ^{2} -6x+ alpha beta][eqn: =(x-3) ^{2} -9+ alpha beta]

따라서 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (`3,`-9+ alpha beta `)]이다.

[eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점이 직선

[eqn: y=2x-7`] 위에 있으므로

[eqn: -9+ alpha beta =it-1], 즉 [eqn: alpha beta =8]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} -6x+8]이므로

[eqn: f(0)=8]

정답 및 해설

중단원 기출 문제

[eqn: z=2-3i]에서    [eqn: {bar{z}} `=2+3i]

15

[eqn: LEFT ( 1+2i RIGHT ) {bar{z}} `][eqn: = LEFT ( 1+2i RIGHT ) LEFT ( 2+3i RIGHT )]

[eqn: =2+3i + 4i-6]

[eqn: =it-4+7i]

㈎에서    [eqn: f(1)=1+p+q=1]

16

[eqn: p+q=0]	[eqn: cdotscdots]㉠

㈏에서 [eqn: a-i`]도 이차방정식의 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: p=it-2a], [eqn: q`=`a ^{2} +1`]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서    [eqn: p+q= it -2a+a ^{2} +1=0]

[eqn: a=1], [eqn: p=it-2], [eqn: 1=2]

따라서    [eqn: p+2q=2]

[eqn: alpha ^{2} = {2i} over {-4} =- {i} over {2}], [eqn: beta^2 = { -2i} over {-4 }= i over 2]

17

[eqn: 2alpha^2 =-i`], [eqn: 2beta^2 =i]

따라서

[eqn: (2alpha^2 +3)(2beta^2 +3) =(3-i)(3+i)=10`]

[eqn: iz= i(a+bi)=-b+ai], [eqn: barz =a-bi]

18

[eqn: iz= barz]이므로    [eqn: a=-b`]

따라서    [eqn: z=a-ai]

ㄱ. [eqn: z+ {bar{z}} =(a-ai)+(a+ai)=2a=-2b] (참)

ㄴ. [eqn: iz= {bar{z}}]의 양변에 [eqn: i]를 곱하면 [eqn: i {bar{z}} =-z] (참)

ㄷ. [eqn: {{bar{z}}} over {z} =i], [eqn: i {bar{z}} =it-z]이므로    [eqn: {z} over {{bar{z}}} =it-i]

따라서    [eqn: {{bar{z}}} over {z} + {z} over {{bar{z}}} =0]이다. (참)

그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳다.

근과 계수의 관계에 의하여

19

[eqn: alpha + beta =4], [eqn: alpha beta=2]

직각삼각형에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: k``]라 하면

[eqn: alpha : beta =alpha -k:k]이므로

[eqn: k= {alpha beta } over {alpha + beta }][eqn: = {1} over {2}]

따라서 정사각형의 넓이 [eqn: k ^{2} = {1} over {4}]과 둘레의 길이 [eqn: 4k][eqn: =2]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: 4 LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x- {1} over {4} RIGHT ) =4x ^{2} -9x+2=0]

따라서    [eqn: m+n=it-9+2=-7]

[eqn: rm{barAH}= alpha], [eqn: rm{barAE}= beta]라 하면

20

[eqn: rm {bar{PG}} =10-alpha], [eqn: rmbar{PF}=10-beta]

직사각형 [eqn: rm`PFCG`]의 둘레의 길이는

[eqn: 2(10-alpha)+2(10-beta)=28]이므로

[eqn: alpha+beta=6]

직사각형 [eqn: rm PFCG]의 넓이는

[eqn: (10-alpha)(10-beta)=46]이므로

[eqn: alpha beta=6]

따라서 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x ^{2} -(alpha+beta) x +alpha beta =0]에서

[eqn: x^2 -6x +6=0]

[eqn: p+q=1], [eqn: pq=it-1]이므로

21

[eqn: p^2 +q^2 = (p+q)^2 -2pq=3]

[eqn: p^4 +q^4 =(p^2 +q^2 )^2 -2p^2 q^2 =7]

따라서	[eqn: r=3`], [eqn: s=7]

[eqn: a= {p ^{8} -q ^{8}} over {p-q} =(p ^{4} +q ^{4} )(p ^{2} +q ^{2} )(p+q)]

[eqn: =`7 times3times 1`][eqn: =21]

이므로	[eqn: t=21]

따라서    [eqn: r+s+t =31]

[eqn: f(x)+x-1=k(x ^{2} -x-3)]	[eqn: cdotscdots]㉠

22

으로 놓자. [eqn: f(1)=it-6]이므로 [eqn: x=1]을 ㉠에 대입하면

[eqn: f(1)+1-1=k(1 ^{2} -1-3)]

[eqn: -6+1-1=k(1 ^{2} -1-3)], 즉 [eqn: k=2`]

[eqn: k=2`]를 ㉠에 대입하면

[eqn: f(x)+x-1=2(x ^{2} -x-3)]

[eqn: f(x)=2x ^{2} -3x-5`]

따라서    [eqn: f(3)=4]