-2 나머지정리와

Ⅰ

인수분해

중단원

기출 문제

(       )반  (         )번

이름 (               )

▹2017년 6월 교육청

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +a`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 7`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

01

▸2점

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▹2016년 6월 교육청

다항식 [eqn: x ^{3} -ax+6]이 [eqn: x-1]로 나누어떨어지도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은?

02

▸2점

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▹2015년 11월 교육청

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

03

[eqn: x ^{2} +ax+4=x LEFT ( x+2 RIGHT ) +b]

가 성립할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a + b]의 값은?

▸2점

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▹2015년 6월 교육청

다항식 [eqn: x ^{2} -2x+5`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는?

04

▸2점

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▹2014년 6월 교육청

다항식 [eqn: x ^{3} `-`3x ^{2} `+`2x`+`4`]를 [eqn: x`-`2`]로 나눈 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정이다.

05

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 2]			[eqn: 4]
		[eqn: 2]	[eqn: a]			[eqn: 0]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 0]		[eqn: b]

[eqn: a`+`b`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.)

▸2점

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▹2017년 6월 교육청

[eqn: 1`]이 아닌 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b] [eqn: (a<b)]에 대하여

06

[eqn: 11 ^{4} -6` ^{4} `=`a` TIMES `b` TIMES 157``]

로 나타낼 때, [eqn: a+b`]의 값은?

▸3점

① [eqn: 21`]	② [eqn: 22`]	③ [eqn: 23`]

④ [eqn: 24`]	⑤ [eqn: 25`]

▹2017년 6월 교육청 다항식 [eqn: x ^{4} +7x ^{2} +16]이 07 [eqn: (x ^{2} +ax+b)(x ^{2} -ax+b)] 로 인수분해될 때, 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ▸3점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9] ▹2017년 3월 교육청 다항식 [eqn: x ^{2} +ax+4]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지와 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? 08 ▸3점 ① [eqn: -3] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 5] ▹2017년 3월 교육청 [eqn: {218 ^{3} +1} over {217 ^{3} -1}]의 값은? 09 ▸3점 ① [eqn: {73} over {72}] ② [eqn: {37} over {36}] ③ [eqn: {25} over {24}] ④ [eqn: {19} over {18}] ⑤ [eqn: {13} over {12}]	▹2016년 9월 교육청 다항식 [eqn: (2x+y) ^{2} -2(2x+y)-3]을 인수분해하면 10 [eqn: (ax+y+1)(2x+by+c)] 일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) ▸3점 ① [eqn: -4] ② [eqn: -2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4] ▹2016년 9월 교육청 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식 11 [eqn: x^{2}+3x+2=(x-2)^{2}+a(x-2)+b] 가 성립할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ▸3점 ① [eqn: 17] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 19] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 21] ▹2016년 9월 교육청 다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지가 [eqn: 2]이고, [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 8]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) 12 ▸3점

Ⅰ. 다항식

중단원 기출 문제
▹2016년 6월 교육청 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 13 [eqn: (x-1)(x+a)=b`x ^{2} -3x+2] 가 성립할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ▸3점 ① [eqn: -1`] ② [eqn: -2`] ③ [eqn: -3`] ④ [eqn: -4`] ⑤ [eqn: -5`] ▹2016년 3월 교육청 다항식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x-7]을 인수분해하면 14 [eqn: (x+a) ^{2} (bx+c)]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) ▸3점 ① [eqn: -6] ② [eqn: -5] ③ [eqn: -4] ④ [eqn: -3] ⑤ [eqn: -2] ▹2015년 11월 교육청 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -7x]로 나눈 나머지가 [eqn: x+4]일 때, 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-7]로 나눈 나머지를 구하시오. 15 ▸3점	▹2014년 6월 교육청 [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6]이 [eqn: x ^{2} -1]로 나누어떨어질 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.) 16 ▸3점 ① [eqn: 6] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 14] ▹2017년 6월 교육청 [eqn: x`]에 대한 삼차다항식 17 [eqn: P(x) = ( x ^2 - x -1) (ax + b ) + 2] 에 대하여 [eqn: P(x+1)]을 [eqn: x^2 -4]로 나눈 나머지가 [eqn: -3]일 때, [eqn: 50a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ▸4점 ▹2017년 3월 교육청 세 다항식 [eqn: f left(x right)=x ^{2} +x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x-1], [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 18 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} + LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} = LEFT ( 2x ^{2} -x-1 RIGHT ) h LEFT ( x RIGHT )] 가 [eqn: x`]에 대한 항등식일 때, [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는? ▸4점 ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12]

Ⅰ. 다항식
▹2017년 3월 교육청 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +ax+b]를 다항식 19 [eqn: x ^{2} -2x-2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: R LEFT ( 2 RIGHT ) =9]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]로 나누어떨어질 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ▸4점 ▹2016년 11월 교육청 다항식 [eqn: x ^{4} -2x ^{3} +2x ^{2} -x-6]이 20 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +bx+c RIGHT )] 로 인수분해될 때, 세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은? ▸4점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] ▹2016년 11월 교육청 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: ax ^{3} +b]를 [eqn: ax+b]로 나눈 몫을 [eqn: Q _{1} LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R_1]이라 하고, [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: ax ^{4} +b]를 [eqn: ax+b]로 나눈 몫을 [eqn: Q _{2} LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R _{2}]라 하자. 21 [eqn: R _{1} =R _{2}]가 되도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: Q _{1} LEFT ( 2 RIGHT ) +Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: ab != 0]) ▸4점	▹2016년 6월 교육청 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫은 [eqn: Q(x)], 나머지는 [eqn: 5]이고, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는 [eqn: 10]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나눈 나머지를 [eqn: ax+b]라 할 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 3a+b]의 값을 구하시오. 22 ▸4점 ▹2015년 6월 교육청 삼차다항식 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다. 23 ㈎ [eqn: f(1)=2] ㈏ [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나눈 몫과 나머지가 같다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^{3}]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 하자. [eqn: R(0)=R(3)]일 때, [eqn: R(5)]의 값을 구하시오. ▸4점 ▹2014년 6월 교육청 삼차다항식 [eqn: P(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. 24 ㈎ [eqn: (x-1)P(x-2)=(x-7)P(x)] ㈏ [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -4x+`2]로 나눈 나머지는 [eqn: 2x-10]이다. [eqn: P(4)]의 값은? ▸4점 ① [eqn: -6] ② [eqn: -3] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 6]

-2 나머지정리와 인수분해

Ⅰ

01 ③	02 ⑤	03 ①	04 ②	05 ⑤

06 ②	07 ①	08 ①	09 ①	10 ③

11 ③	12 [eqn: 14]	13 ①	14 ③	15 [eqn: 11]

16 ④	17 [eqn: 46]	18 ⑤	19 [eqn: 45]	20 ③

21 [eqn: 11]	22 [eqn: 25]	22 [eqn: 26]	24 ①

[eqn: 11 ^{4} -6 ^{4} = LEFT ( 11 ^{2} -6 ^{2} RIGHT ) LEFT ( 11 ^{2} +6 ^{2} RIGHT )]

06

[eqn: =(11-6)(11+6) TIMES 157]

[eqn: =5 TIMES 17 TIMES 157]

따라서 [eqn: a=5,```b=17`]이므로    [eqn: a+b=22]

[eqn: x ^{4} +7x ^{2} +16=(x ^{4} +8x ^{2} +16)-x ^{2}]

07

[eqn: =(x ^{2} +4) ^{2} -x ^{2}]

[eqn: =(x ^{2} +x+4)(x ^{2} -x+4)]

따라서 [eqn: a=1,~b=4]이므로    [eqn: a+b=5]

[eqn: a+5=2a+8]이므로    [eqn: a= it -3]

08

[eqn: 218`]을 [eqn: n`]이라 하면

09

[eqn: {218 ^{3} +1} over {217 ^{3} -1} `][eqn: = {n ^{3} +1} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{3} -1}]

[eqn: = {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} -n+1 RIGHT )} over {LEFT { LEFT ( n-1 RIGHT ) -1 RIGHT } LEFT { LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) +1 RIGHT }}][eqn: = {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} -n+1 RIGHT )} over {LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} -n+1 RIGHT )}]
[eqn: = {n+1} over {n-2}][eqn: = {218+1} over {218-2}][eqn: = {73} over {72}]

[eqn: 2x+y=t]라 하면

10

[eqn: (2x+y) ^{2} -2(2x+y)-3]

[eqn: =t ^{2} -2t-3][eqn: =(t+1)(t-3)]

[eqn: =(2x+y+1)(2x+y-3)]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=1], [eqn: c=-3]이므로

[eqn: a+b+c=0]

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

11

[eqn: b=12]

[eqn: x ^{2} +3x+2=(x-2) ^{2} +a(x-2)+12]의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 2=4-2a+12], 즉 [eqn: a=7]

따라서    [eqn: a+b=19]

[eqn: f(-1)=1-a+b=2], [eqn: f(1)=1+a+b=8]

12

이므로 [eqn: {cases{-a+b=1#a+b=7}}]

연립방정식을 풀면    [eqn: a=3], [eqn: b=4]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} +3x+4]이므로

[eqn: f(2)=4+6+4=14]

등식을 정리하면

13

[eqn: x ^{2} +(a-1)x-a=bx ^{2} -3x+2]

항등식의 성질에 의해    [eqn: a=-2], [eqn: b=1]

따라서    [eqn: a+b=-1]

[eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x-7=(x+1) ^{2} (2x-7)`]

14

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=2], [eqn: c= it -7`]이므로

[eqn: a+b+c= it -4]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -7x]로 나눈 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]라 하면 나머지가 [eqn: x+4]이므로

15

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =LEFT ( x^2 -7x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +x+4]

[eqn: =x LEFT ( x-7 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +x+4]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-7]로 나눈 나머지는

[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) = 11]

[eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6=(x ^{2} -1)Q(x)] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

16

(단, [eqn: Q(x)]는 다항식)

로 놓자.

㉠의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면    [eqn: a-b=it-4]

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면    [eqn: a+b=`-8]

따라서 [eqn: a=-6], [eqn: b=-2]이므로    [eqn: ab=12]

[eqn: P LEFT ( x+1 RIGHT ) `][eqn: = LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) -3`]

17

[eqn: =(x-2)(x+2)Q(x) -3]

[eqn: x=2`]를 대입하면    [eqn: P LEFT ( 3 RIGHT ) =-3]

[eqn: x=-2`]를 대입하면    [eqn: P LEFT ( -1 RIGHT ) =-3`]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) ``][eqn: = LEFT ( x ^{2} -x-1 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT ) +2]에 [eqn: x=3],

[eqn: x=-1]을 대입하여 정리하면

[eqn: 3a+b=-1], [eqn: -a+b=-5]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=-4]이므로

[eqn: 50a+b=46`]

정답 및 해설

중단원 기출 문제

[eqn: LEFT { f left(x right) RIGHT } ^{3} + LEFT { g left(x right) RIGHT } ^{3}]

18

[eqn: = LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} ` RIGHT ] `]

[eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -x-1 RIGHT ) `h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f(x)+g(x)][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} -2x-1 RIGHT )]

[eqn: =2x ^{2} -x-1]

이므로   [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: f left(1 right)=2], [eqn: g left(1 right)=it-2]이므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2 ^{2} -2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =12]

19

	[eqn: x]	[eqn: +] [eqn: 1]
[eqn: x ^{2} -2x-2]	[eqn: x ^{3}]	[eqn: -````x ^{2}]	[eqn: +ax]	[eqn: +b]
	[eqn: x ^{3}]	[eqn: -2x ^{2}]	[eqn: -2x]
		[eqn: ````````````x ^{2}]	[eqn: + LEFT ( a+2 RIGHT ) x]	[eqn: +b]
		[eqn: ````````````x ^{2}]	[eqn: -2x]	[eqn: -2]
			[eqn: LEFT ( a+4 RIGHT ) x]	[eqn: + LEFT ( b+2 RIGHT )]

)

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x+1], [eqn: R LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a+4 RIGHT ) x+b+2`]

[eqn: R LEFT ( 2 RIGHT ) =9]이므로 [eqn: 2a+b= it -1] …… ㉠

[eqn: f(x)]가 [eqn: x+1]로 나누어떨어지므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = it -1 it -1-a+b=0]

[eqn: a-b=it-2]                 …… ㉡

㉠, ㉡에 의해    [eqn: a=it-1], [eqn: b=1]

[eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -x+1]

따라서    [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =4 ^{3} -4 ^{2} -4+1][eqn: =45]

[eqn: x ^{4} -2x ^{3} +2x ^{2} -x-6][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+3 RIGHT )]

20

따라서 [eqn: a=it-2], [eqn: b=it-1], [eqn: c=3]이므로

[eqn: a+b+c=0]

[eqn: ax ^{3} +b= LEFT ( ax+b RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) +R _{1}] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

21

[eqn: ax ^{4} +b= LEFT ( ax+b RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +R _{2}] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 [eqn: x=it- {b} over {a}]를 각각 대입하면

[eqn: R _{1} =it- {b ^{3}} over {a ^{2}} +b], [eqn: R _{2} = {b ^{4}} over {a ^{3}} +b]

[eqn: R_1 =R_2]이므로    [eqn: - {b ^{3}} over {a ^{2}} +b= {b ^{4}} over {a ^{3}} +b]

[eqn: ab != 0]이므로    [eqn: b=it-a]

따라서    [eqn: R _{1} =R _{2} =0]

[eqn: ax ^{3} -a=a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT )]이므로

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) Q _{1} (x)]

따라서    [eqn: Q_1 (x) =x^2 +x+1]

[eqn: ax ^{4} -a=a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]이므로

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) Q _{2} (x)]

따라서    [eqn: Q _{2} (x)= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]

그러므로    [eqn: Q _{1} LEFT ( 2 RIGHT ) +Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT ) =7+4=11]

[eqn: f(x)=(x-1)Q(x)+5`]

22

[eqn: Q(x)=(x-2)Q`'(x)+10`]

[eqn: f(x)=(x-1)left{(x-2)Q`'(x)+10 right}+5`]

[eqn: =(x-1)(x-2)Q`'(x)+10(x-1)+5]

[eqn: =(x-1)(x-2)Q`'(x)+10x-5]

이므로 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나눈 나머지는 [eqn: 10x-5]이다. 따라서 [eqn: a=10], [eqn: b=it-5]이므로

[eqn: 3a+b=25]

조건 ㈏에 의해

23

[eqn: f(x)= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} (ax+b)+(ax+b)`]

[eqn: f(1)=2]이므로 [eqn: ax+b=a LEFT ( x-1 RIGHT ) +2]

[eqn: f(x)= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT { a LEFT ( x-1 RIGHT ) +2 RIGHT } +a LEFT ( x-1 RIGHT ) +2]

[eqn: =`a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{3} ``+2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +a LEFT ( x-1 RIGHT ) +2`]

따라서 [eqn: f(x)]를 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{3}]으로 나눈 나머지는

[eqn: R(x)=2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +a LEFT ( x-1 RIGHT ) +2]

[eqn: R(0)=R(3)]이므로    [eqn: 2-a+2=8+2a+2]

[eqn: a=-2`]

따라서 [eqn: R(x)=`2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +2]이므로

[eqn: R(5)=26]

조건 ㈎에서 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: P(1)=0]

24

[eqn: x=7]을 대입하면 [eqn: P(5)=0]

[eqn: P(x)]는 삼차다항식이므로 조건 ㈏에 의해

[eqn: P(x)=(x ^{2} -4x+2)(ax+b)+2x-10]

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

[eqn: P(1)=0]이므로    [eqn: -a-b-8=0]

[eqn: P(5)=0]이므로    [eqn: 35a+7b=0]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=it-10]이므로

[eqn: P(x)=(x^2 -4x+2)(2x-10)+2x-10]

[eqn: P(4) =][eqn: `-6]