대단원 평가	Ⅵ. 순열과 조합								1학년
❍❍고등학교		일시:		반:		번호:		이름:

1

[eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E] [eqn: 5]명의 학생이 수학 시험을 보고 서로 답안지를 바꿔서 채점하기로 하였다. 채점할 수 있는 경우의 수를 구하여라.

2

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]의 [eqn: 7]개의 숫자 중 서로 다른 [eqn: 4]개의 숫자를 뽑아 네 자리의 정수를 만들 때, 적어도 한쪽 끝이 홀수인 네 자리의 정수의 개수를 구하여라.

3

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 [eqn: 5]개의 숫자를 모두 배열하여 만들어지는 다섯 자리의 자연수 중에서 [eqn: 32000]보다 작은 수의 개수를 구하여라.

4

[eqn: t`r`i`a`n`g`l`e]의 [eqn: 8]개의 문자를 일렬로 나열할 때, 모음끼리는 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수는?

① [eqn: 7200]	② [eqn: 14400]	③ [eqn: 21600]
④ [eqn: 28800]	⑤ [eqn: 36000]

5

서로 다른 한 자리의 자연수 [eqn: 6]개를 일렬로 나열할 때, 적어도 한쪽 끝에 홀수가 오는 경우의 수가 [eqn: 432]이다. 이때 홀수의 개수를 구하여라.

6

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: rm a], [eqn: rm b], [eqn: rm c], [eqn: rm d], [eqn: rm e]를 사용하여 만들어지는 [eqn: 120]개의 문자열을 사전식으로 [eqn: rm abcde]에서 [eqn: rm edcba]까지 나열하였다. 다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: rm bdcea]는 몇 번째에 있는지 구하여라.
(2) [eqn: 60]번째에 있는 문자열을 구하여라.

7

서로 다른 [eqn: n``]개의 물건에서 [eqn: 2``]개를 택하는 순열의 수와 조합의 수의 차가 [eqn: 36``]일 때, [eqn: n``]의 값을 구하여라.

8

같은 평면 위에 있는 [eqn: 7]개의 점 중에서 [eqn: 5]개가 일직선 위에 있고 나머지 [eqn: 2]개의 점은 이 직선과 평행한 직선 위에 있을 때, 이들 점을 연결하여 만들 수 있는 직선의 개수를 구하여라.

9

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 12]개의

점이 가로, 세로로 같은 간격

으로 놓여 있다. 이 중에서 [eqn: 3]

개의 점을 택하여 만들 수 있

는 삼각형의 개수를 구하여라.

10

[eqn: 6]층짜리 건물 [eqn: 1]층에서 [eqn: 7]명이 승강기를 함께 탄 후 [eqn: 6]층까지 올라가는 동안 [eqn: 2]명, [eqn: 2]명, [eqn: 3]명씩 서로 다른 [eqn: 3]개의 층에서 내리는 방법의 수는? (단, 이 승강기는 [eqn: 2]층에서는 서지 않는다.)

① [eqn: 2520]	② [eqn: 3520]	③ [eqn: 4520]
④ [eqn: 5040]	⑤ [eqn: 6040]

Ⅵ 순열과 조합

대단원 평가 정답 및 풀이

1 답 [eqn: 44]

[eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E] [eqn: 5]명의 학생의 답안지를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]라고 하고 답안지를 바꿔서 채점하는 경우 중 [eqn: rm A]가 [eqn: b]를 채점하는 경우는 다음과 같다.

[eqn: rm A]학생이 [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]를 채점하는 경우도 마찬가지이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 11times4=44]

2 답 [eqn: 720]

전체 [eqn: 7]개의 숫자 중 [eqn: 4]개를 뽑아 만들 수 있는 네 자리의 정수의 개수는 [eqn: `_7 rm P_4 = 840]

이 중 양쪽 끝이 모두 짝수인 정수의 개수는

[eqn: `_3 rm P_2 times_5 P_2 =6times20=120]

따라서 구하는 정수의 개수는

[eqn: 840-120=720]

3 답 [eqn: 54]

[eqn: 32000]보다 작은 수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 1]□□□□꼴의 경우 [eqn: 4!](개)

(ⅱ) [eqn: 2]□□□□꼴의 경우 [eqn: 4!](개)

(ⅲ) [eqn: 31]□□□꼴의 경우 [eqn: 3!](개)

이상에서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 4! +4!+3 ! =54]

4 답 ②
모음이 [eqn: i,~a,~e]의 [eqn: 3]개이므로 우선 [eqn: t,~r,~n,~g,~l]을 일렬로 나열하고, 양 끝이나 사이사이 [eqn: 6]곳의 자리 중 [eqn: 3]곳에 [eqn: i,~a,~e]를 나열하면 된다.
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: 5!` TIMES _{6} rm P _{3} =14400]

5 답 [eqn: 2]
짝수의 개수를 [eqn: n]이라 하면 적어도 한쪽 끝에 홀수가 오는 경우의 수는 전체의 경우의 수에서 양 끝에 짝수가 오는 경우의 수를 빼면 되므로
[eqn: rm 6!- _{itn} P _{2} TIMES 4!`=`432]
[eqn: rm _{n} rm P _{2} ` TIMES 4!`=6!`-432=288]에서

[eqn: rm _{n} rm P _{2} =12]	[eqn: THEREFORE ```n=4]
따라서 홀수의 개수는

[eqn: 6-4=2]

6 답 (1) [eqn: 40]번째 (2) [eqn: rm cbeda]

(1) [eqn: rm bdcea]보다 앞에 오는 문자열을 생각하면
[eqn: rm a]□□□□꼴 ⇨ [eqn: 4!]
[eqn: rm ba]□□□꼴 ⇨ [eqn: 3!]
[eqn: rm bc]□□□꼴 ⇨ [eqn: 3!]
[eqn: rm bda]□□꼴 ⇨ [eqn: 2!]
[eqn: rm bdcae] ⇨ [eqn: 1]
[eqn: rm bdcea] ⇨ [eqn: 1]
∴ [eqn: 4! +3!+3!+2!+1+1=40]
따라서 [eqn: rm bdcea]는 [eqn: 40]번째에 오는 문자열이다.

(2) [eqn: 60]번째의 문자열은 어떤 문자로 시작하는가를 알아본다.
[eqn: rm a]□□□□꼴 ⇨ [eqn: 4! =24]
[eqn: rm b]□□□□꼴 ⇨ [eqn: 4! =24] ← 합 [eqn: 48]
[eqn: rm ca]□□□꼴 ⇨ [eqn: 3! =6] ← 합 [eqn: 54]
[eqn: rm cb]□□□꼴 ⇨ [eqn: 3! =6] ← 합 [eqn: 60]
따라서 [eqn: rm cb]□□□꼴의 끝 문자열이 [eqn: 60]번째이므로 구하는 문자열은 [eqn: rm cbeda]이다.

7 답 [eqn: 9``]

[eqn: {} _{n} rm `P it rm _{`2} - _{n} {rm `C} _{`2} =36``(n GEQ 2)``]

[eqn: n(n-1)- {n(n-1)} over {2} =36``]

[eqn: n ^{2} -n-72=0,`````(n-9)(n+8)=0``]

[eqn: THEREFORE `n=9``]([eqn: BECAUSE `n GEQ 2``])

8 답 [eqn: 12]
오른쪽 그림과 같이 [eqn: 7]개의 점이 놓여 있을 때, 서로 다른 직선 위의 점을 하나씩 택하여 연결하면 하나의 직선을 만들 수 있으므로
[eqn: rm rm _{5} C _{1} TIMES _{2} C _{1} =5 TIMES 2=10]
[eqn: 5]개의 점과 [eqn: 2]개의 점은 각각 직선 [eqn: 1]개씩을 만들 수 있으므로 구하는 직선의 개수는

[eqn: 10+2=12]

9 답 [eqn: 200]
[eqn: 12]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우의 수는

[eqn: rm{} _{12} C _{3} =220]
가로 방향으로 일직선 위에 있는 [eqn: 4]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우의 수는

[eqn: rm{} _{4} C _{3} TIMES 3=12]
세로 방향으로 일직선 위에 있는 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우의 수는

[eqn: rm{} _{3} C _{3} TIMES 4=4]
대각선 방향으로 일직선 위에 있는 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우의 수는

[eqn: rm{} _{3} C _{3} TIMES 4=4]
따라서 구하는 삼각형의 개수는
[eqn: 220-(12+4+4)=200]

10 답 ①
[eqn: 2]층을 제외한 [eqn: 3,~4,~5,~6]층, 즉 [eqn: 4]개의 층에서 사람들이 내리게 될 [eqn: 3]개의 층을 뽑는 방법의 수는
[eqn: rm rm _{4} C _{3} =4]
[eqn: 7]명을 [eqn: 2]명, [eqn: 2]명, [eqn: 3]명으로 나누어 [eqn: 3]개의 층에 분배하는 방법의 수는
[eqn: rm( _{7} C _{2} TIMES _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2!} ) TIMES 3!`=630]
따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 4 TIMES 630=2520]