대단원 평가	Ⅴ. 함수와 그래프								1학년
❍❍고등학교		일시:		반:		번호:		이름:

1

임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: f(999)+f(1000)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(2n)=f(n)]

(나) [eqn: f(2n-1) = n-1]

2

임의의 실수 [eqn: x,~ y]에 대하여 함수 [eqn: f]가
[eqn: f(x+y)=f(x)f(y) ,~ f(x)>0]을 만족시키고

[eqn: f(1)=2]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(-1)=2]

ㄴ. [eqn: f(3)=8]

ㄷ. [eqn: f(x-y)= f(x) over f(y)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

3

집합 [eqn: X= left{-1,~ 0,~ 1 right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 세 함수 [eqn: f,~ g,~ h]는 각각 일대일대응, 항등함수, 상수함수이고 [eqn: f(-1)=g(1)=h(0),] [eqn: f(-1)+f(1)=f(0)]일 때, [eqn: f(1)g(-1)h(-1)]의 값을 구하여라.

4

두 함수 [eqn: f(x) = 2x+3 ,~ g(x)=ax+b]가
[eqn: f circ g = g circ f]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: a]의 값에 관계없이 한 점을 지난다. 이 점의 좌표를 구하여라. (단, [eqn: a,~ b]는 상수이다.)

5

자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가
[eqn: f(x)= left{ pile{ ```````x over 2 ```````````(x는 ```짝수) # x+1 over 2 ``````(x는 ``홀수)`}`]
이고 [eqn: f`^n+1 = f`^n circ f `, ~ f`^1 =f``]로 정의할 때,
[eqn: f`^n (100)=1`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은?

① [eqn: 3`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 11`]

6

두 함수 [eqn: f(x) = 1 over 2 x -1 , ~g(x) = 2x+a`]에 대하여

[eqn: (g circ f )^-1 = g^-1 circ f`^-1`]가 성립할 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 1 over 2`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

7

다음 식을 간단히 하면?

[eqn: {b} over {a(a+b)} + {c} over {(a+b)(a+b+c)}]

[eqn: + {d} over {(a+b+c)(a+b+c+d)}]

① [eqn: {a} over {a+b+c+d}]	② [eqn: {b+c+d} over {a+b+c+d}]

③  [eqn: {d} over {a(a+b+c+d)}]	④ [eqn: {b+c+d} over {a(a+b+c+d)}]

⑤ [eqn: {a+b+c+d} over {a(a+b)(a+b+c)}]

8

함수 [eqn: y= {ax+2b} over {2x+c}]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1]이고 점 [eqn: LEFT ( -1,~- {1} over {2} RIGHT )]에 대하여 대칭일 때,

[eqn: a+b+c]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이다.)

9

두 함수 [eqn: f(x) = sqrt2x-1 +3], [eqn: g(x)= {1+x} over {1-x} `]에 대하여 [eqn: ((g CIRC f) ^{-1} CIRC g)(4)`]의 값을 구하여라.

10

함수 [eqn: y= sqrt {ax+b}]의 그래프와 그 역함수의 그래프가 모두 점 [eqn: (2,``1)]을 지날 때, 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -21]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 21]

Ⅴ. 함수와 그래프

대단원 평가 정답 및 풀이

1 답 [eqn: 561]

[eqn: 2n-1=999]에서 [eqn: n=500]

[eqn: f(2n-1) = n-1]에 [eqn: n= 500]을 대입하면

[eqn: f(999) = 499]

[eqn: f(1000) = f(500)= f(250)=f(125)]이고,

[eqn: 2n-1 = 125]에서 [eqn: n=63]

[eqn: f(2n-1) = n-1]에 [eqn: n= 63]을 대입하면

[eqn: f(125)=62]

[eqn: therefore~ f(999)+f(1000)= 499+62= 561]

2 답 ⑤

[eqn: f(x+y)=f(x)f(y)]                       [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

ㄱ. [eqn: x=0,~ y=0]을 ㉠의 양변에 대입하면

[eqn: f(0)=f(0)f(0)]

[eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: f(0)=1]

또 [eqn: x=1,~ y=-1]을 ㉠의 양변에 대입하면

[eqn: f(0)=f(1)f(-1) ,~ 1= 2 f(-1)]

[eqn: therefore~ f(-1) = 1 over 2]

ㄴ. [eqn: x=1,~ y=1]을  ㉠의 양변에 대입하면

[eqn: f(2)=f(1)f(1)= 2 cdot 2= 4]

또 [eqn: x=1,~ y=2]를 ㉠의 양변에 대입하면

[eqn: f(3)=f(1)f(2)= 2 cdot 4 = 8]

ㄷ. [eqn: f(x)=f((x-y)+y) = f(x-y)f(y)]이므로

[eqn: f(x-y) = f(x) over f(y)]

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

3 답 [eqn: 1]

함수 [eqn: g]는 항등함수이므로

[eqn: g(-1)=-1,~ g(0)=0,~ g(1)=1]

[eqn: f(-1)=g(1)=h(0)]에서 [eqn: f(-1)=h(0)=1]

[eqn: f(-1)+f(1)=f(0)]에서 [eqn: 1+f(1)=f(0)]

이때 함수 [eqn: f]는 일대일대응이므로

[eqn: f(0)=-1,~ f(1)=0] 또는 [eqn: f(0)=0,~ f(1)=-1]

[eqn: therefore~ f(0)=0,~ f(1)=-1]

또 함수 [eqn: h]는 상수함수이므로

[eqn: h(-1)=h(0)=h(1)=1]

[eqn: therefore~ f(1)g(-1)h(-1)=(-1) cdot (-1) cdot 1 = 1]

4 답 [eqn: (-3,~ -3)]

[eqn: f(x)=2x+3,~ g(x)=ax+b]에서

[eqn: (f circ g )(x) = f(g(x))=2(ax+b)+3]

[eqn: =2ax+2b+3]

[eqn: (g circ f )(x) = g(f(x))=a(2x+3)+b]

[eqn: =2ax+3a+b]

[eqn: f circ g = g circ f]이므로 [eqn: 2ax+ 2b+3= 2ax+3a+b]

[eqn: therefore~ b=3a-3]

[eqn: b=3a-3]을 [eqn: g(x)]에 대입하면

[eqn: g(x)=ax+b = ax+3a-3 = a(x+3)-3]

이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: a]의 값에 관계없이 점 [eqn: (-3,~ -3)]을 지난다.

5 답 ③

[eqn: f(100)= 100 over 2 = 50`]이므로

[eqn: f`^2 (100) = (f circ f ) (100) = f( f(100))`]

[eqn: = f(50) = 50 over 2 = 25`]

[eqn: f`^3 (100) = ( f`^2 circ f ) (100) = f`^2 ( f(100))`]

[eqn: = f`^2 (50) = ( f circ f )(50)= f(f(50))`]

[eqn: = f(25)= 25+1 over 2 =13`]

[eqn: f`^4 (100) = ( f`^3 circ f ) (100) = f`^3 ( f(100))`]

[eqn: = f`^3 (50) = ( f`^2 circ f )(50)= f`^2 (f(50))`]

[eqn: = f`^2 (25) = ( f circ f )(25)= f(f(25))`]

[eqn: = f(13)= 13+1 over 2 = 7`]

[eqn: f` ^{5} (100)=f` ^{4} (50)=f` ^{3} (25)=f` ^{2} (13)=f(7)]

[eqn: = {7+1} over {2} =4`]

[eqn: f`^6 (100) = f`^5 (50) = f`^4 (25) = f`^3 (13) = f`^2 (7) = f(4)`]

[eqn: =2]

[eqn: f`^7 (100) = f`^6 (50) = f`^5 (25) = f`^4 (13)`]

[eqn: = f`^3 (7) = f`^2 (4) = f(2)=1`]

[eqn: vdots`]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 7`]이다.

6 답 ⑤

[eqn: ( g circ f )(x) = g(`f(x)) = 2 left( 1 over 2 x -1 right) +a = x-2 +a`]

[eqn: y= x-2 +a`]로 놓으면

[eqn: x= y+2 -a`]

[eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: y= x+2 -a`]

[eqn: therefore~( g circ f)^-1 (x) = x+2 -a`]

[eqn: f(x) = 1 over 2 x -1`]에서 [eqn: y= 1 over 2 x -1`]로 놓으면

[eqn: x= 2y+2`]

[eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: y= 2x+2`]

[eqn: therefore~f`^-1 ( x) = 2x+2`]

[eqn: g(x) = 2x+a`]에서 [eqn: y= 2x+a`]로 놓으면

[eqn: x= 1 over 2 y - a over 2`]

[eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: y= 1 over 2 x - a over 2`]

[eqn: therefore~ g^-1 (x) = 1 over 2 x - a over 2`]

[eqn: therefore~ ( g^-1 circ f`^-1 ) (x) = g^-1 ( `f`^-1 (x))`]

[eqn: = 1 over 2 ( 2x+2) - a over 2 = x+1 - a over 2`]

[eqn: ( g circ f )^-1 = g^-1 circ f`^-1 `]에서

[eqn: x+2-a = x+1 - a over 2`]

따라서 [eqn: 2-a = 1 - a over 2`]이므로

[eqn: - a over 2 = -1`]    [eqn: therefore~a=2`]

7 답 ④

[eqn: b over {a(a+b)}``=``1 over a``-``1 over a+b``]

[eqn: c over {(a+b)(a+b+c)}``=``1 over a+b``-``1 over {a+b+c}``]

[eqn: d over {(a+b+c)(a+b+c+d)}]

[eqn: =``1 over a+b+c``-``1 over {a+b+c+d}``]

∴ (주어진 식)
[eqn: =``1 over a``-``1 over {a+b+c+d}``][eqn: =``b+c+d over {a(a+b+c+d)}]

8 답 [eqn: 2]

주어진 함수를 [eqn: f(x)]라고 하면 [eqn: y=f(x)]의 그래프가

점 [eqn: LEFT ( -1,~- {1} over {2} RIGHT )]에 대하여 대칭이므로

[eqn: f(x)= {k} over {x+1} - {1} over {2}]

로 놓을 수 있다. 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(0)=k- {1} over {2} =1]    [eqn: THEREFORE ```k= {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE f(x)= {{3} over {2}} over {x+1} - {1} over {2} = {3-(x+1)} over {2(x+1)} = {-x+2} over {2x+2}]

따라서 [eqn: a=-1,~b=1,~c=2]이므로

[eqn: a+b+c=2]

9 답 [eqn: 1]

[eqn: ((g CIRC f) ^{-1} CIRC g)(4)][eqn: =(f`` ^{-1} CIRC g`` ^{-1} CIRC g)(4)]
[eqn: =f`` ^{-1} (4)]

[eqn: f`` ^{-1} (4)=k`]라 하면 [eqn: f(k)= 4]

[eqn: sqrt {2k-1} +3=4`]에서 [eqn: sqrt {2k-1} =1]

[eqn: 2k-1 = 1]  [eqn: therefore~k=1]

10 답 ①

[eqn: f(x)= sqrt {ax+b}]라고 하면 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (2,``1)]을 지나므로 [eqn: 1= sqrt {2a+b _{}}]

∴ [eqn: 2a+b=1 _{}]                              [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

또 역함수의 그래프가 점 [eqn: (2,```1)]을 지나므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (1,```2)]를 지난다.

따라서 [eqn: 2= sqrt {a+b}]이므로

[eqn: a+b=4 _{}]                                  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-3,``````b=7]

[eqn: THEREFORE `ab=-21]