대단원 평가	Ⅳ. 집합과 명제								1학년
❍❍고등학교		일시:		반:		번호:		이름:

1

다음 중 집합이 아닌 것은?

① [eqn: 10`]보다 작은 짝수의 모임

② [eqn: 6`]의 약수의 모임

③ 키가 큰 축구 선수의 모임

④ [eqn: 5`] 이하의 자연수의 모임

⑤ [eqn: 7`]가지 무지개 색깔의 모임

2

두 집합 [eqn: A ` =` LEFT { x ``| ``x`= 2^n , ~ n은~자연수 RIGHT }],
[eqn: B`=` LEFT { y ``|`` y= 3^m ,~ m은~자연수 RIGHT }]에 대하여 다음 중 집합 [eqn: C`` =` LEFT { z ``|``z= xy ,~ x in { A} ,~ y in { B} RIGHT }]의 원소가 아닌 것은?

① [eqn: 72]	② [eqn: 108]	③ [eqn: 126]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 162]

3

집합 [eqn: S`=`left{0,````3,````5,````left{3 right},````7 right}]에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하여라.

(가) [eqn: left{5,````7 right} subset`X]	(나) [eqn: X subsetS]

4

다음 중 오른쪽 벤다이어그램에서 색칠한 부분을 나타내는 집합은? (단, [eqn: U`]는 전체집합)

① [eqn: A cap(B-C)]

② [eqn: A SMALLINTER (B ^{C} SMALLINTER C)]

③ [eqn: A-(C-B)]

④ [eqn: A-(C capB)]

⑤ [eqn: A cap(C cupB)]

5

전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A,~B`]에 대하여
[eqn: A SUBSET B ^{C} ,] [eqn: n(A)=6,] [eqn: n(A cupB`)=10]일 때, [eqn: n(B`)]의 값을 구하여라.

6

다음 보기의 명제 중 참인 것을 모두 골라라. (단, [eqn: a`,`b`,` c]는 실수이다.)

<보 기>

ㄱ. [eqn: ac `=` bc]이면 [eqn: a `=` b]이다.

ㄴ. [eqn: a`=` 2]이면 [eqn: a^2 `=` 4]이다.

ㄷ. [eqn: (a-1) (b-1) ` >` 0]이면 [eqn: a `> ` 1]이고
[eqn: b `>` 1]이다.

7

다음 명제의 대우와 그것의 참, 거짓이 바르게 짝지어진 것은? (단, [eqn: x, ~y`]는 실수)

[eqn: x` ne `0`] 또는 [eqn: y` ne `0`]이면 [eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `` ne `0]이다.

① [eqn: x`=`0 `]이고 [eqn: y`=`0 `]이면 [eqn: x^{2} + y^{2}` =` 0 `]이다. - 참

② [eqn: x`=`0 `]이고 [eqn: y`=`0 `]이면 [eqn: x^{2} + y^{2}` =` 0 `]이다. - 거짓

③ [eqn: x^{2} + y^{2}` =` 0 `]이면 [eqn: x`=`0 `]이고 [eqn: y`=`0 `]이다. - 참

④ [eqn: x^{2} + y^{2}` =` 0 `]이면 [eqn: x`=`0 `]이고 [eqn: y`=`0 `]이다. - 거짓

⑤ [eqn: x^2 +y^2 ` ne`0 `]이면 [eqn: x `ne`0 `]이면 [eqn: y `ne`0 `]이다. - 참

8

다음 보기 중 [eqn: x`=`y`=`0`]이기 위한 필요충분조건인 것을 모두 골라라. (단, [eqn: x`], [eqn: y`]는 실수이다.)

<보 기>

ㄱ. [eqn: xy`=`0]	ㄴ. [eqn: |`x`|+|`y`|`=`0]

ㄷ. [eqn: {y} over {x} =0]	ㄹ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} `=`0`]

9

다음 세 학생이 수업이 끝난 후, 학원, 서점, 독서실 중 각각 서로 다른 장소에 갔다 와서 다음과 같이 말하였다.

지선 : 나는 학원에 갔다.

수진 : 나는 학원에 가지 않았다.

준호 : 나는 서점에 가지 않았다.

위의 세 학생의 말 중 하나만 참일 때, 학원, 서점, 독서실에 간 학생을 순서대로 적어라.

10

다음은 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a^2 -a +1 >0]임을 증명하는 과정이다.

	<증명>
[eqn: a ^{2} -a+1=(a- {BOX{`````(가)`````}} ```) ^{2} + {3} over {4}] 이때 [eqn: a]는 실수이므로 [eqn: (a- BOX{````(가)``````}``` ) ^{2} `` BOX{````(나)````} ``0] 따라서 [eqn: (a - box {``````(가) ``````}``` )^2 + 3 over 4 >0]이므로 [eqn: a^2 -a +1 >0]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은?

① [eqn: 1 over 2 ,~>]	② [eqn: {1} over {2} ,~ GEQ]	③ [eqn: 1 over 4 ,~=]

④ [eqn: 1 over 4 ,~>]	⑤ [eqn: {1} over {4} ,~ GEQ]

Ⅳ. 집합과 명제

대단원 평가 정답 및 풀이

1 답 ③

③ ‘키가 큰’ 은 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.

2 답 ③

집합 [eqn: C``]의 원소는 [eqn: 2^n`` 3^m][eqn: (m,````n]은 자연수)의 꼴이므로 각각의 수를 소인수분해하면

① [eqn: 72 = 2^3 times 3^2]	② [eqn: 108 = 2^2 times 3^3]

③ [eqn: 126 = 2times 3^2 times 7]	④ [eqn: 144= 2^4 times 3^2]

⑤ [eqn: 162=2 TIMES 3 ^{4}]

즉, ③은 [eqn: 2]와 [eqn: 3]의 거듭제곱의 곱만으로 표현되지 않으므로 집합 [eqn: C``]의 원소가 아니다.

3 답 [eqn: 8]

집합 [eqn: S`=`left{0,````3,````5,````left{3 right},````7 right}]의 부분집합 중 집합 [eqn: X`]는 원소 [eqn: 5], [eqn: 7]을 모두 포함하는 부분집합이므로

[eqn: 2^{5 -2}=2^3 =8]

4 답 ③

주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 집합 [eqn: A`]에서 [eqn: C-B`]를 뺀 것과 같다.

[eqn: therefore````A-(C-B)]

5 답 [eqn: 4]

[eqn: A SUBSET B ^{C}]이므로 [eqn: A capB `= emptyset]

즉, [eqn: n(A capB` )=0]

[eqn: n(A cupB`) =n(A)+n(B`) - n(A capB`)]에서

[eqn: 10 = 6+n(B`) -0]    [eqn: therefore~n(B`)=4]

6 답 ㄴ

ㄱ. (반례) [eqn: a=3], [eqn: b=2], [eqn: c= 0] 이면 [eqn: ac `=` bc `=` 0]이지만 [eqn: a `ne b]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: a= 2]이면 [eqn: a^2 `=` 2^2 `=` 4]이다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a = -2], [eqn: b = -2]이면
[eqn: (a-1)(b-1)`=`(-3)cdot(-3)`=`9`>`0]
이지만 [eqn: a<1,~b`<`1] 이다. (거짓)

따라서 참인 명제는 ㄴ이다.

7 답 ③

주어진 명제의 대우는 [eqn: x^2 + y^2 = 0 `]이면 [eqn: x=0 `]이고 [eqn: y=0 `]이다. (참)

8 답  ㄴ, ㄹ

ㄱ. [eqn: xy`=`0`] [eqn: LRARROW] [eqn: x`=`0] 또는 [eqn: y`=`0]

ㄴ. [eqn: |`x`|`+`|`y`|`=`0] [eqn: LRARROW] [eqn: x`=`0], [eqn: y`=`0]

ㄷ. [eqn: {y} over {x} `=`0] [eqn: LRARROW] [eqn: x`ne`0], [eqn: y`=`0]

ㄹ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} `=`0] [eqn: LRARROW] [eqn: x`=`0], [eqn: y`=`0]

따라서 [eqn: x`=`y`=`0]이기 위한 필요충분조건은 ㄴ, ㄹ이다.

9 답 수진, 지선, 준호

(ⅰ) 지선의 말이 참일 때
지선 : 학원, 수진 : 학원, 준호 : 서점
이 경우 독서실에 간 학생이 없으므로 모순

(ⅱ) 수진의 말이 참일 때
지선 : 서점 또는 독서실, 수진 : 서점 또는 독서실, 준호 : 서점
이 경우 학원에 간 학생이 없으므로 모순

(ⅲ) 준호의 말이 참일 때
지선 : 서점 또는 독서실, 수진 : 학원, 준호 : 학원 또는 독서실
이로부터 지선, 수진, 준호가 각각 간 곳은 서점, 학원, 독서실이다.

따라서 학원, 서점, 독서실에 간 학생은 수진, 지선, 준호이다.

10 답 ②

[eqn: a ^{2} -a+1= LEFT ( a- {BOX{{1} over {2}}} RIGHT ) ^{2} + {3} over {4}]

이때 [eqn: a]는 실수이므로

[eqn: LEFT ( a- {BOX{{1} over {2}}} RIGHT ) ^{2} {BOX{GEQ }} `0]

따라서 [eqn: LEFT ( a- {BOX{{1} over {2}}} RIGHT ) ^{2} + {3} over {4} >0]이므로

[eqn: a ^{2} -a+1>0]