대단원 평가	Ⅲ. 도형의 방정식								1학년
❍❍고등학교		일시:		반:		번호:		이름:

1

세 점 [eqn: {rmO}(0`,~0)`,~{rmA}(a`,~3) `,~{rmB}(2`,~4)``]에 대하여

[eqn: {rmbar OA = barAB]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2root2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2root5]	⑤ [eqn: 5]

2

세 점 [eqn: {rmO} (0,~0),~{rmA}(a,~b),~{rm B} (a+b ,~b-a)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OAB`]에 대하여 다음에 답하여라.

(1) [eqn: TRIANGLE rm OAB`]는 어떤 삼각형인지 말하여라.

(2) [eqn: TRIANGLE rm OAB`]의 넓이를 [eqn: a,~b`]에 대한 식으로 나타내어라.

3

삼각형 [eqn: rm { ABC }]에서 꼭짓점 [eqn: rm { A }]의 좌표가 [eqn: rm { (4`,~3) }`]이고

[eqn: rm { bar{AB} }]의 중점의 좌표가 [eqn: rm { (-2`,~2) }`], 무게중심의 좌표가

[eqn: rm { (0`,~1) }`]일 때, [eqn: rm { bar{BC} }]의 길이는?

① [eqn: 8 sqrt {2}]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 2 sqrt {37}]

④ [eqn: 5 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {10}]

4

점[eqn: ( sqrt {3} ,~-1)]을 지나고 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 30 DEG]인 직선의 방정식은?

① [eqn: y= sqrt {3} x-4]	② [eqn: y= sqrt {3} x-1]

③ [eqn: y=x- sqrt {3}]	④ [eqn: y= {sqrt {3}} over {3} x-2]

⑤ [eqn: y= {sqrt {3}} over {3} x-1]

5

두 점 [eqn: rm A(2`,~0)`], [eqn: rm B(-3`,~5)`]를 이은 선분 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: kx-y-3k+3=0]이 한 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라.

6

두 직선 [eqn: 5x+15y+2=0], [eqn: x+5y-11=0]의 교점을 지나고 직선 [eqn: x-y-1=0]에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

7

두 점 [eqn: (`1`,~1`)`], [eqn: (`2`,~2`)`]를 지나고 [eqn: x`]축에 접하는 두 원의 반지름의 길이의 합은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

8

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4] 위의 임의의 점과 직선
[eqn: 3x-4y+k=0] 사이의 거리의 최댓값이 [eqn: 5]일 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

9

점 [eqn: (2,~1)`]을 점 [eqn: (3,~4)`]로 옮기는 평행이동
[eqn: LEFT ( x,~y RIGHT ) ` -> `(x+a`,```y+b)]에 의하여 직선
[eqn: 3x-2y+4=0`]을 옮기면 점 [eqn: (3,~c)`]를 지난다. 이때 상수 [eqn: a`,~b`,~c`]의 합 [eqn: a+b+c`]의 값을 구하여라.

10

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +ax+by-8=0]을 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동한 원의 중심이 [eqn: (-2`,````2)`]일 때, [eqn: a-b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

Ⅲ. 도형의 방정식

대단원 평가 정답 및 풀이

1 답 ②

[eqn: rm { barOA``=barAB }]에서 [eqn: rm { barOA `^2 = barAB` ^2 }]이므로

[eqn: a^2 + 3^2 = (2-a)^2 +(4-3)^2]

[eqn: a^2 +9 = a^2 -4a +5]

[eqn: 4a=-4]    [eqn: THEREFORE~a=-1]

2 답 (1) [eqn: angle rm A =90 DEG`]인 직각이등변삼각형
(2)[eqn: 1 over 2 (a^2 +b^2 )`]

(1) [eqn: {rm bar OA}^2 = a^2 + b^2 `]

[eqn: {rm bar AB}^2 = left{(a+b) -a right }^2 + left{(b-a) -b right }^2 = a^2 + b^2 `]

[eqn: {rm bar OB}^2 = (a+b)^2 + (b-a)^2 = 2 a^2 + 2 b^2 `]

[eqn: THEREFORE``rm {bar OB}^2 = {bar OA}^2 + {bar AB}^2], [eqn: rm {bar OA}^2 = {bar AB}^2 `]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm ABC]는 [eqn: angle rm A =90 DEG`]인 직각이등변삼각형이다.

(2) [eqn: TRIANGLE {rm ABC} = 1 over 2 {rm bar OA cdot bar AB }= 1 over 2 {rm bar OA}^2 = 1 over 2 (a^2 + b^2 )`]

3 답 ③

두 점 [eqn: rm B`,````C]의 좌표를 각각 [eqn: (a`,~b)`,````(c`,````d)`]라고 하면 [eqn: rm bar{AB`}]의 중점의 좌표가 [eqn: (-2`,~2)]이므로

[eqn: {4+a} over {2} =-2,``` {3+b} over {2} =2]

[eqn: THEREFORE ~a=-8`,````b=1`]   [eqn: rm THEREFORE ~B(-8`,~1)`]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (0`,~1)`]이므로

[eqn: {4-8+c} over {3} =0,`` {3+1+d} over {3} =1]

[eqn: THEREFORE ~c=4`,````d=-1]   [eqn: rm THEREFORE ~C(4`,~-1)`]

[eqn: rm THEREFORE ~ {bar{BC`}} = sqrt {(4+8) ^{2} +(-1-1) ^{2}} `][eqn: =2 sqrt {37}`]

4 답 ④

(기울기)[eqn: = tan30 DEG = {sqrt {3}} over {3}]이고 점 [eqn: ( sqrt {3} ,~-1)]을 지나므로

[eqn: y+1= {sqrt {3}} over {3} (x- sqrt {3} )]      [eqn: THEREFORE y= {sqrt {3}} over {3} x-2]

5 답 [eqn: {10} over {3}]

직선 [eqn: kx-y-3k+3=0]에서

[eqn: k(x-3)-(y-3)=0]                      [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이므로 [eqn: k]의 값에 관계없이 점 [eqn: (3,```3)]을 지난다.

오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 선분 [eqn: rm AB]와 한 점에서 만나도록 움직여 보면

(ⅰ) 직선 ㉠이 점 [eqn: rmA(2,```0)]
을 지날 때
[eqn: -k+3=0``~~~ THEREFORE ```k=3]

(ⅱ) 직선 ㉠이 점 [eqn: rmB(-3,```5)]를 지날 때
[eqn: -6k-2=0]   [eqn: THEREFORE ```k=- {1} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 실수 [eqn: k~]의 값의 범위는

[eqn: - {1} over {3} LEQ k LEQ 3]

따라서 실수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 차는

[eqn: 3- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) = {10} over {3}]

6 답 [eqn: 5x+5y+59=0]

두 직선 [eqn: 5x+15y+2=0```,x+5y-11=0]의 교점을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: 5x+15y+2+k(x+5y-11)=0]

[eqn: THEREFORE ``(k+5)x+(5k+15)y-11k+2=0]        [eqn: cdotscdots]㉠

직선 ㉠과 직선 [eqn: x-y-1=0]이 서로 수직이므로

[eqn: (k+5) cdot 1 + (5k+15)cdot(-1)=0]

[eqn: -4k-10=0]    [eqn: THEREFORE ~k=- {5} over {2}]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: 5over2 x + 5 over2 y + 59over2 =0]   [eqn: THEREFORE ```5x+5y+59=0]

7 답 ④

[eqn: x]축에 접하는 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 하면 원의 방정식은

[eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} =b ^{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~````````````` CDOTS CDOTS]㉠

㉠이 점 [eqn: (1`,~1)`]을 지나므로 [eqn: (1-a) ^{2}+(1-b) ^{ 2}=b ^{ 2}]

[eqn: a ^{2} -2a-2b+2=0``````````````~~~~~~~~~~~~~~~~`````````` CDOTS CDOTS]㉡

㉠이 점 [eqn: (2`,~2)`]를 지나므로 [eqn: (2-a) ^{2} +(2-b) ^{2} =b ^{2}]

[eqn: a ^{2} -4a-4b+8=0```````````````````~~~~~~~~~~~~~~~~```` CDOTS CDOTS]㉢

[eqn: ㉡×2`-`㉢`]을 하면

[eqn: a ^{2} -4=0```````` THEREFORE `a=`±2``]

㉡에서 [eqn: a=2`]일 때 [eqn: `b=1`,`] [eqn: ``a=`-2``]일 때 [eqn: ``b=5`]

따라서 구하는 두 원의 반지름의 길이의 합은

[eqn: `1+5 = 6`]

8 답 [eqn: 15]

원의 중심 [eqn: LEFT ( 0`,~0 RIGHT )`]과 직선 [eqn: 3x-4y+k=0] 사이의 거리는 [eqn: {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2}}} = {LEFT | k RIGHT |} over {5}]

이고, 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2]이므로 원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓값은

[eqn: {LEFT | k RIGHT |} over {5} +2=5,` LEFT | k RIGHT | =15`]

[eqn: THEREFORE `k=15`( BECAUSE `k>0)]

9 답 [eqn: 12]

점 [eqn: (2`,````1)`]이 평행이동 [eqn: LEFT ( x`,````y RIGHT ) `` ->` `(x+a`,````y+b)`]에 의하여 옮겨진 점이 [eqn: (3`,````4)`]이므로

[eqn: 2+a=3`,````1+b=4``]    [eqn: THEREFORE ~a=1`,````b=3``]

따라서 직선 [eqn: 3x-2y+4=0`]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동하면

[eqn: 3(x-1)-2(y-3)+4=0]

[eqn: THEREFORE ```3x-2y+7=0```]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: ㉠]이 점 [eqn: (3`,````c)`]를 지나므로

[eqn: 3 cdot 3-2c+7=0`]     [eqn: THEREFORE ~c=8`]

[eqn: THEREFORE ~a+b+c=12```]

10 답 [eqn: 8]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +ax+by-8`=0]을 표준형으로 고치면

[eqn: left(x+ {a} over {2} right) ^{2} + left(y`+ {b} over {2} right) ^{2} `=` {a ^{2} +b ^{2}} over {4} +8]

이므로 원의 중심 [eqn: left(`- {a} over {2} `,````- {b} over {2} right)``]를 직선 [eqn: y=`-x]에 대하여 대칭이동하면 [eqn: left(` {b} over {2} `,```` {a} over {2} `right)]

이 점이 [eqn: (`-2`,````2`)]와 일치하므로

[eqn: b over 2 =-2``], [eqn: a over 2 =2`]

따라서 [eqn: a=4`,~b=-4`]이므로 [eqn: a-b=8``]