대단원 평가	Ⅱ. 방정식과 부등식								1학년
❍❍고등학교		일시:		반:		번호:		이름:

1

허수 [eqn: z]에 대하여 복소수 [eqn: 1over { 1 - z^2 }]이 실수일 때, 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

① [eqn: z + bar z = 0]	② [eqn: z + bar z = 1]	③ [eqn: z + bar z = -1]

④ [eqn: z bar z =1]	⑤ [eqn: z bar z = -1]

2

계수가 실수인 이차방정식 [eqn: ax^2 +bx+c =0`]의  근을 구하는데, 근의 공식을 [eqn: x={ - b +- root{b^2 - ac} }over 2a `]로 잘못 적용하여 풀어 두 근 [eqn: -2,~ 1`]을 얻었다. 이 방정식의 원래의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta`]라고 할 때, [eqn: alpha beta`]의 값은?

① [eqn: -8]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤   [eqn: 8]

3

[eqn: m,~n`]이 실수일 때, 이차방정식 [eqn: x ^{2} +mx+n=0`]의 한 근이 [eqn: -1+2i`]이다. [eqn: 1 over m], [eqn: 1 over n]을 두 근으로 하는 이차방정식이 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]일 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: - {3} over {10}]

④ [eqn: {1} over {10}]	⑤ [eqn: 1]

4

[eqn: a LEQ x LEQ -1]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +4x+k]가 최댓값 [eqn: 8], 최솟값 [eqn: -1]을 가질 때, 상수 [eqn: a,~k]에 대하여 [eqn: a+k]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a<][eqn: -2])

5

이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a-3 RIGHT ) x+a-2=0]의 두 근이 모두 정수일 때, 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라.

6

부등식 [eqn: x ^{2} -2x-2<2` LEFT | `x-1` RIGHT | `]의 해가 [eqn: alpha <x<beta`]일 때, [eqn: beta-2alpha`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 11]

7

[eqn: x`]에 대한 이차방정식

[eqn: x^2 +(2k-1)x+k^2 +a k +b=0]

이 [eqn: k`]의 값에 관계없이 실근을 가질 때, 실수 [eqn: a,````b`]의 조건을 구하여라.

8

[eqn: x`]에 대한 이차부등식
[eqn: (k-3)x^2 -2(k-3)x -2 >0`]의 해가 존재하지 않도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는?

① [eqn: -1 < k < 1]	② [eqn: -1 le k < 1]

③ [eqn: -1 < k < 3]	④ [eqn: 1 le k <3]

⑤ [eqn: k le1] 또는 [eqn: k>3]

9

[eqn: 0 le n le 200`]일 때, 게임기 [eqn: rmA`]를 판매하는 가게에서 하루 동안 [eqn: n`]대의 게임기 [eqn: rmA`]를 판매한 수익금은 [eqn: 200n(400-n)`]원이고, 이 가게가 공장으로부터 게임기 [eqn: rmA`] 한 대를 구입하는 가격은 [eqn: 3`]만 원이다. 하루 동안 게임기 [eqn: rmA`]에 대한 판매 이익이 [eqn: 300`]만 원 이상이 되게 하려면 몇 대를 판매해야 하는가? (단, 판매 이익은 총 수익금에서 구입 비용을 뺀 것이다.)

① [eqn: 90`]대 이상 [eqn: 140`]대 이하

② [eqn: 100`]대 이상 [eqn: 150`]대 이하

③ [eqn: 110`]대 이상 [eqn: 160`]대 이하

④ [eqn: 120`]대 이상 [eqn: 170`]대 이하

⑤ [eqn: 130`]대 이상 [eqn: 180`]대 이하

10

이차방정식 [eqn: x^2 -(k^2 -4k+3)x-3k+5=0`]이 서로 다른 부호의 두 근을 갖고, 음의 근의 절댓값이 양의 근보다 크도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위를 구하여라.

Ⅱ. 방정식과 부등식

대단원 평가 정답 및 풀이

1 답 ①

복소수 [eqn: 1over {1-z^2 }]이 실수이므로

[eqn: {1} over {1-z ^{2}} = {bar{LEFT ( {1} over {1-z ^{2}} RIGHT )}}], [eqn: {1} over {1-z ^{2}} = {1} over {bar{1-z ^{2}}}]

[eqn: 1-z^2 = bar 1-z^2], [eqn: 1-z^2 = 1-bar z^2]

[eqn: z^2 - bar z^2 =0]

[eqn: THEREFORE ````(z- {bar{z}} )(z+ {bar{z}} )=0]

이때 [eqn: z]는 허수이므로 [eqn: z ne bar z]이다.

[eqn: THEREFORE ````z+ {bar{z}} =0]

2 답 ①

이차방정식 [eqn: ax^2 + bx+c = 0`]의 근의 공식을

[eqn: x= { - b +- root {b^2 -ac} }over 2a``]로 잘못 적용하여 얻은 두 근이 [eqn: -2,~ 1``]이므로

[eqn: { - b + root {b^2 -ac} }over 2a + { - b - root {b^2 -ac} }over 2a = (-2)+1=-1]

[eqn: -2b over {2a} = -1 ~~therefore a=b]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: { - b + root {b^2 -ac} }over 2a cdot { - b - root {b^2 -ac} }over 2a = -2 cdot1=-2]

[eqn: {b^2 -(b^2 -ac)} over 4a^2 = c over 4a = -2 ~~therefore c=-8a]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡을 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: ax^2 + ax-8a = 0]

따라서 두 근의 곱은

[eqn: alphabeta `=` -8a over a` =`-8]

3 답 ②

[eqn: m,~n]이 실수이므로 이차방정식 [eqn: x ^{2} +mx+n=0]의 한 근이 [eqn: -1+2i`]이면 다른 한 근은 [eqn: -1-2i`]이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: LEFT ( -1+2i RIGHT ) + LEFT ( -1-2i RIGHT ) =-m,~~ LEFT ( -1+2i RIGHT ) LEFT ( -1-2i RIGHT ) =n]

이므로 [eqn: m=2,~n=5]

[eqn: therefore~{1} over {m} + {1} over {n} = 1over2 + 1over5 = {7} over {10} ,~ {1} over {m} cdot {1} over {n} = 1over2 cdot 1over5 = 1 over10]

따라서  [eqn: {1} over {m} ,~ {1} over {n}]을 두 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은

[eqn: x^2 - 7over10 x + 1over10 =0`]이므로

[eqn: a=- {7} over {10} ,~~b= {1} over {10}]

[eqn: THEREFORE ````a+b=- {3} over {5}]

4 답 [eqn: -2]

[eqn: f(x)=x ^{2} +4x+k=(x+2) ^{2} -4+k]라 하면

[eqn: a`<`-2]이고, [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -1]이므로

[eqn: f(-2)=-4+k=-1]     [eqn: THEREFORE `k=3]

또 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 8]이고, [eqn: f(-1)=0]이므로

[eqn: f(a)=a ^{2} +4a+3=8], [eqn: a ^{2} +4a-5=0]

[eqn: (a+5)(a-1)=0]     [eqn: therefore`a=-5] [eqn: ( BECAUSE `a<`-2)]

[eqn: therefore`a+k=-2]

5 답 [eqn: 10]

이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a-3 RIGHT ) x+a-2=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =a-3]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: alpha beta =a-2]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

[eqn: ㉠-㉡]을 하면 [eqn: alpha + beta - alpha beta =-1]

[eqn: alpha LEFT ( 1- beta RIGHT ) - LEFT ( 1- beta RIGHT ) +1=-1]

[eqn: LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( 1- beta RIGHT ) =-2]   [eqn: THEREFORE LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( beta -1 RIGHT ) =2]

[eqn: alpha ,~ beta]가 정수이므로

[eqn: rm(i)] [eqn: alpha -1=1,~~ beta -1=2]일 때
[eqn: alpha =2,~ beta =3]

[eqn: rm LEFT ( ii RIGHT )] [eqn: alpha -1=2,~~ beta -1=1]일 때
[eqn: alpha =3,~ beta =2]

[eqn: rm LEFT ( iii RIGHT )] [eqn: alpha -1=-1,~~ beta -1=-2]일 때
[eqn: alpha =0,~ beta =-1]

[eqn: rm LEFT ( iv RIGHT )] [eqn: alpha -1=-2,~~ beta -1=-1]일 때
[eqn: alpha =-1,~ beta =0]

[eqn: rm(i)], [eqn: rm LEFT ( ii RIGHT )]에서 [eqn: alpha + beta =5]이므로 [eqn: ㉠]에 대입하면

[eqn: a=8]

[eqn: rm LEFT ( iii RIGHT )], [eqn: rm LEFT ( iv RIGHT )]에서  [eqn: alpha + beta =-1]이므로 [eqn: ㉠]에 대입하면

[eqn: a=2]

따라서 구하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 10]이다.

6 답 ④

부등식 [eqn: x^{2}-2x-2<2 LEFT| { `x-1`} RIGHT |`]에서

(ⅰ) [eqn: x<1`]일 때
[eqn: x^{2}-2x-2 < -2(x-1),````x^{2}-4<0]
[eqn: (x+2)(x-2)<0]	[eqn: THEREFORE ````-2<x<2]
그런데 [eqn: x<1`]이므로 [eqn: -2<x<1]

(ⅱ) [eqn: x ge 1`]일 때
[eqn: x ^{2} -2x-2<2(x-1),````x ^{2} -4x<0]
[eqn: x(x-4)<0]   [eqn: THEREFORE ````0<x<4]
그런데 [eqn: x ge 1`]이므로 [eqn: 1 le x <4]

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 부등식의 해는 [eqn: -2<x<4]

따라서 [eqn: alpha=-2,````beta=4`]이므로

[eqn: beta - 2alpha = 4-2 cdot (-2)=8]

7 답 [eqn: {a=-1,````b le 1over4]

이차방정식 [eqn: x^2 +(2k-1)x+k^2 +ak+b=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라고 할 때, 이 방정식이 실근을 가지려면

[eqn: D= (2k-1)^2 -4(k^2 +a k+b) ge 0]

[eqn: 4k^2 -4k+1 -4k^2 -4a k -4b ge0]

[eqn: -4(1+a)k +1 -4b ge 0]

[eqn: therefore````4(1+a)k-1+4b le 0]

이 부등식이 [eqn: k`]의 값에 관계없이 성립해야 하므로

[eqn: 4(1+a)=0,````-1+4b le0]

[eqn: therefore````a=-1,````b le 1over4]

8 답 ④

이차부등식 [eqn: (k-3)x^2 -2(k-3)x -2>0]의 해가 존재하지 않으려면 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: (k-3)x^2 -2(k-3)x -2 le 0]

이 성립해야 하므로

[eqn: k-3 <0~~~~ THEREFORE ``k<3]                    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이차방정식 [eqn: (k-3)x^2 -2(k-3)x -2=0]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: D over 4][eqn: = LEFT { -(k-3) RIGHT } ^{2} -(k-3) CDOT (-2) LEQ 0]

[eqn: k ^{2} -4k+3 LEQ 0], [eqn: (k-1)(k-3) le 0]

[eqn: THEREFORE``1 le k le3]                           [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 구하는 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: 1 le k <3]

9 답 ②

하루 동안 게임기 [eqn: rmA`]를 [eqn: n`]대 판매할 때의 총 수익금은 [eqn: 200n(400-n)`]원이고, 게임기의 총 구입 비용은 [eqn: 30000n`]원이다.

판매 이익이 [eqn: 300`]만 원 이상이 되려면

[eqn: 200n(400-n)-30000n ge 3000000]

[eqn: n(400-n)-150n ge 15000]

[eqn: n^2 -250n + 15000 le 0 ,````(n-100)(n-150) le 0]

[eqn: therefore````100 le n le 150]

따라서 [eqn: 100`]대 이상 [eqn: 150`]대 이하를 판매해야 한다.

10 답 [eqn: { 5} over {3 } < k<3}]

이차방정식 [eqn: x^2 -(k^2 -4k+3)x-3k+5=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~ beta`]라고 할 때,

(ⅰ) [eqn: alpha,~ beta`]의 부호가 서로 다르므로	[eqn: alpha beta<0]
즉, [eqn: -3k+5<0`]에서	[eqn: k> { 5} over {3 }]

(ⅱ) 음의 근의 절댓값이 양의 근보다 크므로	[eqn: alpha +beta<0]
즉, [eqn: k^2 -4k+3<0`]에서
[eqn: (k-1)(k-3)<0]	[eqn: THEREFORE````1<k<3]

이상에서 공통 부분을 구하면

[eqn: { 5} over {3 } < k<3]